1 引 言

薄板和薄壳等薄壁构件具有刚度低和阻尼小的特点，在外部激励下容易引起振动，因此有必要采取减振措施。约束层阻尼CLD是一种复合夹芯结构，它是在结构表面铺设粘弹性材料，并在粘弹性材料外部贴上约束材料，利用粘弹性材料在振动变形过程中的时滞特性来耗散能量，可以有效地减振降噪。

约束层阻尼结构的概念最早由Kerwin[1]提出，他研究发现中间层为阻尼材料的三层复合梁结构具有明显的减振效果。此后，Mead等[2]进一步推导了三层阻尼夹芯梁关于横向位移的六阶微分方程，其中粘弹性层只考虑其剪切变形。Wang等[3]基于Hamilton变分原理建立了约束阻尼板的运动方程，而且运用假设模态法对运动方程进行求解。李恩奇等[4]用分布参数传递函数方法建立了约束阻尼板的运动方程，但是求解方法仍然受限于结构的形状和约束条件。Alvelid[5]推导了三层粘弹性夹芯梁的新的六阶微分方程，考虑了约束层和基体层的剪切效应。Khalfi等[6]建立了局部覆盖约束阻尼板的解析模型，而且分析了其简谐和瞬态响应。虽然解析方法具有清晰的理论而且能得到精确解，但受限于结构的形状和边界条件，很难在工程实际中得到广泛的应用。近年来，有限元方法在约束阻尼结构的研究中得到了广泛的应用。Johnson等[7]建立了约束阻尼板三维块体与壳体的复合单元有限元模型，并引入模态应变能方法MSE，使用无阻尼系统的模态振型计算了结构模态损耗因子，这种处理方法对于大型阻尼结构有明显的优势，不需要求解复数方程，提高了运算速度。Chen等[8]研究了四种约束阻尼结构的有限元模型，8个和12个自由度的梁单元模型，32个和42个自由度的板单元模型。这四种不同单元的数值稳定性、精度和收敛性通过数值结果与商业软件和实验的对比得到了很好的验证；Moita等[9]推导了约束阻尼板的三角形单元模型，其中弹性层满足经典板理论，粘弹性层满足Ressiner-Mindlin理论；Huang等[10]对每个节点5自由度的约束阻尼板矩形单元和每个节点7个自由度的矩形单元进行了对比，并研究了两种矩形约束阻尼板单元的精度；Liu等[11]建立了主动约束阻尼板的矩形单元模型，而且进一步研究了模型的鲁棒性控制方法。此外，Golla-Hughes-McTavish (GHM)方法应用于描述粘弹性材料的频率相关性方面。邓年春等[12]基于虚功原理，采用层合理论用4节点28个自由度矩形复合单元，建立了约束阻尼板的动力学模型并研究了其振动特性；王慧彩等[13]推导了基于Mindlin理论的约束阻尼结构的有限元模型；胡明勇等[14]研究了基于Reddy分层理论的约束阻尼板的稳态振动方程，并得到其稳态响应。

目前，关于约束阻尼板壳结构的有限元研究已经取得了一定的成果，不过现有的研究工作中基本采用矩形单元或三角形单元。关于矩形单元的研究较多，但其用于不规则边界外形结构时会带来形状拟合上的困难，而三角形单元虽然能适应不规则结构外形，但其计算精度有待改进。本文基于离散的Kirchhoff和Layer-wise层合板理论，推导了基于一种任意四边形4节点28个自由度的约束阻尼板的有限单元格式，该单元不仅能适应不规则的板壳结构形状，而且具有较高的计算精度。在有限元模型的基础上，本文考虑了粘弹性材料本构的频率相关性，给出了复特征值问题的迭代求解算法。数值算例表明了本文单元的计算精度和对不规则复杂约束阻尼板结构的有效性。

第三，信息化、网络化、全球化，给年轻人创造了建功立业的理想平台。无论哪个行业、哪个领域，有理想，有抱负，肯吃苦，善钻研的年轻人，一定会大有作为。

2 四边形单元模型的建立

约束阻尼板是由基体层、粘性层和约束层构成的夹芯板。模型的建立需满足以下假设。(1)各层同一坐标点在z方向的横向位移相等，而且约束层和基体层都满足Kirchhoff假设。(2)忽略各层的转动惯量。(3)粘弹性材料沿厚度方向是不可压缩的。(4)层间满足位移连续性要求。(5)仅考虑粘弹性材料变形产生的阻尼效应。

2.1 运动关系

约束阻尼板是由基体层、粘性层和约束层构成的夹芯板。在建立模型时只考虑粘性层的阻尼效应，基体层和约束层均满足Kirchhoff假设，层与层之间满足位移连续性，而且各层在z方向具有相同的横向位移。

图1为约束阻尼板任意四边形单元模型，板的横向位移为w，约束层中面沿x和y方向的位移分别为uc和vc，基体层中面沿x和y方向的位移分别为up和vp，粘性层上表面沿x与y方向的位移为和下表面沿x和y方向的位移为和图2为约束阻尼板各层的运动关系，板的层与层之间需保持位移的连续性，则粘性层上下表面的位移与基体和约束层的位移有如下关系

 

图1 约束阻尼板单元模型

Fig.1 Element model of plates treated with CLD

 

(1，2)

粘弹性层沿x方向的位移uv及绕y轴转动产生的剪切变形βx为

 

(3)

 

(4)

同理可知，粘弹性层沿y方向的位移vv及绕x轴转动产生的剪切变形βy为

 

(5)

 

(6)

式中和tp分别为约束层、粘性层和基体层的厚度。

2.2 形函数

本文推导的约束阻尼板四边形单元是四节点单元，每个节点有七个自由度uc,vc,up,vp,w,θx和θy，分别代表约束层和基体层面内x和y向位移、板的横向位移、绕x轴的转角和绕y轴转角。对于单元面内位移，采用四节点等参插值

 

(7)

 

(8)

式中 形函数和四节点等参元相同，四个节点分别是四边形单元的四个角点。

 

图2 约束阻尼板单元的运动关系

Fig.2 Kinematic relationships of the CLD plate element

对于单元约束层和基体层的横向位移和绕x和y轴的转角，本文参考DKQ板单元的推导思想[5]。如图3所示，在四边形每条边上增加一个中点，最后通过位移协调条件把四个中点的自由度凝聚掉。首先，对约束层和基体层中面法线在x -z和x-y平面的转角γx和γy进行不完备的三次多项式插值

 

(9)

式中 形函数Ni(ξ,η) i = 1,2,…,8和八节点等参元相同，八个节点分别是图3所示的四边形的四个角点和四条边的中点。引入Kirchhoff假定，对于图3的角点和各边中点有如下关系。

(a) 在角点处

 

(10)

(b) 在各边中点处

γs k+w,s k = 0

(k = 1,2,3,4)(11)

式中 s为单元边界。然后对w,s k沿单元每边采用Hermit三次插值

 

(12)

式中 k = 5,6,7,8分别是对应边j = 12,23,34,41的中点，li j代表边ij的长度，如图3所示。假设γn在单元的每条边上线性变化，则

老师在授课的时候，大部分老师缺少转变教学思想的做法，没有发挥出孩子们的主体地位。在此类状态下，师生之间没有达到有效地课堂互动，一些老师权威性较强，让孩子们感觉难以接近，进而造成生活化授课不容易顺利进行下去，失去相应教学意义。

γn k = 1/2(γn i+γn j) =-1/2(w,n i+w，n j)

(13)

式中 n为单元边界的法向。

令d = {w1,θx 1,θy 1,w2,θx 2,θy 2,w3,θx 3,θy 3,w4,θx 4,θy 4}，结合式(9～13)和单元的几何形状参数可得

w,x = Hx (ξ,)d， w,y = Hy (ξ,)d

(14)

式中 插值函数Hx (ξ,)和Hy (ξ,)的具体形式参考文献[15]。

单元的节点位移可表示为Ue = {,,,}T， = {uc i,vc i,up i,vp i,wi,θx i,θy i}T,i= 1,2,3,4。则式(7，8，14)可由节点位移表示为

 

图3 DKQ单元模型

Fig.3 DKQ element model

uc = NUcUe,up = NUpUe,vc = NvcUe,vp = NvpUe

(15)

w,x = NθxUe,w,y = NθyUe

统计结果显示，出版专著与教材主要是副高级及以上职称、45周岁以下教师，具有一定的科研能力，多数具有教研室主任或系部领导任职经历。

(16)

由式(3～6)，粘弹性层面内位移uv和vv,剪应变βx和βy可表示为

dΩ

如果在整个频域内或在某个所关心的频率段内，粘弹性材料的的弹性模量变化不大，则可以忽略其频率相关性，式(47)可简化为复常模量模型。在这种情况下，刚度阵简化为复常对称矩阵，则式(45)的非线性特征问题也退化为一般的线性特征值问题，可以直接采用Leung[17]提出的复对称子空间迭代法求解。

1.3统计学分析采用SPSS16.0软件包对数据进行处理分析,计数资料采用χ2检验,P<0.05为差异有统计学意义。

(17)

βx = NβxUe, βy = NβyUe

(18)

式中

 

(19)

 

(20)

 

(21)

 

(22)

2.3 能量关系

约束阻尼板的能量主要由各层结构的动能和势能组成。

(1) 单元动能

约束阻尼板单元的动能由约束层、粘性层和基体层的动能组成。各层的动能为

基体层动能

dΩ

强化涉水刑事立法制度建设，完善涉水刑事实体立法，可为“两法衔接”机制建设提供实体法律依据，确保司法机关依法启动调查取证、起诉、审判等程序。当前，随着我国水情和工情的深刻变化，水资源遭受破坏和污染，水利工程设施遭受毁损等违法行为时有发生。因此，今后一段时期内，有关部门应树立资源性的水资源保护立法理念，以落实最严格水资源管理制度为重要抓手，强化水利工程、水文设施保护，研究确立“非法取水罪、水污染罪和破坏水工程罪、水文设施罪”，构建科学、系统的涉水刑事法律保护制度。此外，应尽快出台司法解释或修订国务院第310号令，明确行政证据向刑事证据转化的条件及程序。

(23)

约束层动能

dΩ

(24)

粘性层动能

uv = NUvUe, vv = NvvUe

(25)

则整个约束阻尼板的动能为

“博雅课程”的目标旨在培养“品重学成、冠冕群伦的拔尖创新型人才”，课程由4大领域、10个模块和若干专题组成（见表1）。

Te =Tep+ Tev+ Tec

(26)

式中 p,v和c及tp,tv，tc分别为基体层、粘性层和约束层的密度和厚度。

(2) 单元势能

约束阻尼板单元各层的势能分别为

基体层势能

在完成烟草MES的关键功能设计后，需要对设计进行实现。目前系统的实现主要分为.NET和JAVA，数据库多采用ORACLE和SQL Server，本文以.NET和SQL Server为例，对MES进行实现。

 

(27)

约束层势能

 

(28)

基体层和约束层的应变由面内应变和弯曲应变两部分组成

 

(i = p,c)

式中 εi p和εi b分别为膜应变和弯曲应变，σi p和σi b分别为其对应的应力。

由于粘性材料层的面内变形和弯曲变形相对剪切变形很小，本文只考虑粘性材料层的剪切变形。

 

(29，30)

式中 G*为粘弹性材料的复剪切模量。整个约束阻尼板的单元势能为

Ee = Eep+Eev+Eec

(31)

2.4 结构动力学方程

运用Hamilton原理

 

(32)

式中

(33)

将式(23～31)代入式(32)可得

 

 

 

(34)

将单元形函数带入式(34)可得约束阻尼板单元的动力学方程为

 

(35)

Ke = +， Me = ++

2.2 乳腺癌组织中lncRNA GAS5表达与临床病理特征的关系 lncRNA GAS5的表达在不同年龄、肿瘤大小、病理类型中差异无统计学意义(P>0.05)。与淋巴结无转移患者相比，当出现淋巴结转移时乳腺癌组织中lncRNA GAS5的表达显著降低，差异有统计学意义(P<0.05)。在不同AJCC分期中，lncRNA GAS5的表达差异有统计学意义(P<0.05)。且随着临床分期进展，其表达逐渐降低。提示，乳腺癌组织中lncRNA GAS5的表达与癌症进展相关。见表1。

(36)

式中

∬

(37)

式中 ER(ω)为模量的实部，称为储能模量，EI(ω)为模量的虚部，称为损耗模量。储能模量与应变同相位，而损耗模量与应变有/2个相位差。

(38)

= tv∬

第一，从重要性和满意度来看。首先，厕所环境、布局、管理、数量和男女厕比例等方面的重要性感知高，突出“干净的”、“好找的”、“不臭的”，旅游厕所的实用性、舒适性和方便性成为游客的主要关注点。满意度上，旅游厕所总体表现一般，游客对标识、管理服务、如厕环境、特殊人群设施四个方面相对比较满意。

(39)

式中 和分别为基体层和约束层的弹性刚度阵，为粘性层在单位剪切模量下的弹性刚度阵。

 

(40)

 

(41)

 

(42)

式中 [Mep],[Mev]和[Mec]分别为基体层、粘性层和约束层的质量阵。

 

 

 

算例2 约束阻尼矩形板模型

 

(43)

是粘弹性材料的损耗因子。

 

(44)

式中 K+Kv R为结构的总体弹性刚度阵，iKv I为结构复刚度阵，它在结构的振动过程中会耗散能量，起到阻尼的作用。

3 复特征值问题

本文粘弹性材料的弹性模量为复模量，因此约束阻尼板的刚度阵为复矩阵，这也导致了约束阻尼板结构的非线性复特征值问题。式(44)的非线性特征值问题可以表示为

 

(45)

式中 Un为复特征向量，为与之对应的复特征值，则约束阻尼板的自振频率和损耗因子可以表示为[16]

 

(46)

由于粘弹性材料本构的频率相关性，粘弹性材料的弹性模量和剪切模量可以表示为

Ev = ER(ω)+iEI(ω) = ER(ω)[1+iv(ω)]

“但你要注意到，S收手了，甚至不是被迫的，而是主动的、自然的，这就是爱的奇迹。而其妻却狗改不了吃屎。”

(47)

 

(48)

= tc∬

v(ω) = EI(ω)/ER(ω)

(49)

由于G*是与频率相关的复模量，则式(43)可表示为

试验采用碱性蛋白酶水解玉米醇溶蛋白，以锌离子螯合能力为评价指标优化酶解条件，并评价了酶解物对1，1-二苯基-2-三硝基苯肼（1，1-diphenyl-2-picrylhydrazyl，DPPH） 自由基、羟自由基和ABTS+·清除能力，以期为今后锌补充剂和锌强化功能性食品在商业化生产及推广方面提供一定的理论依据。

然而，当考虑粘弹性材料的频率相关性时，约束阻尼结构的特征值问题为非线性特征值问题，经典的特征值求解方法不能直接求解，需要迭代求解[18]。在求解过程中，每个特定的模态都需要执行一个完整的迭代过程。迭代开始时需要给先给定一个初始频率值，此后的每个频率点，都需要对刚度阵进行重新计算，迭代收敛的判定条件为

 

(50)

式中和为当前和上一迭代步的频率值的实部，ε为迭代的收敛容差。具体的迭代过程如 图4所示。

1949年，福克纳由于“对当代美国小说作出了强有力的和艺术上无与伦比的贡献”而获得诺贝尔文学奖金，1955年他还获得过美国普利策奖金。

4 算例分析

研究对象为文献[8]的约束阻尼悬臂梁板模型。约束阻尼梁板的夹芯层为粘弹性材料ZN-1，其弹性模量是随频率变化的，文献[4]给出了基于实验数据的ZN-1的标准线性粘弹性模型参数，列入表1。标准线性参数模型在频域上的表达式为

表1 粘弹性标准线性模型的参数

Tab.1 Parameters of the standard linear viscoelastic model

  

模型参数数值模型参数 数值q02.3752 q10.1681q20.7651e-3q31.4106e-7q4-0.2112e-11q5-0.4364e-17p10.0261p20.1953e-4p3-0.3874e-9p4-0.9566e-14p5-0.2793e-20

 

图4 迭代流程图

Fig.4 Flow chart of iteration

 

(51)

用本文四边形单元离散悬臂约束阻尼梁板，建立有限元模型，单元数为20。对模型进行模态分析，将计算得到的前三阶自振频率、模态损耗因子和实验结果[8]列入表2。

城市定居对农民工幸福感的影响及其代际差异..................................................................................................................................................赵 亢（54）

由表2可知，对于模型的前三阶频率，本文单元模型的分析结果与实验结果的最大误差小于2%；对于模型的前三阶模态损耗因子,本文单元模型的分析结果与实验结果一致。因此，本文任意四边形单元的模态分析结果与实验结果具有很高的吻合度。

通过单元组装，引入边界条件，可得约束阻尼板的整体动力学方程为

研究文献[7]的矩形约束阻尼板模型，并对其在不同的边界条件下进行模态分析。为了考察网格形状对本文单元分析精度的影响，对矩形约束阻尼板同时进行规则网格和畸变网格剖分，两种网格模型如图5所示。表3为在SSSS，FFFF，CCCC，CFFF和CFCF五种边界条件下矩形约束阻尼板的模态分析结果，其中SSSS，FFFF，CCCC，CFFF和CFCF分别代表四边简支、四边自由、四边固支、单边固支和对边固支五种边界条件。

由表3可知 ，矩形约束阻尼板在SSSS，FFFF和CCCC边界条件下，本文单元计算得到的频率和模态损耗因子与解析解及文献[19-23]的结果吻合程度很好，误差在3%以内；在CFFF和CFCF边界条件下，本文结果与文献[19]的计算结果基本一致，误差低于2%。因此，通过不同边界条件下本文单元与文献[19-23]的计算结果对比，说明了本文单元的准确性;此外，对于不同的边界条件，规则网格和畸变网格模型的计算结果都非常的吻合，误差在1%以内，说明了本文单元不同网格形状的有效性。

表2 约束阻尼梁板的自振频率和模态损耗因子

Tab.2 Natural frequencies and modal loss factors of the beam-plate treated with CLD treatment

  

模态本文模型实验[8]f/Hzηf/Hzη117.500.17017.500.170298.160.15596.500.1553267.590.106260.00.106

 

图5矩形约束阻尼板的有限元网格模型

Fig.5 Finite element mesh models of the rectangular plate treated with CLD

 

表3 矩形约束阻尼板的模态分析结果Tab.3 Modal analysis results of the rectangular PCLD plate

  

SSSS本文模型(规则网格/畸变网格)解析方法[7]有限元方法[19]有限元方法[20]模态f/Hzηf/Hzηf/Hzηf/Hzη160.1/60.10.189/0.18960.30.19058.00.17058.00.1722114.7/114.60.203/0.202115.40.203113.80.193113.80.1963130.0/129.90.199/0.198130.60.199129.40.192129.30.1954174.6/174.50.179/0.179178.70.181177.10.172176.20.1775194.5/194.10.174/0.174195.70.174194.90.169194.40.173FFFF本文模型(规则网格/畸变网格)有限元方法[19]有限元方法[20]伽辽金方法[21]144.8/44.80.123/0.12344.60.12244.70.12344.90.1455105.2/105.20.174/0.174104.90.173104.10.175104.60.16610194.0/193.90.184/0.184193.50.183193.70.186192.70.19515300.0/298.50.158/0.158296.70.157297.10.159295.90.16720363.0/361.40.141/0.141362.90.134360.70.139363.50.141CCCC本文模型(规则网格/畸变网格)有限元方法[19]有限元方法[23]有限元方法[22]187.0/86.90.190/0.19087.40.18985.10.19287.40.1892147.3/147.00.166/0.166149.10.164144.60.170148.90.1643168.5/167.90.155/0.155170.20.153164.70.160169.90.1544216.8/216.50.141/0.141223.80.139216.60.146223.90.1395238.4/237.60.136/0.136241.60.134233.20.141241.00.134CFFFCFCF本文模型(规则网格/畸变网格)有限元方法[19]本文模型(规则网格/畸变网格)有限元方法[19]115.1/15.10.080/0.08015.10.07963.8/63.70.197/0.19663.40.196228.3/28.20.134/0.13428.20.13372.5/72.40.181/0.18172.30.180369.2/69.10.166/0.16668.70.165109.5/109.40.169/0.168110.30.168478.0/77.90.161/0.16077.70.160151.9/151.30.159/0.159150.90.157589.0/89.00.173/0.17388.80.173162.4/162.10.157/0.156162.50.155

算例3 中心有圆孔的正六边形约束阻尼板模型

为了验证本文单元对于不规则形状约束阻尼板的有效性，进一步研究中心有圆孔的正六边形约束阻尼板模型。分别采用本文的任意四边形单元和NASTRAN中的HEXA8三维块体单元建立约束阻尼板的有限元模型，两种有限元网格模型如 图6 所示。其中正六边形边长b=400 mm,圆孔半径a=200 mm，约束阻尼板的约束层和基体层厚度为2 mm,粘弹性层厚度为1 mm，约束阻尼结构的各层材料参数与算例2相同。对两种有限元模型分别进行模态分析，计算得到的自振频率和模态损耗因子列入表4。 其中，四边形单元网格模型的单元数为96，NASTRAN 三维块体单元网格模型的单元数为59136。

表4 约束阻尼板的自振频率和模态损耗因子

Tab.4 Natural frequencies and modal loss factors of the plate treated with CLD

  

模态本文方法NASTRAN(HEXA8)f/Hzηf/Hzη126.360.105025.950.1070226.360.105026.170.1055351.710.105551.270.1047455.130.129655.550.1297562.520.117662.090.1181

 

图6 约束阻尼板的有限元模型

Fig.6 Finite element model of the plate treated with CLD

由表4可知，对于约束阻尼板前五阶自振频率和模态损耗因子，本文单元和NASTRAN的HEXA8 三维块体单元计算结果均实现了很好的吻合，最大偏差小于2%。算例3说明了本文单元的准确性和对于不规则形状约束阻尼板结构的适用性。

5 结 论

本文推导了一种4节点28个自由度的约束阻尼板的任意四边形单元。相比矩形约束阻尼板单元的应用受限于板结构的几何形状，任意四边形单元能够适应不规则的结构形状和复杂的边界条件。有限元模型的推导基于离散的Kirchhoff 理论和Layer-wise 理论，其中，弹性层变形满足Kirchhoff假设，粘性层只考虑其剪切变形，并在此基础上考虑粘弹性材料本构的频率相关性，给出了约束阻尼结构复特征值问题的迭代求解算法。数值算例对约束阻尼梁板模型，矩形约束阻尼板模型和中心带有圆孔的正六边形约束阻尼板模型进行了模态分析，通过自振频率和模态损耗因子的数值比较，可以得到如下结论。(1) 数值模型的分析结果与实验、解析解、有限元解和商业软件的结果吻合度高，误差小，说明了本文约束阻尼板任意四边形单元的准确性。(2) 本文单元对不规则几何形状的约束阻尼板结构具有很好的适用性，在工程实际中具有重要的意义。

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[4] 李恩奇,唐国金,雷勇军,等.约束层阻尼板动力学问题的传递函数解[J].国防科技大学学报,2008,30(1):5-9.(LI En-qi,TANG Guo -jin,LEI Yong-jun,et al.Dynamic analysis of constrained layer damping plate by the transfer function method[J].Journal of National University of Defense Technology,2008,30(1):5-9.(in Chinese))

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