1 引 言

对于平面裂纹结构，目前主要有两种数值模拟方法，扩展有限元法(XFEM)和无网格伽辽金法(EFGM)。XFEM是由Belytschko等[1]提出的用于解决裂纹扩展问题的数值模拟方法，综合了有限元法和无网格法的部分思想，通过单位分解的方式将带有间断特性的扩充函数项引入近似位移场的表达式中，并利用水平集方法对间断面进行描述和追踪，从而使网格划分和近似场函数构造与裂纹面扩展相互独立。自XFEM理论提出以来，经过相关学者10余年的理论完善，现已成为处理间断问题时普遍采用的数值模拟方法[2，3]，一些大型的有限元软件(如abaqus等)都增加了XFEM模块。

同时，XFEM方法也面临一些问题，XFEM增加了新的节点自由度，对于较为复杂的裂纹结构或多裂纹结构，这会造成求解成本的大幅增加；所形成的刚度矩阵大型化且高度病态，从而使线性方程组的求解非常困难；此外，由于在扩充节点处引入了额外的附加自由度，又会造成混合单元问题[4-7]。

目前，有限元法中网格划分技术日趋成熟，对于大部分复杂结构，均可通过网格近似描述其初始构型，因此FEM具有非常广的适用范围，基于FEM方法的XFEM方法亦可用于解决复杂结构的破坏分析等问题。但是，不论是FEM方法还是XFEM方法，网格的质量对计算结果的精度和稳定性影响较大；同时，通过基于网格的离散试探函数序列的线性组合来逼近具有一定连续性的真实位移场，其收敛速度也很有限。

无网格法作为一种新型的数值模拟方法，在近几年得到了快速的发展和应用[8]，一些无网格法(如无网格Galerkin法)已应用于裂纹结构的数值模拟中[9-11]。相比于FEM，无网格法具有以下优势。(1) 通过节点将求解域离散，简化了前处理工作量，避免了大变形时网格畸变的影响，更易于进行自适应分析；(2) 易于构造高阶光滑的近似函数，从而获得光滑的应变场，对高梯度或奇异性等特殊性质的场函数具有较强的近似效果。同时，无网格法理论也存在一些不足之处。某些无网格法的形函数存在着不严格满足一致性的问题，使得计算结果存在着不稳定现象；形函数的计算过程比较复杂，强制边界条件的施加需要进行特殊的处理；同时，高阶的近似函数使得数值积分过程较为复杂[12]。

针对扩展有限元法和无网格法的不足，本文基于结构整体的位移模式来构造试探函数，并引入裂纹修正项来描述裂尖处的奇异位移场和裂纹面处的强间断位移场；对于强制边界条件，则通过引入位移边界水平集函数，将位移边界条件包含在近似位移场的表达式中，并推导得出了对应的刚度矩阵和载荷矩阵表达式。

2 控制方程

对于如图1所示包含自由裂纹的线弹性平面结构，其张量形式的控制方程和边界条件为

 

(1,2)

 

(3,4)

σi jnj = pi (on Γp), σi jnj = 0 (on Γc)

2.3.1 核心机构分析 研究机构象征着相关的研究成果的生产、创造和扩散源领域，对其进行可视化分析可以评估的科研实力及其对影响，为学科布局、机构合作科研人员进修以及人才引进提供参考依据[10]。通过检索得到的期刊进行整理、统计得到图4。

(5,6)

式中 σi j,εi j,ui和Di jk l分别为柯西应力张量、应变张量、位移矢量和本构张量，和pi分别为体积力矢量、边界位移矢量和边界应力矢量，Γu，Γp和Γc分别为位移边界、外力边界和裂纹边界。

我国水资源总量为28 412亿m3，居世界第六位，人均水资源量约2 100 m3，为世界平均值的28%。人多水少、水资源时空分布不均是我国的基本国情和水情。水资源的有效开发利用有力地支撑了经济社会的快速发展，但总量不足和水质恶化导致的水资源短缺也成为制约我国经济社会发展一大“瓶颈”。

10月22日，徐云天壮胆到网吧和吴丽藻网聊。吴丽藻再次要视频，他仍找借口。吴丽藻说：“就一分钟，你总抽得出时间吧？”徐云天沉默，一会儿她给他留言：“莫非你和徐河真认识？看来我只好把你拉黑。”接着，她的QQ头像从徐云天的好友栏消失了。

与式(1～6)相对应的伽辽金等效积分弱形式为

 

(7)

该式即为虚位移原理的张量表达式，其矩阵形式为

 

(8)

3 试探空间

根据古典里兹法的结论，试探空间的完备性和连续性决定了近似解的收敛性。即如果试探函数序列满足完备性和连续性的要求，则当试探函数的项数趋于无穷时，由试探函数线性组合所表示的近似解单调收敛于微分方程的精确解[13]。在FEM中，通过对求解域划分网格并在单元内进行插值，从而建立起一组基于网格的具有C0连续性要求的完备试探函数序列。XFEM在FEM的基础上增加了新的节点自由度，即在原有的具有C0连续性的完备试探函数序列基础上，增加了一组描述裂尖奇异性和裂纹面强间断特性的完备函数序列。XFEM的有效性表明，试探空间的完备性体现在两个方面。一方面是对求解域内连续位移场描述的完备性，另一方面是对特定边界处间断位移场描述的完备性。间断位移场同样分为两种，一种是求解域内的强间断问题，诸如裂纹；另一种是弱间断问题，诸如求解域内的孔洞、夹杂以及求解域外力边界处的弱间断等。当试探空间满足以上两方面的完备性要求时，所得的近似解是收敛的。

因此，对于平面裂纹问题，从结构的整体位移模式出发考虑，试探空间需要由两部分组成。一部分用来描述结构的连续位移场，此部分可简单取为二元幂级数的形式；另一部分用来描述裂尖处的奇异位移场和裂纹面处的强间断位移场，此部分可以采用断裂力学中裂尖位移场的解析解形式，并将其扩充为完备的强间断场。

 

图1 线弹性平面裂纹结构示意图

Fig.1 Linear plain crack structure

为表述简便，在式(14)中，令

uh =∑f iai+∑Ψjqj

(9)

式(9)的第一项∑f iai代表区域内部的连续位移场，f i为连续试探函数序列，ai为其系数矩阵。对于二维平面问题，考虑到试探空间的普适性和基函数数学形式上的简洁性，f i可不失一般地取以下二元幂级数的形式，

 

(s≥0, t≥0, s,t ∈Z) (10)

将包含位移约束边界条件的近似位移场表达式(18)代入虚位移原理式(8)，可得整体平衡方程

 

(11)

 

 

式中 rα为由极距r经扩充所得的幂级数，θ为根据裂纹面定义的极角。考虑到位移场在裂尖处具有1/2次奇异性，因此α从1/2开始由小到大依次取值，以提高其收敛速度。

对于简单的边缘直线裂纹，r和θ可由裂尖极坐标系定义；对于一般的曲线裂纹，若仍采用裂尖极坐标系定义则稍显繁琐，故本文采用图2方式定义r和θ。如图2所示，对于区域内任一点P，以裂尖C为圆心、P C为半径作弧，与裂纹面交于点P′。其极距r定义为该点到裂尖的距离PC，极角θ定义为线段CP′逆时针旋转至线段CP时所转过的角度∠P CP′。该定义方式的优势在于，

轻钢-混凝土组合结构具有轻钢结构的优点，同时由于混凝土的存在而提高了结构的刚度和稳定性，并增强了结构的防火性能。

 

图2 极距r与极角θ定义

Fig.2 Definition of polar distance r and polar angle θ

(1) 无需定义裂尖切向，更为简洁方便。

(2) 仅通过单一场函数θ即可实现对裂纹面和裂尖位置的精确描述。通过此种定义方式，裂纹面可简单描述为θ= 0，极角θ的取值范围相应地固定在[0,2π)区间内，一方面可以有效提高对于裂纹面的描述精度，另一方面更有利于程序实现。

鹿豚长有四颗长长的獠牙，下面的两颗獠牙和野猪的獠牙相似，而上面的两颗獠牙则非常特别——从口腔内穿过脸部，向上生长。当地人认为这种动物的獠牙看起来很像鹿角，于是称之为“鹿豚”。

(3) 当裂纹面扩展时，只需更新θ的场函数值即可实现对裂纹面的捕捉和追踪，并且不会带来附加的自由度。

(4) θ在裂纹面处具有阶跃特性，因此无需引入Heaviside阶跃函数，这使得后续计算过程更为简洁高效。

(5) 不同形状的裂纹所对应的裂纹修正项可以表示为相同的形式，这能够有效提高计算程序的通用性。

4 强制边界条件施加方法

在有限元法中，生成刚度矩阵之后要结合位移边界条件对刚度矩阵进行修正，使位移边界条件在边界上离散的节点处得以满足，从而消除整体刚度矩阵的奇异性[13]。而在无网格法中，由于节点自由度不一定具有节点位移的物理意义，位移边界的约束条件不能直接应用，需要对位移边界条件进行特殊的处理。目前，在无网格法中引入位移边界条件的方法主要包括拉格朗日乘子法和罚函数法等[9-11]。

本文提出了一种新的强制边界条件施加方法，利用水平集方法的基本思想，通过引入位移边界水平集函数，将位移边界约束条件包含在近似位移场的表达式中，从而非常方便地解决了强制边界条件的计算技术问题，该方法亦可应用于其他现有的无网格法中。

对于一般的非规则平面区域，设其位移边界约束条件为

∀(x,y)∈Γu]

(13)

利用水平集方法的思想，将位移边界Γu看作是某个更高一维的函数Γl的零水平集。一般地，位移水平集函数Γl可以简单取为求解域内的点到位移边界的最短距离，如图3所示。易知在位移边界处满足Γl(x,y) = 0。这样，在式(9)所表示的试探空间的基础上，满足位移边界条件(13)的近似位移场可表示成如下形式，

 

(14)

式中 Γ为边界水平集函数对角阵

 

(15)

一般地，对于包含裂纹的矩形平板，近似位移场可以取以下形式，

 

(16)

 

(17)

故式(14)可简记为

 

(18)

式(9)的第二项∑Ψjqj为裂纹修正项，代表裂纹面处的间断位移场，Ψj为在裂纹面处存在强间断特性的函数序列，qj为其系数矩阵。参照断裂力学中裂尖位移场的解析形式，Ψj可以通过对其进行级数扩充而得。这里，Ψj半经验性地取为以下形式,

K a = T

(19)

刚度矩阵表达式为

国际石油公司引领作用明显。即使面对国际油价低迷的影响，国际大石油公司仍能实现较好的现金流，盈利能力和抗风险能力较强。国际石油公司上游业务现金流变化呈不同形态，优质型公司（例如壳牌、埃克森美孚）无论油价高低，均能保持正现金流；波动型公司（例如道达尔、雪佛龙）受油价影响较大，现金流变化幅度最大，从负现金流转正现金流；稳定型公司（例如挪威国家石油公司、埃尼、BP）受油价影响最小，变化趋势比较平缓，保持正现金流。

 

(20～22)

式中 D为本构矩阵，L为微分算子矩阵。

载荷矩阵表达式为

 

(23)

5 算例验证与分析

5.1 算例验证

考虑图4所示有限矩形平板问题，板的长和高均为10 cm，左边缘固定，右边缘施以P=100 Pa的均布载荷，杨氏模量E=2×1011 Pa，泊松比ν=0.3，平面应力状态，裂纹面与左右边缘平行，裂尖位于矩形平板中心(5,5)处。

分别使用XFEM方法和本文方法求解不同裂纹长度时的应力场，并利用J积分方法来计算KI。计算过程中XFEM方法采用100×100的四边形结构网格，本文方法幂级数和裂纹修正级数各取7阶，计算结果列入表1。可以看出，两种方法应力强度因子的计算精度具有一定的波动，但均在可接受的范围之内。XFEM计算结果的波动幅度较大，最大误差为8.83%，平均相对误差约为3.87%；而本文方法的计算结果能够较好地稳定在5%以内，最大误差为3.7%，平均相对误差仅为2.15%。该结果表明本文方法具有良好的计算精度和稳定性。

分别利用扩展有限元法和本文方法对该矩形板的位移场和Mises应力场进行计算，其中扩展有限元方法采用100×100的四边形结构网格，本文方法中幂级数和裂纹修正级数均取至7阶(即在式(10)中s+t≤6，在式(12)中α=1/2,1,2,…,6)，两种方法计算结果分别如图5和图6所示。可以看出，两种方法所得位移场和Mises应力场的整体趋势保持一致，XFEM所得的最大位移值为6.328×10-8，本文方法所得的最大位移值为6.374×10-8，两者相对偏差仅为0.73%，验证了本文算法的有效性。

 

图3 位移边界水平集函数

Fig.3 Displacement level set function

 

图4 含裂纹矩形平板算例图示

Fig.4 Calculation case of rectangle plate with crack

式中 σ为外载强度，a为裂纹长度，F为修正系数。

 

(24)

针对不同的裂纹条件，以I型应力强度因子为指标来考察本文方法的计算精度。保持裂纹面角度不变，令裂尖位置从(5,1)点沿y轴正方向依次改变至(5,7)点，间隔距离步长为1。根据应力强度因子手册[14]，该情况下I型应力强度因子的表达式为

结合实际，对微机继电保护装置做日常维护方案的设定，针对设备本身特性，明确设备运行人员不仅需要掌握设备操作方式和操作细节，更要对其具体工作流程有客观认知，全面提升自身综合专业技术，以此保障设备运行的可靠性。检修过程中，要做好详细记录检查的结果明确故障发生原因，做好应对方案，保障微机继电保护装置整体运行效率。

2016年11月，时任《民主与法制时报》记者的杜涛欣实名举报吴浈，指称吴浈分管疫苗期间，涉嫌滥用职权、玩忽职守、渎职，负有不可推卸的责任。

表1 不同裂纹长度时KI计算结果

Tab.1 Results of KI in different crack length

  

裂纹长度/cmKI/(Pa·cm)理论参考值XFEM方法本文方法1218225217237337736235685705474822839806511931246119561802193018477300132663102

 

图5 XFEM方法所得位移场与Mises应力场

Fig.5 Displacement and Mises stress field by XFEM

5.2 算法总结与分析

本文针对平面裂纹问题提出了一种基于整体位移模式的数值模拟方法，该方法的技术特点及其与XFEM的区别主要在于以下几个方面。

(1) XFEM借助网格来生成离散的试探函数序列，本文方法省略了网格离散的过程，直接在整个求解域内定义试探函数。对于矩形平板结构，可直接采用二元幂级数作为其近似位移场的连续位移部分；而对于一般形状的平面结构，则需要进一步增加相应的边界项以保证其收敛，此部分由于篇幅所限，不再详述。

(2) XFEM将裂纹所影响的单元分为裂尖单元和裂纹强间断单元，在裂尖单元内利用裂尖解析解描述其奇异性，在裂纹面强间断单元内利用水平集方法捕捉裂纹面，并利用Heaviside函数来描述其强间断特性；本文方法则将整个裂纹面看作一个整体，通过定义极角θ来捕捉裂纹面，并构造裂纹扩充项来同时描述裂尖处的奇异性和裂纹面处的强间断特性，无需引入Heaviside阶跃函数，这在一定程度上简化了近似位移场表达式，使后续计算过程更为简洁高效。

 

图6 本文方法所得位移场与Mises应力场

Fig.6 Displacement and Mises stress field by this paper’s method

 

图7 不同裂纹长度时KI计算误差

Fig.7 Calculation error of KI in different crack length

(2) 计算成本很低。XFEM的计算成本主要由三部分组成，前处理、线性方程组求解和后处理。前处理成本主要包括网格划分和单元组装等过程，后处理成本则包括应力磨平及场状态量的计算等。本文方法省略了网格划分与单元组装过程，试探函数只依赖于坐标系和结构边界；由于刚度矩阵的良好特性，可以有效降低线性方程组的求解难度；同时本文所采用的试探函数具有良好的连续性，可以直接得到一组平滑的近似解，在后处理过程中无需进行应力磨平等过程，从而进一步降低了计算成本。

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(4) XFEM的形函数在位移边界处一般具有Kronecker δ性质，在求解线性方程组时可以通过对相应自由度赋值的方式来施加位移边界条件；本文方法的试探函数则不具有Kronecker δ性质，因此引入边界水平集函数来处理位移边界条件。

此外，本文方法亦有望应用于模拟一般的三维裂纹扩展问题。对于一些比较简单的三维裂纹结构，相应可以采用三元幂级数和裂纹扩充项的线性组合来逼近其真实位移场，并引入空间内的边界水平集函数来施加边界条件；对于一些复杂形状的三维裂纹，其主要难度在于如何在三维结构内针对裂尖和裂纹面定义相应的极距场函数和极角场函数，并以此来构造对应的裂纹扩充项形式。关于本文方法在一般三维裂纹中的应用尚需进一步研究。

与XFEM相比，本文方法的优势：

(1) 刚度矩阵一般具有小型化、对称性、致密性和可逆性等特点。XFEM所生成的刚度矩阵大型且高度病态，这会给线性方程组的求解工作带来很大困难。而本文方法中，近似位移场在整个位移边界上严格满足位移边界条件，因此对于适当的强制边界条件，所生成的刚度矩阵是可逆的；由于采用伽辽金方法，所生成的刚度矩阵保持了对称性的特点；试探函数定义在整个求解域，因而本文算法所生成的刚度矩阵是致密的，这意味着刚度矩阵具有更高的效率；此外，由于采用较少的试探函数项即可达到很好的逼近效果，因此刚度矩阵一般具有小型化的特点。

(3) XFEM利用基于网格的形函数作为单位分解函数来构造描述裂纹面的扩充函数序列，这会造成混合单元问题，同时系统自由度会随着裂纹面的扩展而不断增加；而本文方法直接对极距进行幂级数扩充，在裂纹面扩展时只需更新极距r和极角θ的场函数值即可，无需引入额外的自由度。

(3) 收敛速度较快。XFEM采用基于网格的离散试探函数序列来逼近真实位移场，并且通过网格密度和网格阶次来控制计算精度；随着网格密度和网格阶次的提高，系统的自由度成倍增加，但是收敛速度却相对较为缓慢。本文方法则通过控制幂级数项和裂纹修正项的阶数来控制计算精度，当增加试探函数的数目时，计算结果快速地趋近于结构的真实解，而系统自由度的增加量却很小。

6 结 论

本文从平面裂纹问题出发，针对扩展有限元法和无网格伽辽金法的不足，提出了一种基于整体位移模式的线弹性裂纹结构数值模拟方法。其主要内容包括，在整个求解域内将实际位移场表示为连续位移场和间断位移场的线性组合，利用幂级数的线性空间来描述结构的连续位移场，并引入裂纹修正项来描述裂尖附近的奇异场和裂纹面处的强间断场。该方法可以有效避免XFEM中刚度矩阵的病态问题，在保证计算精度的前提下降低线性方程组的求解成本，具有形式简单、易于编程等优势，可应用于更为复杂的裂纹结构。同时本文还提出了一种基于水平集方法的位移边界条件处理思路，通过引入位移边界水平集函数，将位移边界条件包含在近似位移场表达式中，推导得出了相应的平衡方程、刚度矩阵和载荷矩阵的表达式。该方法一方面可以保证位移边界条件严格满足；另一方面不会引入额外的自由度，能够非常方便地解决位移边界条件的计算技术问题，有望在现有的其他各类无网格法中得到应用。

为了保证机械手结构不发生过大变化，且满足机械臂的刚度及强度要求，同时减小对机械手末端执行器的工作空间的影响，综合考虑以上因素设立约束条件：

参考文献(References):

当前基层宣传大多采取大水漫灌式的方式开展，没有综合受众的文化层次、年龄差异、理解能力、职业特点等具体情况开展宣传工作。有的组织者甚至自身都没有吃透上面精神，宣传的重点和需要不清晰，导致在开展实际宣传工作时，无论是宣传的内容还是宣传的形式，都缺乏针对性、角度性，萝卜白菜“一锅煮”，最终宣传效果不尽理想。

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Step 5 According to Eq.(6),the degraded manipulability,the degraded condition number,and the degraded minimum singular value corresponding to each configuration in the confi guration set A are calculated respectively as follows:

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在这种严峻的形势下，学校体育教学只有不断唤醒学生的运动体验才能彻底转变这种劣势，才能使学生在运动体验中获得强烈的快感，才能转变学生们对于体育课程的看法，才能增强学生的健康意识，使其全身心的投入到体育实践活动中来。从当前学生对于学校体育教学的认识来看，他们普遍认为学习体育对其没有任何意义，只能作为紧张忙碌的文化学习后缓解疲惫身心的一种方式。因此，学校体育教学应当使学生们对于体育教学有一个重新的认识，要让他们了解到体育可以在调节情绪的同时成为他们学习下一门学科的一大助力。学校体育教学只有通过不断缩短运动和生活的距离，才能使学生们全面了解到体育的内涵。

[17] 章 青，刘 宽，夏晓舟，等.广义扩展有限元法及其在裂纹扩展分析中的应用[J].计算力学学报，2012,29(3):427-432.(ZHANG Qing,LIU Kuan,XIA Xiao -zhou,et al.Generalized extended finite element method and its application in crack growth analysis[J].Chinese Journal of Computational Mechanics,2012,29(3):427-432.(in Chinese))