1 引 言

分岔反控制是系统在预设参数点通过控制产生期望的分岔行为，是分岔控制的逆过程，不是消除或者避免分岔，而是产生分岔[1-9]，对混沌系统进行分岔反控制已成为非线性科学研究的一个新领域。对此取得研究成果的文献不多，文献[1]详细介绍了Hopf分岔反控制的理论、方法和技术。文献[2]分析了三维混沌系统出现的余维1、余维2和余维3 Hopf分岔,并提出了一个非线性控制器进行Hopf分岔反控制。文献[3]利用Washout filters法对Chen系统进行时滞分岔控制。

对超混沌系统的研究主要集中在系统分岔特性的分析，很少对系统分岔反控制进行分析。文献[10]应用多尺度法和奇异性理论，对处于磁场中轴向运动的导电薄板磁弹性动力学进行了分岔特性分析，研究了不同参数取值对系统表现出来的分岔和混沌的影响。文献[11]对经典Lü系统进行演变，增设一个非线性状态反馈控制器，产生了一个新的四维自治系统，并对该系统进行了简要的超混沌特性分析，采用自适应法设计了控制器对这种混沌行为进行控制,但缺少对新系统的分岔分析和反控制。

本文以Lü系统为基础，构建一个新的四维超混沌系统，对系统进行Hopf分岔分析，判断了分岔类型。并设计混合控制器对系统进行Hopf分岔反控制，通过改变控制参数，系统会出现分岔延迟或提前、周期解轨道稳定与不稳定等现象，即可以改变新系统的分岔临界值和分岔类型等特性，从而实现反控制。

新系统为四维自治系统，其状态方程为

 

(1)

式中 x,y,z和u为系统状态变量，a,b,c和m为实参数。系统的动力学特性依赖于参数的变化，当参数a=33,b=33,c=2和m=9时，系统(1)存在混沌吸引子，如图1所示。

2 分岔分析

2.1 分岔存在性分析

系统唯一的平衡点E0 = (0,0,0,0)，系统在平衡点E0的线性化Jacobi矩阵为

 

(2)

选取合适的控制参数k1，可以使m导数的实部和虚部为非零实数，满足横截特性。因此，受控系统(35)在m= m20时，出现Hopf分岔。分岔临界值m20为k1的函数，与非线性控制器系数k2无关。可通过调控控制参数k1，得到不同的分岔临界值，改变受控系统Hopf分岔的发生，实现分岔反控制。

(λ+c)[λ3+a λ2+(m-a b)λ+2a m] = 0

英的一辈子，是忍气吞声的。丈夫和别的女人名正言顺过日子，是村庄公开的秘密。丈夫当着英的面，当着子女的面，当着父老乡亲的面，和那个女人下地干活、上山砍柴、上街赶集。英装着眼睛瞎了，一声不吭。只有丈夫对英拳打脚踢的时候，她才会悲痛欲绝地哭泣。她实在是不能再隐忍下去了，她不得不哭出来，使出浑身力气长声哭泣，似乎要把聚积全身的疼痛释放出来，把忍受的所有折磨，受到的所有委屈统统释放出来。英热泪肆流，宛如一座瞬间决堤的大坝似的，洪水涛涛，奔腾咆哮，一发不可收拾。

(3)

式中 若 c>0， Δ1 = a>0

 

Δ3 = 2a mΔ2 > 0

即当满足a> 0，b< 0，c> 0,m> 0和a(m-a b)-2a m>0时，式(3)所有根的实部都为负数，则在平衡点E0处系统(1)为渐近稳定。

设式(3)有一对纯虚特征根λ= ±i ω(ω> 0),代入式(3)得

 

(4)

Im[C1(0)] = T2/(8c Ψ1Ψ2)

民办高校由于缺乏稳定与有吸引力的报酬，教师相应社会认可度不高，教师成长平台有限，对学校缺乏认同感和归属感，因此民办高校教师队伍不稳定，青年教师占较大比例，师资力量无法保障。同时，“互联网+教育”对教师信息化教学能力有一定要求，教师需要运用信息技术手段改进教学方法引导学生进行知识建构，教师还需要终身学习，不断更新信息化教学手段，与时俱进。

 

选m作为分岔参数，式(3)两边对m求导，得m导数的实部和虚部分别为

 

(5)

满足横截特性。根据Hopf分岔理论[12]，系统在m10处出现Hopf分岔。即当m<m10时，平衡点E0稳定；当m>m10时，平衡点E0不稳定。

2.2 分岔周期解分析

根据规范型理论，分析系统(1)在平衡点E0的Hopf分岔周期解的方向和稳定性。经过计算分别得到特征值λ1 = i ω10,λ3 =-c和λ4 =-a的特征向量为

 

 

图1 系统(1)的混沌吸引子

Fig.1 Chaotic attractors of the system (1)

对应特征向量的实部和虚部所组成的转换矩阵为P1 = (ReP11，-ImP11,P13,P14)。

作如下变换，

 

(6)

得

(7)

式中 γ1 ～ γ8为线性项参数，限于篇幅不再详述。

F1(x2,y2,z2,u2) = (β1u2+β2x2)z2

(8)

F2(x2,y2,z2,u2) = (β3u2+β4x2)z2

(9)

F3(x2,y2,z2,u2) = [(1/b)u2x2+x2]x2-

[(ω10/a b)u2 + (ω10/a)x2]y2

(10)

F4(x2,y2,z2,u2) = (β5u2+β6x2)z2

(11)

式中

(12)

 

(13)

 

(14)

 

(15)

 

(16)

 

(17)

根据高维Hopf分岔[12]理论得

g11 = g02 = g20 = G21 = w211 = w220 = G2101 = 0

(18)

 

 

(19)

w111 = 1/(4c)

(20)

 

(21)

 

 

(22)

 

 

 

 

 

 

(23)

经计算得

 

 

(24)

Re[C1(0)] = T1/(8c Ψ1Ψ2)

(25)

因此，式(3)的特征值分别为

(26)

β2 = 2Re[C1(0)] = T1/(4c Ψ1Ψ2)

(27)

 

(28)

τ2 = -{Im[C1(0)]2Im[λ′(m10)]}/ω10 =

 

(29)

式中

定额计价法，是建立在以政府定价为主导的计划经济管理基础上的价格管理模式，体现政府对工程价格的直接管理、调控。采用定额计价法，承发包双方共用同一套定额和费用标准确定标底或控制价、投标报价、合同价及结算价。其计价程序以施工工序为主，即有一个工序就有一个计价项目，编制者利用计价软件根据省级建设行政主管部门发布的人工、机械单价、材料价格信息、取费标准、税率政策及同期市场价格等计算出直接工程费、间接费、税金等，最终汇总确定建筑安装工程造价。

 

2a b c(16a b+a c-a c2-c)

(30)

 

当a>0,b<0,c>0,a+b>0,T1>0和T3<0时，β2>0,μ2<0,τ2<0,系统Hopf分岔为亚临界状态，分岔周期解轨道(即极限环幅值)不稳定，并且幅值逐渐减少。

(31)

 

2a2b c+2a c2+a2c2-2b c2 +a bc2)-

a2b(32a2b-32a b2+48a2b2 -8a bc+

徐姐把会员表递给她，“你还小，别着急，慢慢挑，一定看仔细了，可要是真不错，也千万别放过！等你到我这个年纪，就知道遇到一个好男人有多难了！”徐姐视线扫过程致远，“我看这人不错！”

在抗震救灾中水利部门发挥了重要作用。这次地震对玉树州水利基础设施震损严重。在地震发生后，水利部党组按照党中央、国务院的要求和部署，立即启动应急预案，快速响应，统一指挥，科学决策，要求以对党和人民高度负责精神，全力做好水利抗震救灾工作。目前，水利抗震救灾已取得阶段性进展。

20a2b c+8b2c-48a b2c-4a c2 -2a2c2 +

对受控系统(35)作如下变化，

注重农业技术创新，加快完善和填补优势农畜产品和特色农畜产品标准化生产操作规程，加强标准推广和使用指导，大力宣传培训农牧业投入品使用规范，督促生产经营主体严格落实间隔期休药期规定。发展农牧业适度规模经营，推进农畜产品标准化生产基地建设，提高农畜产品生产经营主体的专业化、组织化程度，先行对农畜产品新型经营主体开展农畜产品质量安全综合指数评价，将是否按标生产作为政策支持的重要条件，从源头上增强农畜产品经营主体的安全意识，推进农畜产品的安全生产。

(32)

 

(33)

 

(34)

24b c-13c2)

这是一个怎样的家啊？就是黑黢黢的两间房，满是灰尘和杂物，唯一的电器就是一台黑白电视机，还是搜不到信号做摆设的。

当a>0,b<0,c>0,a+b>0,T1<0和T3>0时，β2<0,μ2>0，τ2>0,系统Hopf分岔为超临界状态，分岔周期解轨道(即极限环幅值)不稳定，并且幅值逐渐增加。

3 分岔反控制

3.1 受控系统分岔分析

不改变原系统平衡点和拓扑性[12]，对系统(1)设计一个线性和非线性控制器组合而成的混合控制器，分别对系统中的每个分支设计一个混合控制器，以研究受控系统的分岔性质，并对受控系统进行分岔反控制。

受控系统为

 

(35)

设计混合控制器后，没有改变原系统平衡点E0(0,0,0,0),则受控系统(35)的线性化Jacobi矩阵为

孟子曰：“不仁哉，梁惠王也！仁者以其所爱及其所不爱，不仁者以其所不爱及其所爱。”公孙丑问曰：“何谓也？”“梁惠王以土地之故，糜烂其民而战之，大败，将复之，恐不能胜，故驱其所爱子弟以殉之，是之谓以其所不爱及其所爱也。”[4](P364)

 

(36)

其特征方程为

2.4.2 指南应用影响因素 结果(表3)显示：受访者的医院级别越高、最高学历越高，应用情况总值越高(P<0.001)；不同工作年限、职称的受访者指南应用总值差异无统计学意义。

(λ+c)[λ3+(a-k1)λ2+(m-a k1-a b)λ+

a k1+2a m-m k1] = 0

(37)

根据Routh-Hurwitz理论判断，经过计算后可得

 

(38)

因此，式(37)的特征值分别为

 

λ3 =- c， λ4 = k1-a

选m作为分岔参数，在式(37)两边对m求导，可得对m导数的实部和虚部,

 

(39)

特征方程为

3.2 受控系统分岔周期解分析

受控系统(35)的特征值分别为λ1 = i ω0,λ3=- c和λ4 = k1-a，对应的特征向量分别为

 

组合成转换矩阵为P2 = (ReP21，-ImP21,P23,P24)

当k1 = 0.5和k2 =-0.1时，μ2 = 2.3690>0,β2 =-0.4120<0,τ2 = 0.2093>0,受控系统(35)的Hopf分岔超临界，系统在平衡点出现分岔周期解轨道不稳定，即极限环幅值逐渐增加。

4b2c+13a bc2-24b2c2)

 

得

 

(40)

限于篇幅， 不详细阐述计算过程。

经过计算得

 

 

 

 

(41)

 

(42)

 

(43)

 

(44)

μ2 = -Re[C1(0)]/Re[λ′(m20)] =

 

(45)

τ2 =-{Im[C1(0)]+μ2Im[λ′(m20)]}/ω20 =

然后他吻了她。他只那么一拉，她就在他怀里了。他的吻带着烟草气，并不怎么味道好。但她就是沉沦了。后来，他拽着她上了一辆出租车。他徐徐地说着话，声音还带着困意，她紧张得几乎听不清每一个字眼。可是事后那些字眼却总是在她的脑海里上演，一遍又一遍。

 

 

(46)

式中

 

(47)

(48)

 

 

 

 

 

 

 

(49)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(50)

根据式(38)可以看出，ω20是k1的函数，同时，由上述推导过程可知，受控系统的分岔特性参数β2,μ2和τ2也是控制参数k1和k2的函数，两个控制参数直接影响分岔参数的取值，即调控参数k1和k2的取值，从而实现控制系统Hopf分岔特性的目的。

4 数值仿真

对于系统(1，35)，取a= 4,b=-2和c= 6进行数值仿真验证。

可以看出, 各Mach数下, H=0.8δ 涡流发生器使附面层厚度减小30%左右, 减小量小于H=1.2δ 涡流发生器. 图7为尾涡诱导速度ω沿流向分布, 后缘高度H=0.8δ时尾涡强度较弱, 影响区域仅达到距试验段入口4 m左右. 因此, 为充分发挥涡流发生器作用, 叶片后缘高度须略高于当地附面层厚度.

4.1 未控系统

对系统(1)进行数值仿真，系统Hopf分岔的临界值为 m10 =- a b = 8，其分岔如图2所示。

 

图2 系统(1)的分岔图

Fig.2 Bifurcation diagram of the system(1)

计算得 T1 =-28992,T3 = 16128,μ2 = 2.3230>0,β2 =-0.29038<0,τ2=0.0025>0。因此，系统在m0发生的Hopf分岔为超临界，在平衡点处呈现分岔周期解轨道不稳定的特征，即极限环幅值随时间来回振荡，幅值逐渐增加，如图3所示。

上述数值仿真结果与理论分析结果一致，证明了本文理论分析的正确性。

4.2 受控系统

对受控系统(35)进行数值仿真分析，受控系统的分岔临界值和分岔特征等与受控参数有关。其中，受控系统的分岔临界值是k1的函数，即分岔临界值m20与k1成对应关系，可以通过改变控制参数k1的值，实现在任意一个临界值实现分岔的产生和消除，以及分岔的延迟或者提前，实现对系统的分岔反控制，如图4所示。

当k1 = 0.5时，受控系统(35)发生Hopf分岔的临界值为4.75，比系统(1)提前发生。当k1 =-0.14时，受控系统(35)比系统(1)延迟发生Hopf分岔，其临界值为9。

控制参数k1和k2共同作用，可以改变系统的分岔特性，影响分岔稳定性。取不同的k1和k2，其时序图和相图如图5所示。

根据前述计算过程,当k1 =-0.1和k2 = 0时，μ2 = 0.6609>0,β2 =-0.07794<0,τ2 =-0.0385<0。受控系统(35)的Hopf分岔超临界，系统在平衡点出现分岔周期解轨道稳定，即极限环幅值逐渐减小，并趋于稳定。

当k1 = 0和k2 =-0.1时，μ2 = 0.8640>0,β2 =-0.1080< 0,τ2 =-0.0505<0，受控系统(35)的Hopf分岔超临界，系统在平衡点出现分岔周期解轨道稳定，即极限环幅值逐渐减小，并趋于稳定。

智能建筑在中国出现、发展已经有20多年的时间，其相关技术已形成十几个细分领域智能化子系统。虽然伴随着技术的进步，智能建筑行业发展已经越来越成熟，但是仍然存在诸多问题，如：应用核心产品国产化率极低，缺少安全管控，设备、系统无法实现互联互通，节能技术缺少创新、高能耗建筑占比高，BIM应用不成熟、缺乏标准支撑。智能建筑行业仍然道阻且长。为了推动行业发展，2017年，智慧建筑专委会正式成立。经过一年的发展，智慧建筑专委会做了一些工作。

总而言之，要对工程质量进行卓有成效的管理，首先就是需要建立一支素质过硬的工程质量管理队伍并定期举行相关培训提升队伍的整体战斗力。选择专业性强的施工队伍，确保工程能够得到有效的技术保障。要加强原材料和施工过程的管理，及早发现问题，及时解决问题。只有切实做好以上几点才能够做好工程质量管理工作。

 

 

图3 系统(1)的时序图和相图

Fig.3 Sequence and phase diagrams of the system(1)

 

 

图4 系统(35)分岔图

Fig.4 Bifurcation diagram of the system(35)

 

 

(1) k1 =-0.1，k2 = 0

 

 

(2) k1 = 0，k2 =-0.1

 

 

(3) k1 = 0.5，k2 =-0.1

图5 时序图和相图

Fig.5 Sequence and phase diagrams

5 结 论

本文以一个四维超混沌系统为研究对象，利用规范型理论分析了系统的Hopf分岔特性，并根据Hopf分岔理论判断了系统的分岔类型。设置混合控制器对系统进行Hopf分岔反控制，分析了受控系统的分岔特性，研究了控制参数取不同值时，对受控系统Hopf分岔特性的影响。通过分析可以看出，调控控制参数可以使Hopf分岔延迟或提前发生，同时可以改变系统的分岔特性，实现Hopf分岔反控制的目的。最后用数值仿真验证了理论分析的正确性。

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