1 引言

科学家们对微积分的探讨已经持续了四百多年，到目前为止，对于1阶，2阶，甚至n阶的微积分都有足够的了解并早已广泛运用于生活生产.然而微积分是否只存在整数阶？17世纪以来，科学家对此进行了许多研究，并发现，微积分的阶数不仅可以是整数，还可以是分数，甚至是无理数.Riemann-Louville对于分数阶微分的定义[1～4]如下：

(1)

其中Γ(·)为伽马函数(Euler Gamma函数)，且m-1≤α<m，m为正整数，α为实数.零初始条件下，其拉普拉斯变换为[1]：

(2)

如参考文献[5]所述，尽管还没有现成的分数阶元件，分数阶电容电感现象在现实中是存在的.将分数阶电容元件引入滤波电路，研究其电路特性，能够弥补整数阶滤波器理论的空白部分，具有重要的理论研究意义.

因此，“多范式”程序设计语言也是一个愈发明显的趋势，例如LINQ的编程方式可将冗长的命令简短化(以筛选出单价大于20的产品，对所属种类进行分组，并降序地列出每组的分类名称及产品数量的编写为例。图2为LINQ编程方式)。

目前国内对分数阶微积分计算实现的研究已有些成果[6,7]，对分数阶模拟滤波器方面的研究几乎空白，而国外已经对分数阶模拟滤波器理论进行了较为全面的研究[8～14]：文献[8]研究了用分数阶LC元件设计Butterworth滤波器的方法；文献[9]和[10]研究了用无源器件模拟分数阶电容的方法；文献[11～14]对分数阶低通滤波器的传递函数进行研究，其中文献[13]基于FPAA实现了近似的分数阶滤波器.然而这些文献多是将分数阶的 sα近似后代入滤波器的传递函数从而设计电路，所实现的滤波电路只能进行理论分析，不能在未来分数阶电容出现后，直接投入使用.而文献[12]通过计算低通滤波器传递函数通式中的系数，利用KHN滤波器和Sallen-Key滤波器来实现电路.

而本文参考文献[8,12]中低通滤波器传递函数通式中系数的计算方法，设计一种可行的电路方案来实现分数阶Butterworth滤波器.由于本文在设计过程中并未对sα进行近似，所设计的电路在未来分数电容出现后可以直接投入使用.继而本文通过研究三种具有代表性的阶数的滤波器幅频响应曲线，对该电路方案的可行性进行探讨.最后选择了1.4阶的滤波器进行实际电路实现.

2 分数阶Butterworth滤波器设计

2.1 分数阶Butterworth滤波器传递函数设计

与图4中的电路一样，用PSPICE仿真图9电路并测量，得到0.3阶电容的有效工作频率范围在180μHz到2kHz之间.而图8中其他元件值如下表3所示.

(3)

2.6阶滤波器电路仿真与1.4阶滤波器不同的地方在于，由于本文模拟的电容元件阶数小于1，所以α>1时无法用分数阶积分电路与比例电路联级而得，故改而用分数阶积分电路与正常积分电路联级.将图2电路中的U1、U2改为0.3阶的分数阶电容元件，将R3和R6换成电容C3和C4，如图8所示.

如图10所示的幅频响应曲线中，截止频率为1.04kHz，与预设截止频率相近；2.6阶Butterworth滤波器理论上过渡带的衰减速率应该为52dB/十倍频，而实际的衰减速率为54dB/十倍频.然而通频带内波形不够平整，在截止频率附近有上翘现象.从30Hz开始，幅频增益开始大于0，在截止频率附近上翘越发严重，最大增益达到1.65dB.

(4)

而理想2α阶Butterworth滤波器传递函数的特征方程对应的幅频特性函数的平方为：

|D(jω)|2=1+ε·ω4α

(5)

通过对比式(4)与式(5)，令式(4)中c=1、a2=ε，则式(4)前两项之和与式(5)相同.将式(4)余下的部分定义为误差项，如式(6)所示：

时年62岁的郑筱萸，在被执行死刑前留下的《悔恨的遗书》中感叹道：“明天我就要‘上路’了，我现在最害怕的是，我将如何面对那些被我害死的冤魂？我祈求他们能够原谅我、饶恕我，我这不已经遭报应了嘛？”

岭南建筑是岭南文化的现象和表征，也是岭南文化的典型载体。“余地三弓红雨足，荫天一角绿云深”，余荫山房外封闭、内开放的空间布局与疏密有致的植物景观配置高度凝练和浓缩了岭南建筑的审美特征，充分表现出岭南建筑“求真而传神，求实而写意”的艺术风格[16]，体现了岭南人崇尚自然真趣的审美趣味。受到岭南地形和湿热多雨气候的影响，余荫山房以庭院为中心来进行空间围合，即可巧妙地解决炎热潮湿的岭南地区的通风、防晒等问题，又可争取园内景观最大化，在庭院中巧妙布置山、石、水池[17]，点缀建筑小品，并与环绕的建筑一起共同形成“满院绿荫人迹少，半窗红日鸟声多”宁静而优美的环境。

F(jω)=b2ω2α+2abω3α·cos(0.5απ)

+2acω2α·cos(απ)+2bcωα·cos(0.5απ)

(6)

显然，Butterworth滤波器的误差项式(6)在截止频率ωo上必然等于0，如式(7)所示：

(7)

由式(3)变形可得：

(8)

因此，本节课应该设计科学的题组，让学生在探究的过程中获得新知，获得感悟，获得一种良好学习方式，为后续学习打下基础.

(9)

将c=1和代入式(7)可得等式(10)成立：

(10)

求解式(10)，得系数b的取值为又根据系统稳定性要求b>0，故b的取值情况如式(11)所示：

(11)

其中,k为非负整数.由于式中α以2为周期，故本文只研究k=0时的情况，即0.5<α≤2.

可见在确定了滤波器阶数α并预设截止频率ωo之后，通过上文的方法可以确定传递函数式(3)的系数a、b和c，继而设计电路.

2.2 分数阶Butterworth滤波器电路设计

根据式(5)和截止频率的定义可以得到截止频率ωo与系数ε的关系为：

Vin=a·s2α·Vout+b·sα·Vout+c·Vout

(12)

令式(12)中V1=sα·Vout，V2=s2α·Vout，c=1，则将式(12)整理可得：

(13)

根据上式，并由V1=V2·s-α,Vout=V1·s-α,设计信号流图如图1所示.

又由ε=a2，得到a与ωo关系为：

根据此信号流图可以得到如图2所示的电路图，图中的U1、U2均为α 阶的分数阶电容，其容值为C1,C2.

第一剑：百雀羚将多年来苦心经营的大流通调整为有限流通渠道，只是将低价位的经典系列继续覆盖流通渠道，从而将资源大规模向终端倾斜，实现从流通到终端的跨越，并从三四级市场向一线、二线市场回归。这句话说起来简单，但真正敢于执行与彻底执行的企业寥寥无几，数不胜数日化企业在流通向终端转型过程中往往不能坚持，最后功亏一篑。

该电路有两个优势：(1)虽然用了相对较多的放大器，但是与文献[12]给出的滤波器相比，该电路只需要变动个别电阻就可以实现不同参数要求的滤波器，灵活性较高；(2)由于传递函数系数都由元件阻抗值的比例计算而得，在实际实现过程中可以减少由于元件阻抗不精准而产生的误差.若采用如图1信号流图中的系数来计算图2电路中的元件参数，在ωo较大的情况下，计算所得的R8与R7阻值相差太多，高达108数量级，在仿真软件下无法达到预期截止频率，并且会对实际电路实现产生困难.因而本文借由信号流图设计电路结构，利用传递函数重新计算元件值.

故宫，作为中国传统文化的重要符号，是中国文化对外交往的一张亮丽名片。故宫虽然有着丰富的文物收藏，优质的藏品质量，但一直无缘Time、Trip advisor等外媒评选的全球博物馆Top10榜单。此外部分外籍游客对故宫文物印象淡薄，认知欠缺。这也从另一方面说明故宫解说词的英译影响了外国游客对信息的接受程度，没有充分达到文化间的触碰。基于此，本文以目的论为依托探讨了北京故宫文物英译存在的问题并提出了改善意见，希望能够对其提高文物解说词的英译质量有所帮助。

本文设置输入端的反相放大器的系数为1，取R9=R12=10kΩ.计算图2电路图所对应的传递函数如下式所示：

活动之后，我做了两次安抚。一次是对同学们的安抚，主要是详述解忧杂货店各位店员的付出和努力，以取得同学们的理解和支持；一次是对店员的安抚，毕竟是第一次，积极的肯定会让他们更勇敢地面对自身存在的问题。后来，店长黎一鸣发来了反思总结：

(14)

将式(14)与式(3)相对比可得：

=a

(15)

=b

(16)

=1

(17)

由于本文拟固定反相放大器的系数，通过调整电阻R7、R10、R11和R8实现对滤波器参数的调整.为确保电阻R7、R10、R11和R8的阻值相差不大，且放大器能够正常工作，通过多组测试，取U1、U2电容值为100μF·s1-α，R1和R4为1kΩ，R5和R2为1kΩ，R6和R3为10kΩ，R10=2kΩ.则剩下电阻R7、R11和R8的阻值由关系式(18)和式(19)确定：

2.2 两组患儿治疗前、后免疫功能指标比较 治疗前两组患儿CD4+、CD8+、CD4+/CD8+水平差异无统计学意义(P>0.05)；治疗后两组患儿CD4+、CD4+/CD8+水平低于治疗前且观察组低于对照组，CD8+水平高于治疗前且观察组高于对照组，差异均有统计学意义(P<0.05)。见表2。

(18)

(19)

本文接下来先仿真测试α=1，ωo=2π×1000rad/s时的幅频响应曲线，根据结果是否理想，判断电路元件值的取值是否合理；在电路可行，元件合理的情况下，再仿真测试α=0.7和1.3下的幅频响应，验证本文分数阶Butterworth滤波器的设计方案是否可行.

3 电路仿真

3.1 实现2阶滤波器

当α=1，将图2中U1、U2换成电容值为100μF的常规C1、C2，在ωo=2π×1000rad/s时，电路中的各元件取值如表1所示.

表1 二阶滤波电路的元件取值

R1、R2、R4、R5(kΩ)1R6、R3、R9、R12(kΩ)10R10(kΩ)2R7(kΩ)180R8、R11(Ω)45

将图2电路中的电阻电容值设定好后，通过PSPICE仿真电路，得到的幅频响应曲线如图3所示：

经过测量可以得到图3的幅频响应曲线中实际截止频率为1000Hz，与预设的截止频率相同；通带波动为零，波形良好，且过渡带衰减为40dB/十倍频。从而验证了图2给出的电路实现二阶Butterworth滤波器是可行的。

3.2 实现1.4阶滤波器

由于没有现成可用的分数阶电容，故本文采用的分数阶电容是根据文献[9]设计出的模拟分数阶电容.文献[9]用无源串并联网络来模拟分数阶电容，通过设定分数阶电容的阶数和工作频率范围，确定此网络中的电阻电容值.在设定的工作频率范围内，该模拟分数阶电容与理想分数阶电容的电压幅频响应曲线误差小，可以控制在2dB以内.根据该设计方法，本文设计电容值为100μF·s-0.3的0.7阶模拟分数阶电容元件，如图4所示.

图5为该电容在1A正弦电流激励下的电压的幅频响应曲线，图6为相应的相频响应曲线.通过数据分析，在图7幅频响应曲线中的100μHz到10kHz的范围内，曲线下降速率为14dB/十倍频率.根据图6所示，在(219μHz，2kHz)的频率范围内，该模拟元件相位波动在-65d(度)到-61d之间，与理想的0.7阶电容元件的理论相位-63d相差不大，是可以接受的误差.故取频率范围(219μHz，2kHz)为阶数为0.7，容值为100μF·s-0.3的电容的有效频率范围.

这春天的气息浓郁得让摩托车引擎的空燃比都发生了变化。左小龙想找个地方去调整一下他的摩托车，因为没有以前快了。亭林镇是个很小的地方，很迷你，反正就是迷你，不能迷我，所以当地的有为青年都去了大城市里。剩下的都是阿猫阿狗们，不大气，不成大器，不成大气候。

将图4电路封装成图2中U1、U2，即在有效频率(219μHz，2kHz)范围内U1、U2可以当作分数阶电容来使用.通过计算，当截止频率ωo=2π×1000rad/s时，1.4阶电路元件取值如表2所示.

表2 1.4阶滤波电路的元件取值

R1、R2、R4、R5(kΩ)1R6、R3、R9、R12(kΩ)10R10(kΩ)2R7(kΩ)4.6R8、R11(Ω)222

调整电路的电容电阻值，得到的幅频响应曲线如图7所示.

（7）“能实不虚”的原则理解不到位。仿真实验不是仅仅把实体实验搬到网上。如塌落度、配合比、材料拉压剪扭等基础类操作项目的实体实验很容易实现，搬到网上做成虚拟实验没有实质意义，违背了“能实不虚”的基本原则。

通过PSPICE的数据测量功能，可得图7幅频响应曲线中实际截止频率为1.05k，与预设频率略有误差，但相差不大；而阻带衰减速率为27.7dB/十倍频，与理论值28dB/十倍频亦非常接近；且通频带内波形平滑良好，证明1.4阶Butterworth滤波器可以实现.

3.3 实现2.6阶滤波器

则式(3)的特征方程对应的幅频特性函数的平方为：

图8中的U1、U2为阶数为0.3，电容值为100μF·s-0.7的模拟分数阶电容，其电路如图9所示.

如式(3)所示为一个2α阶的低通滤波器的传递函数，本文参考文献[8]通过计算系数a、b、c，将该低通滤波器设计为Butterworth滤波器.

调整电容电阻值，得到在ω0=2π×1000rad/s截止频率下的幅频响应曲线如图10所示.

表3 2.6阶滤波电路的元件取值

R1、R2、R4、R5(kΩ)1R9、R12(kΩ)10R10(Ω)20R7(Ω)402R8、R11(Ω)5.4C3、C4(μF)1

|D(jω)|2=c2+a2ω4α+b2ω2α+2abω3α·cos(0.5απ)+2acω2α·cos(απ)+2bcωα·cos(0.5απ)

4 分数阶滤波器误差分析

通过对本文电路的多组截止频率的仿真测试，发现对于α≤1的滤波器来说，幅频响应波形误差较小，相对理想；然而当α>1后，幅频响应波形会在截止频率附近产生上翘，且截止频率越高，上翘越明显。下文以截止频率ωo=2π×1000rad/s为例，分析波形上翘的产生原因。

首先研究当α=1.3时，理想Butterworth滤波器幅频响应函数如式(20)所示，

(20)

通过Matlab绘制的幅频响应曲线如图11所示.

可见在图11的幅频响应曲线中，通频带内增益均为0，十分平整.故图10中出现在截止频率附近波形上翘的原因来源于误差项.由于本文对于系数a、b的确定，来自式(6)在截止频率下误差项等于0，而实际上取该系数的传递函数不能满足误差项式(6)在ω取任何值时都等于0，甚至当ω比较大时，式(6)取值远大于0.故而造成了幅频响应曲线在通带内波动.

经过计算，在α<1时，α取0.7误差项式(6)的绝对值最大.而当α>1时，误差项的绝对值随着阶数的变大而增加.图12列举了在ωo=2π×1000rad/s情况下，α分别取0.7、1.2、1.3和1.4时，误差项的对比变化.

例如，在学习人教版小学数学四年级《平均数与条形统计图》时，教师可以改变过去单纯的解说式教学法，通过多媒体技术进行课堂实际操作，在课堂上教师可以通过屏幕在对条形统计图进行现场制作，结合各种资料，让学生亲身认识和理解课文知识，实现数学知识形象化，提高学生的学习效率，还可以有效引导学生进行自主学习，培养学生的自主学习能力，促进学生综合素质的培养。

由图12中可见，α<1时，误差项绝对值最大不超过0.1；而α>1时的误差项绝对值相比非常大.当α>1时，在频率小于100Hz的情况下，F(jω)变化相对比较小基本在可接受范围内；而当大于100Hz后，误差项变成负数，且绝对值比较大.误差项F(jω)迅速变小则|D(jω)|2也将迅速变小，那么自然也会变大.阶数越大，这种变化越明显，体现在Butterworth滤波器的幅频响应上，就是在截止频率之前通频带内产生的上翘.故当阶数α≤1时，式(6)虽然并未完全等于0，但也接近于0，误差基本可以忽略，故得到的波形与理想Butterworth滤波器较接近；而当阶数α>1时，该设计的缺陷就较为明显.在截止频率较低的通带内波动不大，随着频率变高，波形产生上翘，并且滤波器阶数越高，这种现象就越发明显，与理想Butterworth滤波器的波形也就相差愈远.

5 实际电路测试

本文根据图2电路搭建阶数为1.4、截止频率为1000Hz的滤波器电路，所用放大器为OP27G，得到如图13所示幅频响应曲线.本文设置扫频仪输出电平为0.0dBm，并在滤波电路输入端之前多加一节衰减电路，将扫频仪输出信号衰减10倍后输入滤波电路，因此本文得到的幅频响应曲线在通频带内的增益应为-20dB.图13中的幅频响应曲线频率范围为10Hz～10kHz，截止频率为1kHz，通频带内0.8kHz之前波动小于2dB.由于该电路使用的模拟分数阶电容的有效频率范围为(219μHz，2kHz)，故本文只讨论有效频率范围内衰减带的衰减速率.由图13可见，该幅频响应曲线阻带的衰减速率约为23dB/十倍频，比理想衰减速率小5dB/十倍频率.

由于电路所用的分数阶元件为RC串并联网络模拟而成，本身存在误差；且本文测试电路基于面包板，用直插式电容电阻搭建而成，在测试中存在噪声，经过放大器放大会对电路输出造成影响，故而本文认为该频幅响应曲线在通频带的波动误差与衰减带内的衰减速率的误差在可接受范围内，可以验证本文设计的电路可以实现分数阶Butterworth滤波器.

开挖分层高程与爆破梯段高度相同，左右岸坝肩槽开挖分层高度一般为10m，考虑左岸高程785m及右岸高程805m以下坝肩槽边坡坡度逐渐变缓，开挖高度调整为7.5m～2.0m，以保证开挖质量。根据以上分层原则，左、右岸总共规划为29个开挖分层。总体进度目标为每40天开挖高度为30m，以坝肩槽开挖为先锋线，对其上、下游边坡进度计划进行相应调整。坝肩槽每13天为一个分层高度（10m），上、下游边坡每 20天为一个分层高度（15m），上、下游边坡领先坝肩槽进行爆破，最终达到两侧工程边坡开挖不影响坝肩槽开挖的目的。

6 结论

通过计算低通滤波器传递函数通式中的系数，本文设计了一种可行的电路方案来实现分数阶Butterworth滤波器.本文通过比较三种具有代表性阶数的滤波器对该设计方案进行检验，可见，用该设计方法实现低于2阶的滤波器相对理想.虽然当频率在靠近截止频率的通带内，幅频响应的波形会略微低于0，但是整体来讲影响不大.但对于高于2阶的滤波器，该设计方法会在靠近截止频率的通带内产生波形上翘，且截止频率越高，上翘越厉害.如果将这种滤波器单独使用，可能会产生比较大的误差；如果将该滤波器作为几个滤波器级联的前段时，反而有助于消除误差.

金玉其中：我们看看各分项的数据。11月份装备制造业、高技术制造业和消费品制造业P MI为50.5、51.7和51.6，分别比上月上升0.6、0.1和0.8，且均高于制造业总体水平。非制造业商务活动指数为53.4，比上月回落0.5，表明非制造业增长有所放缓，但仍在扩张区间。11月服务业商务活动指数为52.4，比上月上升0.3，延续增长势头。从市场预期看，服务业业务活动预期指数为59.6，持续位于较高景气区间，企业对行业发展普遍看好。

参考文献

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