GERBER等[1]提出的期望折现罚金函数是现代破产论研究的热点问题，利用它可以得到一些具体的精算指标。文献[2-3]研究了常利率下带分红且保费随机的复合Poisson风险模型的期望折现罚金函数，并得到一些重要的结果；毛泽春等[4]首次提出复合Poisson-Geometric风险模型；包振华等[5]讨论了关于复合Poisson-Geometric分布的几个性质；廖基定等[6]给出了保费线性的复合Poisson-Geometric风险模型的折现惩罚函数；熊双平[7]研究了常利率下保费线性且索赔为复合Poisson-Geometric过程的风险模型的罚金函数；文献[8-9]讨论了变保费下的Poisson-Geometric风险模型的罚金函数。本文在此基础上，讨论一类常利率下带干扰且保费及保费收取随机的复合Poisson-Geometric风险模型，得到了期望折现罚金函数所满足的积分微分方程，并且利用期望折现罚金函数得到了破产概率、破产时赤字和破产前瞬间盈余等一系列精算量的积分微分方程。

1 模型介绍

定义1 设文中所有随机变量都定义在完备概率空间(Ω,F,p)上，则常利率下带干扰且保费随机的复合Poisson-Geometric风险模型为

Uδ(t)=ueδt+eδ(t-s)dC(s)-eδ(t-s)dD(s)+

σeδ(t-s)dW(s)。

(1)

对上述模型作以下假设：

(1)u是保险公司的初始资金，δ≥0为常利率；

(2)保单总份数M(t)是参数为λ1的Poisson过程，{Ci,i≥1}是独立同分布的保费额序列，其分布函数为F(x)，概率密度函数为f(x)，则保费收入过程为复合Poisson过程；

超声-超声图像叠加融合成像是近几年发展起来的新技术。消融前首先嘱患者屏住呼吸，通过手动扫描的方式获取肝脏的三维超声容积图像，扫描区域包括肿瘤和肿瘤旁的肝内管系，这个三维超声容积数据被储存在超声机器中。将消融后和消融前超声图像叠加，肿瘤的影像可以被实时投射到白色的消融区域内，即可以在消融过程中清晰显示消融边界，早期评价消融效果，为及时补充消融提供了可能。三维容积图像与二维超声相比，能更全面、更直观地显示病灶情况及与周围组织的关系。Minami Y等研究发现，以多层螺旋CT为金标准，超声-超声图像叠加融合成像对射频消融术后早期评价的准确率约92.6%[16]。

(3)索赔次数N(t)是参数为(λ2,ρ)的Poisson-Geometric过程，{Dj,j≥1}是独立同分布的索赔额序列，其分布函数为G(y)，概率密度函数为g(y)，则索赔过程为复合Poisson-Geometric过程；

(4)W(t)是标准的Wiener过程，σ>0为扰动系数；

(5){Ci}、{Dj}、M(t)和N(t)两两相互独立。

定义2 记T=inf(t>0;Uδ(t)<0)(若集合为空集，则T=)为破产时刻，T-为第T次索赔发生前的瞬间，破产前的瞬间盈余为Uδ(T-)，破产时赤字为|Uδ(T)|，则期望折现罚金函数为

φδ(u)=E[e-rTw(Uδ(T-),|Uδ(T)|)I(T<)|Uδ(0)=u]。

P(B1)=1-(λ1+λ2)t+o(t)。

引理[4] 设N(t)是参数为(λ,ρ)的Poisson-Geometric过程，记α=λ(1-ρ)/ρ(若ρ=0，则α=λ)，则当t足够小时，有

P(B3)=λ1t+o(t)。

P{N(t)=k}=αρkt+Ak(t)ο(t),k=1,2,…，

其中Ak(t)=ρk+(k-1)(ρ(1+αt))k-2，o(t)与k无关，且一致收敛。

在Coreldraw和Illustrator软件中，都可以对各种地图要素依据专业设计书的要求，分层进行整理、符号化编辑，然后将编辑好的数据按印前技术要求输出为标准EPS格式，发排为印刷菲林片，即可晒版、印刷。本文以Coreldraw X5和Illustrator CS5为操作软件版本，对Coreldraw和Illustrator软件在地图编制中的技术要点进行比较分析。

2 主要结果及证明

记G*k(y)和g*k(y)分别为索赔分布G(y)和概率密度g(y)的k重卷积，并记

 

 

定理 风险模型(1)的期望折现罚金函数φδ(u)满足如下积分微分方程：

 

λ2[φδ(u-y)gρ(y)dy+w(u,y-u)gρ(y)dy]+

λ1φδ(u+x)dF(x)=0。

(2)

证明 令h(t)=ueδt+σeδ(t-s)dW(s)-u，在很小的时间(0,t]内是否发生保费收取和索赔，分为四类事件：

ertφδ(u)=[φδ(u)+δuφδ′(u+h(t))t+

其中：r是非负常数，e-rT是折现因子；I(A)是示性函数(若A发生，则I(A)=1，否则I(A)=0)；非负有界函数w(x,y)是破产发生时的某种罚金。

(2)事件B2：在(0,t]内，M(t)没跳跃但N(t)有k次跳跃，其发生的概率为

P(B2)=αρkt+Ak(t)o(t)。

(3)事件B3：在(0,t]内，M(t)有一次跳跃但N(t)没跳跃，其发生的概率为

P{N(t)=0}=e-λt=1-λt+o(t)，

2.1.5 提取方式的考察 称取上述浸膏粉末2份，分别加入30%乙醇25 mL，密塞，称重，分别超声和回流30 min，放冷，再称重，用30%乙醇补足重量，摇匀，滤过，取续滤液，即得。见表3。

(4)事件B4：其他情形，其发生的概率为

P(B4)=o(t)。

由盈余过程的强马氏性和全期望公式得

 

=e-rtE[φδ(u+h(t))]P(B1)+

P(B2)+

 

E[φδ(u)|B4]P(B4)

具有一定知识积累和技术经验的人才，是提高食品药品检验检测能力的必要条件[8-9]。就目前而言，广西地市级食品药品检验检测机构专业技术人员学历较低，主要以本科及大专以下学历为主，研究生及以上学历人员很少。因此，应注重引进一些高学历技术人员[10]，提高研究生、博士生比例。以需求为导向，公开向社会招聘经验丰富、高学历的专业技术人才；以此为基础，带动检测机构自身人才的成长，力争培养更多的学科带头人[11-12]。

=

w(u+h(t),y-u-h(t))g*k(y)dy]·

[αρkt+Ak(t)o(t)]+

一是金融监管法律体系的完善能创造有序整改环境，从而避免市场的顺周期性波动风险。金融监管法律法规的建立，能规范各类金融的资质，打击各种不正当经营行为，取缔非法投资商，能为市场进入和退出创新一个好的投资环境。

e-rtφδ(u+h(t)+x)dF(x)[λ1t+o(t)]+

E[φδ(u)|B4]o(t)。

梳理某铁路勘察设计院关于“总体岗位职责和工作任务”的相关规定，综合其他设计院管理情况，可以对总体的技术责任、工作内容和角色定位进行理性的归纳和总结。

“网络品牌”在国外文献中多以cyberbrand、extensionbrand等词汇表述，“全新的，依托于互联网成立，且只存在于互联网的品牌”，称作“cyberbrand”；另一类是“已有市场为基础的零售店和服务组织，只是将已有品牌延伸到网络上进行运营的网络品牌”，称作“extensionbrand”。②

(3)

由It积分公式可知

λ2[φδ(u-y)gρ(y)dy+w(u,y-u)gρ(y)dy]+λ1φδ(u+x)dF(x)=0。

 

大部分的高级英语教学仍然以基础英语为主，在完成基础英语授课之后才进行专业英语课程的学习，这一点导致英语专业授课时间在综合授课时间之中所占有的比重偏低，学生接触到的英语专业授课机会相对较少，另外还有一部分高职院校没有设置专业的英语课程。这是因为这一现实情况，许多学生在实践学习的过程中难以意识到英语的重要性，缺乏一定的学习热情。慕课的出现不仅能够打开学生英语学习的新大门，还能够为学生提供更多了解专业英语的机会以及平台，保证学生能够结合个人的实际情况选择不同的网络平台，了解最新的专业英语学习动态，有效地突破英语教学与所学专业脱钩的现象以及问题。

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φδ(u)=e-rt[φδ(u)+δuφδ′(u+h(t))t+

 

e-rtλ2t[φδ(u+h(t)-y)gρ(y)dy+

w(u+h(t),y-u-h(t))gρ(y)dy]+

e-rtλ1tφδ(u+h(t)+x)dF(x)+o(t)。

进一步整理得

随着各国关税水平的持续降低，经济全球化的不断深入，尤其是国际投资在全球经贸合作中的分量与贡献越来越大，自由贸易园区的优惠政策开始由关税政策向投资政策、外汇政策以及人员流动政策变迁。以中国香港为典范，其已经发展为全面实施自由贸易制度、自由投资制度、自由外汇制度以及自由出入境制度的高水平自由贸易港。总的来看，全球自由贸易园区的基本功能包括转口贸易、出口加工、离岸金融服务、商品展示、零售业务等(见图1)。有些自由贸易园区功能较为单一，有些则相对综合。

(1)事件B1：在(0,t]内，M(t)和N(t)都没有跳跃，其发生的概率为

 

λ2t[φδ(u+h(t)-y)gρ(y)dy+

w(u+h(t),y-u-h(t))gρ(y)dy]+

λ1tφδ(u+h(t)+x)dF(x)+o(t)。 将ert的Taylor展开式代入上式，等式两端同时除以t，令t→0，化简得

 

E[φδ(u+h(t))]=φδ(u)+δuφδ′(u+h(t))t+

由引理可知，(3)式各项级数均一致收敛；由单调收敛定理得，求和号与积分号可交换次序，故

在特殊情形下，利用定理可进一步推出一些常用精算量的积分微分方程。

推论1 破产概率φδ(u)满足积分微分方程：

处在那样的年纪，未来还没有被定义，生活冉冉升起。大家每天雄赳赳气昂昂，开始买日本的电器看美国的电影。拿到爱华随身听，激动得整晚睡不着觉，翻来覆去听张学友。香港是怎样的，让人神往。

 

 

λ1φδ(u+x)dF(x)=0。

证明 在(2)式中，令r=0，w(x,y)=1，即得破产概率φδ(u)=P[T<|Uδ(0)=u]。

推论2 破产时赤字的期望折现φδ(u,v)满足积分微分方程：

 

λ2[φδ(u-y,v)gρ(y)dy+Gρ(u+y)-Gρ(u)]+

λ1φδ(u+x,v)dF(x)=0。

证明 在(2)式中，令r=0，w(x,y)=I(y≤v)，即得破产时赤字的期望折现

The sun goes down without twilight, rain or snow will come next.

φδ(u) =P(|Uδ(T)|≤v,T<|Uδ(0)=u)

=φδ(u,v)。

推论3 破产前瞬间盈余的期望折现φδ(u,w)满足积分微分方程：

λ2gρ(y+w-u)dGρ(y)+λ1φδ(u+x,w)dF(x)=0。

他给我看，左手内侧的疤痕大概有20厘米长。“装了铁片，因为骨头都碎了。公安和车队的领导都来了，问明原因，也没有怪我。后来，双方各自疗伤，彼此不追究。我在家里整整休养了一年，花了3万块医疗费。”我问他：“如果重新来过，会不会有不同的做法？”他斩钉截铁地说：“有的。事情发生之后，立刻就觉得不好，如果再来一次，15元不给就算了。那件事之后，我再也没有跟人发生冲突。”

证明 在(2)式中，令r=0，w(x,y)=I(x≤w)，即得破产前瞬间盈余的期望折现

φδ(u,w)=P(Uδ(T-)≤w,T<|Uδ(0)=u)。

参考文献：

[1]GERBER H U,SHIU E S W.On the time value of ruin[J].North American Actuarial Journal,1998,2(1):48-72.

[2]王贵红,赵金娥,何树红.常利率下分红双复合Poisson风险模型的期望折现罚金函数[J].西南师范大学学报(自然科学版),2016,41(1):94-99.

[3]赵金娥,李明,何树红.常利率下分红稀疏风险模型的期望折现罚金函数[J].郑州大学学报(理学版),2015,47(3):37-42.

[4]毛泽春,刘锦萼.索赔次数为复合Poisson-Geometric过程的风险模型及破产概率[J].应用数学学报,2005,28(3):419-428.

[5]包振华,徐海坤,刘志鹏.关于复合Poisson-Geometric分布的几个性质[J].辽宁师范大学学报(自然科学版),2011,34(4):424-427.

[6]廖基定,龚日朝,刘再明,等.复合Poisson-Geometric风险模型Gerber-Shiu折现惩罚函数[J].应用数学学报,2007,30(6):1076-1085.

[7]熊双平.索赔次数为复合Poisson-Geometric过程的常利率风险模型的罚金函数[J].经济数学,2008,25(2):136-142.

[8]李碧云,余国胜,姚春临,等.多险种Poisson-Geometric风险模型的折现惩罚期望函数[J].江汉大学学报(自然科学版),2015,43(2):101-104.

[9]贺丽娟，王成勇，张锴.变保费率复合Poisson-Geometric过程风险模型的Gerber-Shiu折现惩罚函数[J].工程数学学报,2016,33(2):121-130.