群体博弈的思想最早源于1950年Nash[1]在其博士学位论文中关于混合策略形式的平衡概念提出的“群体行动(Mass-action)”的解释，基于这个解释，之后相关学者建立了群体博弈理论，见[2,3]及相关文献。连续群体博弈模型的一个基本假设是群体中个体的数量充分大(统计学意义上)，根据大数定律，单一个体改变策略可以忽略不计。但是现实中许多群体中的个体数量并不满足这个假设，用连续群体博弈模型解释不太贴切，于是研究有限群体博弈有实际意义。1979年，Riley[4]提出有限群体概念。1988年，Maynard Smith[5]提出疑问，在有限群体一个混合策略是稳定的吗？针对这个疑问，同年，Schaffer[6]提出有限群体模型的演化稳定性概念。Robert W.Rosenthal[7]于1973年提出拥堵博弈的概念，受此启发，Monderer和Shapley[8]于1996年定义了有限势博弈，并得到所有的平衡点是势函数的局部最大值点，并证明了每一个拥堵博弈都是势博弈。2001年， Sandholm[9]建立了有限代理人势博弈和无限代理人势博弈的关系。2011年，Sandholm出版的著作《Population Games and Evolutionary Dynamics》[3]系统地阐述了有限群体博弈模型，并对有限群体势博弈做了相关研究。有限群体博弈模型，群体中个体的数量有限，群体状态集是离散集，于是有限群体博弈Nash平衡不一定存在。

受以上工作启发，本文主要考虑有限群体势博弈Nash平衡的存在性，探讨二策略博弈和势博弈的关系，并关注特殊的二策略对称正规型匹配博弈生成的有限群体博弈Nash平衡的存在性。具体安排如下，首先给出基本定义和预备知识，其次给出一个不存在Nash平衡的反例，证明了二策略对称正规型博弈平衡点的存在性，验证了二策略博弈是势博弈，证明势博弈Nash平衡的存在性，最后对全文做一个总结。

1.1.3 师法自然。在城市中，选一处安静场所打造城市山林，营造自然的意境和氛围，其章法变化万千，这就是中国古典园林的特色，源于自然，高于自然。

我国中医药有着几千年的应用历史，是劳动人民长期与疾病作斗争的经验总结，是中华民族的宝贵财富。我国传统医学治疗理念也正逐渐为世界所接受，需求日益增长，这为中医药发展提供了广阔的空间。国内各高等中医院校为适应中医药现代化发展需求，尝试以培养某一专业领域人才为突破口，因此学校专业设置越来越多，划分越来越细。然而，中医、中药是祖国传统医学中不可分割的整体系统，专业划分过多过细，并不利于学生全面掌握中医药体系之精髓[7]。

1 基本定义和预备知识

以下关于有限群体博弈的基本概念和定义，主要参考文献[3]。

P={1,2,…,p}是p个代理人群体组成的社会，群体p中代理人的纯策略集是表示所有群体的所有纯策略总数。N表示群体中共有N个代理人。群体状态集个代理人有限群体博弈的支付函数表示当群体状态是x∈χN时选择策略i的支付，只有当在χiN={x∈χN∶xi>0}取值时才有意义，因为在其他状态策略i不被选到。

定义1.1 状态x∈χN是有限群体博弈FN的Nash平衡，如果没有人能通过改变策略获得更高的支付：

一线教师和科研人员大部分都有外出行业交流或出国深造之类的“放松”机会，而行政人员中80%表示从来没有见过同校同行中有这种机会，高校也没有组织过这种学习机会。

 

∀i,j∈Sp,p∈P。

国家水资源管理系统 以水资源管理业务为重点，覆盖中央、流域、省（自治区、直辖市）、地市和县区五级水资源管理机构，以水源、取水、输水、供水、用水、耗水、排水等水资源开发利用主要环节的监测，以及大江大河行政边界控制断面、地下水超采区监测为基础，以国家电子政务外网和国家防汛指挥系统骨干网为依托，以水资源业务应用系统为核心，支撑国家水资源管理体系的工作业务平台和决策支持环境。

定义1.2 由对称正规型匹配博弈A∈Rn×n生成的有限群体博弈，在没有自我匹配的情形下，在群体状态为x选择策略i时对应的期望支付为：

 

 

定义1.3 有限群体博弈FN∶χN→Rn是一个势博弈，如果存在一个势函数fN∶χN→R使得：

 

=∀

2 主要结果

首先给出一个有限群体博弈Nash平衡点不存在的反例。

例：对称正规型博弈，策略集S={1,2,3}，支付矩阵如下：

（i）假定群决策专家组集合为E={E1，E2，…，Er}。其中，Ey（y=1，2，…，r）是第y子组。设λ=（λ1，λ2，…，λr）T为子组Ey（y=1，2，…，r）的权重向量，其中设X=（x1，x2，…，xr）T为子组Ey（y=1，2，…，r）成员数向量，其中Xy（y=是群决策专家组集合E中总的专家数）是子组Ey（y=1，2，…，r）中专家总数。个体决策专家的权重为其中

 

当N=2时，群体状态集

 

当

 

从1策略改变到2策略时，

 

即x1=1>0,

 

所以不是Nash平衡点。

当

从2策略改变到3策略时，

人与人之间呼吸道传播是结核病传染的主要方式。传染源是接触排菌的肺结核患者。随着环境污染和艾滋病的传播,结核病发病率越发强烈。除少数发病急促外,临床上多呈慢性过程。常有低热、乏力等全身症状和咳嗽、咯血等呼吸系统表现。

 

即x2=1>0,

 

所以不是Nash平衡点。

当

从3策略改变到1策略时,

 

即x3=1>0,

 

所以不是Nash平衡点。

当

从1策略改变到2策略时，

 

即

 

所以不是Nash平衡点。

当

证明 由有限群体势博弈定义：

 

即

 

根据有限群体博弈Nash平衡点定义：

当

旅游公示语文本中修辞的使用能使旅游公示语看起来简单明了，信息突出；同时可以借景抒情，借物表意；还可以使语言表达丰富多样，灵活生动，形象更加立体化，更能凸显自身的旅游优势，增大游客旅游期望值。《导览中国》中有这么一段话：“中国拥有世界最高峰，从无垠的炙热沙漠，到麻木大脑的寒冷地带，衍展至蒸笼般的森林中藏匿的各种珍稀动物。”“steaming forests”的使用和相对应的汉语译文“蒸笼般的森林”，突出的就是明喻的修辞手法，给读者栩栩如生地展现出了朦胧的清晨、雾气缭绕的森林、仙境般的美妙画面，仿佛已置身此情此景，令人回味。

综上，此博弈不存在Nash平衡状态。

 

即

 

定理2.3 如果FN是以势函数为fN的有限群体势博弈，那么势博弈的Nash平衡点和势函数的局部最大值点等价。

从3策略改变到1策略时,

定理2.1 由二策略对称正规型匹配博弈生成的有限群体博弈存在Nash平衡。

证明 假设对称正规型博弈有策略集S={1,2}，支付矩阵：

只有对游客的个性化需求进行充分满足，才能够促使旅游业得到良好发展，所以高校在对旅游人才进行培养的过程中，应该培养学生提高在为游客提供传统服务的基础上，根据游客的实际需求为其提供个性化的服务的能力，也就需要对旅游人才的个性化服务理念进行强化，提高旅游人才的专业素质，使其能够根据不同的情况进行随机应变，采取合理的方式对多种突发情况进行有效处理，以提高游客对旅游的满意程度，从而促进我国旅游业的发展。

 

当N=2时，群体状态集

 

 

 

 

，

现在的整容手术已经很成熟了，基本上只要保障在正规医院做手术，术后的效果都能达到预期的效果，那么术后美不美、自不自然，基本取决于医生的审美，因为在整容者不能清晰描述自己的需求的时候，是需要医生来做设计和判定的，比如鼻子做多高，多少度的角度最合适，根据整容者的实际情况制定出一个最优的方案。那么，在高密度的手术方案面前，医生如何做到人人都美呢？医生的审美标准就是我们最熟悉的“三庭五眼”“黄金分割”等审美标准，在每一位整容者的脸上根据标准设计最优方案。

 

 

 

所以不是Nash平衡点。

元明清传统青花表现手法的载体多为毛笔，其主要工艺有勾画和分水。勾画就是用毛笔描绘团，在勾绘的过程中行笔要有章法，防止忽断忽续和颜料的堆积。分水料分五色，运笔要轻捷自如，一气呵成，烧出后的颜色呈深浅不同的层次。

当a≥c时，状态是Nash平衡，当d≥b时，状态是Nash平衡，当同时成立时，状态是Nash平衡，恰好和上两式矛盾。于是，此博弈至少存在一个端点或内部状态是Nash平衡状态。

定理2.2 如果FN是二策略有限群体博弈，那么FN是有限群体势博弈，势函数为：

 

从2策略改变到3策略时，

对于后期二铵的价格走势，郑冰表示，二铵后市的价格还是要看成本是否会出现大的波动。目前来看，经销商普遍都比较担心高价买入后，到了后期又出现大幅度跌落现象。后期二铵价格或将仍有一定的上升空间，但是目前价格已经涨到一个相对尴尬的高点，未来价格的不确定性还很多，如果说涨价带来了机遇，相对应的风险也还是很大。但相比较而言，如果前期有提前备肥的经销商，可操作的利润空间还是相对可观的。

 

 

等式两边同时求和：

 

 

=

 

=fN(x2,1-x2)-fN(0,1)

即可证:

=fN(x)。

 

所以不是Nash平衡点。

证明 假设x∈χN是FN的Nash平衡状态，由有限群体博弈Nash平衡和势博弈的定义：

xi>0⟹

∀i,j∈S。

 

∀

 

∀j∈S。

即可得x是势函数fN的局部最大值点。

若x是势函数fN的局部最大值点，则：

xi>0⟹

 

∀j∈S。

我肆意跟伟翔吵，只要他一回嘴，我就冷冷地说：“当初若不是为了你，我现在早成讲师了。李伟翔，你别狼心狗肺。”

由于FN是有限群体势博弈，由有限群体势博弈的定义得：

xi>0⟹∀i,j∈S。

即状态x是FN的Nash平衡。

通过实现铜冶炼工厂的自动化、数字化、模型化、集成化、智能化，构建企业的智能决策、智能生产管理、智能执行与感知体系，打造从管理决策到执行反馈的闭环管控结构，实现制造效率、成本、质量等资源优化配置的智能化工厂。

注：此定理说明有限群体势博弈的Nash平衡状态和势函数的局部最大值等价，因为每个势博弈都存在势函数，每个势函数存在局部最大值点，因此有限群体势博弈Nash平衡存在。

3 举例

假设对称正规型有限群体博弈有策略集S={1,2}，支付矩阵：

 

当N=2时，群体状态集χN={0,1/2,1}。

 

 

 

所以不是Nash平衡状态。

 

 

 

所以不是Nash平衡状态。

 

 

 

 

故状态是Nash平衡状态。

4 总结

在有限群体意义下，群体状态集是离散集，Nash平衡点不能保证，因此，探究有限群体博弈Nash平衡存在性条件将是重要研究内容。本文证明了只要一个有限群体博弈是势博弈或者二策略博弈，那么Nash平衡存在，即定理2.2和定理2.3。

参考文献：

[1]Nash J F. Equilibrium points in n-person games[J]. Proceedings of the national academy of sciences, 1950, 36(1): 48-49.

[2]Blume L E. Population Games[J]. Game Theory & Information, 1998, 11(3):211-217.

[3]Sandholm W H. Population games and evolutionary dynamics[M]. Massachusetts:MIT press, 2010.

[4]Riley J G. Evolutionary equilibrium strategies[J]. Journal of Theoretical Biology, 1979, 76(2): 109-123.

[5]Smith J M. Can a mixed strategy be stable in a finite population?[J]. Journal of theoretical Biology, 1988, 130(2): 247-251.

[6]Schaffer M E. Evolutionarily stable strategies for a finite population and a variable contest size[J]. Journal of theoretical biology, 1988, 132(4): 469-478.

[7]Rosenthal R W. A class of games possessing pure-strategy Nash equilibria[J]. International Journal of Game Theory, 1973, 2(1):65-67.

[8]Monderer D, Shapley L S. Potential games[J]. Games and economic behavior, 1996, 14(1):124-143.

[9]Sandholm W H. Potential games with continuous player sets[J]. Journal of Economic Theory 2001, 97(1):81-108.