1948年N.Wiener出版的《控制论——关于在动物和机器中控制和通讯的科学》，标志着控制论诞生。最优控制理论是控制论中的核心内容之一，而最优控制论的核心是最优控制的必要条件，必要条件本质是不变量。

最优控制问题是条件泛函极值问题，是函数极值问题、变分问题的推广。关于函数极值问题，其经典结果是函数f的极值点满足Euler方程。后来，Euler和Lagrange得到了变分的一阶必要条件，即Euler-Lagrange方程[1]。这实质上给出了极值点的一阶不变量。关于最优控制问题，Pontryagin引进伴随方程，获得了最优控制的一阶必要条件，即Pontryagin极大值原理[2]，本质上获得了最优控制的一阶不变量。

为了寻求极值点的充分条件及其极值点的计算，人们研究二阶必要条件。一方面函数f极小值点的二阶必要条件是相应的Hesse矩阵半正定，另一方面，满足Hesse矩阵正定的稳定点(或驻点)必是f的极小值点。对于变分问题，也有类似结果。由此，Hesse矩阵半正定是极小值点的二阶不变量，它刻画了极值点的本质特征。一个自然的问题是：如何刻画最优控制问题的二阶不变量？这是本文的研究动机。

1 主要结果

本文主要目标是讨论线性常微分方程支配的最优控制问题的二阶不变量。首先陈述问题：受控系统为如下线性常微分方程

 

其中A(·)∶[0,T]→Rn×n,B(·)∶[0,T]→Rn×k,控制

u(·)∈U={u(·)∶[0,T]→U|u(·)可测}

以及性能指标

表达，是思维的闪现；迁移，为智慧的火花。我们要释放文本价值，统筹规划，设计有梯度的、系统化的表达训练，由易到难促进中学生口语表达能力的提升。中学生熟练迁移，口语表达不拘一格、精彩纷呈，语言素养随之得以培养。

J(y(·),u(·))= f 0 (t,y(t),u(t))dt。

问题(P):寻找最优控制使得

 

定理1.2 假设[U]、[F]成立，若满足：与N(·)>0,则为最优控制。

[U]U是凸集。

[F]f0∶[0,T]×Rn×U→R是可测的，且关于y,u二次连续可微。

所以有

(a)

 

 

其中

N(t)= B*

 

该结果的形式类似于Pontryagin极大值原理，与其不相同的是：Pontryagin极大值原理中引进向量值函数方程消掉状态关于控制的变分，而本文通过引进算子微分方程来消掉状态关于控制的变分。该结果也从二阶必要条件的角度揭示了最优控制问题与变分问题、函数极值问题的本质差异。

张旭、Frankowska H等[3-8]研究了最优控制问题的二阶必要条件，其结果中含有状态关于控制的变分，本质不是二阶不变量。楼红卫教授[9]在Pontryagin极大值原理作为最优控制的一阶必要条件的前提下，通过引进二阶导数

 

计算性能指标关于控制的二阶变分，并且引进伴随方程(向量值函数微分方程)，消去了状态关于控制的变分，得到了一类最优控制问题的二阶必要条件。据我所知，这是首次获到二阶不变量。而本文通过

 

计算性能指标关于控制的二阶变分，引进算子微分方程消掉状态关于控制的变分，得到二阶不变量。

假设：

2 定理1.1的证明

其中z为y在处沿方向的Gateaux导数。

由U是凸集，得：对∀有记yε(·),y2ε(·)分别为控制uε(·),u2ε(·)所对应的状态。由f0关于y,u二次连续可微，知J二次Gateaux可微，且J在处沿方向的二阶G-导数为：

 

 

一是流域管理体制与机制。水法明确对水资源实行流域管理与区域管理相结合的管理体制，但由于水污染防治实行地方负责体制，导致在流域层面协调不足。《条例》明确太湖流域实行流域管理与行政区域管理相结合的管理体制，表明太湖流域涉水事务管理，包括水污染防治都要流域管理与区域管理相结合，同时也为下一步流域综合管理与治理体制机制的建立与完善留下了空间。

将图11中斜拱在基坑不同开挖深度加载围护桩桩身不同深度处的水平位移减去对应深度处基坑单独开挖最终产生的围护桩桩身水平位移，得到不同开挖深度斜拱加载引起的围护桩桩身水平位移增量。图13是基坑开挖至不同深度斜拱加载引起的围护桩桩身水平位移增量分布图。

证明 因为是最优对，所以满足(a)。

记

养殖试验结束后，停食24 h，测定试验虾生长性能。测定各箱虾的总重并记录尾数，每箱虾随机抽取6尾，测量每尾虾的体长、体重，抽取血淋巴立即注入加有抗凝剂的Ep管中，并在冰盘上解剖分离肝胰脏和肠道并称取重量，所有样品立即放入液氮罐中，样品采集完成后，保存在-80℃冰箱备用。统计饲喂量、饵料系数、肥满度、肝体比、增重率、成活率。

 

则z满足下列方程：

 

由是最优控制，可知：

 

〉dt≥0。

然而，纵观新中国建立以来我国住房用地基本制度的演进状况，单一国有制至今未变，但住房用地使用权通过“出让”进入市场，形成土地国家使用权、公民和法人使用权。尽管法律规定如此，但当今我国住房用地上的国家使用权占比很小，公民和法人使用权占绝对比重。很显然，现行住房用地基本制度(无论是从所有制还是从使用权角度来看)并不符合中国特色社会主义基本经济制度要求，必须继续深化改革，构建新时代中国特色社会主义住房用地基本制度。

假设ψ，η是方程(b)的解，利用Yosida逼近，我们可验证下列等式成立：

〉dt,

 

〉dt

宇晴却任凭上官星雨怔怔地立着，自己后纵一步，迎风回浪，腾身飞上鹏背，笑吟吟地对少年们讲：“这个不对，鲲是来接我，不是接你们的，东方谷主只是让我由黄梁驿里挑出你们四个，你们到万花谷，得自己去找万花因隧道。子虚跟乌有那两个老家伙，会帮你们找找看入口，大概就是：只在此山中，雪深不知处！”

= [B*

机车器械调控体系中的中心控制系统是源自微计算机技术拼凑而成的一种整合体系，由于微计算机的USP连接口数量、功能以及稳固性可以同时进行数量不少的不同任务的调控，因此车辆中心控制体系在实际应用中涵盖功能多、操作精度高和速度快等优点，所以相对整个机车体系来说该项技能的广泛使用能够进一步加强其运行效能。车辆中心控制体系在应用中的核心贡献是完成对计算机发出的信息数据进行整合分析，而且整个调控体系还安装了自动发起警报等性能，调控设备在运转过程中一旦发现车辆体系发生异常状况就会立刻发起警报，这对驾驶者更好地进行安全驾驶和对危急境况的及时应对有着极其重要的作用。

仿麂皮绒革的纹理，用聚氨酯浸渍聚酯超细纤维的三维缠结结构，通过凝固和抛光形成仿麂皮表面结构，来制造非织造材料。

从表1可以看出，管道全位置自动焊综合使用比例达到50%以上，根据目前长输管道焊接工程对管道全位置自动焊的使用要求，不仅可在主线路施工中进行应用，同时也可在支线管道进行大面积推广应用。

定理 1.1 假设[U]、[F]成立，若是最优对，则存在算子ψ,η∈C([0,T],L(U,Rn))，使得下列成立：

将离散事件系统表示为外部事件(X)，输出事件(Y)，序贯状态(S)，状态转移描述函数(δ)，输出函数(λ)和时间推进函数(ta)的逻辑集合：

[B*

 

即有

 

3 定理1.2的证明

证明 由方程(b)，我们可验证下列等式成立：

 

 

 

〉dt

华南理工大学食品科学与工程学院是通过选择条件比较好的企事业单位来建立“大学生实习基地”，学校资助一定经费并且近年有较大增长，其余费用让基地单位来承担，学生不承担任何实习费用。根据各单位的经济状况，可以自愿给予学生一定的补助，校方和学生不得强求。针对食品质量与安全专业，已建立的毕业实习基地有十多家，主要包括广东、珠海和东莞出入境检验检疫局及其技术中心、广州分析测试中心、广州市食品药品监督管理局检测所、东莞市农产品检测所和珠江啤酒股份有限公司等大中型企业。大多数实习单位承担了学生的住宿费用，如果没有教育部门及社会各界对“大学生实习基地”的支持，这种机制是难以持久的。

其中

现在学生作文普遍存在一个问题：明确了文章主题，也有一些写作素材，但总是描写不具体、抒情不细腻，显得空洞抽象、平淡单薄，不能给人以深刻印象，更不能打动人心。特别是亲情类的记叙文，更是千人一面，大多都是“半夜发烧送医院”和“雨中送伞”。仔细研究，你会发现造成上述问题的原因在于学生缺乏细致的观察与没有生动的细节描写。而细节描写在作文中具有举足轻重的作用，成功的细节描写往往能达到“一瞬传情，一目传神”的艺术效果。好作品之所以感人肺腑，就是因为有精彩动人的细节描写。说细节是文章的生命毫不为过。

 

满足下列方程：

 

由N(·)>0，我们可知：当时，有

 

故

 

〉dt>0。

则

对于部分规模较为庞大的公路工程项目，必须有一批高水平的管理人员加强施工管理。但是部分企业的管理队伍素质有较大缺陷，多数管理人员学历较低，长期沿用传统的管理手段、管理制度，缺乏理念和策略上的创新，更缺少相关法律和经济方面的专业知识。一旦施工现场出现问题，无法及时对现场进行控制和调度，影响施工管理。

 

〉dt+o(ε2)≥0。

故

 

由的任意性可知：对∀v(·)∈U，有

 

故为最优控制。

参考文献：

[1]L Euler. Methodus Inveniendi Curvas Lineas Maximi Minimive Proprietate Gaudentes: Sive Solution Problematic Isoperimetrici LatissimoSensuAccepti[J]. Eprint Arxiv 2013(1):421-423.

[2]L S Pontryagin. The Mathematical Theory of Optimal Processes[M]. Hoboken,New Jersey: John Wiley &Sons,Inc, 1962.

[3]Zhang H S, Z Xu. Some results on pointwise second-order necessary conditions for stochastic optimal controls[J]. Science China Mathematics, 2016(2)：1-12.

[4]Zhang H, Zhang X. Pointwise second-order necessary conditions for stochastic optimalcontrols, Part I:The case of convex control constraint[J]. Siam Journal on Control & Optimization,2014(53):1-28.

[5]H Frankowska, N P Osmolovskii. Second-Order Necessary Optimality Conditions for the Mayer Problem Subject to a General Control Constraint[J]. Optimization & Control, 2015(11)：171-207.

[6]H Frankowska, D Tonon. Pointwise second-order necessary optimality conditions for the Mayer problem with control constraints[J]. Siam Journal on Control &Optimization, 2013(51)：3814-3843.

[7]D Hoehener. Second-order optimality conditions for a Bolza problem with mixed constraints[J]. IFAC Proceedings Volumes, 2011, 44(1):2594-2599.

[8]A Arutyunov, V Jacimovic, F Pereira. Second Order Necessary Conditions for Optimal Impulsive Control Problems[J]. Journal of Dynamical & Control Systems, 2003, 9(1):131-153.

[9]Lou, Hongwei. Second-Order Necessary/Sufficient Conditions for Optimal Control Problems in the Absence of Linear Structure[J]. Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series B, 2010(14)：1445-1464.