随着量子计算和量子计算机等相关领域的研究发展[1-5]，量子力学已成为量子理论发展中一门重要的基础学科，密度算子作为量子力学的一个重要概念，简化了某些具体问题的计算。同时，量子测量作为量子力学基本假设之一，它联系着经典世界和量子世界，而密度算子作为量子测量中的一种重要量子态，其基本性质为研究量子态的可区分性提供了理论工具。

密度算子的概念是Von Neumann等人在1927年为了描述量子力学中的统计概念首次提出的。近年来它被广泛用于描述量子力学中的混合状态和复合系统，在描述过程中，密度算子有多种表示形式。如李静[6]证明了任意密度矩阵都可以被/2唯一表示，但此形式在分析密度矩阵的具体分解形式时有局限性，不便于具体运算。丁巍巍等人[7]首先利用特殊酉群SU(R)的典型生成元构造矩阵空间的两组Hamel基，然后在这两组基底下描述了多体量子系统中密度矩阵的表示，此表示方法仅对特殊酉群中的基底有效。最近的工作是杨莹等人[8]于2015年采用内积的方法给出的二阶、四阶、八阶、2n阶密度矩阵的表示形式，但在基底中使用张量积不便于展开分析密度矩阵。

更具挑战的是在不同的表达形式下，会得到不同的密度算子性质。为了进一步完善密度算子的性质理论，本文将根据性质的研究需要来选取最合适的密度算子的表达形式。

1 基础知识

在量子计算中，密度算子作为描述量子状态的一般表示被引入。在密度算子性质的研究过程中需要一些矩阵和密度算子的基础理论，更详细的知识请参见文献[9]和[10]。

1.1 矩阵理论

矩阵分解是矩阵理论中重要的组成部分之一。本文主要涉及到矩阵的奇异值分解。

定理[10](奇异值分解) 令A是一个方阵，则必定存在酉矩阵U、V和一个非负对角阵D,使得A=UDV,其中D的对角元素称为A的奇异值。

（1）土建基础工程基本完成，管沟已按图纸要求挖好，其位置、标高、坡度经检查符合工艺要求，沟基作了相应处理并已达到施工要求强度。

子宫内膜癌术后患者焦虑、抑郁发生率较高，尤其是伴有下肢淋巴水肿者，一方面妇科恶性肿瘤本身带来的恐惧、特殊位置手术带来的身体创伤，使女性除遭受身体上的打击外，还要承受相当大的心理创伤；另一方面辅助放、化疗在取得一定效果的同时也容易产生恶心、呕吐等不良反应，在接受治疗过程中常常造成潜在的器官伤害，使得患者出现负面情绪。

1.2 密度算子基础理论

假设量子系统以概率pi处在一组状态|φi〉的某一个，其中i是一个指标，则称{pi,|φi〉}为一个纯态的系综，系统的密度算子定义为[7]：

ρ =p1|φ1〉〈φ1|+p2|φ2〉〈φ2|+…+pn|φn〉〈φn|

 

注：当量子系统以概率1处于状态|φ〉时，则称这个量子系统处于纯态ρ=|φ〉〈φ|,否则，ρ称为混合态，即一个纯态系综中的混合。

可是我们并没有给出明确的计算外积的公式.在这里.经过推导.我们将给出仿射坐标系下向量外积一般的坐标表达式.即有如下定理成立:

密度算子在任意表象中的矩阵表示称为密度矩阵：

 

注：在量子力学中，算子和矩阵常常不做明确区分，根据研究需要使用相应的代名词。

性质[9](偏迹性) 当ρ处于纯态时，tr(ρ2)=1;

3) 基础数据统计分析系统。在数据分析处理之前,商场内的位置信息、冷热情况、客流高峰和营业额比、商业报告、转化率、客流均滞留率和新客率等数据虽然也有，但相互之间缺少交叉和融合，限制着数据发现的能力。在综合数据分析下，跨行业、多维度的数据经常发生碰撞，从而得到更多有价值的信息。

当ρ处于混合态时，tr(ρ2)<1。

2 密度矩阵的分解性

矩阵分解就是将矩阵“分而治之”为数个简单矩阵的运算。可以利用分解后的数个简单矩阵特性来研究原矩阵本身的结构特征和性质。

2.1 单量子比特的Bloch球面

量子比特作为量子力学中具有特定属性的数学对象，在Hilbert空间上，所有的单位量子比特可以构成一个半径为1的球体，用球面上的点表示单量子比特|ψ〉,|ψ〉的几何表示为：

 

 

以{|0〉,|1〉}为基，其中由实数θ和φ定义了三维空间单位球面上的一个点，这个球面常称为Bloch球面。此方法使单量子比特状态便于可视化。

2.2 密度矩阵的奇异值分解

定理3.1[11] 混合态不存在相干性，如果单量子体系中的量子比特的纯态密度矩阵的非对角元素不等于零，混合态的密度矩阵非对角元素为零。

高海拔的其他环境因素(如热量、湿度等)以及由于空气动力学的差异而导致的足球飞行变化和控球困难，也可能会降低运动员在比赛中的运动表现，因此进行适应性训练是需要的。

 

 

则存在酉矩阵U、V和一个非负对角阵D,使得

(1)纯态密度算子ρ的奇异值分解形式为：

ρ =UDV†,

 

 

且ρn=ρ；

(2)混合态密度算子ρ的奇异值分解形式为：

ρ =UDV†

 

且

=

 

=

 

 

 

相应的密度矩阵为：

 

证明 因为

 

它的特征方程为|ρ-λE|=0。求解出的特征值为λ=0或1,ρ的特征向量为：

 

 

由于纯态密度算子具有厄米性和幂等性，因此ρρ†=ρ†ρ=ρ2=ρ,故ρ†ρ的特征值为ρ的特征值，ρ†ρ大于零的特征值开根号为ρ的奇异值。

所以纯态密度算子ρ的奇异值分解可表示为：

ρ =UDV†=UDU†

 

 

由此也可得出：ρn=UDnU†=ρ。

(2)当|ψ〉为混合态时：量子系统处于|0〉的概率为：处于|1〉的概率为：则密度矩阵为

 

ρ的特征值为或

 

因此，ρ†ρ=ρρ†对应的特征值为或在此情况下，ρ的奇异值与ρ的特征值相同。ρ的特征向量为

β1=(10)T,β2=(01)T。

所以混合态密度算子ρ的奇异值分解可表示为：

实际上，奇异值分解是谱分解和极式分解的结合。用密度算子语言表示奇异值分解：密度算子ρ是一个方阵，则必定存在酉矩阵U、V和一个非负对角阵D,使得ρ=UDV,其中D的对角元素称为ρ的奇异值。

ρ =UDV†=UDU†

 

则

ρn =UDnU†

 

由定理2.1看出，密度矩阵的奇异值分解形式确实既便于得到密度矩阵的奇异值，又便于密度矩阵在应用过程中进行幂运算。

2.3 密度矩阵的若尔当标准形

通过复数域上n阶矩阵的标准形，可以从另一个视角来分析密度矩阵的特征。

定理2.2 令密度矩阵ρ是一个方阵，则存在可逆矩阵P,使得密度矩阵ρ的若尔当标准形为：

在模板使用之后和混凝土浇筑之前，应清洗干净并涂刷脱模剂。测量放样后安装模板，为了保证施工进度，把普通钢模板组合成15 m2左右的大模板，用25 t汽车起重机进行吊装，人工辅助安装；模板副龙骨为1.5寸钢管或4×9 cm木龙骨，主龙骨为12号槽钢，对拉杆固定模板。模板安装过程中，保持足够的临时固定设施，以防倾覆；箱涵内采用碗扣架作为支撑，箱涵外部采用双排外脚手架作为钢筋绑扎及模板安装的辅助设施。模板与混凝土接缝需平整密实。混凝土浇筑过程中派专人看模，发现问题及时处理。

 

其中，

显然，若尔当块J和Jm都为分块对角矩阵。由于分块对角阵便于运算，因此容易得到以下结论：

推论1(酉性) 当λi=0时，密度矩阵ρ不是酉矩阵。

(1)当|ψ〉为纯态时，

兰州石化始终坚持“环保优先、安全第一、质量至上、以人为本”的理念，强化HSE体系建设，常年坚持开展公司、分厂和车间三级岗位责任制大检查，建立了四级风险“管控网”，形成了专业监督、专职检查、干部走动式巡检、值班检查“四位一体”的监督检查体系，做到了现场作业风险识别管控全过程、全覆盖。兰州石化严格执行环保新标准，推进清洁生产、绿色发展。5年来，公司重点环保项目建设投入达到20多亿元，减排成效显著。

2. 缺乏大数据处理平台，已有数据中心亟待整合。随着大数据、云计算等技术的推广，审计机关日渐认识到大数据技术的重要性，但很多地方审计机关尚未建立大数据分析平台，数据资源闲置浪费，数据孤岛现象严峻。即使是已开展大数据处理平台建设的地方，也多以自建数据中心为出发点，存在数量多、规模小、无序发展、重建轻用、资源利用率低等现象，亟待进行资源融合。截至2015年底，我国数据中心达46.9万个，绝大部分以企业自建为主，公共服务IDC(互联网数据中心)数量仍较少。[24]

 

1.3 统计学处理 采用SPSS18.0统计软件进行分析。对人口学特征、行为生活方式进行描述性分析，采用χ2检验初步分析不良行为生活方式的相关因素，采用多元Logistics回归对相关因素进一步分析。以P<0.05为差异有统计学意义。

当λi=0时，所以，当λi=0时，密度矩阵ρ不是酉矩阵。

推论2 任意n阶密度矩阵ρ=Q+N的形式，其中Q是一个与对角矩阵相似的n阶方阵，N是一个幂零矩阵(Nm=0,m为自然数)，并且QN=NQ。

。约化密度算子ρA和ρB为：

 

(1)

显然，

第三，创新知识体系。要建立独立学院法学专业新的教材体系，它既不是普通本科教材的浓缩，更不是删减，而是知识体系的创新。新教材体系要以专业人才培养目标为依据，全面提高人才培养素质和教育教学质量，系统地研究、借鉴传统法学教材的优点，创立新的体例和新的语言风格，既要照顾到法律基础理论，又要突出实用性。

 

=Qi+Ni,(i=1,2,…,k)。

(2)

显然Qi为对角矩阵，Ni是一个幂零矩阵将(2)代入(1)得

 

=Q+N。

六月二十七的下午，女社员们正翻红薯秧子，天突然下起雨来。杨小水信里的日期全是农历，六月二十七是阳历8月4日。小雨，但下得很急，队长杆子没让放工。当天晚上，村前村后的沟平了，塘满了，河也溢了。头天杆子还在忙着招呼堵水，现在又忙着派人放水，再不放，稻子就淹倒了。“庄稼老汉不怕鬼，就怕秋后一场水。”真不假啊。

(3)

因此，Q相似于对角阵，且Nm=0,即N为幂零矩阵。于是

 

 

(4)

类似的，

 

(5)

又因为

QiNi=(λiE)Ni=λiNi,NiQi=Ni(λiE)=λiNi,

所以QiNi=NiQi,(i=1,2,…,k)。

(6)

因此，由(4)，(5)，(6)可得QN=NQ。

从推论1可知，当λi=0时，密度矩阵不是酉矩阵，因而，密度矩阵不具有保内积性。受推论2的启发，为方便密度矩阵的理论研究，可用两个特殊矩阵的和表示密度矩阵。

3 密度算子性质的应用

3.1 量子叠加态的相干性

量子计算机在实现高效率的并行运算过程中，需要用到量子叠加态的相干性。本部分主要是从一个新的角度来分析量子叠加态的相干性。

定理2.1 令密度矩阵ρ是一个方阵，单量子比特|ψ〉为

假设WTP此时为最大值，即v=M=1000。考虑同时具有认知程度、环保认同、价格等三个差异因素的需求预测情况，根据式4计算列出相应结果，其具体数据如表2所示(结果经过四舍五入取整处理)。

其中i、j分别表示蜜源与问题维度的标号，i∈{1，2，…，SN}，j∈{1，2，…，D}；x表示更新前蜜源，v表示更新后蜜源，蜜源k表示蜜源i的邻域范围内的一个蜜源，f(Xi)表示蜜源i的适应值，即函数值，fit(Xi)表示蜜源i的适应度。

基于定理3.1，进一步来分析多体量子比特系统中量子叠加态的相干性。

定理3.2 由复合系统的密度矩阵可得到子系统的约化密度矩阵，则子系统不具有相干性，如果在任意两体量子比特系统中，子系统的约化密度矩阵平方的迹小于1。

证明 任意两体量子比特系统的希尔伯特空间为C2⊗C2,标准基为{|00〉,|01〉，|10〉，|11〉},其中的任意量子态可以表示为：

|ψ〉=C11|00〉+C12|01〉+C21|10〉+C22|11〉，其中∑=1。密度算子为：

ρAB =|ψ〉〈ψ|

=(C11|00〉+C12|01〉+C21|10〉+C22|11〉)·

证明 由密度矩阵的若尔当标准形可知，存在可逆矩阵P,使得

ρA =trB(ρAB)

证明 由于Bloch球面上的量子比特构成系综{pi,|φi〉},则相应的密度算子代数形式为：

 

ρB =trA(ρAB)

=

 

则在基{|00〉,|01〉,|10〉,|11〉}下的密度矩阵为：

 

 

为方便研究，记可推出tr((ρA)2)=1-2|detC|2。

因此，tr((ρA)2)=1当且仅当|detC|=0即C11C22=C12C21。但是对于混合态，C11C22≠C12C21总使得tr((ρA)2)<1。故子系统A不具有相干性。类似的，子系统B也不具有相干性。

定理3.3 三体量子比特系统具有相干性，如果三体量子比特系统中的量子态表示为：

|ψ〉=κ0|000〉+κ1eiθ|100〉+κ2|101〉+

κ3|110〉+κ4|111〉。

证明 三体量子比特系统的希尔伯特空间为C2⊗C2⊗C2，量子态为：

⊗jB⊗kC,

其中的一组基为：

{|000〉,|100〉,|101〉,|110〉,|111〉}[12],

则由酉变换得到量子态的表示形式为：

|ψ〉=κ0|000〉+κ1eiθ|100〉+κ2|101〉+

κ3|110〉+κ4|111〉,

其中

 

0≤θ≤π。

则三体量子比特系统的密度算子为：

ρABC =|ψ〉〈ψ|

=(κ0|000〉+κ1eiθ|100〉+κ2|101〉+κ3|110〉+

 

 

在基{|000〉,|100〉,|101〉,|110〉,|111〉}下的密度矩阵为：

 

显然，密度矩阵ρ的非对角线元素不全为0。因此，此三体量子比特系统具有相干性。

从定理3.1、定理3.2和定理3.3可以得出：对于单量子比特系统，可用密度矩阵的对角元素直接分析量子叠加态的相干性；对于多量子比特系统，可用子系统的约化密度矩阵分析量子叠加态的相干性。

3.2 密度算子可区分的数学理论

量子态的可区分性是量子信息理论中量子测量的一个重要应用。

定义[13] 设是量子系统H上的一组量子态。

(1)若存在投影测量使得矩阵C(S,M)=[tr(Miρj)]iji,j∈{1,2,…,n}为正定对角阵，则称是可区分的，否则为不可区分的。

(2)若存在投影测量使得矩阵C(S,M)为单位阵，则称是可明确可分的。

其中，称C(S,M)=[tr(Miρj)]iji,j∈{1,2,…,n}为判断矩阵。

定理是可明确区分的一组量子态当且仅当是正交的。

是可区分的一组量子态当且仅当 是线性无关的。

基于量子态可明确区分的概念、充要条件和密度算子的基本性质，从数学的角度研究了密度算子作为量子态可明确区分的性质。

定理3.5 设是量子系统H可明确区分的一组量子态，则状态组{ρ1,ρ2,…,ρn}是系统H的一个规范正交基，且dimH=n。

证明 若是量子系统H可明确区分的一组量子态，则存在投影测量使得tr(Miρi)=1,tr(Miρj)=0(i≠j)。

假设线性相关的，则存在i∈{1,2,…,n}使得ρi=∑i≠1kjρj，则

1 =tr(Miρi)=tr(Mi(∑i≠jkjρj))

=∑i≠jkjtr(Miρj)=0

矛盾。所以是线性无关的。

当以概率P(i)处于状态ρi时，系统可以由密度算子ρ=∑iP(i)ρi进行描述。因此由ρ1,ρ2,…,ρn可生成量子系统H。

由定理3.4知，是正交的。再对向量ρ1,ρ2,…,ρn进行规范化，则向量组{ρ1,ρ2,…,ρn}是量子系统H的一个规范正交基，故dimH=n。

定理3.6 设是量子系统H可明确区分的一组量子态，且H=X⊕X⊥，则量子系统H中的每一个状态ρ可以唯一表示成ρ=ρ′+ρ″,ρ′∈X，ρ″∈X⊥。

证明 显然ρ=ρ′+ρ″,ρ′∈X，ρ″∈X⊥如果状态ρ还可以表示成：

ρ=ρ1′+ρ1″,ρ1′∈X，ρ1″∈X⊥。

那么ρ′-ρ1′=ρ″-ρ1″，ρ′-ρ1′∈X,ρ″-ρ1″∈X⊥。

由于X∩ X⊥={0}，所以ρ′-ρ1′=0，ρ″-ρ1″=0。即ρ′=ρ1′，ρ″=ρ1″。

4 结束语

本文通过研究密度矩阵的奇异值分解和若尔当标准形，得出纯态和混合态的密度矩阵的奇异值分解形式以及密度矩阵的一些基本性质，这些结果不仅有助于更好的理解密度算子，而且为密度矩阵相关理论的更深层次研究提供了便利。其次，还将密度算子的性质应用到量子力学中其他性质的证明上：分析了多量子比特系统中量子叠加态的相干性，并拓展了密度算子作为量子态可区分的数学理论。

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