1　引言及定义

近几年来，图的控制理论的研究越来越深入广泛，各类控制概念被相继提出且研究成果不断丰富，T.W.Haynes等[1-2]综述了图的控制理论研究方面的主要研究成果，不过美中不足的是，大部分研究成果都是关于控制参数的估计[3-6]，属于图的点控制，有关于图的边控制问题和结论甚少，正是基于此现状，通过借阅两类图的边控制集划分[7]，对扇形图的边控制集划分进行了探索。Cockayme等[8]引入了图的控制划分数的概念，Zelinka[9-12]研究了图的集边控制数。文中所指的图均为无向简单图，文中未说明的符号和术语同于文献[13-15]。

设 G=（V，E）为一个图，S⊆E，f：E→R 为一个实值函数，则简记用 V（G）和 E（G）分别表示G 的顶点集和边集。对于任意边 e∈E（G），NG（e）表示 G 中与 e相邻的边集，称为 e的边邻域，NG［e］=NG（e）∪{e}意为 e 的闭边邻域。用 表示 e 在 G 中的边度。NG（e），NG［e］和 dG（e）可分别简记为 N（e），N［e］和 d［e］。 Fn（如图 1 所示）表示 n+1 阶扇形图，Fm，n（如图 2 所示）表示 m×n+1 阶广义扇形图。本文中的两类图 Fn，Fm，n均可简记为 G。

引理1[15] 设G=（V，E）为一个非空图，D⊆E，如果对于任何一条边e∈E－D，均存在e′∈D使得e和e′相邻（即有一个公共端点），则称D为图G的一个边控制集。

定义1[15] 设G=（V，E）为一个图，E的一个划分称为G的一个t-集边控制划分，如果每一个Di（i＝1，2，…，t）均为图 G 的边控制集。 图 G 的集边控制数记为 d′（G），其定义为

 

引理2[9] 对于任何图G，δ（G）和δe（G）分别表示图G的最小度和最小边度，则有

 

论文优化了扇形图Fn的集边控制数结论及其证明过程，并将扇形图作了推广，确定了广义扇形图Fm，n的集边控制数。

  

图1　扇形图Fig.1　Fan graph

  

图2　广义扇形图Fig.2　Generalized fan graph

2　主要结果及证明

定理1　对于扇形图Fn，设n≥2且n为整数，则有

 

证明　Fn＝Pn∨K1，记 K1点为 v0，路 Pn上的点 V（Pn）＝｛vi｜1≤i≤n｝，边 E（G）=｛（v0vi）｜1≤i≤n｝∪｛（vivi＋1）｜1≤i≤n－1｝。 下面对 Fn进行边标号 1，2，3，4…，使得相同标号的边集为一个边控制集。

②大数据技术的运算工作基于强大的计算机处理系统，数据获取和整合速度快，便捷性程度高，方便城乡规划人员与管理者进行设计与决策，且有助于资源的合理调配，可以在一定程度上减少城市规划的经费开支[1]。

情况1　当2≤n≤4时，注意到引理2中关于图的集边控制数的上下界限。

子情况1.1　　当n＝2时，不难得到

子情况 1.2　　当 n＝3时，用反证法证。 若 d′（G）＝4，因为则说明有一条边为一个边控制集，产生矛盾，所以 d′（G）＜4；又容易给出标号：f（v0v1）=f（v0v3）=3，f（v0v2）＝2，（v1v2）＝f（v2v3）＝1，即 d′（G）≥3；故 d′（G）＝3。

情况 3　　当 m≥3 且 n=4 时，与情况 2 不同的是，边控制集标号在边{（vi,j，vi+1,j）｜1≤i≤m-1，1≤j≤n}上得到了延伸，而其边集E2（G）正好可以用4个边控制集来进行标号，如图3所示，可以很清晰地发现规律。故 d′（G）=4。

情况2　当n≥5时。注意到标号规律关于n成4倍循环关系。

子情况 2.1　当 n≡1（mod4）时，如图 1 所示，对于每个 k=1，2，…，记 f（v0v4k-3）=3f（v4k-3≠vn），f（v0v4k-2）＝4，f（v0v4k-1）＝1，f（v0v4k）＝2，f（v0vn）=1;f（v4k-3v4k-2）=1，f（v4k-2v4k-1）=2，f（v4k-1v4k）＝3，f（v4kv4k＋1）＝4。

即 d′（G）≥4，此标号给出了一般规律。 又 d′（G）≤δe（G）＋1＝4，故 d′（G）=4。

子情况 2.2　当 n≡2（mod4）时，如图 1 所示，对于每个 k=1，2，…，记 f（v0v4k-3）=3，f（v0v4k-2）＝4（v4k-2≠vn），f（v0v4k-1）＝1，f（v0v4k）＝2，f（v0vn）=2;f（v4k-3v4k-2）=1，f（v4k-2v4k-1）=2，f（v4k-1v4k）＝3，f（v4kv4k＋1）＝4。

f（v2，4k-2v2，4k-1）=2， f（v2，4k-1v2，4k）=3， f（ v2，4kv2，4k+1）＝4， f（v0v2，4k-3）＝3，

可变尺度池化的思想就是把不同输入特征尺寸，通过池化函数以不同大小的滑动窗口和步长来提取特征，把不同尺寸的输入映射到固定尺寸的输出。可变尺度池化层运算的示意图如图3所示。

子情况 2.3　当 n≡3（mod4）时，如图 1 所示，对于每个 k=1，2，…，记 f（v0v4k-3）=3，f（v0v4k-2）＝4，f（v0v4k-1）＝1，f（v4k-1≠vn），f（v0v4k）＝2，f（v0vn）=3;f（v4k-3v4k-2）=1，f（v4k-2v4k-1）=2，f（v4k-1v4k）＝3，f（v4kv4k＋1）＝4。

即 d′（G）≥4，此标号给出了一般规律。 又 d′（G）≤δe（G）＋1＝4，故 d′（G）=4。

子情况 2.4　　当 n≡0（mod4）时，如图 1 所示，对于每个 k=1，2，…，记 f（v0v4k-3）=3，f（v0v4k-2）＝4，f（v0v4k-1）＝1，f（v0v4k）＝2（v4k≠vn），f（v0vn）=4;f（v4k-3v4k-2）=1，f（v4k-2v4k-1）=2，f（v4k-1v4k）＝3，f（v4kv4k＋1）＝4。

即 d′（G）≥4，此标号给出了一般规律。 又 d′（G）≤δe（G）＋1＝4，故 d′（G）=4。

综上所述，当 2≤n≤4 时，E（G）可划分成图 G 的 3 个不交的边控制集，即 d′（Fn）=3；当 n≥5 时，E（G）可划分成图G的4个不交的边控制集，即d′（Fn）=4。定理1证毕。

定理2　对广义扇形图，若且为整数，则

 

证明　现将广义扇形图 Fm，n上的点如图 2 所示进行标记，记 V（G）=｛v0｝∪｛（vi，j）｜1≤i≤m，1≤i≤n｝，E（G）=｛（v0vm，j）｜1≤i≤n｝∪｛（vi，jvi，j＋1）｜1≤i≤m，1≤j≤n－1｝∪｛（vi，jvi+1，j）｜1≤i≤m-1，1≤j≤n｝。

作为国内切纸机行业领军企业、国家级高新技术企业，华岳注重技术创新与产品研发，具备年产1000台以上切纸机产品的生产能力，还是切纸机、贴窗机、纸堆翻转机、卸纸机、升降机等产品标准的起草和制定单位，并且获得了“全国印刷机械标准化技术委员会先进单位”的光荣称号。

下面对Fm，n进行边标号1，2，3，4…，使得相同标号的边集为一个边控制集。

Power stations，large and small，have been set up all over the country.（大大小小的电站已经在全国各地建起来了。）

情况 1　当 m≥2 且 n=2，3 时，有 d′（G）＝3。

同样以孤石B为研究对象对其进行力学分析，孤石受到重力G作用，假设前后两个面近似垂直下接触面，受到的力分别为N2与N1，两个侧面受到的压力大小同为N3，孤石与土的摩擦系数为μ，μ可通过试验获得，外部作用力Fi等。假定孤石B与周围土体的下接触面倾角为θ，边坡倾角为η，孤石倾倒时绕支点E进行，li为E点到周围土体对孤石作用力Ni的力臂，则孤石B的力学平衡方程为：

子情况 1.1　　当 m≥2 且 n=2，记 f（vi,1，vi,2）=1（1≤i≤m）。当 i为奇数时（1≤i≤m-1），记 f（vi,1，vi+1,1）=2， f（vi,2，vi+1,2）=3；当 i为偶数时（1≤i≤m-1），记 f（vi,1，vi+1,1）=3， f（vi,2，vi+1,2）=2。

即 d′（G）≥3。 又 d′（G）≤δe（G）+1=3，故 d′（G）＝3。

子情况1.2　　当m≥2且n=3时，用反证法。若d′（G）＝4，该情况的广义扇形图，即考虑定理1中当n=3时的情况。因为图的部分边 E1（G）={（vi,j，vi,j+1）｜1≤i≤m，1≤j≤n-1}∪｛（vi，jvi+1，j）｜1≤i≤m-1，1≤j≤n｝可以用1～4 来标号，而部分边 E2（G）={（v0，vm，j）｜1≤j≤n}不存在一条边构成一个边控制集的情况，与假设矛盾，所以d′（G）＜4。 这里 E（G）=E1（G）∪E2（G）。 同时，不难得到 d′（G）=3 时的标号，即 d′（G）≥3。 故 d′（G）=3。

情况2　　当m=2且n=4时，证法同子情况1.2，即考虑定理1中当n=4时的情况。故d′（G）=3。

从公式(5)、(6)、(7)看，此种赋存形态的孤石受力较为复杂，主要受孤石埋置的程度，坡面角度、孤石的埋藏边界，与周围土体的接触情况等影响。由图与公式可以看出，相比完全裸露孤石，部分埋入型重心更加深入土体中，在抗滑与抗倾覆上更加安全。但，此种孤石在长期的自然雨水的冲刷，会导致AC段埋深增大，而下面的OE段反而减小，造成OE受到很大的被动土压力，最终OE下方土体发生剪切破坏，导致孤石失稳滚落。由此可见，此种赋存形式的孤石不但要考虑孤石的稳定性，更要注意孤石周边土体的稳定性。

子情况 1.3　　当 n＝4时，证法同子情况 1.2。 若 d′（G）＝4，因为结果没有一条边为一个边控制集，与假设矛盾，所以 d′（G）＜4。 同样地，记 f（v0v1）＝f（v2v3）＝f（v0v4）＝1，f（v0v2）＝f（v0v3）＝3，f（v1v2）＝f（v3v4）＝1，即d′（G）≥3。 故 d′（G）＝3。

解决因为文化差异而导致的交流障碍，应该允许口译员扮演更为活跃的角色。赵军峰等指出：由于法庭口译方面研究的进展，实际上法庭口译员在法庭上的地位已经变成了言语双方的“调解者”[3]20。笔者认为,法庭口译员在必要的时候可以尝试进行文化调解，而且只要调解策略得当，法庭口译员能够在做出文化调解的同时保持中立性和准确性，并将对庭审的影响降到最小。

子情况 4.1　当 m＝2且 n≡1（mod4）时，如图 2所示，对于每个 k=1，2，…，记

f（v1，2k-1，v1，2k）=2， f（v1，2k，v1，2k+1）=1， f（v1，2k-1，v2，2k-1）=4， f（v1，2k，v2，2k）=3，

f（v2，4k-3，v2，4k-2）=1， f（v2，4k-2，v2，4k-1）=2， f（v2，4k-1，v2，4k）=3， f（v2，4k，v2，4k+1）=4，

f（v0v2，4k-3）=3（v2，4k-3≠v2，n）， f（v0v2，4k-2）=4， f（v0v2，4k-1）＝1， f（v0v2，4k）＝2， f（v0v2，n）＝1。

海外中资建筑企业应该采用以集团为单位的形式进行相应的供应链统一共享服务，并通过有关的合同协议来维护供应链统一共享服务体系的稳固性。同时，进一步加强内部集团化建设，在进行海外工程投标和施工中应以集团为单位与相关业务供货商和分包商进行商榷并达成合同协议，进而实现自身采购成本的最小化。作为回报应确保集团内部的所有经济实体都在尽可能从该供货商或分包商处采购，进而大尺度降低采购过程中由于询价、讨价、还价及协商订单条款等环节产生的管理成本流失。

即 d′（G）≥4。又因为 d′（G）≤δe（G）+1=4，故 d′（G）＝4。

子情况 4.2　　当 m＝2且 n≡2（mod4）时，如图 2所示，对于每个 k=1，2，…，记

f（v1，2k-1，v1，2k）=2（v1，2k≠v1，n）， f（v1，2k，v1，2k+1）=1， f（v1，n-1，v1，n）=4，

f（v1，2k-1，v2，2k-1）=4（v1，2k-1≠v1，n-1）且 v2，2k-1≠v2，n-1）， f（v1，2k，v2，2k）=3， f（v2，4k-3v2，4k-2）=1，

即 d′（G）≥4，此标号给出了一般规律。 又 d′（G）≤δe（G）＋1＝4，故 d′（G）=4。

f（v0v2，4k-2）=4（v2，4k-2≠v2，n）， f（v0v2，4k-1）=1， f（v0v2，4k）＝2， f（v0v2，n）＝2。

政府设置产业园区对当地的工业企业给予政策扶持对当地的经济带来了积极的影响。园区可以实现劳动力、资本和原料等生产要素的集聚和流动，而土地、基础设施、交通等资源的共享可以产生集聚效应，为园区内的各工业企业的发展带来助力。政府的各项优惠以及扶持政策给中小企业以及小微企业的生存和发展提供了帮助，优化企业的融资环境，优化金融环境，使得小微企业得以存续。工业园区的发展使得当地的基础设施建设得以改善，进一步降低了生产的相对成本，有利于经济的进一步发展，园区内工业企业的发展创造了更多的就业机会。

即 d′（G）≥4。 又因为 d′（G）≤δe（G）+1=4，故 d′（G）＝4。

子情况 4.3　　当 m＝2且 n≡2（mod4）时，如图 2所示，对于每个 k=1，2，…，记

f（v1，2k-1，v1，2k）=4， f（v1，2k，v1，2k+1）=3， f（v1，2k-1，v2，2k-1）=2， f（v1，2k-1，v2，2k）=1，

f（v2，4k-3，v2，4k-2）=1，f（v2，4k-2，v2，4k-1）=2，f（v2，4k-1，v2，4k）=3， f（v2，4k，v2，4k+1）=4，

f（v0v2，4k-3）=3（v0v2，4k-2）=4， f（v0v2，4k-1）=1（v2，4k-1≠v2，n）， f（v0v2，4k）＝2， f（v0v2，n）＝3。

即 d′（G）≥4。 又因为 d′（G）≤δe（G）+1=4，故 d′（G）＝4。

子情况 4.4　　当 m＝2且 n≡0（mod4）时，如图 2所示，对于每个 k=1，2，…，记

f（v1，2k-1，v1，2k）=4（v1，2k-1≠v1，n-1 且 v1，2k≠v1，n）， f（v1，2k，v1，2k+1）=3， f（v1，n-1，v1，n）=2，

[5]ZHANG Z F，XU B G.A note on the lower bounds of signed domination number of a graph[J].Discrete Math，1999，195：295-298.

f（v2，4k-3v2，4k-2）=1， f（v2，4k-2v2，4k-1）=2， f（ v2，4k-1v2，4k）＝3， f（v2，4kv2，4k+1）＝4，

不仅修出了人头，还修出了人身！青辰努力压制着内心的恐惧，用手臂压紧口鼻，屏住呼吸。对方的身体正从上空掠过，只要稍稍低下一些头，便能发现他，他甚至能数清楚对方下巴上有几根汗毛。

f（v0v2，4k-3）=3， f（v0v2，4k-2）＝4， f（v0v2，4k-1）=1， f（v0v2，4k）＝2（v2，4k≠ v2，n）， f（v0v2，n）＝4。

即 d′（G）≥4。 又因为 d′（G）≤δe（G）+1=4，故 d′（G）＝4。

情况4　　当m≥2且n≥5，d′（G）＝4。注意到标号规律关于n成4倍循环关系。

子情况4.5　　此子情况之所以不同于上述4种子情况，理由同情况3。现给出其标号如图4所示，同样地，其边集E2（G）可以任意标号4个边控制集即可满足条件，不难得到d′（G）=4。

  

图3　广义扇形图1Fig.3　Generalized fan graph 1

  

图4　广义扇形图2Fig.4　Generalized fan graph 2

综上所述，当 m≥2 且 n=2，3，或 m=2 且 m=4 时，E（G）可划分成图 G 的 3 个不交的边控制集，即 d′（Fm，n）=3；当 m≥3 且 n=4，或 m≥2 且 n≥5 时，E（G）可划分成图 G 的 4 个不交的边控制集，即 d′（Fm，n）=4。 定理 2证毕。

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f（v1，2k-1，v2，2k-1）=2（v1，2k-1≠v1，n-1 且 v2，2k-1≠v2，n-1）， f（v1，2k，v2，2k）=1， f（v1，n-1v2，n-1）=4，

建立健全科学的施工责任制度是保证工程建设顺利性的重要基础。在实际建设时要建立起来相应的施工责任制度，这样能够有效提升施工安全管理水平。施工责任制度就是企业当中各个岗位责任制度之中的重要内容，它的有效落实能够推动建筑行业的有序发展。具体来说就是要求施工现场的每一个人员都要明确自身的责任，使彼此之间能够相互配合、协调工作，确保安全管理工作能够落实到位。图1是施工现场安全管理组织流程图。

[6]XU B G.On signed edge domination numbers of graphs[J].Discrete Math，2001，239：179-189.

[7]徐保根，邹妍，赵丽鑫.两类图的边控制集划分[J].安徽大学学报，2016，40（4），1-5.

[8]COCKAYNE E J，HEDETNIEMI S T.Towards a theory of domination in graphs[J].Networks，1977（7）：247-261.

3)若只考虑巷道断面内的定位精度，基于四点式光靶的掘进机定位方法可以满足与惯性导航系统组合实现掘进机自动导航定位的精度要求。下一步将研究基于四点式光靶的掘进机定位系统的误差补偿方法，以实现包括进尺距离在内的掘进机三维高精度定位。

[9]ZELINKA B.Edge-domatic number of graph[J].Czech Math，1983，33：107-110.

为了兼顾各项指标的得失，采用综合加权评分法进行分析[3-4]，以选出使各项指标都尽可能达到最优的组合。

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