1　数据降维及张量概述

随着互联网时代的不断发展，数据规模越来越大，数据的结构往往具有高维特性，对高维数据进行处理，人们可以挖掘出有价值的信息。但是数据维度越高，数据处理难度越大，计算复杂度的增加往往会带来“维度灾难（Curse of dimensionlity）”，为了避免“维度灾难”，在传统的处理方法中，人们往往通过维数约简的方法对高维数据进行降维处理。传统的维数约简方法能够对数据进行有效的降维，如独立成分分析（ICA）[4]、主成分分析（PCA）[1-2]、线性判别分析（LDA）[5-6]、局部特征分析（LFA）[7-8]等。 基于核函数的非线性维数约简方法有：基于核函数的独立主成分分析（KICA）[9]、基于核函数的主成分分析（KPCA）[10-11]、基于核函数的决策分析（KDA）[12]等等。在对数据降维的过程中，传统的维数约简方法不可避免的破坏原数据的几何结构，在对数据降维和特征提取的过程中，往往会对原始数据造成一定的损失，在这种情况下，张量以其不损坏数据的内在结构和潜在信息而受到广泛关注，将数据表示成张量结构能有效的解决高阶数据问题。

张量是一个多维数组，一阶张量是向量，二阶张量是矩阵，三阶及以上张量称之为高阶张量[3]。在实际应用中，张量实现了对问题更准确的建模。对于具有张量结构的高阶数据，可以通过对张量数据进行分解以减少数据的损失，降低计算的复杂度，从而保留原始数据的信息和特征。本质上，张量分解是一种高阶数据的分解方法，在社交媒体，学术趋势研究，社区演化等领域均可用张量分解进行数据分析。在学术领域，传统的方法往往研究的是数据的单一特征，如<作者，论文＞的关系。　然而，在现实世界中，数据往往表现的是高阶关系，例如<作者，论文，关键字＞，<用户，产品，标签＞等。

张量分解最经典的分解方法为CP分解和Tucker分解，CP分解的思想是将一个N阶张量分解为若干个秩一张量和的形式，CP分解能够保证分解结果的唯一性，但CP分解对应的秩求解是一个NP难题，在Kolda[3]的文章中给出张量秩的近似求解方法。Tucker分解的思想是将原张量分解成核心张量和因子矩阵乘积的形式，核心张量保留原张量的主要信息。在现有经典算法的基础上，矩阵的算法和理论思想已经推广到了高阶张量，并取得了一系列的研究成果。近年来，张量分解在神经科学[13-18]、信号处理[19-22]、数据挖掘[23,24]、图像分析[25-26]等领域的发展日趋成熟。

现在已有相关的英文综述文章和论著对张量分解相关算法进行总结和概述[3]，但有关张量分解算法，包括CP分解、Tucker分解和非负张量分解算法及其具体应用方面的资料，尤其是中文综述资料较少。另一方面，对这些理论和技术的典型应用的总结还不多见，本文希望抛砖引玉，为相关领域同行的研究提供一个参考。

在本文中，我们首先对张量分解中最经典的算法CP分解和Tucker分解进行对比分析，对CP分解、Tucker分解和非负张量分解在前人的研究基础上进行了归纳和总结，并给出了这些经典算法的求解方法。最后从人脸识别、信号处理、个性化推荐的领域详细举例说明近来它们的典型的应用。

2　符号参数和相关运算

论文中，向量（一阶张量）用小写粗体字母表示，如：a，矩阵（二阶张量）用大写粗体字母表示，如：A，张量（三阶及以上张量）用欧拉粗体字母表示，如：χ，常量用小写不加粗字母表示，如：a。向量a中的第i个元素用 ai表示，矩阵 A 中的第（i，j）个元素用 aij表示，张量 χ 中的第（i，j，k）个元素用 χijk表示，取值范围为（1，I），即：i=1，…，I。 符号“◦”表示向量的外积，序列中的第 n 个元素表示为：A（n）。

“壶说”目前以黄进、刘尚仁等少数研究者为代表，认为“基岩河床上形成的近壶形的凹坑，是急流漩涡夹带砾石磨蚀河床形成的”。

对于矩阵 A∈RI×J，B∈RK×L，A⊗B 表示矩阵的 Kronecker积，A∈B 表示矩阵的 K-R 积， A*B 表示矩阵的Hadamard积，运算如下

 

矩阵 A∈RI×J，B∈RK×L，A⊗B 运算后矩阵的大小为（IK）×（JL），A∈B 运算后矩阵的大小为（IJ）×（K），A*B 运算后矩阵的大小为I×J，‖A‖表示矩阵A的奇异值之和，表示矩阵A的l2，1范数，ai表示矩阵A的第i列。

根据系统输出连续、及时发现故障并实时切换两个重要因素，设计一种基于可编程逻辑器件的硬件仲裁切换机制，实现双机容错实时切换系统。

3　CP分解和Tucker分解比较

 

表1　CP分解和Tucker分解比较Tab.1　Comparison of the CP decomposition and the Tucker decomposition

  

?

表1式中：P，Q，R，I，K均为对应矩阵中的维度值；p，q，r均为对应维度值中的参数值。

如果向南要结婚，把老家那栋老房子做婚房，显然也不太合适，房子已经太老了，要做新房，肯定也需要修葺一番，这花的钱，相当于是无用钱，因为易非已不打算让妈和弟弟再回老家去了，而且将来李倩倩坐月子，老家显然也不方便，别说是妈，就是易非自己，也不想让爸爸的长孙在老家受苦的。

微生物接种剂在农业领域应用技术已逐步成熟，广泛应用于多种牧草、粮食作物、蔬菜和中草药等领域。研究表明，大豆植株接种根瘤菌和假单胞菌，大豆磷含量、铁离子含量分别提高了88.9%、115.7%，且其全碳、全氮和豆血红蛋白的含量以及根瘤数目均有增加[1]。Abbasi等[2]从小麦根际分离出具有分泌IAA功能的细菌并接种于小麦根际，发现该菌对小麦促生效果明显，给辣椒接种芽孢杆菌(Bacillus)后辣椒产量和次生代谢产物(包括吲哚乙酸、铁载体和几丁质酶)含量均可增加[3]。

4　张量分解的三种经典算法

4.1　CP分解及其算法

CP交叉最小二乘法（CP-ALS）是CP分解应用最经典的算法，算法如下：

[17]DE VOS M，DE LATHAUWER L，VANRUMSTE B，et al.Canonical decomposition of ictal scalp EEG and accurate source localisation：principles and simulation study[J].Computational Intelligence&Neuroscience，2007，2007（Q4）：58253.

 

若分解后的矩阵A，B，C对应的列被正则化，则分解后存在一个权重向量λ，公式（4）转化如下

 

对于三阶张量，Tucker分解的数学表达式为

对于一般的N阶张量，CP分解的形式为

 

1）已知：原始张量 χ

2） 初始化：A（n）∈RIn×R，其中 n=1，…，N

3） 循环 n=1，…，N

随着近年来数字测绘档案管理的发展，测绘地理信息档案管理开始向信息化数字化发展，所以必须要认识到构建数字测绘档案管理体系的重要性。因此，要不断完善档案管理的制度，管理信息化，基础设施和人才队伍培养。同时相关政府部门也要加大对档案信息化管理的支持力度，结合测绘档案管理需求开展高效的测绘地理信息档案管理，提高测绘信息档案的管理效率，推动我国数字测绘档案的信息化管理。

V←A（1）TA（2）*…*A（n-1）TA（n-1）*A（n+1）TA（n+1）*…*A（N）TA（N）

[14]N RUP M，HANSEN L K，PARNAS J，et al.Decomposing the time-frequency representation of EEG using non-negative matrix and multi-way factorization[J].University of Denmark，2006.

得到规范列 A（n）和 λ

迭代结束

在双边匹配问题中，设X方主体集为X={X1,X2,,XM}，其中Xi表示X方中第i个匹配主体，i∈I={1,2,,M},M≥2；Y方主体集为Y={Y1,Y2,,YN}，其中Yj表示Y方中第j个匹配主体，j∈J={1,2,,N},N≥2。

4） 最终输出：λ，A（1），A（2），…，A（N）

程序结束。

4.2　Tucker分解及其算法

对于三阶张量，Tucker分解的数学表达式为

平均路径长度和聚类系数随特殊节点数量的变化见图2和图3。在网络中特殊节点从0增加到80的过程中，统计的数据显示平均路径长度和聚类系数发生了明显的改善。而从特殊节点80个开始，进一步增加特殊节点也不再带来进一步的改善。借助物理术语，这种现象称为相变［3］。相变现象表明，只有在网络中将特殊节点设定在总节点20%（80个）的范围内，才能够起到减少平均路径长度和增加聚类系数的效果。该试验的过程是实现在网格网络上，在随机网络拓扑结构模型中可得到相同的结论。

“创投”项目的实施，涉及政府、债权人(现在主要是银行和担保机构)、新型农业经营主体和农民，各方利益诉求不同，影响因素也不一样。

 

对于一个三阶张量 χ∈RI×J×K，Tucker分解可以将张量 χ 分解成三个因子矩阵 A∈RI×P，B∈RJ×Q，C∈RK×R和一个核心张量G∈RP×Q×R的形式，因子矩阵称为对应模上的基矩阵，因子矩阵也称为该模上的主成分，因此Tucker分解又称为高阶奇异值分解。

将公式（7）推广到N阶即

 

写成矩阵形式即

 

式中：g为G中某一维度上的矩阵。

高阶奇异值分解算法（HOSVD）是Tucker分解应用最经典的算法，算法如下：

1）已知：原始张量χ

2） 张量按模展开 χ（n），n=1，…，N

3） 循环 n=1，…，N：计算奇异值分解得左奇异值Uk循环结束

生物炭是由生物质材料在缺氧或无氧环境下，裂解形成的一种“富碳”物质，农业秸秆生物质是制备生物炭的常用前体材料(图1)。近年来研究者发现生物炭具备发达的孔隙结构、丰富的表面官能团和表面电荷[20]等性质，能高效的吸附多环芳烃、农药等有机污染物和重金属[12]。生物炭的制备方法有水裂解法和热裂解法，水裂解法原料无需干燥但热解温度不能高于350 ℃，相对于水裂解法，热裂解法可制备100～900 ℃的生物炭。常见的热裂解法有限氧控温炭化法和无氧升温炭化法。无氧升温炭化法是将进行干燥预处理的生物质材料在N2或者CO2保护的管式炉中进行裂解，相较于限氧升温炭化法，该过程制备的生物炭产量高、灰分少。

4） 核心张量 G←χ×1A（1）T×2A（2）T…×NA（N）T

5） 最终输出：G，A（1），A（2），…，A（N）程序结束。

4.3　基于低秩表示的非负张量分解

在实际应用中，如何将样本划分到对应的低维子空间，是一个复杂问题。传统的划分方法有SVD[56]、PCA[1-3]、LDA[5,6]、SSC[54]等，这些方法广泛应用于图像数量、人脸聚类等问题。稀疏表示衍生于压缩感知理论，数学模型表示如下

 

其中‖Z‖*为矩阵奇异值之和，模型（10）在人脸识别、图像分割等领域中应用广泛，通过不断迭代逼近进行求解，对于3阶张量X=G×1U1×2U2×…×NUN求其最优解可以通过下式得到

 

对于式（10）中的低秩表示模型，在不考虑噪声的情况下，引入辅助变量Z，式（11）转化如下

 

[4]CALHOUN V D，LIU J，ADAL T.A review of group ICA for fMRI data and ICA for joint inference of imaging，genetic，and ERP data[J].Neuroimage，2009，45（1）：163.

 

其中S为拉格朗日乘子，对于式子（13），一般采用ADM方法进行求解。

非负Tucker分解是Tucker分解在非负矩阵分解中的具体应用，算法如下：

1） 已知：输入原始张量 χ，初始化 G≥0，U（n）≥0，n=1，…，N，迭代次数为 T

2） 张量 χ 按模展开得 A（n），n=1，…，N

3）循环 Z

循环 n=1，…，N Z＝G×1U（1）×2…×（n-1）U（n-1）×（n+1）U（n+1）…×NU（N）

4）将Z按n模矩阵化为Zn U（n）≈（U（n）*（XnZnT）） ／（U（n）ZnZnT）

(1)K1矿脉带:地表控制长度450 m，厚度1.49～2.48 m，钼品位0.012%～0.063%。矿脉带受构造蚀变石英脉控制，该矿脉带发现1个矿体和3个矿化体。

循环结束

5）

循环结束

6） χ 的重构张量：G×1U（1）×2…×NU（N）

程序结束。

这篇论文到这里也就接近尾声了，我们现在为这篇文章做一些总结。在这篇论文中，我们首先讨论了过地轴的隧道中物体的运动情况，接着又讨论了地球上任意一隧道中物体的运动情况。在整个探索过程中，我们主要运用了微分方程的思想，使得研究对象的运动过程变得十分清晰、透彻。

5　张量分解的应用

5.1　人脸识别

随着信息技术的发展，人脸识别技术的研究取得了显著成果，利用分析比较人脸视觉特征信息进行身份鉴别，人脸识别方法[27-30]在发展的过程中已经走进大众生活。在实际应用中，对于输入的人脸图像或者视频流等数据，数据呈现的往往是高维的，并且这些数据往往由于像素维数较高，容易导致“维数灾难”的发生[31]，从而使问题处理非常困难。因此处理这些高维数据首先需要降维，在传统的降维方法中，一般采用独立成分分析[4]、主成分分析[1-2]、线性判别分析[5-6]等方法进行降维。但是利用传统的降维方法进行降维，由于噪声等因素的影响，不可避免的会丢失一些数据信息。针对上述降维方法中的缺陷，近年来，学者提出将图像数据处理成张量形式，并且这些元素都是非负的。在基于非负张量的人脸识别中，Welling[32]在2011年将NMF推广到非负张量，即正张量分解的不动点算法（PTF），该算法能有效的最小化重构误差，对应任何秩的张量都能被分解，PTF不动点算法的性能优于奇异值分解算法。Kim[33]等人基于张量的Tucker模型，研究了NTF乘性迭代规则，由于数据张量通常具有多种模式并且是大规模的，现有算法在存储和计算时间方面都具有非常高的复杂度，NTF乘性迭代算法能显著的降低存储复杂性和运行时间。Tamir Hazan[34]等人从梯度的角度研究了NMF方法，通过梯度下降进行迭代求解，使数据的收敛速度更快，Chen[35]提出了NMF-ALS方法，该算法概述了数值分析中的强非负约束问题。

5.2　信号处理

由于矩阵模型在大多数时候并不能直观的表示人们需要处理的信号，因此将张量模型和张量分析方法应用于信号处理领域，需要进一步对数据进行处理。在传感器信号方面，文献[36]对张量分析的相关理论问题进行了深入的研究，提出了多个张量模型，如高阶奇异值分解（HOSVD）、高阶低秩逼近等多个张量分解模型，并将其应用于独立成分分析（ICA）等问题，文献[37，42]将PARAFAC分解应用于MIMO雷达中的多维谐波参数估计问题，利用PARAFAC分解的唯一性，构建基于张量分解的平行因子模型，该算法解决了矩阵求伪逆时可能带来的病态问题，收敛速度更快。除了PARAFAC分解，基于张量高阶特征分解（HOEVD）和高阶奇异值分解（HOSVD）也被应用于阵列信号处理。文献[38]提出了R-Dunitary Tensor-ESPRIT和Tensor-ESPRIT算法用于处理包括雷达、声呐、通讯、医学影像等的参数估计，该算法通过定义一个张量并利用奇异值分解（SVD）来处理信号子空间问题，该算法可以应用于任何基于多维空间的子空间参数估计问题，使参数估计的准确度得到很大的提高。文献[39]提出了基于子空间用于估计阻尼和延迟正弦波之和的方案，在低信噪比和紧密间隔的正弦波中，该算法优于当前张量和基于矩阵技术模型。在音频信号处理方面，文献[40]应用高斯混合模型和矢量量化（VQ-GMM）作为分类器，通过阈值判决区区分非静音和静音，对非静音将音乐、语音和背景音区分开来，准确率可达95%，另外，学者们也开始研究将高阶子空间分析应用于音频分类，文献[41]使用NMF方法设计了一个自动分类算法，可以对乐器声音进行分类，该分类器的分类效果的分类误差仅为1%，超过目前最先进的分类技术。当前应用比较成熟的还有图像处理，当医生对病人的心电图，脑电图等图像进行分析时，适合用张量进行建模分析[43-44]。

5.3　个性化推荐

在社会标签推荐系统中，在处理大量稀疏数据时算法复杂性较高，可能存在数据极度稀疏问题。在推荐系统中，图模型推荐算法、协同过滤推荐算法等传统推荐算法具有较好的效果。传统的推荐算法主要分为两类：一类是对现有算法进行改进，Zhang Zi ke[45]提出了超图模型,该模型可以为资源分配标签，还可以通过协作标签检索资源，超图模型是一种对现有算法进行改进的算法。另一类是将社会标签中的数据进行降维，如PLSA方法[46-47]可以直接用MLE来估计参数，该方法可以解决同义词和多义词的问题，利用了强化的期望最大化算法来训练隐含类，但是PLSA中训练参数的值会随着文档的数目线性递增。另外，PLSA可以生成其所在数据集的文档模型，但却不能生成新文档的模型。Hofmann[48]等人提出了基于链接和基于内容结合的模型，该模型基于概率因子分解，可以识别出集合的主题，该模型绘制主题之间的关系以构建预测连接内容模型，Peter Mika[49]提出了三部图模型，该模型是传统二分模式的扩展。

Symeonidis等人［50］首先提出了将结构完整并且本征结构稳定的高维数据应用到社会标签系统中，并且利用张量分解方法进行标签预测。文献[50]采用3阶张量方法，定义稀疏张量Y，以值“1”表示用户在标签上进行了标记，而“0”则表示没有用户没有标记。该方法可以去除数据集中的部分噪音，在预测效果上比传统张量分解方法效果好。Rendles等人[51]以正负来代表用户标签是否标记，如果用户对标签进行标记，则分类为“＋”，否则分类为“－”，这种方法对用户标签的分类有效，但这种方法并不能在预测过程中为用户提供有效的标签序列。Rendles等人[52]提出了一个新的推荐算法：PITF，它的主要思想是在张量分解时，考虑3个二维关系彼此之间的关联，PITF分解本质上是一种Tucker分解，它具有特殊的线性时间复杂度的，和其他推荐算法相比，推荐质量上有了很大的提高。廖志芳等人[53]将3部图应用于社会标签系统的表示方法中，在应用张量分解模型进行处理时，预测结果召回率和精确度有所提高，但是当社会标签中的数据稀疏并且数据具有损失的情况下，处理的精度有待高。

5.4　张量分解的发展趋势和展望

在处理大规模数据，尤其当数据表现为非线性时，利用核函数将输入空间通过非线性变化映射到高维空间，可以大大的简化计算。Xiao[57]于2016年的文章中，利用基于核函数的方法应用于低秩矩阵表示中，提出了RKLRR、RKLRS和RKNNLRS算法，将聚类的性能提高了数倍，聚类的误差却比传统方法小很多。基于核函数的低秩矩阵表示方法目前只在低阶矩阵中有所进展，对于将其应用于高阶张量数据还有待研究，这必然会成为在社区发现、推荐系统、信号处理等领域研究的方向之一，具有很大的研究价值和意义；Liu[58]于2014年的文章中，提出了基于图和低秩表示的非负张量分解算法（GNTF），图像的分类效果和现有分类算法相比有明显的提高，但在该方法中，并未选择约束项进行效果比较，同时也未考虑核函数对该算法性能上的优化，在该分类器中，选择合适的约束项，并将核函数应用其中，将会使分类器的性能得到进一步的提高，对算法的改进会有很好的效果。

在张量分解中，充分合理的利用高维数据的结构，对问题的建模非常重要，在CP分解中，求矩阵秩最小化问题，分析矩阵的内部结构信息对于矩阵的填充和恢复性能会有帮助。对于大规模的数据，基于现有的硬件条件，探索高效的、并行化的张量分解算法对问题的求解和实际应用具有重要的实用价值，如在矩阵核范数最小化问题中，奇异值分解是整个求解过程中最耗时的，如维数为m×n的矩阵中，时间复杂度为O(mn2)，在文献[59]中，提出了两种分段SVD信号处理算法，两种分段算法均能大大缩减处理时间。由前章节所述的实例中，我们对前述方法在大规模数据和高维信号分析与处理中的作用有所了解，这些理论为实际应用提供了理论支持。基于矩阵秩最小化、低秩矩阵恢复和核函数等原理或方法，利用张量分解充分挖掘大规模数据中的信息，以此设计合理的数学模型和算法，具有广阔的应用前景。

6　结束语

在本文中，我们分别介绍了张量分解算法中的经典算法：CP分解，Tucker分解以及非负张量分解，并对CP分解和Tucker分解进行了全面的比较。尤其的，本文对上述3种经典算法从算法的求解方法、基本思想、算法框架等方面进行了概括分析，并给出了这3种算法的实现方案，从中，我们可以领略到这些经典模型在张量分解中的强大之处以及他们在实际应用中的广泛性和有效性。在文章的最后部分，我们从人脸识别、信号处理、个性化推荐方面对现有的研究算法进行了分析和总结，介绍了最新的算法，并对该领域未来研究发展趋势进行了分析和总结。通过本文所述的实例，我们对张量分解在高阶数据分析与处理中的作用有了全面的了解，利用矩阵秩最小化和低秩矩阵表示等原理和方法，充分挖掘高阶数据中的信息，以此建立基于高阶张量分解的低秩矩阵表示模型，具有广阔的应用前景。

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对于式（12），其增广拉格朗日函数L为

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基于“95.8”洪水率定的糙率适合于中低流量洪水情况，大流量级别洪水条件下的河道糙率确定需要结合河床演变，分析主要水文/水位站水位-流量关系曲线(简称“H-Q”)、水位相关关系( 简称“H-H”)等数据综合考虑。

A（n）←X（n）（A（N）*…*A（n+1）*A（n-1）*…*A（1））V

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正因如此，GE Digital的“三步走”发展策略，即GE For GE、GE For Customers、GE For World是很务实的。在逻辑上，前两步都正确，但第三步踩了“知识壁垒”的红线，“For World”哪是那么容易？这中间恐怕省略了“For Other Industries”“For USA”等重要步骤，以及为了验证和优化这些重要步骤所必需的长期沉淀与反复打磨。GE Digital多跨出去的那一步，就是导致其业务停摆的短板——知识壁垒。

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