0 引 言

随机占优是投资组合中一种重要的决策方法(Mosler等[1]、Whitmore等[2])。作为一种重要的随机占优方法，SSD可用来描述风险规避型投资者的行为。带SSD约束的随机优化问题是由Dentchev等[3]提出的，他们通过引入新的变量，把该问题重新构造成一个线性约束优化问题。Dentcheva等[4]在之后的研究中分析了该问题的最优性与对偶性等问题。Dentcheva等[5]第一次将SSD应用到金融领域，即应用到投资组合优化问题中。当存在一个参考的投资组合时，带SSD约束的投资组合优化问题的目的，是找到一个投资组合策略二阶随机占优于该参考投资组合，且期望收益最大。Homem-De-Mello等[6]结合了割曲面算法与样本均值逼近(SAA)方法，来求解带SSD约束的随机优化问题。Sun等[7]用光滑的罚函数SAA方法来求解该问题。Rudolf等[8]、Fabian等[9]以及Sun等[10]采用割平面算法[11]来求解带SSD约束的随机优化问题。王伟等[12]在比较分析几类证券风险度量模型后发现，基于随机占优理论的证券投资组合模型能更好地为投资者提供参考和决策依据。罗晓琴等[13]提出了二阶随机占优约束的保险资金资产组合优化模型。吴敏等[14]建立了二阶随机占优约束下最大化组合收益率偏度的投资组合优化模型。

SSD有时因太过保守而在某些极端情况下不符合大多数理性投资者的选择[15]，而适当的松弛可能会得到更好的结果。针对带SSD约束的投资组合优化问题，本文提出了一种新的松弛算法，该算法结合了Sun等[10]提出的改进的割平面算法与VaR近似方法。在采用改进的割平面算法来求解带SSD约束的投资组合优化问题时，用置信度为β的VaR来构造每一步迭代中的切平面，并作为终止条件。当置信度β趋于1时，松弛算法的解收敛到带SSD约束的投资组合优化问题的最优解。

12月12日，希望工程“比翼行动”教育信息化公益项目捐赠启动仪式在陕西省宝鸡市凤翔县举行。这是这一公益项目成立以来在全国首次落地实施，计划未来3年向陕西省西安市周至县、宝鸡市凤翔县等11个县（区）共捐赠价值4 200万元的现金及教育信息化设备。

1 松弛割平面算法

1.1 SSD定义

两个随机变量ξa和ξb(可用来代表投资组合a和b的回报率)，其累积分布函数分别为F(ξa;η)和F(ξb;η)，

其中F(ξ;η):=P(ξη)。若对∀η∈R，满足F(ξa;η) F(ξb;η)，则称ξa一阶随机占优于ξb，记作ξa≥FSDξb。定义F2(ξ;η):=F(ξ;η)。若对于∀η∈R，满足:

F2(ξa;η) F2(ξb;η)

碧流河水库于1983年落闸正式蓄水，1986年工程竣工移交水库管理局，1986—1998年闸门防冰采用压力充水法，1999年至今采用压力充气法，两种方法使用年限均较长。实践证明，压力充水法存在着潜水泵数量多、维修量大的问题。水泵一旦密封不好，进水将导致潜水泵不能正常工作，同时更换潜水泵费时费力，危险性较大。采取压力充气法，具有设备简单、安装操作方便、节省人力、危险性小、投资少、维修费用低等优点，因此建议闸门防冰采取压力充气法。

(1)

则称ξa二阶随机占优于ξb，记作ξa≥SSDξb。显然，若满足一阶随机占优，则一定满足二阶随机占优。式(1)还可以写成：

E[(η-ξa)+] E[(η-ξb)+],∀η∈R

(2)

s.t. E[(η-xTξ(ω))+] E[(ηY(ξ(ω)))+],∀η∈R

SSD从本质上来说，是分布函数的一种偏序关系。SSD与其他准则(比如均值-方差准则[16]，条件风险价值(CVaR)[17])的重要区别是：它可以利用随机变量的全部信息。Ogryczak等[18]研究了SSD与均值-风险模型之间的关系。此外，SSD与期望效用理论密切相关：对于任意凹的、非降的、可积的效用函数U(·)，若满足ξa≥SSDξb，则E[U(ξa)]≥E[U(ξb)]。

1.2 带SSD约束的投资组合优化问题

令随机变量ξ(ω):=(ξ1(ω),...,ξN(ω))T代表一个股票市场上N支股票的收益率，

其中ξ:Ω→RN是定义在概率空间(Ω,F,P)上的随机变量。带SSD约束的投资组合优化问题描述为：

E[-xTξ(ω)]

初期研究主要围绕MOOC的特点、MOOC对于信息共享和教育公平的意义、MOOC环境下图书馆及图书馆员的应对策略等宏观内容展开笼统分析。随后，研究内容逐步扩展到对MOOC环境下图书馆是否应进行功能重构、应如何开展功能重构，图书馆利用MOOC开展服务创新的路径与措施，MOOC课程制作周期及图书馆在MOOC课程制作过程中的作用，MOOC学习规律及图书馆在MOOC学习过程中的作用，MOOC学习者学习行为的搜集、研判与利用，MOOC平台在线交流技术支持与优化，MOOC发展与推广过程中的政策支持与法律环境完善等问题进行深入剖析。

s.t. xTξ(ω)≥SSDY(ξ(ω))

(3)

x∈X

式中x代表初始资产投入到股票1,...,N的比重，是参考收益率，例如现有的投资组合策略的收益率或者市场指数。

日本山本明夫教授做了《“明治维新150年”——由〈朝日新闻〉所载文章引发的思考》的报告，结合《朝日新闻》对明治维新150周年的报告，回顾了相关历史事件，并围绕大连，介绍了青冈卓行与大连、大连火车站的建设、对旅顺博物馆及203高地的考察等内容。

关联式营销策略，指包含感官，情感，思考和行动的综合。星巴克与优衣库“联姻”，在服装店里卖咖啡；快时尚品牌H&M在旗舰店里卖起了家居用品；美特斯邦威也在旗舰店开设了书吧和咖啡吧。

 

式中：(η-ξ)+=max(η-ξ,0)，E代表数学期望，如文献[3]所示。

(4)

x∈X

由于问题(4)不满足Slater约束规范，Dentcheva等[3]将该问题松弛为

E[-xTξ(ω)]

s.t. E[(η-xTξ(ω))+] E[(η-Y(ξ(ω)))+],∀η∈[a,b]

(5)

x∈X

问题(5)是个半无限非光滑随机问题，也存在计算困难。Sun等[10]在随机变量ξ服从离散分布时，提出了一种改进的割平面法来求解该问题。而当ξ服从连续分布时，可以用经验分布来近似，见文献[6]和[19]。

与文献[10]一样，本文也考虑ξ服从有限离散分布的情况，即Ρrob{ξ=ξi}=pi，i=1,...,N。简单起见，假设则问题(5)可以写成

 

0, ∀η∈[a,b]

高校学生社团是高校丰富多彩、生动活泼的学生实践场所，给高校社会实践注入了生机活力，是以共同的观念、兴趣、爱好、追求、目标为基础而自发组成的，在特定的校园环境中创造与社会密切相关且具有校园特色的人文氛围、校园精神和生存环境。它包括物质文化、行为文化、制度文化和精神文化四个方面[1]。

(6)

x∈X

问题(6)等价于

0, j=1,...,N

(7)

x∈X

Si表示匹配对wi根据邻域所计算得到评分也是运动统计值，即为在区域{a，b}及其邻域对{ak，bk}中的匹配对个数。

见文献[3]中定理3.2。

1.3 带SSD约束的投资组合优化问题的VaR近似问题

第二步： 解下面线性规划问题

 

则问题(7)可以写成：

0

(8)

x∈X

下面考虑问题(8)的VaR近似问题。随机变量ξ(ω)的VaR定义为：

ζ}≥β}

随机变量ξ(ω)的CVaR[17]定义为：

 

将Y(ξj)作为一个随机变量η，即式(8)中SSD约束函数的VaR近似(置信度为β)为：

ζ}≥β}

为更好的将机械电气设备开关故障风险控制在最低限度，相关工作人员需重视设备开关维修，防止开关长期处于发热情况下而引发转子回路、开路故障。在开关故障应急处理的过程中，需对双投刀开关触头连接处进行细致的检查，如果发现有较高电流通过，则触头会出现发热情况。同时，在开关故障诊断的过程中，需将电缆、静触头及动触头等设备短接在一起，更好的控制机械电气设备停机时间。由此可见，机械电气设备开关在维持设备平稳运行的过程中占据着举足轻重的地位，需相关工作人员对开关进行全面的检测，及时找到开关发热问题的原因，控制故障问题进一步演化。图1为电机故障处理应急处理。

其CVaR近似(置信度为β)为：

 

第三步： 找到一个使得

 

s.t. VaRβ(ΨN(x,η)) 0

(9)

x∈X

其中CVaR近似问题(置信度为β)可以写成：

 

s.t. CVaRβ(ΨN(x,η)) 0

(10)

x∈X

令和表示问题(8)的最优值和最优解集，和表示问题(9)的最优值和最优解集，和表示问题(10)的最优值和最优解集，和分别表示问题(8)、(9)和(10)的可行解集。下面考虑问题(8)的收敛性分析。

定理1 假设问题(8)满足Slater约束规范，即存在一点x0∈X，使得成立，则⊂

证明 用反证法，假设⊄则不失一般性，存在最优解的一个序列使得∉

由文献[20]中的定理4，当β→1时，此外，可行集满足S⊂⊂所以有，从而即

 

(11)

由文献[20]中的定理3，当β→1时，与S一致，从而与S一致。于是有

 

(12)

由目标函数的连续性，结合式(11)和式(12)，有与假设矛盾，得证。

1.4 松弛割平面算法

尽管VaR是很常用的风险度量方法，但是由于不满足次可加性和凸性，其计算难度较大，见Artzner等[21]。下面给出松弛割平面(RCP)算法。RCP算法结合了文献[10]中改进的割平面算法与VaR近似方法，在保持VaR近似方法的优良性质的同时，避免了其计算上的困难。

1.1.1 试验材料 2017年5月9日在浙江省杭州市临安区浙江农林大学平山试验基地种植徐薯22．每个小区面积3.6 m2,扦插60株,3次重复．8月5日开始采收,测定小区内的甘薯叶和叶柄,间隔10 d再进行一次采收,至8月25日,共采收3次;采收的甘薯叶片叶柄在45 ℃烘干至恒质量,粉碎,过90目筛，低温保存待测．

算法 1 (RCP 算法)

第一步： 令迭代次数t=0，误差ε=10-5，令S0={x|x∈X}。

因为SSD约束过于保守，本文考虑它的VaR近似问题。令

s.t. x∈St

若无可行解，停止，原问题无可行解；否则，令xt表示该线性规划问题的最优解。

则带SSD约束的投资组合优化问题的VaR近似问题(置信度为β)可以写成：

 

(13)

实际上，找到使得是ΨN(xt,η)中的第K大项，K取决于置信度β，即K=「βN⎤(「a⎤:=ceil(a)，即向上取整)。构造索引集

问题(3)的目的是找到一个投资组合x*，使投资者在SSD约束下最大化其期望收益。其优点在于所求得的投资组合符合风险规避型投资者的偏好，而又不用指定效用函数。问题(3)可以写成半无限随机规划问题

 

(14)

第四步： 若 ε，停止，xt是最优解；否则，构造切平面

式中令转到第二步。

下面考虑算法1的解的性质。令Sβ={x|x∈X,(a(z))Tx b(z),∀z∈XT}，

其中XT={ xt|xt是RCP算法的迭代点和Jz如(13)和(14)式)。由于算法1的解易见算法1的解是问题

(15)

的解。易见，S⊂Sβ且S⊂所以

笔者主张将死缓作为非暴力犯罪死刑案件的必经程序，同时放宽暴力犯罪死缓适用的条件。将死缓作为非暴力犯罪死刑案件的必经程序与我国刑法学界逐步废除死刑的设计是一致的。我国学者赵秉志教授提出废除死刑三步走的设想:一是先行逐步废止非暴力犯罪的死刑;二是进一步在条件成熟时废止非致命犯罪(非侵犯生命的犯罪)的死刑;三是在社会文明和法治发展到相当发达程度时，全面废止死刑。［14］这一设想得到了刑法学界的广泛赞同。我国《刑法修正案(八)》删除了13种非暴力犯罪的死刑规定，这说明立法者也接受了逐步废除非暴力犯罪死刑的建议。既然废除死刑是从非暴力犯罪开始的，那么限制死刑立即执行的适用当然也应当从非暴力犯罪开始。

Preparation and skin care efficacy of rose essential oil and rose water 11 30

S⊂⊂

(16)

定理 2 令和表示RCP算法的最优值和解集，则

振威展览的主营业务是作为展会的主办方或承办机构，具体负责整体策划、市场营销、展台搭建、招展招商、现场组织等工作，收入来源则是展位费、广告宣传费、展会承办费、展台搭建费、会议服务费等。

i) 当收敛到

⊂

因式(16)成立，该定理的证明类似于定理1的证明，故在此省略。

全面预算管理是一项技术性很强的工作，它包括预算编制、执行、控制、考评与激励等一系列管理活动，必须从人力、物力、财力等各方面给予足够的重视和支持。只有高校医院领导真正从思想上认识到了全面预算管理的重要性，才能为其成功实施奠定坚实的基础，要让高校医院领导参与到预算的制定中，并拥有最终决策权，这样制定出最佳的预算方案，才能保证全面预算管理工作的各个环节顺利完成。

2 实证研究

将RCP算法应用到投资组合的实证研究中，进行样本内与样本外两组实验。为方便起见，称问题(7)为SSD模型，称由问题(7)构造的投资组合为SSD投资组合，称由算法1构造的投资组合为RCP 投资组合。本节将比较分析RCP投资组合、SSD投资组合以及市场指数的投资表现，主要结论是：在对原SSD约束进行适当松弛后，RCP投资组合在累积收益率和风险度量指标上表现更为优越(本文采用的风险度量指标为Sharpe比率[22]和Sortino比率[23]；Sortino比率其中：R是期望收益率，T是目标收益率(本文T=0)，DR是目标半离差。数据取自两个市场指数：纳斯达克100指数(NDX)和标准普尔指数(S&P500)。采用2016.03.01～2016.09.30期间的成分股和指数的历史日回报率(由收盘价计算得出)作为样本点和参考回报率。算法1用Matlab R 2014 a进行编程，并用 IBM ILOG CPLEX Optimization Studio V12.3 求解割平面算法中的线性规划问题。

首先考虑样本内实验，主要用于验证定理2的收敛性分析。采用2016.04.01～2016.06.30(64个工作日)的数据作为样本内数据，回测该时期SSD投资组合与RCP投资组合的收益率。图1展示了NDX指数样本内最优解，即最优收益率。RCP投资组合在不同的置信度β下得到相近的回报率，并趋于SSD投资组合的回报率，这与定理2保持一致。图2是图1的局部放大图。S & P 500指数的结果与之相似。

  

图1 NDX：回测数据

 

Fig.1 NDX: backtesting data

 

 

图2 NDX：回测数据(局部放大图)

 

Fig.2 NDX: backtesting data (partial enlarged detail)

 

表1 NDX：均值、标准差、Sharpe比率、Sortnio比率

 

Table 1 NDX: Mean, Std, SR, STR

  

均值标准差Sharpe比率Sortino比率指数0.001 60.006 80.230 40.359 3SSD0.003 80.010 70.351 50.666 7RCPβ=0.90.004 10.010 90.370 80.730 6RCPβ=0.80.004 00.010 40.386 40.766 3RCPβ=0.70.004 40.011 50.383 90.761 4

下面对RCP算法进行两个市场的样本外实验。固定每组样本数据量为64，采用2016.04.01～2016.06.30(64个工作日)的数据作为第一组样本数据，用RCP算法得到投资组合并应用到下一个工作日(即2016.07.01)的实际成分股收益率数据中。采用2016.04.02～2016.07.01的数据作为第二组样本数据，得到投资组合并应用到2016.07.01中。依此类推，滚动计算64次，得到2016.07.01～2016.09.30这64个工作日的收益率。其累积收益率如图3和图4所示。

  

图3 NDX：样本外累积日回报率

 

Fig.3 NDX: out of sample accumulation’s daily returns

 

 

图4 S & P 500：样本外累积日回报率

 

Fig.4 S & P 500: out of sample accumulation’s daily returns

表1显示对于NDX、SSD投资组合与RCP投资组合的样本外收益率的均值、Sharpe比率和Sortino比率都优于指数收益率，尽管标准差稍大一点。不仅如此，RCP投资组合的收益率在置信度为0.7、0.8和0.9时都优于SSD投资组合的收益率。对于2016.07.01～2016.09.30期间的样本外累积日回报率，SSD投资组合与RCP投资组合都优于市场指数(见图3)。易见，RCP投资组合的累积收益率在末期超过25%，远大于市场指数的累积收益率。而在实验期内，RCP在置信度为0.8和0.9时，其累积收益率在大部分时段比SSD投资组合的累积收益率要高，而置信度为0.7时，RCP投资组合一致优于SSD投资组合。表 2显示了S&P500的样本外结果，与NDX类似，SSD投资组合与RCP投资组合的样本外结果都优于指数，并且RCP投资组合要优于SSD投资组合，尤其是当置信度为0.8时。对于累积收益率结果如图4所示，RCP投资组合在置信度为0.8时也最优。综上所述，对于两个市场，当置信度β小于但接近于1时，RCP投资组合都优于SSD投资组合和相应的市场指数投资组合。

 

表2 S & P 500： 均值、标准差、Sharpe比率、Sortnio比率

 

Table 2 S & P 500: Mean, Std, SR, STR

  

均值标准差Sharpe比率Sortino比率指数0.000 50.006 20.085 60.119 8SSD0.001 80.011 10.163 30.259 1RCPβ=0.90.002 00.011 00.177 80.286 3RCPβ=0.80.002 10.011 20.184 30.303 4RCPβ=0.70.001 90.011 20.168 40.271 9

3 结 论

结合改进的割平面法与VaR近似方法，提出了一种松弛的割平面算法，并将该算法用于实证研究，主要结果如下：

(1) 针对带SSD约束的投资组合优化问题，提出了一种松弛算法。该算法结合了改进的割平面法与VaR近似方法，其最优值是介于带SSD约束的优化问题与它的VaR近似问题的最优值之间的。随着置信度β趋于1，该算法的解和最优值的收敛性也已被证明。尽管VaR近似有一些好的性质，但是由于其非凸、非光滑甚至非连续性导致计算困难，本文的算法既克服了SSD约束优化问题的过于保守性，保持了VaR近似问题的优良性质，又避免了计算困难。

(2) 通过两个实证研究来验证该松弛算法的效果。实验所用数据取自NDX与S & P 500 的历史日回报率，时间区间取2016.03.01～2016.09.30。当选取置信度β小于但接近于1时，如β=0.8，由松弛算法构造的投资组合，在累计收益率和风险指标的表现上均优于带SSD约束的投资组合优化问题得到的投资组合策略，也优于相应的市场指数。

参考文献

[1] MOSLER K C, SCARSINI M. Stochastic orders and decision under risk [M]. Hayward, California: Institute of Mathematical Statistics, 1991.

[2] WHITMORE G A, FINDLAY M C. Stochastic dominance: an approach to decision-making under risk [M]. Lexington, Massachusetts: Daniel Collamore Heath and Company, 1978.

[3] DENTCHEVA D, A. Optimization with stochastic dominance constraints [J]. SIAM Journal on Optimization, 2003, 14(2): 548-566.

[4] DENTCHEVA D, A. Optimality and duality theory for stochastic optimization problems with nonlinear dominance constraints [J]. Mathematical Programming, 2004, 99(2): 329-350.

[5] DENTCHEVA D, A. Portfolio optimization with stochastic dominance constraints [J]. Journal of Banking & Finance, 2006, 30(2): 433-451.

[6] HOMEM-DE-MELLO T, MEHROTRA S. A cutting-surface method for uncertain linear programs with polyhedral stochastic dominance constraints[J]. SIAM Journal on Optimization, 2010, 20(3): 1250-1273.

[7] SUN H, XU H, WANG Y. A smoothing penalized sample average approximation method for stochastic programs with second-order stochastic dominance constraints [J]. Asia-Pacific Journal of Operational Research, 2013, 30(3): 1-25.

[8] RUDOLF G, A. Optimization problems with second order stochastic dominance constraints: duality, compact formulations, and cut generation methods [J]. SIAM Journal on Optimization, 2008, 19(3): 1326-1343.

[9] FBIN C I, MITRA G, ROMAN D. Processing second-order stochastic dominance models using cutting-plane representations [J]. Mathematical Programming, 2011, 130(1): 33-57.

[10] SUN H, XU H, MESKARIAN R, et al. Exact penalization, level function method and modified cutting-plane method for stochastic programs with second order stochastic dominance constraints [J]. SIAM Journal on Optimization, 2013, 23(1): 602-631.

[11] KELLEY J E. The cutting-plane method for solving convex programs [J]. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 1960, 8(4): 703-712.

[12] 王伟, 邓春林.随机占优理论及其在证券投资组合风险模型中的应用 [J]. 湘潭大学学报 (哲学社会科学版), 2014， 38(6): 74-78.

[13] 罗晓琴, 成央金, 杨柳, 等.二阶随机占优约束保险资金资产组合优化 [J]. 湖南工业大学学报, 2013, 27(2): 99-104.

[14] 吴敏, 胡支军, 陈璟.二阶随机占优约束下考虑偏度的投资组合模型 [J]. 数学的实践与认识, 2014, 44(19): 90-98.

[15] LESHNO M, LEVY H. Preferred by “all” and preferred by “most” decision makers: almost stochastic dominance [J]. Management Science, 2002, 48(8): 1074-1085.

[16] MARKOWITZ H. Portfolio selection [J]. The Journal of Finance, 1952, 7(1): 77-91.

[17] ROCKAFELLAR R T, URYASEV S. Optimization of conditional value-at-risk [J]. Journal of Risk, 2000, 2(3): 21-41.

[18] OGRYCZAK W, A. From stochastic dominance to mean-risk models: semideviations as risk measures [J]. European Journal of Operational Research, 1999, 116(1): 33-50.

[19] SUN H L, XU H F. Convergence analysis of stationary points in sample average approximation of stochastic programs with second order stochastic dominance constraints [J]. Mathematical Programming, 2014, 143(1-2): 31-59.

[20] ANDERSON E, XU H, ZHANG D. Confidence levels for CVaR risk measures and minimax limits [R].Sydney: The University of Sydney, 2014.

[21] ARTZNER P, DELBAEN F, EBER J M, et al. Thinking coherently [J]. Risk, 1997, 10(11): 68-71.

[22] SHARPE W F. The sharpe ratio [J]. Journal of Portfolio Management, 1994, 21(1): 49-58.

[23] SORTINO F A, PRICE L N. Performance measurement in a downside risk framework [J]. The Journal of Investing, 1994, 3(3): 59-64.