0 引 言

近年来，在WEB2.0和移动计算技术的推动下，互联网正以前所未有的速度迅猛发展，以微博、微信为代表的在线社交平台已得到广泛普及，互联网初步实现了“人人皆可进行信息表达的社会化分享与传播”。不同网民对某一热点话题持有不同的观点，随之而来的是不同意见在社交网络中进行传播，网民的观点分布随时间不断演化。研究网民意见在社交网络中的传播规律对于商业推广、网络公关、政府应急管理等都具有重要的意义。

为研究意见在社交网络中的传播规律，本文将在线社交网络定义为一种符号网络[1]，认为在网络中含有2类相对立的离散关系：正面关系和负面关系。比如对于某个明星人物，“喜欢”“赞”形成了个体间正面的关系(正面意见)，而“厌恶”“滚粗”则形成个体间负面的关系(负面意见)。由于舆论观点的传播过程与传染病的传播过程有很多相似之处，因而可用研究传染病的常用模型来对观点的传播过程展开研究。

具体建模上，本文拟通过借鉴经典SIR传染病模型[2]对离散意见的动态演化进行建模，由于在经典SIR模型中，传播途径均是同构的，被传染的概率只跟接触的频度相关。这种假设过于理想，不能直接用于含有正负离散意见的符号网络，所以本文对其进行了扩展。考虑意见空间为{Op(+1)，Op(-1)}的正负离散意见传播动力学，在意见传播网络中，个体拥有不同的意见，这与疾病单一性传播感染的个体不同，将意见传播扩展到二维离散意见空间，随着意见空间的增长，意见传播也愈加复杂。

本文第2部分简要介绍经典SIR传染病模型，第3部分对经典SIR进行了扩展从而对离散意见传播进行建模，并且详细推导了其数学解析过程，第4部分对模型结果进行了仿真实验分析，最后进行了总结。

1 经典SIR传染病模型

传统的生物学家、数学家和物理学家在对传染病传播机理的研究中，其中就包含一种仓室模型，这种仓室模型就是将人群按照不同性质划分为不同类型，然后通过在流行病学过程中不同仓室的人群之间的相互转换关系建立数学模型。

 

如图1所示模型将整个人群划分至3个仓室，分别为易感群体(s)：表示处于未被感染但有可能被感染的群体的总称；感染群体(i)：表示处于被感染状态的群体的总称；移除群体(r)：表示处于从感染状态康复并具有免疫功能的群体的总称，这也是SIR模型名称的由来。在此类模型中，还包含2个主要参数：传染概率β和移除概率γ，模型主要研究在这2个参数控制下,疾病在整个网络中的传染规模情况，以及如何通过调控参数实现对疾病感染的控制。3种状态的个体节点变化规律服从如下动力学方程：

设t时刻系统中：d为平均值；S(t)为易感状态的个体比重；i(t)为感染状态的个体比重；r(t)为移除状态的个体比重。当易感个体和感染个体充分混合时，感染个体的增长率βi(t)S(t)-ri(t),易感个体的下降率为βi(t)S(t)，恢复个体的增长率为ri(t)。

 

(1)

2 离散意见传播模型

2.1 传播模型构造

本文将二维异构关系作为意见的传播途径，并基于“正关系传播相同意见，负关系传播相异意见”的传染原则，构建了基于符号网络的扩展SIR传播模型，更能准确反映整个网络中意见的传播情况。传播模型如图2所示：

 

在给定的传播网络G={V,E,R}中，包含节点为V=N×N， 由节点与节点间所构成的边集合为E，在符号网络中，边的属性也是多维度的，关系表达为rij∈RN×N。若节点i和节点j之间连边rij=+1，表示两节点间关系为朋友关系(正关系)； 若节点i和节点j之间连边rij=-1，表示两节点间关系为敌对关系(负关系)；若节点i和节点j之间连边rij=0， 表示两节点没有建立直接联系， 信息在此两节点之间也不能直接传播。 基于“正关系传播相同意见， 负关系传播相异意见”的原则， 个体间意见状态转换的动力学规则：如表1所示，当处于易感状态

传播概率值设定：β+=β-=0.5；

 

表1 意见状态转换的动力学规则

 

Tab.1 Kinetic rules of opinion state transition

  

事件传播概率正负关系Ii++Sj0→I1++Ij+β+>0Ii++Sj0→I1++Ij-β-<0Ii-+Sj0→I1-+Ij-β+>0Ii-+Sj0→I1-+Ij+β-<0

的节点j遇到处于感染状态的节点i时，若两节点关系为正关系(rij=+1)，则易感个体以传播概率β+转换为感染状态 若两节点关系为负关系(rij=-1)，则易感个体以传播概率β-转换为感染状态 同理当处于易感状态的节点j遇到处于感染状态的节点i时，若两节点关系为正关系(rij=+1)，则易感个体以传播概率β+转换为感染状态 若两节点关系为负关系(rij=-1)，则易感个体以传播概率β-转换为感染状态除以上情况外，若两个被感染节点相遇、两个移除状态节点相遇、感染节点与移除状态节点相遇，个体各自的意见均保持不变，无法形成信息的有效传播。

从以上模型的定义可以看出，借鉴传统SIR模型，各个仓室内部之间的联系不能互相改变内部各自的状态，且在仓室与仓室之间是单向传播的，一旦网络中感染节点降至0，则整个网络停止传染。 由于本文扩展模型感染状态的多维化，因此定义感染状态之间不能互相影响，即网络中的个体一旦拥有了意见，就不再会更改自身的意见，仅能继续传播或丧失传播能力。若将意见空间缩至一种离散意见，则该模型就退化为传统的SIR传染模型。

2.2 数学推导

传统SIR传染病模型的研究通常以均值场理论[3]为基础，即整个传染网络是同质且充分混合的，假设在网络中所有的个体节点地位相等，各个节点的传播拓扑途径大致均衡相等，网络关系仅仅包含单一属性的接触网路，感染个体在向其邻居个体传播的过程中，选取的易感个体节点总是随机抽取的。为了便于数学分析，本文构造了一个特殊的传播网络结构：即网络中个体的平均连接度相等且每个个体平均连接度正负关系边数也完全一致。 在这样一个节点属性完全相同的网络中，为研究离散意见传播动力学带来极大便利。

 

表2 意见模型参数列表

 

Fig.2 Opinion model parameter list

  

参数参数含义参数参数含义t演化当前时刻i+(t) t时刻持意见Op(+1)的节点密度N网络个体节点数i-(t) 时刻持意见Op(-1)的节点密度〈k〉网络中个体节点的平均度r+(t)t时刻状态为R+的节点密度φ网络中正关系占整个边数的比例r-(t)t时刻状态为R-的节点密度S处于易感状态的节点β+正关系间传播概率I+ 持有意见Op(+1)的节点β-负关系间传播概率I-持有意见Op(-1)的节点ε+ t=0时i+(t)密度R+从意见Op(+1)移除的节点 ε-t=0时i-(t)密度R-从意见Op(-1)移除的节点r节点移除概率s(t)t时刻处于S状态节点密度——

以上微分方程组反映了网络中各个状态节点的变化率，例如其中β+φ〈k〉表示关系为正的边上传播相同意见时的速率，而β-(1-φ)〈k〉则表示关系为负的边上传播相异意见时的速率。上述方程组的含义依次为：

网络类型：ER随机网络，且网络中个体节点均完全同构；

s(t)+i+(t)+i-(t)+r+(t)+r-(t)=1

(2)

在给定的充分混合网络中，借助均值场理论，能对网络中5种状态的个体节点变化率建立如下动力学方程：

 

(3)

在定义了网络中如表2中的各类参数后，参照传统SIR传染模型，在本文给定的特定网络中，存在5种状态的个体，分别是：S、I+、I-、R+、R-。 那么在任意时刻，不考虑网络中个体的湮灭和生长，以上5种状态的个体密度就满足以下条件：

1)s(t)的变化率为网络中正关系边上节点由状态S转变为状态I+与I-的速率，加上网络中负关系边上节点由状态S转变为状态I+与I-的速率；

2)i+(t)的变化率为网络中正关系边上由状态S转变为状态I+的速率加上负关系边上由状态S转变为状态I+的速率，并减去当前时刻从I+状态转换为R+状态的速率；

3)同理i-(t)的变化率为网络中正关系边上由状态S转变为状态I-的速率加上负关系边上由状态S转变为状态I-的速率，并减去当前时刻从I-状态转换为R-状态的速率；

据统计，按照郝哲相关技术标准种植的日光温室、塑料大棚和防雨棚枣园，平均亩产分别可达到1320公斤、1210公斤和1130公斤，亩产值分别达到4-6万元、2-3万元和1-2万元，为破解当前困扰榆林红枣产业发展的瓶颈问题探索了出路，创新了榆林红枣种植模式，实现了红枣由山地向沙地延伸、由露天生产向设施栽培的转变，培育了新的农业经济增长点，带动项目区贫困农民脱贫致富。沙地鲜食枣相关项目成果还荣获全国首届沙产业大赛优秀成果奖、陕西省科学技术奖二等奖、陕西省林业科技进步奖一等奖。

4)r+(t)的变化率为网络中由状态I+恢复为状态R+状态的变化率；

5)r-(t)的变化率为网络中由状态I-恢复为状态R-状态的变化率。

若令i(t)=i+(t)+i-(t)，r(t)=r+(t)+r-(t)，由式(3)可得：

3.多媒体应用到高职韩国语教学中能缓解课程内容多、学时少的矛盾。在高职韩国语课程中，学习内容较多，而课时相对较少，为了使学生在有限的课时内学到更多知识，必然要改变原有的教学模式和手段，多媒体技术运用图片、声音、视频、慕课等形式，将枯燥乏味的知识点转换为直观形象，可以使高职韩国语学生更深刻地理解相关知识点，提高学习兴趣。

=β〈k〉s(t)i(t)-γi(t)=β〈k〉i(t)[1-r(t)-i(t)]-γi(t)

(4)

=γ[i+(t)+i-(t)]=γi(t)

(5)

其中：β=β+φ+β-(1-φ)，表示忽略网络中感染的正负意见区别时的平均传播率。那么由式(3)、(4)、(5)就构成了一组传统SIR传染病微分方程。

在整个网络中信息传染的初始阶段，网络中的绝大部分个体均处于易感状态S，并随机挑选小部分节点作为信息传播源，其比例均趋近于零，此时移除状态个体比例为零，如下所示：

s(0)=1-ε+-ε-≈1, i+(0)=ε+≅0, i-(0)=ε-≅0, r+(0)=r-(0)=0

(6)

将式(6)代入方程式(4)，忽略公式中i2与ir等二次项，可得式(4)近似解为：

i+(t)+i-(t)=i(t)≈(ε++ε-)e(β〈k〉-γ)t=(ε++ε-)e[(β+φ+β-(1-φ))〈k〉-γ]t

(7)

式(3)中第二个方程减去第一个方程，同时忽略式中二次项，可得：

=[β+φ-β-(1-φ)]〈k〉s(t)(i+(t)-i-(t))-γ(i+(t)-i-(t))

=[β+φ-β-(1-φ)]〈k〉(1-i+(t)-i-(t)-r(t))(i+(t)-i-(t))-γ(i+(t)-i-(t)) ≈[(β+φ-β-(1-φ))〈k〉-γ](i+(t)-i-(t))

(8)

其中：

i+(t)-i-(t)=(ε+-ε-)e[(β+φ-β-(1-φ))〈k〉-γ]t

(9)

由方程式(7)(8)，解得初始传播阶段2种意见的节点感染密度解析解为：

 

(10)

解得(8)式近似解为：

 

(11)

式(10)反映了在传播网络中2种意见感染节点在初始阶段的增长情况和相关影响参数。

3 仿真实验分析

 

通过以上数学解析，本文分析了在特定网络结构中扩展SIR模型下的阈值求解数学分析结果。 本节通过数值仿真验证上述结果，首先构造了一个ER随机网络[4]，每个节点平均度为〈k〉，各个节点邻居边正负关系数也完全相等。 通过对网络中正关系边参数φ比例的调整，本文分析了不同情况下意见传播的结果。与传统SIR模型类似，意见传播的结果不受网络规模大小的影响，仿真实验参数设置具体如下：

(3) 强风化泥灰岩(T1d)③：褐黄色，泥质成分，风化裂隙发育，岩芯多呈碎块状夹土状，碎块状岩芯粒径一般为1～5 cm，干时可用手折断或捏碎，遇水易软化，为软岩，岩体基本质量等级为Ⅴ级，厚度0.9～6.9 m，分布不均匀。

据德国之声电台网站11月11日报道，全世界越来越多的人在互联网上购物，这尤其给为数不多的几家大公司带来丰厚利润。现在的问题是：未来一切购物都将在网上进行，还是继续在现实世界中开展贸易？

初始状态持意见Op(-1)的比例：ε-=0.01，个体数Nε-=10；

给患儿提供经消毒后的专用病房，装饰由普通病房的白色调变为彩色调，病房温馨且充满童趣，可以有效缓解患儿恐惧、焦虑的心理，积极配合医生治疗；患儿日常生活中的尿布、衣服及所用器具经严格消毒后再次使用；患儿排泄物、呕吐物处理后及时进行消毒，病房床单需要每日消毒更换。

网络节点平均度：〈k〉=5；

初始状态持意见Op(+1)的比例：ε+=0.1，个体数Nε+=100；

选取提取液的浓度分别为0.5%，0.75%，1%，1.25%，1.5%，料液比为1∶20，温度为70 ℃，浸提时间为60 min，以得率为评价指标，研究浸提液的浓度对羊肚菌SDF得率的影响。

网络规模：N=1 000；

3.拟定评价过程。与朗读的评价一样，口语交际评价过程也要考虑到评价对象、时间、评委人员、成绩记录等方面的内容。

感染移除概率参数值设定：γ=1。

传统国画中常常强调虚实结合的重要性，在粉彩瓷绘画上同样十分注重这项规律。粉彩花鸟瓷画作品在表达虚实造型关系的时候同样需要画者的深思熟虑与画面需要经得起考究。

(2) “⟹”对任意x,y∈X,若η(x)=η(y),{x}-={(y}-,由X为T0空间,x=y,故η为单射。

仿真实验结果如图3，其中，圆形、方形、三角形的点代表不同φ参数下的仿真实验结果，每个点均是100次蒙特卡洛独立实验结果的平均值，实线代表数学解析结果。

(3)人际关系不协调。由于我校学生来自于陇南市各县区和周边地区，学生地域差异大，生源复杂，自我中心意识强，人际交往能力弱，不善于处理与同学、教师、父母的关系。

从上图结果可知，在网络参数φ不同值时，仿真结果与数学解析结果完全拟合，这说明了本文数学分析的正确性。 此外，在符号网络中的意见传播，最终意见传播扩散的结果与网络中正负关系边的属性密切相关，从图3(a)可知，在本文设定的传播概率条件下(β+=β-=0.5)，网络中易感群体的密度演化过程与网络边的正负关系数比例φ无关，这与易感群体密度s(t)=s(0)e[β+·φ+β-·(1-φ)]〈k〉t=s(0)e0.5〈k〉t是相符的，进一步验证了上述数学分析的正确性。图3(b)和(c)反映了在上述设定的不同参数条件下，持有(Op(+1)，Op(-1))2种意见节点密度的变化率。 随着网络中正关系比例φ的增大，持有意见Op(+1)的节点密度r+(t)也愈大，持有意见Op(-1)的节点密度r-(t)愈小。

由图3可以看到，在低温环境下，水树从缺陷处引发，沿电场方向向前生长。老化14 d时水树形态呈片状，即水树枝相互连接，水树的枝状特征并不明显。而老化21 d后，水树的分枝状特征已经较为明显，在针孔周围均存在枝状的水树枝。而老化28 d后，水树的分枝状特征更为明显，且越靠近水树尖端，水树枝越尖。另外，随着老化时间增长，水树染色逐渐加深。由图3(c)可见，老化28 d以后，针孔尖端的水树染色明显加深。

在仿真实验中，感染个体的恢复概率γ设定为1，也就是表明当个体节点持有意见后，在下一个时刻就转化为持有相同意见的移除个体，就可以得出网络中的移除个体密度为：

 

(12)

在给定的参数条件下，可以得到参数：

 

(13)

在同一时刻t条件下时，若ε+>ε-，移除个体密度r+(t)和感染个体密度i+(t)与正关系比例参数φ呈单调递增关系，移除个体密度r-(t)和感染个体密度i-(t)与正关系比例参数φ呈单调递减关系；若ε+<ε-，网络系统中意见演化具有相反的表现。

4 结 语

本文考虑意见空间为{Op(+1)，Op(-1)}的正负离散意见传播动力学，提出了一种基于扩展SIR的离散意见传播模型，在ER随机网络上验证了模型的正确性和有效性。后续将以另外2种典型的网络(BA无标度网络、小世界网络)作为传播拓扑网络，并且网络节点与节点之间的平均度、正负关系比例均随机给定，进一步研究意见传播的规律。

参考文献:

[1] 程苏琦,沈华伟,张国清，等.符号网络研究综述[J].软件学报,2014,25(1):1-15.

[2] SHULGIN B,STONE L,AGUR Z.Pulse vaccination strategy in the SIR epidemic model[J]. Bulletin of mathematical biology,1998,60(6):1123-1148.

[3] GEORGES A, KOTLIAR G,KRAUTH W,et al. Dynamical mean-field theory of strongly correlated fermion systems and the limit of infinite dimensions[J].Reviews of Modern Physics,1996，68(1):13-125.

[4] 李治,柳妍珠,赵亚萌，等.基于复杂网络的雾计算网络鲁棒性研究[J].中北大学学报：自然科学版,2017,38(2):178-185.