近年来，基于无线传感器网络（WirelessSensor Networks，WSNs）的目标定位作为一门新兴的技术受到了越来越多的关注和研究。基于WSNs实现目标定位，就是根据大量无线传感器节点感知的数据估计目标所处的空间位置，其应用范围涵盖了国防、交通、医疗以及智能家居等各个领域。目前，基于WSNs的目标定位技术大多是有源定位［1］。在有源的目标定位方案中，定位目标需主动参与定位过程，并携带无线设备进行信号的收发。但是在很多需要提供目标位置信息的应用场合中，如入侵检测、野生动物监测以及战场侦查等，有源定位的要求并不能得到满足。因此，在实际的应用中有源定位技术具有一定的局限性。针对此类定位场景，文献［2］提出了无源定位（Device-Free Localization，DFL）技术。利用该技术，可在目标不携带任何无线收发设备的情况下对其实现定位。与有源定位根据目标发射的无线信号进行定位不同，无源定位主要根据目标在定位区域中的阴影效应实现定位。

根据所采用的基本定位方法的不同，现有的多目标无源定位技术主要可分为以下四类：（1）基于几何信息（Geometry）的多目标无源定位；（2）基于无线层析成像（Radio Tomographic Imaging，RTI）技术的多目标无源定位；（3）基于指纹法（Fingerprinting）的多目标无源定位；（4）基于压缩感知（Compressive Sensing，CS）［3］的多目标无源定位。文献［4］首先提出了基于几何信息的无源多目标定位方案。该方案利用矩形的阴影模型估计多条阴影链路的阴影区域，并根据多个阴影区域的叠加区域估计目标位置。虽然该算法实现较为简单，但是面临定位精度不高的问题。为提高无源定位的精度，文献［5］提出了基于无线层析成像技术的多目标无源定位方案。此类无源定位方法将无源目标的位置估计问题转化为信号衰减图像成像问题，并利用RTI技术实现位置估计。但是，该方案需部署大量的无线节点并建立足够的无线链路以保证对定位区域的充分覆盖。这将会导致硬件成本的上升，也限制了此类方法的实际应用范围。基于指纹法的多目标无源定位技术能有效减少无线链路的部署密度，文献［6］提出的RASS是最具代表性的指纹法无源定位方案。该方案首先离线采集指纹数据，然后将当前测量值与离线采集数据进行匹配，从而估计目标的当前位置。但是，通过指纹法进行无源定位需采集大量的指纹信息。当定位区域较大时，将消耗大量的人力和时间资源。为了减少无线链路的部署密度，同时避免指纹采集导致的资源大量消耗问题，CS技术被应用到无源多目标定位中。文献［7］提出了基于压缩感知的多目标无源定位方案E-HIPA，该方案利用自适应的正交匹配追踪算法恢复目标位置向量。相比于前三类定位方法，基于CS的多目标无源定位方法能够在测量数据较少的情况下，获得较好的定位性能。

在现有的基于CS的无源多目标定位方案中，无源字典可通过阴影模型或指纹训练的方法建立。为了减少人力和时间资源的消耗，本文根据鞍面阴影模型建立无源字典。在字典建立后，利用CS恢复算法估计目标位置向量。常用的CS恢复算法主要有基于松弛优化的算法以及基于贪婪迭代的算法。为了降低计算复杂度，通常采用贪婪迭代算法（如：基追踪算法、正交匹配追踪算法以及贪婪匹配追踪算法等）估计稀疏向量。相比于传统的贪婪迭代算法，利用基于概率的贝叶斯恢复算法能够有效提高估计精度（如：贝叶斯学习、贝叶斯压缩感知等）［8］。本文提出的基于变分贝叶斯推理的多目标无源定位方法将目标位置向量视为隐藏变量，并利用变分贝叶斯推理［9］技术估计目标位置向量。

1 系统模型

在基于WSNs的多目标无源定位中，定位目标无需携带信号收发设备，系统通过测量无线链路的信号衰减和分析目标阴影效应确定目标位置。如图1所示为基于CS的多目标无源定位典型场景。

总的说来,虽然此诗在安史之乱前是鲜见的直接吟咏隋堤柳的诗歌,但在写作程式、抒情视角等方面,对后来的诗歌都具有导乎先路的意义。

  

图1 基于CS的多目标无源定位场景

假设目标监测区域为l×l的方形区域，且K个定位目标随机分布于目标监测区域中。无线节点部署在监测区域周围，并建立M条无线链路覆盖目标所在区域。为了实现对目标监测区域的离散化，我们将目标监测区域平均划分成N个大小相同的格点。基于格点划分，可对目标位置进行稀疏表示。在此情形下，目标的位置信息可表示为：其中，θ为目标位置向量，且θn∈｛0，1｝为 θ的第 n个分量。当θn＝1时，表示在监测区域中的第n个格点上存在目标；当θn＝0时，则表示在第n个格点上没有目标。因此，目标位置向量θ共包含K个非零的分量。由于格点数N远大于目标个数K，因此θ为K稀疏向量。

当扫描到块px,y时，已经完成了对块px-1,y-1、px,y-1、px-1,y的初步标记，假设其标号依次为Label[x-1,y-1]、Label[x,y-1]、Label[x-1,y]，则块px,y的标号Label[x,y]可表示为式(3)：

 

如图1中所示，无线节点均匀地部署在目标监测区域周围。为了感知目标位置，我们在无线节点之间建立无线链路，并由M条无线链路实现对目标监测区域的覆盖。当定位目标位于监测区域中时，由于目标对无线信号的遮挡，被遮挡链路上的接收信号强度（Received Signal Strength，RSS）将会发生变化。根据无线信号的衰减模型［10］，第m条无线链路上的RSS可表示为：

Rm＝Gm＋Hm－Lm－10ρm log10 dm－Sm＋εm （2）

其中，Gm为信号接收增益，Hm为信号发送功率，Lm为单位距离上的信号衰减，ρm为当前定位环境下的路径损耗率，dm为第m条无线链路的路径长度。在同一定位环境中，上述参数通常不随时间变化［11］。引起链路上RSS产生变化的因素主要是目标遮挡引起的阴影效应Sm以及测量噪声εm。假设监测区域中不存在目标时，第m条链路上的RSS为R0m。当目标处于监测区域内时，RSS的变化值可表示为：

 

当目标监测区域内存在多个无源目标时，M条链路上的RSS变化值可表示为：

大年初一也是人们成群结队、走街串巷、相互拜年的开始，整个村屯热闹非凡，家家张灯结彩，户户喜气洋洋，鞭炮声声此伏彼起，男女老幼穿着节日的盛装走在大街小巷，笑容满面相互拜年，互致新春祝福，好一派节日新景象。

 

立德树人是大学的根本任务。“办好中国特色社会主义大学,要坚持立德树人,把培育和践行社会主义核心价值观融入教书育人全过程。”[19]在此,习近平强调了青年教育过程中的德育为先原则,教育工作“要坚持把立德树人作为中心环节,把思想政治工作贯穿教育教学全过程,实现全程育人、全方位育人,努力开创我国高等教育事业发展新局面”[20]。党的十九大报告中,进一步明确了立德树人任务的目标指向就是培养社会主义事业建设者和接班人。“要全面贯彻党的教育方针,落实立德树人根本任务,培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人。”[21]此语深刻地揭示出我国教育的社会主义性质与立德树人的质的规定性。

其中，y∈R M×1为来自M条链路的测量信息。其第m个分量 ym＝ΔRm。ε∈R M×1为测量噪声向量，Φ∈R M×N为无源字典，其定义如下：

 

其中，字典元素φm，n表示当目标位于第n个格点时，在第m条链路上的RSS变化值。根据文献［12］中提出的鞍面模型，φm，n可表示为：

 

（1）根据式（26），以及当前 α与β的后验分布，更新 θ的后验分布，得到 μ、Σ的更新。其中，且β的期望值〈

2 基于变分贝叶斯推理的多目标无源定位

2.1 分层先验模型

心理普测反馈过程中，不少新生担心自己不能顺利毕业，怕自己挂科，怕自己学不好专业课。因此，新生们应该从心理上战胜这种迷茫感，相信自己有能力学好专业课程，相信自己有足够的能力掌握所学知识。做任何一件事情之前，信念是最重要的，要坚信自己的选择是对的，坚信自己有能力处理学习中的问题，坚信自己可以做到。与此同时，制定学习计划，并提高自己的执行力，在信念支持下的行为才更为有力、有效。

首先，为了诱导θ的稀疏性，建立了如图2所示的混合高斯先验模型［13］。假设θ服从多维高斯分布，其先验分布如下：

 

其中，为 θn 的 方 差。α ＝ ［α1，α2，…，αn，…，且 Λ ＝diag（α）。在混合高斯先验模型中，我们将αn视为隐藏随机变量，且服从多维伽马分布，其先验分布如下：

 

其中，c和d均为伽马分布的参数。

经初步估算，全线快慢车方案较站站停方案工程投资总费用增加约6.858 9亿元，约占总投资的1.3%。各站的投资差异如表7所示。

本次研究以2015—2017年的卫生人才数量作为基础，预测2019—2021年东丽区卫生人才的需求情况，预测东丽区2021年卫生人才的数量将超过2 250人，见（表2）。

在测量模型中，测量噪声向量服从多维高斯分布。因此，似然函数可表示为：

 

其中，β－1为噪声分量εm的方差，且服从伽马分布：

其中，a和b均为伽马分布的参数。

 

总之，在小学语文教学中，要结合新课程改革的要求，紧紧抓住课堂这一主阵地，尊重学生的主体地位，敢于放手，把课堂还给学生，才能够使学生真正成为课堂的主人。

根据无源定位的系统模型可知，监测区域中的格点数N远大于目标个数K，即目标位置向量θ为稀疏向量。因此，可采用压缩感知的方法，在测量数M远低于奈奎斯特采样率的情况下，以较大的概率正确估计目标位置向量。为了提高估计精度，我们采用基于变分贝叶斯推理的方法恢复目标位置向量θ。

  

图2 混合高斯先验模型

2.2 后验分布估计

在建立的分层先验模型中，y为观测变量。隐藏随机变量为 z∈｛θ，β，α｝，而 Ω∈｛a，b，c，d｝则为分布函数的确定性参数。为了估计位置向量θ，需求出各隐藏随机变量的后验分布函数。

在社会经济不断发展的进程中，企业面临一次又一次的改革，只有不断的进行改革和创新，才能完成一次次的转型升级，永葆发展的生命力。在这个过程中，企业党建工作起到重要的作用和意义，它是企业软实力建设不可缺少的重要因素，也是企业市场竞争中的后备力量。因此，在新形势下，企业只有不断加强党建工作的建设，全面落实各项基层工作，才能够使企业各项事业发展顺利进行。尤其是要注重企业基层的党建政工工作的建设，在工作中始终要将创新与发展放在第一位，这是企业发展的基础，也是政工工作的必然要求。

将上述测量模型的似然函数记为p（y；Ω），对于任意的概率分布函数q（z），其对数似然函数可表示为：

 

其中

此外，研究表明，蕴含一些高度抽象的数学概念和数学命题的数学情境也常常会造成学生产生畏惧心理，甚至产生学习焦虑[22]．学生在畏惧、焦虑的心理状态下学习，会使学生的数学认知活动难以正常进行,降低数学认知的水平，导致获取的数学信息失真而产生数学疑难．

 

其中，与 q（z）之间的 Kullback-Leibler散度，且有因此，F（q，Ω）为对数似然函数的下界。为了最大化对数似然函数，我们采用循环迭代的方法逐步求出各隐藏随机变量的后验分布。当KL散度时，下界函数取得最大值，即：

 

此时，

 

但是，由于无法直接求出的解析表达式。因此，我们根据变分理论假设q（z）具有可分解的形式：

[58]A.W. Stargardt, “Problems of Neutrality in South East Asia: The Relevance of the European Experience”,ISEAS Occasional Paper, No.12, 1972, p.8.

 

在此假设下，根据变分贝叶斯推理的方法［9］，隐藏随机变量z的对数后验分布可表示为：

 

其中，q（·）为后验分布函数，〈·〉为求输入函数的期望，ζ为使得q（·）成为概率密度函数的归一化常数。根据链式法则，隐藏变量与观测变量的联合分布可表示为：

 

将式（20）所示的联合分布代入式（17）、式（18）以及式（19），则隐藏变量z的对数后验分布可写为：

 

根据式（21），剔除与θ不相关的项，则θ的后验分布可表示为：

 

由于θ服从多维高斯分布，则其后验分布函数为：

 

根据式（24）可得θ的均值向量和协方差矩阵为：

很多业主担心房子装完后插座不够，导致家里到处都是插线板。可事实上，插座并不是越多越好，合理规划才行，而且增加插座在水电改造费是按量收费的，多一组插座要多付几百大洋的改造费。

 

根据式（22），剔除与β不相关的项，则β的后验分布可表示为：

 

由于β服从伽马分布，则其后验分布函数为：

 

其中，参数和可表示为：

 

根据式（23），剔除与α不相关的项，则α的后验分布可表示为：

 

为了提高隐藏随机变量z的后验分布估计精度，我们通过循环迭代的方法更新其后验分布中的参数。更新流程可总结如下：

 

其中，参数可表示为：

 

2.3 目标定位算法

由于α服从多维伽马分布，则其后验分布函数为：

其中，（Um，n，Vm，n）为第 n个格点相对于第 m条链路的坐标。根据式（6）可知，只有当目标位于某条链路的椭圆形影响区域时，才会对该链路上的RSS造成影响。其中，λ1和λ2分别代表椭圆形影响区域的长半轴以及短半轴。Am为最大阴影效应，φm为链路中间点上阴影效应大小与Am的比值。参数Am和φm与特定的无线定位环境以及链路长度有关。因此在同一定位环境中，当链路长度相同时，各链路上的Am和φm相等。

（2）根据式（29），以及当前θ的后验分布，更新β的后验分布，得到、b的更新。

（3）根据式（32），以及当前θ的后验分布，更新α的后验分布，得到〉可表示为：

 

需要指出的是，在上述流程中可将初始的参数a、b、c和d设置为接近于0的常数（例如a＝b＝c＝d＝10－6）。这相当于假设α和β服从无信息的先验分布，即在定位中假设目标出现在每个格点的概率相同。在循环迭代中，我们采用残差值以及最大迭代次数作为判断循环终止的条件，当前循环中的残差值可表示为：

 

当上述迭代算法终止时，我们将θ的当前期望视为对θ的估计值下面对该迭代算法的计算复杂度进行分析。在每一次迭代中，计算复杂度主要由步骤（1）中的矩阵求逆操作决定，其计算复杂度为O（N3）。为了减少计算量，在式（26）中我们采用矩阵求逆引理更新 Σ［14］，其计算复杂度可降为O（M3）。此外，式（26）中更新 μ的计算复杂度为O（MN2），式 （29）中 计 算 b～ 的 计 算 复 杂 度 为O（MN2）。由于M＝N，因此每一次迭代的计算复杂度则为O（MN2）。假设迭代I次后算法终止，则该目标定位算法的计算复杂度为O（IMN2）。

在实际的定位环境中，由于测量噪声的影响，通过上述方法得到的θ＾包含大量具有较小值且可被忽略的非零分量。因此，我们通过如下的方法滤除这些可忽略的非零分量。

 

其中，δ为预先设置的稀疏阈值。此时，目标个数的估计值为中的第 n个非零分量的索引对应的格点即为第n个目标的估计位置。

3 仿真结果与分析

本文利用Matlab仿真软件对基于变分贝叶斯推理的多目标无源定位算法和传统的基于压缩感知的多目标无源定位算法进行性能对比仿真实验。仿真采用蒙特卡洛（Monte-Carlo）方法，仿真结果为500次仿真试验的平均值。我们将目标监测区域设置为14 m×14 m的方形区域，并将该区域分成N＝784个相同大小的格点。无线节点部署在监测区域周围并建立了M＝56条无线链路，每条链路的长度为dm＝14 m，且测量噪声ε为高斯白噪声。

首先，我们考察不同定位算法的平均定位误差，仿真结果如图3所示。本次仿真中目标个数K＝5，信噪比SNR＝25 dB。分别采用基追踪算法（Basic Pursuit，BP）、正交匹配追踪算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）、贝叶斯压缩感知算法（Bayesian Compressive Sensing，BCS）以及变分贝叶斯推理（Variational Bayesian Inference，VBI）作为目标估计方法并计算其平均定位误差的累积分布概率。从图3的仿真结果可知，在目标个数和信噪比相同的情况下，本文所采用的算法（DFL-VBI）能获得最优定位性能，并且，DFL-VBI能够以较高的概率获得较小的定位误差，在仿真中82%的情况下其定位误差都低于2 m，而其他的无源定位算法在同样误差区间中的概率都低于70%。

  

图3 不同定位算法的平均定位误差

为了比较不同条件下各定位算法的性能，我们分别考察了信噪比为5～40 dB以及目标个数为3～10时，平均的定位误差变化情况。当信噪比变化时，固定目标个数K＝5，仿真结果如图4（a）所示。由图4（a）可知，随着信噪比的增加，测量噪声对定位性能的影响逐渐减小。其中，本文提出的DFLVBI在不同信噪比的情况下都能取得最小的平均定位误差。当目标个数变化时，我们固定信噪比为25 dB，仿真结果如图4（b）所示。由图4（b）可知，随着目标数的增加，基于BP、BCS以及VBI的定位算法的平均定位误差都随之增大。其中，本文提出的DFL-VBI在不同目标数K的情况下都能取得最小的平均定位误差。

  

图4 不同定位算法的定位性能比较

综上所述，在信噪比以及定位目标个数不同的情况下，基于变分贝叶斯推理的多目标无源定位方法相比于传统的基于压缩感知的多目标无源定位方法，在平均定位误差性能方面具有较明显的优势。

4 结束语

本文提出了一种基于变分贝叶斯推理的多目标无源定位方法。首先，根据无源目标定位的系统模型，建立混合高斯先验模型诱导目标位置向量的稀疏性。然后，通过循环迭代的方法估计隐藏随机变量的后验分布，并求出目标位置向量的期望。最后，根据得到的目标位置向量的后验期望估计目标的位置向量。仿真结果表明，相比于传统的基于压缩感知的无源多目标定位方法，该方法能有效提高无源定位性能。

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