自然科学与工程技术中，许多实际问题最终要归结成求解一个线性方程组AX=b，如在计算数学的函数插值和拟合法，微分方程的数值解法等领域，且工程技术中往往产生大型稀疏矩阵方程组，这时利用迭代法解方程组是合适的。为了用迭代法求AX=b的近似解，需要先把该方程转化为等价方程x=BX+g，迭代法的计算过程如下：

(1)任取x(0)∈Rn作为AX=b的近似解；

甘肃位于中国地理中心，地理位置N 32°11′～42°57′，E 92°13′～108°46′，地形狭长，横跨多个气候带，地貌错综复杂，山地、高原、平川、河谷、沙漠、戈壁等多种地貌类型并存，是全国各省区中地质地貌和气候类型最为丰富复杂的省份。

(2)对k=0,1,2，…，计算X(k+1)=BX(k)+g，直到求得满足精度的近似解或判断算法发散。

通过问卷调查与京剧上演情况可以看出，京剧在徐州地区仍有许多戏迷。而徐州地区的京剧爱好者呈老龄化（见图一），与戏曲目前存在的问题一致。除了剧团商演会上演京剧外，高校也有京剧巡演，而以“少儿京剧团”为特色的段庄一小仍在坚持发展京剧团。同时京剧戏迷也会在社区、公园等地演唱传统的经典京剧选段。

构造迭代法通常有三种不同的思路：其一是对系数矩阵做加型分裂，不同的分裂技术可以产生不同的迭代方法，如Jacobi法和Gauss-Seidel迭代法；其二是从误差校正的角度构造迭代格式；其三是从方向向量校正的角度构造迭代法。本文主要讨论迭代法的收敛性的一些结果,从敛散性同步的角度对经典的Jacobi法和Gauss-Seidel迭代法进行了讨论，给出一些关于迭代法收敛的注记和结果。

MRAA+LDA：诊断过程中，能够快速从三血管序列切面发现异常的右位主动脉弓；经弓降部冠状切面显示主动脉弓位于气管右侧，顺序发出L-InA、RCCA、RSA，可见DA位于气管左侧；且AO发出的左侧分支不与降主动脉相连。

1 预备知识

设有方程组AX=b，其中A为n阶非奇异矩阵，将AX=b等价变形为X=BX+g，其中B为n阶矩阵，g为常数向量，任取X(0)∈Rn，作迭代过程

X(k+1)=BX(k)+g(k=0,1,2,…)

称之为简单迭代法，B为迭代矩阵。

2 主要结果

结论6 对于迭代格式X(k+1)=BX(k)+g(k=0,1,2,…)，如果迭代矩阵的谱半径ρ(B)=0，则对任意的初始向量X(0)，由X(k+1)=BX(k)+g(k=0,1,2,…)得到的X(n)一定是X=BX+g的精确解向量，其中n为矩阵B的阶数。

注记1 这里的“ρ(B)>1时发散”具体含义应理解为“不是对任意的初始向量都收敛，即也可能存在使简单迭代法收敛的初始向量”。对此进行更严格的描述，可得如下结论：

结论1 设X=BX+g有惟一解X*，若矩阵B的谱半径ρ(B)>1，但B有一个特征值λ满足|λ|<1，则存在初始向量X(0)，使得迭代格式X(k+1)=BX(k)+g(k=0,1,2,…)产生的序列{X(k)}收敛于X*。

事实上，我们在今年3月的巴塞尔展现场，也听到了一些“明年不来”的传言，品牌觉得参展成本高，而回报不够令人满意。

X*的一个充分条件为

3)当突发事件导致市场价格随机波动，市场需求随着改变，在市场需求增大和减小两种情况下，市场需求分布分别满足正态分布X～N(20000，3002) 和X～ N(6000，3002).

X(k+1)-X*=B(X(k)-X*)=…=Bk+1(X(0)-X*，

设B的与λ对应的特征向量为y，则

By=λy,Bk+1y=λk+1y

然而，为了生存，为了发展，白云艺中人坚定信念，克服重重困难，想尽办法争取政府部门支持，千方百计借助周边社区、民间艺术家和高等院校专家学者的力量，全力调动教师的积极性，充分挖掘学生的艺术潜质，克服文化课程基础薄弱的短板，用百倍的努力攻坚克难。

X(k+1)-X*=Bk+1y=λk+1y

1961年，在乔纳斯·索尔克（Jonas Salk）的亲自邀请下，科恩加入索尔克研究所，成为创始人员和研究员。在过去的57年中，他致力于研究人体的免疫系统以及形成它的进化选择压力，并揭示免疫细胞和抗体会直接对感染和在接触病原体时做出反应，从而保护身体。他还开发了用以预测免疫行为的计算机模块。

依据当地的气候环境条件以及小麦种植制度，选择抗病能力良好的品种，避免过早播种、控制播种量，科学施肥。小麦返青后及时灌溉返青水，禁止漫灌，做好田间杂草防治工作。并于每年二月下旬至三月期间，在上午有露水时每亩使用烯唑醇可湿性粉剂50g，对水40千克喷雾，病情平生田块间隔10天后重复用药一次。

引理2 A∈Rm×n为(按行)严格对角占优矩阵，则解AX=b的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛[1]。

引理3 对于任意的A∈Rm×n，‖*‖为任意一种矩阵范数，则ρ(A)≤‖A‖[2]。

注记2 一般情况下，Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法没有一定的相互关系，但是当迭代矩阵满足一定条件时，Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法之间便可以建立起敛散性同步的关系。

结论2 设线性方程组AX=b的Jacobi迭代格式为X(k+1)=BX(k)+g(k=0,1,2,…)，若‖B‖∞<1，则相应的Gauss-Seidel迭代法收敛，即Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法同时收敛。

证明：由于Jacobi方法的迭代矩阵为

随着气候条件和耕种方法的不断变化，主要病虫害开始逐渐替代过去的次要病虫害。同时，在种植过程中，大部分农户不能全面清晰地认知和区分各种病虫害，导致一方面控制力明显不足，另一方面防治方法相对落后，对病虫害的防治措施和效果不理想，从而影响小麦产量。

又由‖B‖∞<1，故有即亦即

这说明系数矩阵A按行严格对角占优，由引理2，故Gauss-Seidel迭代法收敛。已知‖B‖∞<1，由引理3，Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法同时收敛。

结论3 设A=(aij)2×2是二阶矩阵，且a11a22≠0，则解线性方程组AX=b的Jacobi方法和Gauss-Seidel方法同时收敛或发散。

证明：Jacobi方法的迭代矩阵为而Gauss-Seidel方法的迭代矩阵为它们的谱半径同时小于1、等于1或大于1，因此Jacobi方法和Gauss-Seidel方法具有相同的收敛性。

结论4 设线性方程组AX=b的Jacobi方法的迭代矩阵为B=L+U，L,U分别为严格下、上三角矩阵，则当‖L‖+‖U‖<1时，相应的Gauss-Seidel方法收敛，即Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法同时收敛。

证明：Gauss-Seidel迭代公式可表示为

X(k+1)=LX(k+1)+UX(k)+g(k=0,1,2,…)

方程组AX=b的解X*显然满足

X*=LX*+UX*+g(k=0,1,2,…)

将上面两式相减，则

第三套系统的旋流器组型号FX350×12型，由12台Φ350的小直径旋流器组成，处理能力1 000 m3/h，分级粒度为0.15～0.20 mm。实际生产过程中为保证正常的入料压力，只使用其中的6～7组，使用效率不高。2011年9月24日，将原3338号旋流器组更换为FX750-GT型大直径水力旋流器，该旋流器直径达750 mm，处理能力450～500 m3/h，入料压力为0.07～0.12 MPa，分级粒度0.20～0.25 mm。

‖X(k+1)-X*‖=‖L(X(k+1)-X*)+U(X(k)-X*)‖≤‖L‖·‖X(k+1)-X*‖+‖U‖·‖X(k)-X*‖

从而

由于

从而‖X(k+1)-X*‖=|λk+1|‖y‖，因为|λ|<1，故‖X(k+1)-X*‖→0(k→∞),所以存在初始向量X(0)使得上述格式收敛。

‖L‖+‖U‖<1，故

犯罪是一种社会现象，其产生有复杂的原因。有组织犯罪作为犯罪现象的高级形态和复杂形态，其产生原因更加复杂，因而预防和惩治有组织犯罪的对策应当是多方面、多层次的。针对上述的我国大陆有组织犯罪现象的若干发展趋势，下文将提出直接而有针对性的对策，至于更深层次的原因探析与相关对策则不再展开。

若取初始向量X(0)=X*+y，则

即X(k+1)收敛于AX=b的解X*。

注记3 一般情况下，Gauss-Seidel迭代法并非对非奇异系数矩阵的任意线性方程组收敛，但是当对原方程组做适当的等价变形后，可使Gauss-Seidel迭代法收敛。

引理4 若线性方程组AX=b的系数矩阵A正定，则Gauss-Seidel迭代法收敛[3-4]。

结论5 设A为n阶非奇异矩阵，则可用Gauss-Seidel迭代法求得AX=b的解。

证明：A为n阶非奇异矩阵，故AX=b与ATAX=ATb一定是同解的方程组，而ATAX=ATb的系数矩阵正定，由引理4，Gauss-Seidel方法解系数矩阵为对称正定的方程组一定收敛，即一定能得到AX=b的解。

注记4 迭代格式X(k+1)=BX(k)+g(k=0,1,2,…)收敛的快慢与ρ(B)的大小有关，ρ(B)越小，收敛越快，ρ(B)=0时已经达到最小，故收敛最快，可使迭代法在有限步内得到精确解。

引理1 对任意初始向量X(0)∈Rn和任意右端向量g，简单迭代法都收敛的充要条件是ρ(B)<1，亦即ρ(B)<1时收敛，ρ(B)>1时发散[1]。

证明：ρ(B)=0，B的特征值全部为零，特征多项式为|λI-B|=λn，由线性代数中的Hamilton-Cayley定理得Bn=0。设X*是X=BX+g的精确解，因I-B的特征值都是1，故I-B非奇异，因此X*是X=BX+g的唯一解。于是，对任意的初始向量X(0)，X(n)-X*=B(X(n-1)-X*)=…=Bn(X(0)-X*)=0。

注记5 误差校正是一种构造迭代法的重要方法[5-6]，不同的校正方法导致不同的迭代格式。下面给出一种误差校正时，对校正参数的取值范围的讨论结果。

结论7 设方程组AX=b的系数矩阵A=(aij)n×n对称正定。误差校正迭代格式X(k+1)=X(k)-τ(AX(k)-b)(k=0,1,2,…)收敛于AX=b的解

证明：因X*是解，故X*=BX*+g，与Xk+1=BK(k)+g相减有

证明：所述格式可写为

X(k+1)=(I-τA)X(k)+τb(k=0,1,2,…)

从而

因为矩阵A=(aij)对称正定，故其特征值均为正，不妨设0<λ1≤λ2≤…≤λn，迭代矩阵B=I-τA的特征值为1-τλi，为使格式收敛，应有|1-τλi|<1。由此解得公共解为由于故实用中可取

注记6 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛条件不止一个，一般总考虑比较方便的充分条件。

观察方程组的系数，可以发现有几个系数的绝对值相对较大，可以调整方程组中某(些)个方程的次序，使得方程组化为主对角严格占优的方程组从而用Jacobi和Gauss-Seidel方法求解时收敛。

参考文献：

[1]李庆阳,王能超,易大义.数值分析[M].北京:清华大学出版社,2008.

[2]李庆阳,关治,白峰杉.数值计算原理[M].北京:清华大学出版社,2000.

所以呀，无论为副局长亮灯、为普通群众亮灯还是为工作亮灯，都不如为局长亮灯“实惠”。局长是部属的“衣食父母”，加班亮灯让局长看到才是硬道理。有的下属认为，有局长关心的部属是块宝，没局长关心的部属是根草。部属干工作要尽量让局长关注、让局长满意，加班亮灯也如此。

[3]关治,陆金甫.数值分析基础[M].北京:高等教育出版社,1998:334-351.

[4]封建湖,车刚明.计算方法典型题分析解集[M].西安:西北工业大学出版社,2000.

[5]赵丹.雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法研究[J].兴义民族师范学院学报,2012(2):108-112.

Patients with RAS should be evaluated for revascularisation before fully committing them to a life of chronic dialysis.

[6]林福荣.关于非线性方程求根的几点注记[J].汕头大学学报,2012,17(2):5-11.