众所周知，目标方位估计(Direction Of Arrival ，DOA)是阵列信号处理的重要研究内容，广泛应用于雷达、声纳、无线通信、医学超声成像等军用及民用领域[1-2]。在过去的半个世纪里，广大科研学者提出了许多经典的方位估计方法，例如常规波束形成技术(Conventional Beamforming，CBF)，最大熵谱法(Maximum Entropy method，ME)，最大似然法(Maximum Likelihood method，ML)，多重信号分类法(Multiple Signal Classification method ，MUSIC)，旋转不变子空间法(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques，ESPRIT)等，这些方法也形成了方位估计研究领域的里程碑[3-4]。然而，随着研究的不断深入，人们发现高分辨方位估计算法虽然能够克服传统波束形成技术面临的瑞利限限制，其性能却在低信噪比，相干源和小快拍条件下严重退化[5-6]。

近些年，研究者提出了一种称为压缩感知(Compressive Sensing，CS)的新型数据采集技术，该技术的显著特点是能够突破传统奈奎斯特采样定律的限制，引起了广大专家学者的广泛兴趣[7]。在压缩感知的思想框架下，利用目标信号与生俱来的空间稀疏性，我们甚至能够在低信噪比，相干源和小快拍条件下对目标进行有效的高分辨方位估计[8-9]。Gorodnitsky 研究团队将方位估计问题视为一个欠定问题，并采用迭代加权最小范数方法(FOcal Underdetermined System Solver，FOCUSS)进行稀疏解的有效求解[10]。马晓川等人分别利用对角加载最小二乘法(diagonal loading least squares)，正则化方法(regularization)以及正交匹配跟踪法(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)3种不同的方法，对高分辨方位估计问题进行研究[11]。

另一方面，对于柔性直流潮流控制器，在稳定电压的模式下，应采用构造相等的调制度、方向相反的调制波这一直流电压的偏差控制策略，促使其将2个桥臂中的开关器件同时驱动。同理，在电流稳定的情况下，需要使用直流电流的偏差实现控制目标。

在本文中，详细阐述如何将压缩感知技术应用于空间目标方位估计领域，并给出该稀疏问题的求解方法，即采用基于内点法的凸优化问题解算工具箱CVX进行求解。为了进一步提高算法的空间分辨能力，我们将传统的压缩波束形成技术拓展至虚拟阵列领域，提出一种基于虚拟阵列的压缩波束形成方位估计方法。数值仿真结果表明了本文提出方法的有效性，尤其在低信噪比、相干源和小快拍数条件下，该方法能够分辨距离较近的空间目标，较传统方法具有更高的空间分辨能力和更好的方位估计性能。

我从小就开始着看大人们跳沙朗舞，大概五六岁开始便跟着大人们跳沙朗舞了，就这么耳濡目染一路跳到现在。我的妈妈、婆婆都跳得很好，可能有些遗传吧。现在的沙朗舞，我觉得有些“汉化”了，现在教出的沙朗舞有些过于艺术化了，好多都加上了十分绚丽的舞美布景和声电技术，已经没有传统沙朗舞的味道了。传统沙朗舞通常是自唱自跳。我不喜欢对着音乐跳。传统的沙朗舞是不需要音响设备来配乐的，羌族沙朗舞自古以来都是自唱自跳。这与现在的舞蹈有很大不同。沙朗舞通常是“唱得越起劲，跳得越起劲”。刚开始是几个人手拉手地跳，慢慢的就会有更多的人加入，大家越唱越跳人越多。

1 压缩感知技术简介

众所周知，当对信号进行采样时，为了避免丢失有效信息，采样频率(奈奎斯特采样律)至少应为信号最大频率的两倍，这就是著名的奈奎斯特采样定律。然而，在许多工程应用领域中，受奈奎斯特采样定律的制约，采样频率很高，导致采样样本数量巨大，存储困难。压缩感知是一种新型的数据采集技术，其最大的优势是能够在一个远低于奈奎斯特采样律的条件下无失真地捕捉和表征压缩信号[12]。

其中，为空间方位角度对应的导向矢量。

将式(1)代入式(2)，则y可进一步表达为

 

(1)

如果式(1)中仅有少数几个系数的数值较大，其余系数的数值均较小，则信号x称为可压缩信号。

虽然随着年龄增加，听力退化不可避免，但我们可以通过积极的生活方式干预，科学用耳，达到保护听力的目的。老年人在日常生活中，要注意这些预防事项：

空间目标在不同时刻的幅度可以分别通过常规压缩波束形成技术和虚拟阵列压缩波束形成技术进行求解，估计结果可以采用累加显示方式或堆栈显示方式，如图3所示。

y=Φx.

(2)

近几年来，我国出台了文化方面、经济方面、政治方面、环保领域等方面的相关法律法规，这些法规为我国社会的稳定发展创造了良好条件。互联网金融具有独特的特点，互联网金融的发展缺乏相应的法律保护与监管。下面将以校园贷为例，青少年对高端产品的需求量越来越大，但是他们的资金有限，这时校园贷就吸引了学生的眼球，通过校园贷学生可以购买到自己想要的产品，但是部分学生无法偿还高额负债，进而使学生走上了歧途，虽然校园贷的贷款利率并没有超过法律的规定，但是校园贷会以其他名目进行收费，这就是人们所说的高利贷。我国的法律法规并没有对这一业务进行明确的规范，消费者也难以用法律来保护自己的合法权益。

y=Φx=ΦΨs=Θs.

(3)

式(3)即称为压缩感知问题[13]。

2 压缩感知方位估计方法

2.1 稀疏阵列信号表示及压缩波束形成技术

目标方位估计问题可以利用空间稀疏信号来表征。假设为我们感兴趣的所有空间方位角度，利用每一个空间方位角度所对应的导向矢量构造感知矩阵

 

(4)

一般而言，大多数信号均能够通过一个正交基进行表示。例如，任意一个N维空间中的信号x∈iN均可在Ψ=[Ψ1,Ψ2,…,ΨN]正交系下表示为

相应地，信号场S(t)可重新表示为一个新的维矢量则目标方位估计问题可以转化为一个稀疏表示问题，稀疏阵列信号模型如图1所示。

 

(5)

  

图1 稀疏阵列信号模型

通常情况下，空间目标的实际数量远小于我们感兴趣的所有空间方位个数。因此，我们拟解决的空间估计问题是稀疏的，同时该问题可通过l1范数约束进行求解。进一步假设噪声场N(t)，则式(5)的求解可以表示为

 

(6)

称为压缩波束形成。其中，ε为噪声能量(l2范数)的约束上限。研究表明，式(6)本质上是凸优化问题，可通过基于内点法的凸优化问题解算工具箱CVX进行有效求解[14]。

2.2 基于虚拟孔径阵列的压缩波束形成技术

为了提高算法的空间分辨能力，进一步将压缩波束形成技术拓展至虚拟孔径阵列。根据线性预测理论[15]，实际阵列孔径可以通过前向或后向预测技术进行虚拟拓展，虚拟阵列空间拓展模型如图2所示。

  

图2 虚拟阵列空间拓展模型

第N+1个阵元(虚拟阵元)接收到的虚拟信号可以通过前向预测技术表示为

在家庭中给婴儿补充营养虽不是一个大型服务项目，却是一项重要的服务。这也是在儿科服务的指导下完成的，服务内容是在可能范围内以豆奶代替牛奶粉。在一些情况下，通过提高母亲的食物供给以便使母亲能够使用她自己的母乳喂养婴儿。由于所需花费高昂，补充喂养服务并未广泛开展，但是，它既可以作为有助于医生实务，又有助于病人健康的措施来加以推广。

相应地，第-1个阵元(虚拟阵元)接收到的虚拟信号可以通过后向预测技术表示为

 

(7)

CA125是目前卵巢癌诊断的常用肿瘤标志物，其表达与卵巢癌的发生、发展密切相关。本研究结果显示，卵巢癌患者的血清CA125水平显著高于卵巢良性疾病患者(P<0.05)，但卵巢良性肿瘤组的CA125水平也高于健康对照对照组(P<0.05)，分析其原因已有其他研究[3,9]证实CA125的血清水平易受到怀孕、月经期检测、其他恶性肿瘤(如肺癌、乳腺癌等)及部分良性疾病(子宫内膜异位症、感染等)的影响，从而降低了其在卵巢癌诊断中的特异度。本研究结果也显示在卵巢癌诊断中，CA125的特异度明显低于HE4及ROMA指数(P<0.05)。

 

(8)

其中：xi(t)(i=1,…,N)表示从第i个阵元接收到的实际信号，和分别表示为相应于第i个阵元的前向预测系数和后向预测系数。其它虚拟阵元的信号也可以通过相同的预测方式获得。

在虚拟阵列孔径的基础之上，可以进一步应用压缩波束形成技术，为方便起见，称为基于虚拟阵列的压缩波束形成技术。

3 计算机数值仿真分析

3.1 相干多目标空间谱估计

考虑一均匀线列阵，阵元个数8个，阵元间距半波长，虚拟阵元个数3个。在阵列的远场处存在3个相干源目标，其入射方向分别为0°，10°和16°，采样快拍数60，信噪比20 dB，仿真结果如图3、图4所示。其中，信噪比定义为信号功率Psignal与噪声功率Pnoise的比值

 

(9)

考虑传统的线性测量过程

  

图3 空间三相干源0°，10°和16°信号幅度估计结果

  

图4 空间三相干源0°，10°和16°空间谱估计结果

图4为常规压缩波束形成和虚拟阵列压缩波束形成两种方位估计方法的空间谱估计结果。从图4(a)中可以看出，常规压缩波束形成技术仅能显示两个伪谱峰，相应地，图4(c)也仅有两条红色亮带指示仅估计出两个伪目标。相比之下，图4(b)清晰显示3个谱峰，且谱峰位置与实际目标位置相符(0°，10°和16°)，相应地，图4(d)呈现3条红色亮带并指示正确的目标方位。由此可见，基于虚拟阵列孔径的压缩波束形成技术具有较高的空间分辨能力和较好的方位估计性能。

3.2 统计性能分析

目前为止，我们已经对相干多目标空间谱进行了研究。本小节进一步对算法的统计性能进行分析，即比较在不同信噪比条件下各算法的均方根误差(Root Mean Square Errors， RMSE)，进而分析算法的方位估计性能。均方根误差定义为

 

(10)

其中：S为蒙特卡罗统计实验的次数，为第s次蒙特卡罗实验的方位估计结果，θ0为目标的真实方位。

仿真条件与3.1小节相似，假设在阵列的远场处存在两个相干源目标，其入射方向分别为10°和16°，蒙特卡罗统计实验次数为50次，信噪比变化范围为10 dB至30 dB。仿真结果如图5所示。

从图5中可以看出，压缩波束形成和虚拟阵列压缩波束形成算法的均方根误差均随着信噪比的增加而减小，即算法性能在大信噪比条件下较小信噪比条件下有所改善，这与实际的规律相符合。然而，值得注意的是，虚拟阵列压缩波束形成算法始终具有较低的均方根误差，尤其是在较低信噪比条件下，其性能明显优于常规压缩波束形成算法。例如，考察入射角度为10°的目标(见图5(a))，当信噪比为12 dB时，虚拟阵列压缩波束形成算法的均方根误差仅为0.3°，而常规压缩波束形成算法的均方根误差已达到1.3°。本仿真结果表明基于虚拟阵列孔径的压缩波束形成技术较常规算法具有更低的方位估计误差和更好的方位估计性能。

  

图5 空间双相干源10°和16°信号方位估计均方根误差

4 结 论

本文阐述了将压缩感知技术应用于空间目标方位估计的基本原理，研究表明，该问题本质上属于凸优化问题的范畴，可通过凸优化问题解算工具箱CVX进行有效求解。为了进一步提高空间目标方位估计的分辨能力，本文将传统的压缩波束形成技术拓展至虚拟阵列领域，提出一种基于虚拟阵列的压缩波束形成方位估计方法。数值仿真结果表明了本文方法的有效性，尤其在低信噪比、相干源和小快拍数条件下，该方法能够分辨距离较近的空间目标，较传统方法具有更高的空间分辨能力和更好的方位估计性能。

由于巴蜀气温环境多雨、潮湿，使得人们的关节、脏腑受到影响，峨眉武术习练者与技艺传承者在教学与传授中，注重拳架、功法练习以达到兼顾调心养气以求内壮的效果。除此之外，巴蜀区域因气候温和、幅员辽阔，深受各地区经济、文化等因素融合影响，所呈现出的峨眉武术风格、拳法各具特色，互为依托但又互不重合。一位哲学家曾说过世界上没有两片完全相同的树叶，峨眉武术拳种的林立，风格迥然多样，自然形成多种区别于其他地域武术技术风格的特点。

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