0 引言

地震动、极端风速、波浪、海啸等激励均为工程中常见的非平稳过程。与平稳随机过程相比,非平稳随机过程的强度与频率成分都随时间发生显著的变化。通过功率谱估计能够清晰地描述随机过程的时间-频率-能量分布。此外,功率谱不仅直接为结构动力响应的频域方法提供目标谱模型,而且能够为时域方法模拟大量样本。目前时变谱估计的方法分为两类:参数方法和非参数方法。参数方法包括时变AR模型、时变ARMA模型等。非参数方法包括短时Fourier变换、Wigner-Ville分布、小波变换等。其中参数类的方法需要确定系统的参数和模型的阶数,这给此类方法的推广带来了困难。非参数类方法具有算法简单、理论完善等优势,因此该类方法应用广泛。

早期Basu等[1]采用MLP正交小波推导了小波系数均方值与时变功率谱间的关系。曹晖等[2]利用LP小波函数估计了若干地震波的时变功率谱。Spanos等[3]发展了利用正交与非正交小波估计时变谱的框架。Huang等[4]将这一框架推广到多变量随机过程的谱估计中。随后Spanos等[5]发展了二进谐和小波(dyadic harmonic wavelet,DHW)与广义谐和小波(generalized harmonic wavelet,GHW)估计时变谱的方法。工程中获得大量的非平稳样本并非易事,所以Priestly[6]提出的估计方法也具有一定的价值,而Hu等[7]也采用该方法对台风的时变谱进行了估计。

目前对于时变谱的研究(如估计方法的适用性、估计方法的评价及工程应用等)还不够完善。本文首先讨论多样本估计时变谱的方法,包括短时Fourier变换和两类小波变换,然后介绍Priestley估计方法;其次以谱表达式已知的Kanai-Tajimi模型为例,对于不同方法估计均匀调制及一般形式调制谱的结果进行评价;最后为了拓展谱估计理论的应用,针对SMART-Ⅰ台阵第45次地震记录样本对时变谱及三个方向间的相干性展开深入的分析。

还有的由于养殖场饲养管理水平差或者养殖环境不佳，鸡群经常处于应激状态，加上饲料毒素的存在，鸡群的抗病水平很差，经常会发生大大小小的疾病，造成蛋鸡的死亡或产蛋率的下降，养殖场为了治疗疾病，就会使用大量的药物，这其中就有很多是蛋鸡产蛋期禁用的，违规使用势必会造成鸡蛋药残的情况。

1 多样本估计方法

1.1 短时Fourier变换方法

短时Fourier变换(STFT)的思想是用一个固定宽度的移动时窗函数与随机过程的样本相乘,再对乘积进行Fourier变换。在多样本条件下,时变谱可表示为:

Skk(ω,t)=

(1)

式中:E[·]表示数学期望算子;i表示虚数单位;g(t)为窗函数;T′为时窗宽度;fk(t)表示随机样本,k=1,2,…,M,M为随机样本的数量。

1.2 小波变换方法

相比于STFT固定宽度的时窗,小波变换能够提供随尺度变化的时窗,具有良好的时频分辨率,被誉为信号分析的“数学显微镜”。小波变换还具有丰富的基函数以及严格的数学背景,使得其在谱估计方面得到广泛的使用。随机过程fk(t)的自谱与fj(t)和fk(t)间的互谱表示为:

(2)

式中:Aj(ω,t)与Ak(ω,t)分别为随机过程fj(t)与fk(t)的调制函数;与分别为平稳自谱与互谱。

最终，250例患者被纳入研究，其中，男135例，女115例，年龄60～87岁。对同意入组接受随访检查的患者，检查费用由本课题组承担。辛伐他汀组84例，年龄（71.2±7.6）岁，其中男性47例；阿托伐他汀组89例，年龄（70.3±7.0）岁，其中男性49例；瑞舒伐他汀组77例，年龄（70.6±6.8）岁，其中男性39例。三组不同用药方案老年患者的基线资料，包括性别、年龄、体质指数、吸烟量、冠脉血管病变支数、冠心病种类、用药情况、入院时non-HDL-C、入院时LDL-C等指标，差异无统计学意义（P＞0.05），资料均衡，具有可比性。

谱表达式可进一步展为[3-4]:

(3)

式中:ap、b分别为小波尺度与时间平移因子;p表示尺度数目,取值为p1～p2;|ψ(apω)|2为小波频域函数模平方;为与时间相关的权重系数,由下式求得:

(4)

式中:Wj(ap,b)为非平稳过程fj(t)在尺度ap及时刻b处的小波系数,且有:

(5)

显然式(3)可认为某一时刻的功率谱是不同小波频域函数模平方的权重和。此外,上述谱估计框架对于小波函数没有严格要求,正交与非正交小波均可。

1.2.1 非正交小波

复Morlet小波是最常用的非正交小波,小波函数在时域与频域的表达式为:

(6)

ψ(f)=e-2πfb(f-fc)2/2

(7)

式中:fc、fb分别为小波函数的中心频率和带宽。

[1] BASU B,GUPTA V K.Stochastic Seismic Response of Single-degree-of-freedom Systems Through Wavelets[J].Engineering Structures,2000,22:1714-1722.

1.2.2 正交小波

推进国土资源供给侧改革 优化要素支撑（何建立） .......................................................................................6-16

Newland[8]构建了GHW,其小波函数具有严格的“盒形”频谱特性,可以将信号正交既无遗漏又无混叠地分解到相互独立的各个频带,其频域解析式为:

(8)

式中:(m,n)为尺度因子;τ为时间平移因子。

与式(8)对应的时域表达式为复数函数,记为:

(9)

不同尺度下一般取相等小波频带宽,即n1-m1=n2-m2…=nl-ml,且nl-1=ml,l为频带的总数目。各尺度GHW函数在频域内的分布如图1所示。

1.4.1 病例纳入标准（1）符合上述西医诊断标准和中医证候诊断标准的CKD3-5期非透析CKD-MBD患者；（2）血清iPTH逐渐升高，CKD3期患者的iPTH大于70 pg/mL，CKD4期患者的iPTH大于110 pg/mL，CKD5期患者的iPTH大于300 pg/mL；（3）患者均自愿参与临床研究，并签署知情同意书；（4）年龄范围为18～50岁。

图1 不同尺度下GHW的频谱 Fig.1 Frequency spectra of GHW at different scales

对于信号f(t),GHW的小波变换公式为:

(10)

反之,重构公式为:

(11)

式中:Re表示求实部。

由式(10)可见,小波系数由尺度函数与信号的卷积获得。然而注意到GHW具有如式(8)所示的频域表达式,所以本文推导了可以避开繁杂的卷积运算而直接利用FFT和IFFT高效地计算出小波系数的公式。

由于时域卷积等于频域乘积,则在频域上小波变换与重构的公式为:

(12)

当式(16)右端小波系数模的平方替代为不同随机过程小波系数的内积时,式(16)则转化为互谱估计。

(13)

式中:F(ω)和W(m,n),(ω)分别为f(t)与W(m,n),的傅里叶变换。

综上,小波系数计算可简化为以下三个步骤:首先,对信号f(t)做FFT,得到其频域值F(ω);其次,将F(ω)与GHW的频域函数做乘积;最后,将得到的乘积结果做IFFT。

需要指出的是,如同非正交复Morlet小波,正交GHW也可以应用于Spanos与Failla框架进行谱估计。然而由于GHW具有正交特性,下面将建立更加简便的GHW估计框架。

根据GHW的正交特性,可以证明下式成立[9]:

图8 为总氮的分析结果，由图8可以看出降雨开始时总氮为0.8mg/L，为Ⅲ类水体；降雨开始4小时后污染物浓度达到峰值1.4mg/L，为Ⅳ类水体；降雨开始6小时后，由于稀释作用，基本恢复为Ⅲ类水体。之后随着第二次降雨峰值的出现，水质有一定的恶化。总体而言，降雨径流对总氮的影响较小，一天中超过Ⅲ类水质时间约为6小时，降雨径流对总氮的浓度变化存在一定影响，但在可接受范围内。

(14)

根据Parseval理论:

2πE[|F(ω)|2]dω=E[|fk(t)|2]dt

(15)

式中:T′为时窗宽度。

(16)

f(t)=

2 Priestley估计方法

工程中往往仅能获得少量的非平稳样本,所以Priestley估计方法同样具有价值。非平稳随机过程的单个样本fk(t)在任意频率ω0处可做如下变换:

U(ω0,t)=[g(t)]*[fk(t)exp(-iω0t)]

(17)

式中:符号“*”表示离散卷积;g(t)为固定宽度的窗函数,其表达式可选为:

(18)

式中:h为时窗宽。

可以证明[6],|U(ω0,t)|2可作为功率谱的近似无偏估计。为了提高估计性能,降低式(17)估计方差,采用窗函数来平滑t附近谱值。在频率ω0处,时变谱表示为:

Skk(ω0,t)=[w(t)]*[|U(ω0,t)|2]·(Δt)2

正交小波可分为二进正交小波与非二进正交小波。其中二进正交小波有DHW、MLP小波等。对于二进正交小波,不同尺度小波函数在频域内的带宽依2的倍数增长。首先,其不具灵活性;其次,当时变谱在高频处出现快变峰值,其将会产生较大的误差。GHW为非二进正交小波,不仅能够将频域进行任意的划分,而且在信号分解与重构时方便引入FFT技术。

(19)

式中:w(t)为固定宽度的窗函数,其表达式可选为:

(20)

由式(14)～(15)及功率谱密度的定义,将总能量在时间和频带上进行两次离散,即可得到谱估计公式:

3 谱评价

为了验证上述各方法的有效性,采用与时间相关的统计矩进行谱评估。此外,样本数目与相对误差的关系也可作为衡量标准。本文采用以下两个标准对谱估计结果进行评价。

标准1:利用累计能量与时间的关系。

m0(t)=S(ω,t)dω

(21)

标准2:利用样本数量与相对误差的关系。

(22)

4 算例

选用地震工程中常用的Kanai-Tajimi模型作为目标谱,该均匀调制谱表示为时间与频率函数的乘积:

(23)

其中:调制函数为:

A(t)=(e-0.1t-e-0.2t)/0.25

(24)

平稳谱为:

(25)

式中:S0=1;ωg=20 rad/s、g=0.24分别为卓越频率和等效阻尼。

Kanai-Tajimi谱的目标值如图2(a)所示。研究中采用谱表示法模拟非平稳随机过程的大量样本。其中时间步长t=0.01 s,时间总长T0=20 s,Nyquist频率ωu=50 rad/s。

由于STFT是冗余的,导致计算量巨大。为了方便应用,本文采用STFT估计谱时整个时间轴上采用15个等间距分布的汉明窗,即窗宽取为T0/16,各窗间的重叠为T0/32,这样既能保证效率又能获得较为光滑的结果。由500个样本估计的时变谱结果如图2(b)所示。与图2(a)相比,谱估计结果的“概貌”基本与真实吻合,表明STFT具有一定的时频描述能力。

对于非正交复Morlet小波,小波尺度的选择相当于对频域空间进行一定的划分,那么如何选取尺度？尺度选取的标准如何？不同尺度的选取对谱估计结果的影响如何？尺度因子一般采用幂级数的离散格式,即下面针对以上问题取四组尺度进行讨论:(Ⅰ):称为2-基;(Ⅱ):称为1.41-基;(Ⅲ):称为1.19-基;(Ⅳ):称为1.09-基。其中第一组为二进离散方式,后三组为非二进离散方式;根据Heisenberg不确定性准则,显然1.09-基的频率分辨率最优而时域分辨率最低,2-基的时域分辨率最优而频域分辨率最低,而1.19-基与1.41-基的时频分辨率居中。

图2 Kanai-Tajimi理论谱与其估计结果 Fig.2 Kanai-Tajimi target spectra and its estimation results

通过计算发现,尺度Ⅰ和Ⅳ得不到良好的谱估计结果;在t=5.7 s及15.7 s时刻,尺度Ⅱ和Ⅲ的谱估计结果如图3所示。可以观察到,这两个尺度划分均能够得到良好的估计结果,但需要注意,在低频段发生了一定程度的“波动”现象,并且尺度Ⅲ比Ⅱ的“波动”稍微严重。作者认为引起上述四个尺度结果差异的原因为:小波尺度的选择需要在时域和频域达到折中和平衡,低频段的“波动”现象是由于小波尺度函数时域分辨率不足造成的。综上,频率空间既不能密集划分,也不能稀疏划分。采用1.41-基在500个样本条件下的谱估计“全貌”如图2(c)所示,其时变谱估计的效果最为理想,所以实际应用中建议采用1.41-基。

对于正交GHW,尺度的频宽选取范围建议在3～12之间。经过试算,当尺度的频宽取为5时,即频域空间被等间隔划分为30个频带,谱估计结果的时频分辨率能够达到权衡与折中。在t=5.7 s及15.7 s时刻,GHW的谱估计结果如图4所示。可见,谱估计值与目标值非常吻合。在所有时刻,由500个样本估计时变谱“全貌”如图2(d)所示。值得注意的是,GHW能够得到非常光滑而准确的估计值。此外,GHW计算效率略高。

图3 不同尺度谱估计结果对比 Fig.3 Comparison of spectral estimation results with different scales

图4 GHW谱估计结果 Fig.4 Spectral estimation of GHW

如图2(e)所示,对Priestley方法的结果进行说明,其中h=0.25 s,T′=6 s。谱估计的“概貌”基本与真实吻合,但陡峭程度与真实值有一定的偏差。相比之下,当样本数量不足时,建议采用Priestley估计方法。

在晚唐的动荡岁月里，镜湖周边的隐逸文人为了寻求保护与生存，并非过着完全隐逸的生活，寻求仕进与干谒权贵同样是他们生活的常态，因此在隐士心中，仕进的欲望和隐逸的愿望共存。同时，镜湖周边的权贵也急于招募文士以扩大自身幕府的实力。这两个因素共同构成了晚唐镜湖隐逸文学生态的一个侧面。这种隐逸文学生态既导致了诗人方干人格及其部分诗歌格调的衰变，也是方干营造“清丽”诗风以抒发心中痛苦的动因。晚唐诗风开始向五代乱世诗风进行转变。

下面将对上述STFT、Morlet小波以及GHW的估计结果进行评价。首先,在500个样本下利用标准1比较不同方法的均方值(图5)。其次,由标准2算出不同方法样本数目与总体误差的关系,以此衡量各方法的精度与收敛性(图6)。由图5可以看出,STFT具有一定的偏差,Morlet小波误差很小,而GHW除了在地震动开始与峰值处存在一定的误差外,其余误差均较小。图6可以得到一些非常有趣的结论:(1)随着样本数量的不断增加,三种方法的相对误差均呈下降趋势,但STFT下降速率非常缓慢;当样本数目在1～500个范围内,Morlet小波与GHW误差的下降速度非常快,当样本大于500时,GHW的估计误差下降缓慢,而Morlet小波则继续下降,但下降速率不显著。(2)随着样本数量的不断增加,STFT的估计误差始终很大,保持在30%的水平;当样本数目在1～200个范围内,GHW的估计误差始终优于Morlet小波,而当样本大于500之后,Morlet小波的估计误差与GHW相当,误差水平均保持在10%以下。

图5 估计均方值与目标均方值的对比 Fig.5 Comparison between target and estimated mean square values

图6 不同方法收敛性与相对误差 Fig.6 Convergence and relative error of different methods

最后单独对Priestley谱评价结果进行说明。如图5所示,由单个样本估算的均方值与目标值存在一定的误差;而从图6可见,样本数量对该方法没有影响,误差曲线近似水平直线。虽然Priestley方法在精度上不具优势,但其适用于单个样本的谱估计。

下面进一步对下述一般形式的调制谱进行研究,在均匀调制Kanai-Tajimi谱的基础上,定义调制谱为:

(26)

式中:右端第一项与式(24)和式(25)一致;第二项的调制函数为:

A2(t)=(e-0.25t-e-0.5t)/0.2

(27)

第二项谱形式与式(25)相同,仅ωg取值不同,为80 rad/s。

限于篇幅,仅给出在t=5.7 s、10 s、15.7 s时刻的估计值(图7)。结果表明:对于一般形式调制谱Morlet小波与GHW也能够获得准确的估计值。

图7 不同时刻理论谱与其估计结果 Fig.7 Target spectra and its estimation at different instants

5 工程应用

我国台湾地区的SMART-Ⅰ台阵测站呈十二方位辐射排列。该台阵测站由37个测站构成:包含一个中心点及三个同心圆,每一个同心圆上等间距设置12个测站。

选取1986年第45次地震内圆上的记录作为研究对象,获得EW、NS、UD每个方向共计12组地震动样本。根据第4节的结论,与其他方法相比,由于GHW框架能够获得较好的结果,所以选用其进行时变谱估计(频宽取为6),结果如图8所示。观察图8,地震动的频率成分随时间变化显著,且不同方位上强震记录的时频特性有明显不同:(1)水平方向(EW、NS)的频率成分较为接近,能量主要集中在10～20 s;竖向(UD)的频带范围分布较广且高频成分多,竖向能量与两水平向相差近一个数量级;(2)从三个方向谱估计形状的陡峭程度来看,水平向的非平稳性略强于竖向。同时也可以看出,地震动在不同时刻其卓越频率是不同的,各个频带不是同时刻达到最大幅值,所以SMART-Ⅰ台阵第45次近断层地震具有强度和频率的双重非平稳特性。(3)三个方向的地震动高频衰减很快。在地震衰减阶段(30～40 s)仅含有低频成分,这对于由于地震动导致周期“延长”的损伤结构非常不利,容易引起“瞬时共振”现象。

2.1 周氏啮小蜂简介 周氏啮小蜂Chouioia cunea Yang属膜翅目姬小蜂科，是最先发现于美国白蛾蛹内的寄生性生物天敌，具有寄生率高，繁殖能力强，雌雄性比大等优点[19]，自然寄生率可达80%以上，且出蜂量大[20]。周氏啮小蜂成蜂体长1.1～1.5 mm，一年可繁殖4～7代[21]，其卵期、幼虫、蛹期均在寄主体内度过，在发育至老熟幼虫期将寄主杀死，在寄主的空蛹壳中化蛹，成蜂羽化后咬破寄主蛹飞出[22]，是美国白蛾控制具有良好控制潜力的优秀寄生蜂。

图8 SMART-Ⅰ台阵三个方向时变谱估计 Fig.8 Time-varying spectral estimation of three directions at SMART-Ⅰ array

以时频域的角度讨论地震动三个方向间的时变相干性,还需要根据式(16)来估算三个方向的互谱。限于篇幅,此处省略互谱的图示,直接给出不同时刻相干性计算结果(图9,图中以相干谱图形式示出,颜色的深浅代表相干性的强弱)。总体来讲:(1)相干性在少部分低频范围(0～20 rad/s)内较强,其值在0.5～0.9间。(2)三个方向的相干性认为是“弱相干”,尤其是两水平方向的“弱相干”表征了此次地震动的最大主轴方向近似接近于NS方向;(3)三个方向的相干性随时间的变异性不大。

图9 SMART-Ⅰ台阵三个方向随时间变化的相干函数 Fig.9 Time-varying coherency function of three directions at SMART-Ⅰ array

6 结论

根据对知识和技术推动经济增长的作用视角的不同，经济增长模型主要有三大类：哈罗德中性型、希克斯中性型和索洛中性型（包玉香，2012）。由于本文研究的是老龄化对产业结构的影响，选用哈罗德中性的新古典经济增长模型，即Y=Kα(AL)β，其中α+β=1。该模型中主要包括四个变量：产量Y、资本K、知识或技术A和劳动L，考虑到时间因素t，经济产出的生产函数可表示为：

(2) Kanai-Tajimi模型谱估计结果表明,复Morlet小波与GHW具有良好的时频域分辨率,能够保证均匀调制与一般形式调制谱估计的精度和效率。相比之下,GHW估计结果较光滑并且计算效率高。STFT虽然精度有限,但应用方便,可作为其他方法的校核;

在微格课堂教学中，8～10名医学生为一个教学小组，轮流扮演操作者和评价员角色，并由一名指导教师负责组织实施，一名摄像人员负责视频拍摄（可由教师或学生担任）。根据所训练的临床操作项目的不同特点，一次医学生操作约为10～15分钟，并用摄像机记录下来。

(3) Kanai-Tajimi模型谱评价结果表明,复Morlet小波与GHW谱估计时具有较好的精度与收敛性,而STFT估计谱的精度与收敛性较差;

(1) 采用Spanos与Failla框架估计谱时提出了小波尺度选取的准则,且其时频域分辨率是影响谱估计精度的关键,本文建议采用1.41-基的复Morlet小波。采用GHW框架估计谱推导了快速计算小波系数的公式,注意到最优尺度频宽的选取需要进行试算;

(4) 当样本数量有限时,Priestley估计方法同样具有工程价值,并且算例结果验证了样本数量对其精度和收敛性的影响不大;

(5) SMART-Ⅰ台阵实测记录的谱估计结果表明,地震动具有强度和频率的双重非平稳性。此外,其竖向比两水平向具有更为丰富的高频成分,为宽带随机过程;

(6) SMART-Ⅰ台阵记录三维分量的相干性结果表明,三个方向均为“弱相干”,且其随时间的变异性不大。

参考文献(References)

EPC总承包模式是所有分包单位在项目总承包平台上进行招标，并可在设计时进行施工，以缩短施工前的时间。同时，EPC建设模式可以实现设计阶段、采购阶段、施工阶段管理的高度集中和统一。实现各阶段的综合协调，优化资源的合理配置，提高施工效率，确保项目实施进度。

鉴于复Morlet小波具有良好的时频特性以及解析的小波表达式,其适用于Spanos与Failla的估计框架。

高校教师可以借助MOOCs教学模式来提高自身的教学能力与教学质量，要做的是最大限度地、更合理地运用这种新型教学模式，比如：利用线上资源充实自己，提高自己的水平；积极地改进教学模式，将传统教学模式转变成为以学生为主而教师为辅的翻转模式，即让学生线下做好预习教学内容，课堂成为师生间、学生间互动交流的探讨环境；充实教学，课堂内设立高质量的学习内容，鼓励学生独立地解决一些实际问题，并适当拓展知识点。由此可见，MOOCs的出现不但给高校教师提供了新的学习机遇，同时也带来了更多的挑战，不仅仅要变革传统教与学模式，更重要的是提高自身的学习能力，以期提升教师教育教学质量。

信息手段辅助评审更加普遍。信息化建设对于提升财政评审工作效率和透明度、实现程序规范和过程留痕具有深远影响。山东省各级财政评审机构拓宽视野、立足长远，不断更新理念，开发建设财政评审信息管理平台，提升评审信息化工作水平。省财政积极研究融入财政业务一体化系统的建议方案，使预算评审实质性嵌入部门预算管理，并通过预算管理信息系统加以固化。

作为一个发展中国家，印度对科学研究的总投资有限。因此，印度政府十分注重集中优势资源，向全社会开放，最大限度发挥有限资源的作用。

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