0 引言

岩石、混凝土破坏是裂缝萌生、扩展和贯通的演化过程，具有宏观尺度强度低，细观尺度强度高，并随外荷载增加发生破坏层次逐渐由宏观向细观层次过渡[1]，需要开展宏细观相结合试验加以研究[2]，即混凝土内部结构的成像。同时，土工试验中土样材料内部位移场变化的追踪和土样内传感器位置变化的监控，可尝试对材料内部进行弹性波成像来实现，其核心是如何反演跟踪土体内部的弹性参数变化及分布，但实际试验中往往只能观测到材料边界处的位移或者力的变化。

静力问题中，电阻抗断层成像[3-6]可能是最早通过使用边界量测来解决的反演问题。

Bonnet等[7] 综述了多种反演问题的求解方法，其中使用高斯牛顿方法求解的最小二乘法是比较流行的。但Rivas等[8]的研究认为，反演问题不像正演问题一样，并不是网格划分得越密越能保证结果的收敛。Reddy等[9]通过高斯牛顿迭代方法，一方面研究了力和位移的残差作为目标函数的优劣，另一方面研究了边界信息的多少对于计算结果的影响。

P为Si两个分布的均值的差比上两个分布的标准差的和，P的值越大，表示对的匹配和和错的匹配之间的差异越大，区分正确匹配和错误匹配的能力越好。区分正确匹配和错误匹配的问题就转化成为设计一个算法来最大化P。已知，即我们考虑到a中的点越多，那么我们对的匹配与错误匹配的差异也就越大，所以我们将a区域扩展为包含a的邻域的3*3网格的区域。参见图4，此时的Sij为

Kavanagh等[10]考虑了均一弹性体内材料的各向异性和非线性。一些已知边界数据的弹性体反演问题的特殊情况也在一些文献中有过研究，如Morassi等[11]研究了检测弹性体内的孔洞或坚硬包含物的反演方法。

另外，部分学者也放宽了条件，利用材料内部的量测来计算材料参数的分布。Barbone等[12]针对各向同性、线弹性体，利用整体的实际位移分布，分别研究两个拉梅常数λ、μ和泊松比ν的反演计算，分别控制λ、μ或ν不变来反演其他几个参数。

利用弹性波动力成像的方法来自于地质勘探，主要是利用地震波(弹性波)带来的一些动力特性来反演整个地层的一些材料参数。

19世纪末，主要从使用波传播的时间信息来获得现代地震学的发现[13-15]。全波形反演主要是利用波场中的运动信息来成像。地震波波动方程非线性反演是地震勘探反演领域中的研究内容。Tarantola[16-17]和Mora[18]最早提出利用模型的正演数据和波场实际观测数据的残差最小二乘的方法，通过求解目标函数针对各个参数的偏导，求出迭代到残差最小的梯度，再利用高斯牛顿等数值方法实现求解迭代，最终求出介质实际的物理参数。但此方法大多是在时域中进行的，需要做大量的正反演计算，其计算成本很高。

[2] 张楚汉,金峰,侯艳丽,等.岩石和混凝土离散-接触-断裂分析[M].北京：清华大学出版社,2008.

许琨等[23-24]在频域有限单元的基础上，利用有限元刚度矩阵和质量矩阵压缩存储、广义共轭梯度算法、同一介质单元Jacobi矩阵压缩组装来降低计算成本，提高算法的稳定性，并利用地下介质的分布规律，进一步提高计算效率。

本文仍利用频域有限元的方法，基于能量最小化原理，避免了求解Jacobi矩阵，计算效率得到了极大的提高。

对v2,v4,v6进行正常染色,若v2,v4,v6全染颜色1,则改染v3,由于v3为穷点,故为5--点,若的其它4个邻点中染1的个数≤2,则可将v3由颜色3改染为1,并用3染v。若 的其它4个邻点中染1 的个数为3个,则可用这4个邻点中缺失的颜色来重染(这种缺失的颜色为2或3),再用1重染v3,从而用3 染v,即可正常染回。若v2,v4,v6中染颜色1的个数≤2,则可以直接用1染v,得到G的一个(3,0,0)-染色,得出矛盾。

1 频率域波动方程有限元计算和参数更新原理

1.1 基本动力学方程

假设模型是无阻尼的，频域中弹性波动方程为

S(ω)U(ω)=F(ω)

(1)

其中：

S(ω)=K-ω2M

(2)

式中：S为动刚度矩阵；K为刚度矩阵；M为质量矩阵；U为位移矩阵；F为荷载矩阵。

3）渗沥液协同处理方案会造成烟气成分中的灰分、水分、重金属及Cl-等含量的增加，所以余热锅炉设计阶段应充分考虑协同处理方案带来的腐蚀积灰等问题。

利用有限元的方法，对整个模型进行离散化。

阿勇告诉本刊记者，直到案发后，他才专门去林业部门查询，这才得知从2013年起，政府的确是有发放该林地的公益林补偿金。“但此前确实是不知情，不然谁会故意去破坏公益林呢？”然而，他们并未拿出十分有力的证据证明自己所言非虚，而单凭一面之词，显然无法说服该案的审判长。

本文以数值实验的方法为主，真实的位移场和估计的位移场均通过数值计算得出。计算流程如图1。

来到燕塘乳业广州开发区生产基地，一座整洁、大气、宽敞的现代化工厂映入眼帘。基地以“智能高效、节能环保、行业示范”为建造理念打造，2018年5月正式投产，项目总投资超过6亿元，年产能可达25万吨。整厂包括综合楼、常温奶车间、巴氏奶车间、公用工程间、水质净化中心等，是国内首家多层式乳品生产基地，也是国内单位面积设计产值最高的生产基地。

(3)

(4)

其中：

(5)

式中：ρ表征密度；cS表征材料中的剪切波波速;cP表征材料中的压缩波波速;为两个拉梅常数。

1.2 材料参数变化引起的位移变化公式推导

对于一个特定的模型，假设模型的材料参数分布是S矩阵，在荷载F的作用下，得到力的平衡方程：

Sn(ω)Un(ω)=F(ω)

(6)

对于单元物理参数有增量形式

则有

[Sn(ω)+ΔS(ω)][Un(ω)+ΔU(ω)]=F(ω)

(7)

略去高阶量，与式(6)作差得到传播与校正方程组：

ΔS(ω)Un(ω)=-Sn(ω)ΔU(ω)

(8)

其中：为刚度矩阵K中的体积压缩项，它在K矩阵中是与剪切项解耦的，这里假设剪切项不变。

其中脚标n表示迭代到第n次时的计算结果。

1.3 正反演计算过程

首先，解式(6)所示的正向传播方程得到U估计。

计算任意节点位移偏差ΔU=U实际-U估计，U实际和U估计分别表示实际的位移场以及利用假设的参数正演计算得到的位移场。

最后，基于式(8)与能量差最小求解单元物理参数增量：

Ue*ΔSe(ω)Ue=-Ue*Se(ω)ΔUe(ω)

(9)

[4] WEXLER A,FRY B,NEUMAN M R.Impedance-computed Tomography Algorithm and System[J]. Applied Optics,1985,24(23):3985-3992.

-Δρω2Ue*MeUe(ω)=ω2Ue*MeΔUe(ω)

(10)

由此得到最优更新参数

(11)

将所有单元的参数更新之后，重新求解正向传播方程，再进行一次迭代。当U实际和U估计非常接近时，认为计算结果收敛，即得到了实际材料参数。

1.4 通过部分已知点的位移反算模拟实际位移场

实际上，只能观测到一个模型有限点的位移，因此需要通过有限点的位移来反推实际的位移场。

S矩阵可以根据边界(Г)和内部(Ω)的对应关系来进行分块，就可以得出

(12)

假设没有体积力，则内部的力为0，即FΩ=0。所以未知的位移可以通过求解式(12)得到，即

(13)

实际上并不知道内部材料的真实分布，因此假设迭代前后内部材料一样，通过上一次迭代得到的材料参数来得出一个真实位移场的近似。

2 计算流程

对于每一个边长为Δx的正方形单元而言，其单元质量矩阵和单元刚度矩阵分别如下：

其中U实际有两种确定方法：一种是直接求解正演方程即可得到整个位移场；另一种是在已知部分节点的实际位移的条件下，利用1.4中谈到的方法反算得到的整个位移场来作为实际位移场。

本程序采用LU分解的方法来求解方程，其计算的稳定性较好，结果可靠。采用了一维压缩存储之后，一方面极大地节省了存储空间(动刚度矩阵本身就是稀疏的带状矩阵)；另一方面求解过程中直接跳过了很多0元素的运算，极大地节省了时间。

图 1 迭代计算代码流程图 Fig.1 Code flowchart of iterative calculation

3 更新体积压缩项的计算结果

3.1 工况介绍

对于一个300 mm×300 mm的矩形模型(图2),网格划分为10 mm×10 mm，共计900个单元，961个节点。在下侧和左侧的所有节点处分别约束竖向位移和水平向位移为0。在模型的右侧和上侧边缘分别均匀施加5个水平向左或向下的正弦力，即F=Fmaxsin(ωt)，其中Fmax=1 000 kN，它们的初始相位均为0。

图 2 工况一示意图 Fig.2 Schematic diagram of condition 1

同时，计算结果也说明了对于一个均一材质而言，利用能量最小化原理来更新参数的合理性和高效性。

3.2 振动频率对于计算结果的影响

针对一个均一材质，即实际模型的每一个单元的实际材料参数都是相同的。假设材料的实际密度、剪切项已知，体积压缩项未知，更新迭代求解体积压缩项实际的体积压缩项为25.5 GPa，初始估计体积压缩项为27 GPa。

针对不同的频率，在迭代了7次之后，计算结果如图3。图中绘出了900个单元参数的分布，每个单元颜色的深浅代表了体积压缩项的高低，下同。

图 3 不同荷载频率计算结果图 Fig.3 Calculation results at different loading frequencies

从结果来看，当频率为36 000 Hz和3 600 Hz时，计算结果均不理想，材料的参数值与真值偏离较大。当频率为360 Hz时,迭代7次之后(图4)900个单元体积压缩项的均值为25.41 GPa，标准差为0.03 GPa，计算材料参数分布与真实值25.50 GPa的近似度非常高。

图 4 均一模型体积压缩项均值随迭代次数变化情况(360 Hz) Fig.4 Change of average value of with number of iterations in a uniform model (360 Hz)

整个模型的实际参数仿照C20混凝土的参数来选取。密度ρ=2 000 kg/m3，体积压缩项剪切项其中λ和μ是两个拉梅常数。

For the sake of clarity,taking the 7-DOF manipulator shown in Fig.1 as an example,the optimal locked angle of the fault joint is solved as follows.

2.3 siRNA能显著抑制lncRNA ASB16-AS1的表达 因为lncRNA ASB16-AS1在先前的研究中已经确定在肿瘤组高表达，并且与肿瘤分期分级显著相关。因此本研究选择使用siRNA抑制lncRNA ASB16-AS1的表达以观测细胞功能改变。LN382细胞和U87MG细胞在转染24～48 h后用qPCR验证转染效率，结果显示应用抑制剂后lncRNA ASB16-AS1表达量明显降低(见图2A)。这说明本实验中所使用的siRNA能有效抑制lncRNA ASB16-AS1的表达。

实际上，当频率为360 Hz时，动力平衡方程中的质量项远远小于弹性项，这是保证计算结果稳定的一个重要原因。

(2)该设备定位于回收以大于0.045 mm粒级为主的物料，实测脱水产物中该粒级总分配率为81.89%，同时还回收了17.03%小于0.045 mm粒级的细泥，脱水产物固体回收率为74.16%，分配粒度为0.047 mm，表明沉降过滤式离心机达到了工艺要求。

3.3 局部有缺陷模型的计算结果及其分析

如图5，针对一个局部有缺陷(图中涂黑的部分)的模型，背景材料的体积压缩项为25.5 GPa，4个缺陷对应的体积压缩项分别为17 GPa(左下)、19 GPa(右下)、21 GPa(左上)、23 GPa(右上)，迭代计算的起始值是整个模型均为27 GPa。

图 5 工况二示意图 Fig.5 Schematic diagram of condition 2

从计算结果来看，迭代算法很好地找出了缺陷所在的位置以及对应的数值(图6)。在迭代到9次以后，数值震荡得也很小(图7)。

笔者也做过尝试，即使只有一个单元的参数与背景材料不同，在知道所有节点位移的条件下也能很好地找出该缺陷，即计算方法的分辨率为单元大小。

图6 工况二计算结果图 Fig.6 Calculation results under condition 2

图7 内部有缺陷模型体积压缩项均值随迭代次数变化情况 Fig.7 Change of average value of with number of interations in a local defect model

3.4 有限观测点来反算整个位移场

实际上，我们只能观测到有限个节点的位移。图8中绘制出了两个疏密不同的观测网格。

为了提高计算的准确度，针对一个相对较小的模型进一步增加计算网格的密度。新的模型为150 mm×150 mm。网格划分为1 mm×1 mm，共计22 500个单元，22 801个节点。约束四周边界上所有节点的水平和竖直向位移为0。

本文运用自主开发的C语言有限元波动方程计算程序，对基于能量最小化原理的反演计算方法进行研究,在本文的研究范围内，得到的主要结论为：

在坐标为(135,30)、(135,75)、(135,120)(单位：mm)处分别施加3个水平向左的正弦力(图中绘制箭头的地方)，即F=Fmaxsin(ωt)，其中Fmax=1 000 kN，它们的初始相位均为0。此处力的频率取8 kHz，保证质量项远小于弹性项。剪切项密度ρ=2 000 kg/m3。

图 8 利用两个观测网格节点处位移计算示意图 Fig.8 Schematic diagram of calculation with two observation grids

背景材料的压缩项为25.5 GPa，中心处有一个等腰三角形的缺陷，腰长50 mm，缺陷的压缩项为23 GPa，迭代8次之后的计算结果如图9。

图 9 两个观测网格节点处位移计算结果 Fig.9 Calculation results by using two observation grids

从结果来看，对于27×27观测网格能很好地找出缺陷所在的位置，三角形缺陷出现了明显的内外侧分层，在内侧的参数值与真实值更加接近。内层的均值为22.27 GPa，标准差为0.34 GPa；外层的均值为23.02 GPa，标准差为0.92 GPa。背景材料能很好地趋向于真值，均值25.58 GPa，标准差为0.59 GPa。越靠近缺陷的中心，反演的效果越好。

13×13网格的反演结果明显差于27×27网格。随着观测点的减少，缺陷的边界与真实边界的误差逐渐增大，反演值与真值的偏差也逐渐增大，而且荷载作用的局部误差也更大。

4 更新密度项ρ的计算结果及分析

仍旧利用3.4的模型，计算网格划分为150×150。为了减少局部应力集中带来的影响，只在坐标为(135,75)(单位：mm)处施加1个水平向左的初始相位为0的正弦力F=Fmaxsin(ωt)， Fmax=1 000 kN。力的频率取8 kHz，保证质量项远小于弹性项。体积压缩项ρcP2 = 25.5 GPa，剪切项 GPa。

4.1 均一模型的计算结果及分析

针对一个均一材质，实际的密度为2 000 kg/m3，初始假设整个材料的密度为2 200 kg/m3，然后开始迭代计算。每个节点的实际位移已知。

迭代20次之后，整个材料的均值为1 999 kg/m3，标准差为19 kg/m3，与真值非常接近，在力作用点的区域会出现比较大的偏差。计算结果如图10。

心理护理：术后患者因病情，疼痛等容易产生恐惧、焦虑等心理影响，心理情绪变化具有对机体伤害性刺激的反应，降低免疫力、影响术后康复。护士应主动与患者多沟通、多交流，做好心理疏导，增强术后恢复的信心。

图 10 均一模型密度反演结果图 Fig.10 Inversion results of density using a uniform model

4.2 中心有缺陷模型的计算结果及分析

背景材料的密度为2 000 kg/m3，中心处有一个等腰三角形的缺陷，腰长50 mm，缺陷的压缩项为1 700 kg/m3，迭代的起始值为2 200 kg/m3。

3）层次分析加权法：所谓层次加权分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序和总排序，以作为目标、多方案优化决策的系统方法。该方法能够理清具有多条件、多指标的复杂系统的层次关系，同时能够把定量和定性分析有机地结合起来，有助于高效地解决指标之间互相干扰和影响的复杂问题。

整体收敛的速度非常慢，即使迭代了50次之后(图12)，仍旧只能找出缺陷大概位置，无法找出参数的准确值。

图 11 内部密度缺陷模型示意图 Fig.11 Schematic diagram of an internal density defect model

图 12 内部密度缺陷模型反演结果图 Fig.12 Inversion results using an internal density defect model

5 结语

两个观测网格的左下点坐标均为(10,10)(单位：mm)。27×27网格的单个网格边长为5 mm，共有27×27个测点；13×13网格的单个网格边长为10 mm，共有13×13个测点。分别利用27×27和13×13个节点处的位移，反算整个位移场，然后进行迭代计算。

(1) 频率对于模型的反演效果有较大影响。在频率较高，即质量项相对于弹性项而言较大时，较小的参数变化会带来位移场的巨大改变，致使材料参数的更新变得非常不合理，从而无法反演出真实的材料参数值。

(2) 在已知整个位移场的情况下，迭代更新体积压缩项的效率和准确性较高，参数的分辨率与网格划分的大小一致。但是迭代更新密度ρ的效果一般，收敛缓慢，且很难找到材料的真实值。

(3) 在已知部分节点实际位移的情况下，可利用本文1.4中提到的方法模拟实际位移场，从而实现迭代计算，这样的迭代效率与观测网格密度正相关。

参考文献(References)

环境与我们的生活息息相关，环境的污染与破坏更是引起了全社会的广泛关注。为了让学生提高环境保护意识、了解掌握更多的相关知识、能用英语进行交流表达自己的观点，笔者以雾霾问题作为切入点，设计了有关环境问题的项目学习：

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（3）贡献度分析表明，在低海拔和中海拔区域，风速对 ET0的贡献率最大，在 1998年以前分别为-7.12%和-5.02%，在 1998年后分别为 5.24%，4.47%。在高海拔区域，由于能量来源成为蒸散发的主要限制因素，故温度对ET0的贡献率最高，在突变点前后分别为4.31%和6.07%。

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上世纪90年代，Pratt[19-20]和Forgues等[21]利用频域有限差分方程，提出频率域反演的方法。由于频率域中求解的是求解技术已经成熟的大型稀疏带状矩阵的线性方程，其计算效率得到很大的提高。Shin等[22]又提出了利用频率域的有限元方程来进行反演。

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由于单元惯性、弹性的能量偏差应分别相等，即

实验组中护理满意度为不满意、满意、很满意的患者分别为1例、3例、38例，护理满意度为97.62%，对照组中护理满意度为不满意、满意、很满意的患者分别为8例、10例、24例，护理满意度为80.95%，实验组和对照组患者护理满意度对比，差异有统计学意义（P＜0.05）。

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