0　引言

作为流体、等离子体和光纤模型，非线性发展方程的可积性质已经通过符号计算被广泛研究[1]。例如，KdV方程可以用来描述浅水波、层状内波、离子声波等。由于复杂的非线性色散项，高阶KdV方程的Bäcklund变换的构造仍然是一个尚待研究的问题。因此我们的目的是利用贝尔多项式方法简化高阶KdV方程的解析研究过程。通过符号计算，贝尔多项式方法已经被应用于一些可积的非线性发展方程的研究[2]。

本文将研究6阶KdV 方程

2018年也是浙江自然资源管理具有里程碑意义的一年。省自然资源厅在这轮机构改革中应运而生，肩负起“统一行使全民所有自然资源资产所有者职责，统一行使所有国土空间用途管制和生态保护修复职责”新使命，浙江自然资源事业站在了新的历史起点上。省委、省政府对我们寄予厚望，人民群众对我们充满期待。

水平方向变化情况：距花岗岩体突出部位接触带相对较远的含矿伟晶岩的原生带状构造主要是中粗粒石英、微斜长石带和锂辉石、石英、微斜长石块体带组成，局部地段或矿体两端出现中细粒石英、微斜长石带，除此之外，均为中-强的叶片状钠长石化带；距花岗岩体突出部位接触带较近的含矿伟晶岩则发育文象结构带或中细粒石英、微斜长石带，交代的钠长石化带呈断续的带状构造。

根据规范要求，对于算例中选取的某型动车组而言，轮轨垂向力的限值为170 kN；轮轴横向力的限值为56.26 kN；脱轨系数的限值为0.8；轮重减载率的限值为0.8。在不同会车车速工况下进行数值仿真，得到车辆的动力学响应，选取每种工况下动力学性能最差的轮对响应曲线，将其与安全性限值绘于图8中。

4u2xut+8uxuxt=0

(1)

式中：u为关于时间变量t和空间变量x的实函数；uix(i=1,2,…,6) 为函数u关于变量x的i阶偏导数。文献 [3] 直接运用了Hirota双线性方法研究方程 (1) 的部分多孤子解；文献 [4] 利用截断奇异展开法得到了方程 (1) 的Lax对和自Bäcklund变换，并得到了部分行波解。不同于文献 [3] 求得的方程 (1) 的双线性形式，本文用贝尔多项式方法，引入一个辅助自变量得到方程 (1) 的一个双线性形式组合，基于该双线性形式组合，可以进一步求出方程 (1) 的N孤子解、Bäcklund 变换[5]、Lax对[6-7]和无穷守恒律[7-8,10]。

1　贝尔多项式方法和N孤子解

1.1　贝尔多项式的基本概念

首先介绍贝尔多项式的基本概念和定义。γ是关于x的连续函数，并且那么贝尔多项式有如下表示：

通过贝尔多项式形式的Bäcklund变换，可以得到式 (1) 具有的下列形式的无穷守恒律：

Ymx(γ)≡

m=1,2,…

(2)

具体可表示为

(3)

基于式 (2)，二元贝尔多项式可表示为

Yix,jt(V,W)=Yix,jt(γ)|γix,jt=

(4)

式中V和W为关于x和t的连续函数。令式 (4) 可以表示为

Yx,t(V,W)=Wx,t+VxVt

u3xt+

…

(5)

此外，式 (4) 与Hirota双线性算子

a(x,t)b(x′,t′)|x′=x,t′=t

在前期预实验的基础上，以综合评价、破碎力、挥发性成分和含油量为指标，分别考察不同切片厚度（1、3、5、7 mm）、漂烫温度（70、80、90、100 ℃）、漂烫时间（1、3、5、7 min）、浸渍液（添加0.1%的食盐浓度和不添加食盐）、冷冻时间（1、2、3、4 h）5个预处理单因素对马铃薯脆片产品品质的影响。经样品预处理后进行真空油炸，真空油炸参数为：真空度0.098 MPa、油炸温度（88±2）℃、时间32 min、离心脱油转速400 r/min、时间6 min。

(6)

满足如下关系：

(7)

其中G和F都是关于x和t的函数。

1.2　双线性形式和N孤子解

我们通过贝尔多项式求式(1) 的双线性形式[8]。通过变换可以将式 (1) 化为

试验材料为北林202紫花苜蓿(Medicago sativa cv.Beilin 202)，由北京林业大学提供。供试肥料氮肥品种为尿素[ω(N)=46%]，磷肥品种为过磷酸钙[ω(P2O5)=12%]，钾肥品种为硫酸钾[ω(K2O)=33%]。

(8)

式 (8) 对x积分，令积分常数为零，得到

(9)

将式 (9) 化为P-多项式

(10)

把v=ln ψ,w=ln ψ+q代入式(22)得到

L1(q)=P4x(q)-Px,s(q)=0

(11)

下，式 (10) 等价于

(12)

显然式 (12) 是P-多项式的线性组合。也就是说，方程 (10) 可以转化为2个P-多项式的线性表达式的组合，即式 (11) 和式(12)。进一步，通过q=2lnf，可以得到式 (1) 的双线性形式：

(13)

为求N孤子解，将f展开成小参数∈的表达式

f=1+∈f1+∈2f2+∈3f3+…

(14)

式中fi是关于x、s和t的函数。将式(14)代入双线性形式(13)，令∈的各幂次系数为零，可以得到关于fn的递推公式：

当N=1 时，取fn=0(n>1),∈=1，有

f=1+eη1

(15a)

当N=2 时，取fn=0(n>2),∈=1，有

f=1+eη1+eη2+a12eη1+η2

(15b)

当N=3时，取fn=0(n>3),∈=1，有

f=1+eη1+eη2+eη3+a12eη1+η2+a13eη1+η3+a23eη2+η3+b123eη1+η2+η3

(15c)

其中

ηi=kix+lis+wit+θi

b123=a12a23a13

以此类推，最后通过

u=(lnf)x

可以得到式 (1) 的N孤子解。

2　Bäcklund变换

基于式 (1) 的P-多项式式(10)，可以很方便地得到式 (1) 的Bäcklund变换。

假设q′是式 (10) 的另一个解，通过引入

修水县不断增加对旅游发展的投入。当地根据优势资源着重计划、投资6亿元兜率寺、投资20亿元温泉度假旅游项目、投资2亿元宁红茶文化园、投资7亿元东浒寨旅游，并实行政策倾斜保障，将农业、林业、水利、交通、扶贫脱困、移民、新农村建设、文物保护等专项资金与旅游建设发展相结合，成立县旅游发展总公司，搭建科学高效的旅游融资平台，同时，县财政在安排2000万元文化旅游发展专项基金基础上，按当地财政增长比例和旅游发展情况，视情逐年递增，为旅游发展提供资金保障，为修水的旅游发展奠定深厚的基础。

q′=2lnf′=w+v

(16)

q=2lnf=w-v

(17)

有如下等式成立：

E(q′)-E(q)=E(w+v)-E(w-v)=

∂x[Y5x(v,w)+Y2xt(v,w)]+

R(v,w)=0

(18)

其中E表示式 (10)，并且有

R(v,w)=

(19)

基于式 (18)，在下列约束条件下：

由于土壤中施入大量的化肥，造成了土壤的一系列不良反应，因此，为了在新的生长条件下获得高产、绿色无公害的山葡萄，我们利用本然公司的土壤调节剂来研究山葡萄绿色无公害栽培问题[1]。本试验主要研究本然土壤调节剂在山葡萄栽培上的施肥方式、施肥次数、施肥量对树体生长发育和果实产量、品质和土壤的影响，并使其达到优质高产绿色无公害的目的，从而总结出本然土壤调节剂在山葡萄标栽培上的施肥标准。

(20)

其中λ为抽象常数，式 (19) 可以化为Y-多项式的x的导数形式：

R(v,w)=∂x[15λ2Yx(v,w)+3λYt(v,w)]

(21)

然后可以通过式 (18)、(20) 和 (21)得到贝尔多项式形式的Bäcklund变换：

(22)

通过式 (7)，式 (22)可以得到式(1) 的双线性Bäcklund变换：

一进小舅的院子，就听到舅妈在哭。我进去，看到母亲正在安慰舅妈和小舅。四娃已经被派出所带走了。舅妈一边哭，一边数落小珍的妈妈。母亲见我站在那里，便把我拉出院子，悄悄嘱咐我，不要多嘴跟小珍提舅妈骂她家的那些话。

(23)

3　Lax对和无穷守恒律

基于上一部分的贝尔多项式形式的Bäcklund变换，可以直接求出式(1) 的Lax对和无穷守恒律。

20uxψ3x+ψ5x+(k-2uxt)ψ=0

因为式 (10) 不是P-多项式的线性表达式，不能直接得到方程的双线性形式，因此引入独立变量s，将式 (10) 拆分成多个P-多项式的双线性形式。在约束条件

q2xψ+ψ2x-λψ=0

(24a)

ψ2xt+10q2xψ3x+ψ5x+kψ=0

(24b)

其中k是未知常数。通过可以求得式 (1) 的Lax对：

(2 ux-λ)ψ+ψ2x=0

w=ln(ff′)

(25a)

许多文献的研究表明，一般情况下，系统的不变集包含了垂直顶部不稳定平衡点，但并不能保证系统运动至不稳点，系统将在不变集上做周期运动，这种情况下，须采取另一种控制律打破这种周期运动，这种切换控制的稳定性由开关定律得以保证。一种较为常见的处理方法是，在系统运动至不变集过程中，当系统的状态变量满足线性化条件时，将系统线性化，采用线性系统理论来设计控制器[3][5]。线性系统理论已经成熟，这里不做过多讨论，线性化带来的误差处理方法可参见文献[5]。

(25b)

经验证，可积条件ψxxt=ψtxx可以推出方程 (1)。

应用Excel建立数据库，采用SAS 9.1软件进行统计分析。4组患者计数资料比较采用CMH(Cochran-Mantel-Haenszel)卡方检验，计量资料比较采用方差分析，P＜0.05表示差异有统计学意义。

Fn,t+Gn,x=0　　n=1,2,3,…

(26)

令

(27)

根据式 (16)、(17) 有如下表达式成立：

vx=η,wx=η+qx

(28)

将式 (28) 代入式 (22)得

ηx+qxx+η2=λ

(29)

4ληx+∂x[η4x+5ηη3x+5ηq4x+10λη2x+5η(ηx+q2x)2+10λη(ηx+q2x)+η5+ηxt+2η(ηt+qxt)+15λ2η]=0

(30)

显然式 (30) 与式 (26)的形式相近。令

(31)

将式 (31) 代入式 (29)，令ε的各幂次系数为零可得：

(32)

将式 (31) 代入式(30)，可以得到式 (26) 形式的守恒律，其中Fn,Gn表示如下：

Fn=4In+2

(33)

(34a)

(34b)

(34c)

通过式 (32)～(34) 可以构造式 (1) 的无穷守恒律。当n=1时，通过化简可以得到式 (1)。

4　结束语

式 (1) 作为高阶KdV方程，本文利用贝尔多项式方法对它的可积性质进行了研究。首先利用贝尔多项式方法推导出由Hirota算子表示的双线性形式，基于双线性形式求得式 (1) 的N孤子解和双线性Bäcklund变换 式(23)，通过Bäcklund变换求出式 (1) 的Lax，最后推导出无穷守恒律 (32)～(34)。通过本文的研究可以注意到，贝尔多项式方法可以简化非线性发展方程的解析性质的研究过程，尤其是对高阶非线性发展方程而言，这为研究其它类型的方程的解析性质提供了一条新的思路。

（2）由（1）知，y=f（x）的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f（x）≤ax+b在［0，+∞）成立，因此a+b的最小值为5。

图5展示了在NBA数据集中，PPVPS协议和VPS协议在服务器数量从2增长到8的过程中的计算时间变化曲线。从图中可以看出，随着服务器数量从2增加到5，协议运行时间从19.013 s增加到63.354 s，当服务器数量逐渐增加到8时，VPS协议和PPVPS协议的计算时间出现波动，这是因为数据集的分布影响锚点筛选，从而影响协议运行时间。

参考文献：

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[2]　Lambert F,Loris I,Springael J,et al.On a direct bilinearization method:Kaup’s higher-order water wave equation as a modified nonlocal Boussinesq equation[J].Journal of Physics A:Mathematical and General,1994,28(27):5325-5334.

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