0　引言

“被动行走”这一概念，于20世纪80年代末由McGeer[1]提出，是指由双连杆铰接的双腿机构能在重力作用下，不需任何其他动力装置，可以沿小倾角斜面向下稳定行走。实现被动行走的关键是脚与地面冲击损失的能量能由其他能量等量转化补充回来，使机器人与地面冲击后的状态与冲击前的初始状态相同，以保持系统的能量平衡。对于机器人冲击前后的倾倒问题，Wisse[2]给出了相应的控制策略：如果让摆动腿以足够快的速度运动到支撑腿的前面，那么机器人就不会向前倾倒。而为了避免机器人在下一个步行周期向后倾倒，摆动腿不能落在支撑腿前面距离太远的区域。由于每次与地面的冲击都会伴随着能量的损失，因此，机器人在水平面上的纯被动，无任何能量补充的行走并不能实现，需要添加额外的驱动力，构成“半被动行走”才可稳定持续行走。

专家学者们对半被动行走的双足机器人进行了大量研究。D. Kuo[3]使用最简单的双连杆模型研究了机器人在平面上的半被动行走能量效率问题；赵明国等[4 -5]研究了被动行走不动点的搜索算法，并提出了双足机器人虚拟斜坡行走步态生成算法，以关节舵机为驱动力实现了平面双足机器人的高能效快速行走；倪修华等[6]通过仿真和实验研究了髓关节扭簧刚度对被动步行稳定性的影响；王启宁等[7]研究了在髓关节加驱动力矩，同时采用平脚板并在踩关节加弹簧的配置下，双足机器人的行走问题；付成龙等[8]研究了被动行走双足机器人的开环控制问题，通过在髓关节施加开环振荡驱动力矩，实现了双足机器人行走模式的转换；张奇志等[9-11]采用直腿模型研究了脚部脉冲推力下半被动双足机器人的控制问题，并严格证明了周期步态的全局稳定性,同时通过对伸缩腿双足机器人的控制能量平衡机制的研究，分析了伸缩腿的周期控制策略和周期解的生成机制。本文以支撑腿的伸缩做功和支撑腿离开地面前的脉冲推力做功相结合的方式补充能量，以弥补机器人行走中与地面冲击造成能量的损失。通过研究半被动行走机器人固定点稳定性和行走控制问题，分析脉冲推力与伸缩腿的结合运用对行走效果的影响。

1　伸缩腿双足机器人模型

1.1　腿摆动阶段动力学模型

对式(14)求导可得

(1)

(2)

式中：M为髋关节集中质量；g为重力加速度；θ为支撑腿与地面法线之间的夹角；l为腿的原长，可以通过伸缩机构控制改变。

图1　腿摆动模型

1.2　地面冲击模型

当摆动腿运动到支撑腿前方时，且达到两腿间的最大限定角度Ø，假设此时支撑腿迅速缩短为原长且刚好摆动腿冲击地面，这时支撑腿角度为

θ(τ)=Ø/2

(3)

式中：τ为摆动腿刚开始摆动到冲击发生的时间，一般被称为行走周期；Ø为摆动腿与支撑腿之间的最大夹角。假设沿支撑腿方向的脉冲推力作用完成瞬间，伸缩腿也刚好恢复为原长，此时马上发生摆动腿与地面冲击，且碰撞瞬间发生的是瞬时非弹性碰撞，其冲击模型如图2所示。根据动量矩守恒，可以得到冲击前后关节速度的变换关系为

由于室内外会有较大温差的存在，所以导致建筑在使用过程中，由于外围护结构是直接和外界接触的，彼此之间会存在热传导的情况。在这种情况下，围护结构中的一些部位如果对应的传导系数存在差异，则很容易发生外部温度较高，材料内部温度较低的情况。在这种情况下，热传导很难快速完成，所以在热传导的过程中就会有能量损失的情况发生。也正是因为如此，所以有一些建筑在使用过程中会有较大的能耗出现。

(4)

式中：为脉冲推力作用及摆动腿与地面触碰前原支撑腿角速度；为推力作用及触碰后新支撑腿角速度。

图2　地面冲击模型

2　周期步态生成分析

第三阶段，支撑腿从与地面垂直状态(摆角θ=0)摆动到最大限定角度，即θ=Ø/2。根据能量守恒可得此阶段支撑腿角速度的变化关系式：

第一阶段，支撑腿从开始摆动(摆角为θ=-Ø/2)到支撑腿与地面垂直(摆角为θ=0)。此时根据能量守恒可以得出支撑腿角速度的变化关系式为

(5)

式中：为机器人第k次步行循环初期角速度；ωh为支撑腿与地面垂直时的角速度。

第二阶段，支撑腿通过伸长做功来为系统充能。根据动量矩守恒，可以得出此时的角速度变化关系式：

从表4可以看出，各处理化学协调性较好，具体表现为D2>D1>D3，其中D1处理还原糖偏高，D3处理烟碱得分较低。

Mlωh=M(l+Δl)ω0

(6)

式中：Δl为支撑腿伸长量；ω0为腿部伸长后的角速度。

双足机器人的行走过程可以分为2个阶段的循环，分别为腿摆动阶段和腿冲击阶段，其中腿摆动过程中可以通过伸长支撑腿来补充冲击阶段的部分能量损失[12]，而在腿冲击阶段，同样可以通过脉冲推力做功来为系统补充能量，使机器人可以按照原运动状态持续稳定运动下去。在涉及能量转化和角速度变化方面，整个循环周期的运动状态又可以分解为5个相互连接的阶段，分别为：

(7)

式中ωl为支撑腿摆动到与地面法向量夹角为θ=Ø/2时的角速度。

从式(5)～(9)中可以推出：

高端化&品质化，体现在以6000元以上的彩电，8000元以上的多门和对开门冰箱，3000元以上的波轮洗衣机，5000元以上的滚筒洗衣机，8000元以上的空调柜机，30000元以上的空调挂机，5000元以上的油烟机，1000元以上的电饭煲等为代表的高价格产品的渗透率逐渐提高。

(8)

式中为机器人第k+1步与地面发生冲击前的支撑腿的角速度。

第五阶段，支撑腿瞬间产生冲量为P的脉冲推力，同时摆动腿与地面发生冲击，完成支撑腿与摆动腿角色的互换。根据能量守恒可得关系式：

Ø+Psin Ø

Read through your work and correct any mistakes that you find.

近些年，随着我国经济水平不断发展，工业体系及工业技术不断完善，自动化技术在许多领域都得到了应用，机械自动化对我国工业生产以及经济发展都起到了举足轻重的作用，但由于我国工业发展起步较晚，工业基础比较薄弱，在很多方面都与西方发达国家有着较大的差距，在地区分布上还存在着地区发展不平衡的问题。工业自动化发展较快的城市主要分布在沿海地区，并且数量逐步向内陆递减。

2)当前施工升降机的设计仍然采用传统的CAD技术，停留在二维、三维软件的初级使用阶段，运用一些基本的计算理论进行几何上的设计。而安全系统评价、新型方案设计等创新性设计，很大程度上还是依赖于设计者的自身经验和知识，缺乏设计规范与知识的支持，造成设计质量和效率很难再上一个新的台阶。

(9)

式中：为支撑腿与摆动腿完成关系互换后，新的支撑腿具有的角速度；P为脉冲推力沿支撑腿方向提供的冲量。

第四阶段，支撑腿缩短Δl，恢复为原长。根据动量矩守恒可得此时支撑腿角速度的变化关系式：

Ø+

Ø

(10)

若使机器人实现周期稳定行走，需保证每次支撑腿旋转的初始角速度完全相同，即

(11)

这里用表示机器人周期稳定行走时的角速度，替换与后，可将循环周期内机器人的角速度变换关系式整理为：

l2tan2Ø

(12)

式中l，Δl，P，M，Ø，g均为已知量。式(12)为关于的一元二次方程，可解出机器人稳定行走的角速度，即是可求解的。

3　固定点的全局稳定性

该机器人的行走过程每一周期均由腿摆动阶段(包括支撑腿伸长)、支撑腿脉冲推力作用(包括支撑腿缩短)阶段以及摆动腿与地面完成冲击等以上所述5个阶段组成。并且在完成支撑腿与摆动腿的角色转换后，马上开始下一循环。循环过程中发生的能量转化及角速度变化的相关方程见式(5)～(11)。本文采用庞加莱映射方法来分析系统的稳定性。取摆动腿与地面冲击事件为庞加莱截面，设定限位角度恒定为Ø，截面上机器人的状态可表示为

由图1易知，点M的直角坐标（x,y,z）和柱面坐标 （r,θ,z）有 如 下 关 系：x=rcosθ,y=rsinθ,z=z.

(13)

式中k为机器人行走的步数。运用庞加莱映射表示相邻两步状态间关系为

Ø+

Ø

(14)

式(14)表达了相邻两步行走初始状态间的关系，当时，机器人可以进行周期行走，此时，称为庞加莱映射的固定点。

3.1　固定点的存在性分析

将式(12)整理为形式，其中a=l2tan2Ø,要使固定点存在，需要满足关系式b2-4ac≥0，即满足关系

8gl2Δltan2Ø

(15)

化简后为

Ø

(16)

双足机器人正常行走过程中两腿间的夹角需要满足0<Ø此时tan Ø存在，且 成立，式(16)恒成立，即系统固定点是存在的。

3.2　固定点的稳定性分析

简单双足机器人模型由髓关节铰接2个刚性直腿构成[6]。本文在此机器人模型基础上，在腿上部添加可伸缩装置，构成伸缩腿。在腿摆动阶段，支撑腿与地面接触点简化为旋转铰。由于机器人质量主要集中在髋关节，研究时忽略腿的质量，并假设所有质量集中在髋关节上，系统模型如图1所示。采用拉格朗日方法可以获得机器人腿摆动阶段的动力学方程：

Ø

Ø+Psin Ø

(17)

对其取绝对值可以推出：

Ø=r<1

(18)

此时

|ek+1|=

(19)

式中为位于和之间的一点。由于r<1，所以k→∞,rk+1|e0|→0，即因此，固定点是全局渐进稳定的。

4　仿真结果分析

4.1　与伸缩腿单一控制结果比较

假设机器人在腿摆动阶段没有任何能量损失，髋关节质量为M=10 kg，腿原长l=1 m,选取腿伸缩量Δl=0.3 m，机器腿之间的限位角取为Ø=π/3，重力加速度为g=9.8 m/s2。在此条件下，运用张奇志等[12]只进行伸缩腿控制的方法在MATLAB上进行仿真，可以得到支撑腿的角速度变化曲线，如图3所示;在同样的条件下，运用本文提出的结合脉冲推力与伸缩腿同时做功充能的思路，设定脉冲推力产生的冲量值为P=8 N·s，在MATLAB上进行仿真，可得支撑腿角速度变化曲线，如图4所示。

图3　只进行伸缩腿控制的支撑腿角速度图

图4　同时运用脉冲推力与伸缩腿控制的支撑腿角速度图

从图3中可以看出，当初始角速度不为固定点处角速度时，无论是大于还是小于，单一伸缩腿系统经过13步左右可以达到稳定状态，稳定角速度为1.0064 rad/s；从图4中可以看出，结合脉冲推力作用的伸缩腿系统只需经过10步以内的调节即可达到稳定状态，且稳定角速度为1.6136 rad/s，明显大于前者角速度稳定值。此值正是式(12)计算结果。两者对比会发现，无论是机器人趋稳速度还是行走速度，本文提出的结合脉冲推力做功的伸缩腿双足机器人的性能指标都优于单一伸缩腿控制作用下的双足机器人。

4.2　脉冲推力大小及伸缩腿长短影响分析

当取腿部伸缩量Δl=0.3 m不变，初始角速度取为1.2 rad/s，只改变冲量P的大小，分别为8 N·s和12 N·s时，仿真结果如图5所示。系统经过10步以内的行走调节后，角速度都会趋于稳定值，且脉冲推力提供的冲量越大，稳定角速度越大，机器人行走速度越快；当选取冲量P=8 N·s，初始角速度设为1.2 rad/s不变，只改变机器人伸缩腿的伸缩量，分别为Δl1=0.3 m，Δl2=0.5 m时，仿真结果如图6所示。系统同样经过10步以内的快速调节后，角速度趋于稳定值，且腿部伸缩量越大，机器人步行速度越快。

图5　冲量不同时支撑腿角速度

图6　腿伸缩量不同时支撑腿角速度图

5　结束语

本文在伸缩腿双足行走机器人行走控制系统设计基础上，继续深入研究了结合脉冲推力做功充能的伸缩腿双足机器人半被动行走的可实现性及系统稳定性。在假设伸缩腿回缩及脉冲推力作用均为瞬时发生的前提下，推导了行走周期步态内角速度的相关变化，并证明了行走过程中，角速度固定点的全局稳定性。仿真实验结果显示，结合脉冲推力做功充能的伸缩腿双足机器人可以稳定行走，且相较单一伸缩腿双足机器人机器人在性能上具有更快的系统趋稳速率及更快的行走速度。在本文理论研究和系统仿真验证基础上，在保证系统稳定的前提下，进行能量(伸缩腿伸缩做功和冲量做功)补充最小的研究，为下一步的研究课题。

参考文献：

[1]　Wisse M，Schwab A L，Linde R Q，et al.How to keep from falling forward:elementary swing leg action for passive dynamic walkers[J].IEEE.Transactions on Robotics，2005，21(3):393-401.

[2]　Kuo A D.Energetics of actively powered locomotion using the simplest walking model[J].Journal of Biomechanical Engineering，2002，123(l):264-269.

[3]　赵明国，董浩，张乃尧.双足机器人虚拟斜坡行走的抗扰能力研究[J].机器人，2010，32(6):773-786.

[4]　苏学敏，赵明国，张揖,等.被动行走周期性步态不动点搜索的新算法[J].清华大学学报，2009，49(8):1109-1112.

[5]　倪修华，陈维山，刘军考，等.弹簧刚度对被动步行的稳定性影响[J].力学学报，2010，42(3):541-547.

[6]　Wang Qining，Huang Yan,Wang Long.Passive dynamic walking with flat feet and ankle compliance[J].Robotica，2010，28(3):413-425.

[7]　付成龙，黄元林，王健美，等.半被动双足机器人的准开环控制[J].机器人，2009，31(2):110-117.

[8]　张奇志，周亚丽.双足机器人半被动行走固定点全局稳定性分析[J].工程力学，2013，30(3):431-436.

[9]　张奇志，周亚丽.基于脉冲推力作用的双足机器人半被动行走[J].东南大学学报，2013，43(1):102-106.

[10]　李诚，张奇志，周亚丽.半被动双足机器人控制系统设计[J].计算机测量与控制，2015，23(11)：1-3.

[11]　周亚丽，张奇志.基于脉冲推力的半被动双足机器人无模型神经网络控制[J].计算机应用研究，2017，35(1):1-8.

[12]　张奇志，周亚丽，徐鑫鑫，等.单电动机驱动的半被动双足机器人设计与实现[J].北京信息科技大学学报(自然科学版)，2016，36(2):1-6.