近些年来,用于描述扩散物理现象的分数阶Laplace及分数阶p-Laplace方程引起了研究者广泛的关注[1–5]。由于这些研究与概率以及金融也有着密切的联系[6],很多学者在分数阶Laplace方程的相关问题上做了大量研究[7–11]。陈文雄等[12]建立了关于分数阶p-Laplace的极值原理,并研究了单位球上和全空间上的与分数阶p-Laplace相关问题的解的单调性和对称性问题,得到结论: 若p > 1,q > p − 1,u ∈且满足表示n维欧氏空间Rn中的单位球)。则其每一个正解u关于原点径向对称且单调递减。窦美霞等[13]考虑了在单位球上非线性项带有齐性权的分数阶Laplace的问题。本文主要将陈文雄等[12]的这一结论在p > 2时推广到一般的分数阶p-Laplace方程的相关问题中。

1 预备知识

定义讨论的分数阶p-Laplace算子为其中为只与n,s,p相关的一个正常数; P.V.表示Cauchy主值积分;为了保证此定义有意义,要求 这里特别的,当为分数阶Laplace算子

令表示移动平面,而表示移动平面左侧的区域,并且表示关于Tλ的对称点,为了简化记号,记

引理1[12](反对称函数的极值原理) 令Ω⊂Σ是一个有界的区域。假设在上是一个下半连续函数。如果满足那么如果存在有点使得那么当 n x∈R 时w( x)几乎处处为0。

引理 2[12] 设则一定存在ξ,使得且存在一个常数使得

引理 3[12](关键边界估计) 设对任意的使得

令那么

2 主要结果

定理1 假设且满足方程

混凝土表面防腐涂层执行交通行业有关标准，涂层与混凝土表面的粘结力不得小于1.5MPa，涂层性能要求见表2。

 

则其每一个正解u关于原点径向对称且单调递减。

证明 记当且λ≤0时,有|x|＞|xλ|,故

 

第2步: 向右移动平面Tλ,保持式(5)成立,一直移动到极限平面

 

由p≥2,而q＞p−1,故q−1＞0。结合式(2)和(3),若u是式(1)的正解,当且λ≤0,有其中是介于u( x)与之间,即

 

注意到方程中的条件一定不取原点的反对称点。则

 

否则根据下半连续函数w的性质,由Ω是一个有界集,则存在点

阿里知道他们在说他。他吃着饭，一忽儿偏头看看阿东，一忽儿又偏头看看父亲。突然就冒一句：“姆妈说了，阿里蛮乖。”

第1步: 证明当λ→−1时,

利用引理 2,并记由有。其中: δ =[λ +1 ]是表示区域Ω在x1轴方向上的宽度; 且当p＞2且是退化的。

 

 

定义在附近非负且非常大,即

投资人为了实现项目提前运营创收，工程总承包项目工期往往压缩为初设阶段的80%左右，工程总承包单位要在压缩工期内完成所有项目，则必须在签订合同时突出强调分包单位的工期违约责任，尤其对控制性工程的里程碑和关键节点工期，应在合同中明确按天计的重奖重罚金额，在实施过程中逐一考核兑现，从而迫使分包单位始终重视工期，避免因为索赔事件而拖延工期的现象。纵向支付上，业主、总承包、专业分包、劳务分包、施工单位与作业队之间签订的承包合同须有合理利润，才能激发各方面的主观能动性，激发他们的潜能。

当δ充分小且q＞p−1时,有这与式(5)矛盾。因此,当λ充分接近于−1时,式(5)成立。

另一方面,当且λ≤0,有 即有

康芳在街道工厂上班，一个同事的儿子常去接母亲下班，时间久了，康芳便喜欢上那个又高又壮的小伙子。一次同事开玩笑说：“让你家静秋给我当儿媳妇吧。”康芳说：“那敢情好。”那个小伙子便是萧健。那时的萧健一边工作一边读着业余体校，他的二百米短跑成绩在县城无人可敌。体校老师说，假如萧健能将他的成绩再提高一秒，他这辈子，就有保障了。

其中: ξ(y)介于之间; η(y)介于之间; 最后一个不等号成立是由于对∀y∈λΣ,由G的单调性,有则有

改革开放的深刻性在于它不仅仅是一个时代的实践，更是为了推动时代而进行的实践，所以改革开放是开创时代的伟大实践。习近平总书记在庆祝改革开放40周年大会上指出： “改革开放是我们党的一次伟大觉醒，正是这个伟大觉醒孕育了我们党从理论到实践的伟大创造。”[1]改革开放是时代与发展的契合方案，对时代诉求的积极回应必须通过不断地深化改革、对外开放，而这种对时代要求的满足恰恰就是发展要义。实践的结果恰恰使得中国特色社会主义建设进入新时代，中国的发展进入新时代。改革开放的实践始终在路上，并且不断走向更全面、更深化之处。

企业发展需要员工具有较高的综合职业能力，包括创新意识和创新能力、组织执行力、交往与合作能力、学习与思维能力、独立性与责任感等，这就需要我们在教学过程中突出强化和渗透这种能力。

 

另一方面,有

 

 

 

为了估计I1,注意到∀y∈λΣ有由于函数 G的单调性,当但不恒等于0,于是有且也不恒等于0,则有I1＜0。

为了估计I2,应用微分中值定理得

 

即与式(6)矛盾,故假设成立。

令可以证明λ0=0。否则假设λ0＜0,根据极值原理有若不然,则存在点 使得根据方程(1)及有

1.批发和零售业发展基本情况。2017年，全市批发和零售业销售总额6914.54亿元，同比增长10.8%，实现增加值1595.88亿元，同比增长7.6%。实现社会消费品零售总额8067.67亿元，比上年增长11.0%，扣除价格因素，实际增长10.1%。按经营地统计，城镇消费品零售额7651.18亿元，增长10.8%；乡村消费品零售额416.49亿元，增长13.9%。

由引理 3知,存在一列使得且即存在子列{xk}收敛到点 x0,且根据和其导数关于x和λ的连续性,有

由式(1)得趋于0,与引理3矛盾。因此,有

可以预见的是，这场关乎15万户国企、100多万亿资产和3000多万名职工的宏大改革，将在相当长一段时间持续推进，并产生深远的影响。

由于x1轴的方向是任意的,可以得到u一定是关于原点径向对称的。事实上,由于在对于任意的−1＜ λ ≤ 0 成立,故u又是关于径向单调递减的。

综上所述,可以得到u一定是关于原点径向对称且单调递减。即定理得证。

特别地,当p = 2时,定理1即为下面关于分数次Laplace对应的结果。

推论 1 当且满足方程则其每一个正解u关于原点径向对称且单调递减。

活动现场，市民获得了丰厚的优惠产品，主办方还向家政企业和家政从业人员送医疗、送保险、送金融，一批家政先进模范受到表彰。开幕式上，家政人员向市民展示了诚信服务风采，并表演了精彩的文艺节目。

注记 窦美霞等[13]采取关于积分方程的移动平面法得到了推论1的结论。但当p > 2时,式(1)中是非线性的且是退化的,关于积分方程的移动平面法并不奏效,可见文献[5,8,12]进一步的描述。值得指出的是,当1＜p＜2时,方程的解是否也具有此性质有待证明。

参考文献:

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[4]Caffarelli L,Vasseur A. Drift diffusion equations with fractional diffusion and the quasi-geostrophic equation [J]. Ann of Math,2010,171(3): 1903–1930.

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[9]窦美霞,李静. 单位球上分数阶 Laplace方程正解的径向对称性和单调性[J]. 河南大学学报自然科学版,2016(4):1–6.

[10]Tarasov E,Tarasova V. Time-dependent fractional dynamics with memory in quantum and economic physics [J]. Ann Physics,2017,383: 579–599.

[11]Tarasov V,Zaslavsky G. Fractional dynamics of systems with long-range interaction [J]. Comm Nonl Sci Num Sim,2006,11(8): 885–898.

[12]Wang Y,Wang J. The method of moving planes for integral equation in an extremalcase [J]. J Partial Differ Equ,2016,29(3): 246–254.

[13]Chen W,Li C,Li G. Maximum principles for a fully nonlinear fractional order equation and symmetry of solutions[ED/OL].arXiv: 1604.04806[math AP],2017.