图谱理论主要是研究邻接矩阵,拉普拉斯矩阵,无符号拉普拉斯矩阵和正规拉普拉斯矩阵等的特征值,讨论图的各种不变量和图特征值之间的关系,其中正规拉普拉斯谱可以确定图的最大特征值的二部分支个数,次小特征值可以确定其连通分支个数[1]。Chung[2]证明了所有的正规拉普拉斯特征值在[0,2]中,并且0是任何图的拉普拉斯特征值,还确定了不同类型图的正规拉普拉斯谱,例如,完全图、立方体等。Das A等[3]给出了正则图的冠图、边冠图、邻接冠图的正规拉普拉斯谱等。Banerje和Jost[4]研究了正规拉普拉斯谱是如何通过分割和连接等操作而变化的。本文拟利用邻接矩阵和度对角矩阵,讨论剖分–边–边联图的正规拉普拉斯特征多项式和它们的特征值。

10月24日，博若莱葡萄酒行业协会（Inter Beaujolais）于东莞万达文华酒店举办大师班，特邀产区宣传大使齐绍仁从葡萄种植、酿酒工艺等方面带领葡萄酒行业专业人士深入了解博若莱产区。借此机会，产区行业协会还进一步推介了以消费场景为导向的新型发展战略 ——“博若莱的新时代”（Beaujolais Nouvelle Génération）。近百名葡萄酒进口商、经销商及当地主流媒体参加了活动。

1 预备知识

定义1[2] 图G的正规拉普拉斯矩阵L(G)的行和列分别代表图G的顶点个数。对矩阵中的u和v元素,有其中,du和dv分别是u和v的度。

定义2[2] 设G = (V(G),E(G))是阶为n,边数为m的连通图。记矩阵A(G) = (aij)n×m是图的邻接矩阵,当且仅当顶点i和顶点j相邻时aij = 1,否则aij = 0。

定义3[2] 设di = dG(vi)表示图G的顶点vi的度,记图G的度对角矩阵为D(G) = diag{d1,d2,…,dn}。

定义4[2] 设矩阵R(G) = (rij)n×m是图G的n × m阶关联矩阵,若顶点i和边e关联,则rij = 1,否则rij = 0。

定义 5[2] 图 G 的正规拉普拉斯矩阵为 L(G) = I − D(G)−1/2 A(G) D(G)−1/2。L(G)的特征多项式表示为fG(λ) = det(λI − L(G)),fG(λ)的根就是G的正规拉普拉斯特征值,正规拉普拉斯特征值及其重数构成的集合称作图G的正规拉普拉斯谱。L(G)是对称的半正定矩阵,其特征值是非负实数,给特征值排序得0 =λ1(G)≤ λ2(G) ≤…≤ λn(G)。

  

图1 剖分—边—边联图 C 5 P2

则的正规拉普拉斯特征多项式是其全部特征根是

[3]Gumperz,J.Discourse Strategies.Cambridge:Cambridge University Press，1982：59.

引理1[6] 设A = (aij)n×m和B = (bij)n×m是2个m × n的矩阵,则Hadamard积定义为二者对应位置的乘积。即

引理 2[7] 设 M1,M2,M3和 M4分别是 p × p,p × q,q × p 和 q × q 矩阵,其中 M1和 M4是可逆的,则

引理 3[8] 矩阵Mn× n的 M-coronal记为Γ (x)M ,它指矩阵所有元素的和,即其中1n表示元素均为1的n维列向量。

引理 4[9] 设 A 是 n × n矩阵,Js× t是所有元素均为1的s× t矩阵,则其中α是一个实数。

五轮山井田位于织纳煤田西部，构造上位于加戛背斜北东翼南段，水公河向斜西翼，整体为一单斜构造(图1)。区内出露地层有第四系(Q)、三叠系(T)、二叠系(P)，煤岩层走向130°～160°，倾向NE，浅部倾角较陡一般为25°～40°，向深部倾角逐渐变缓为5°～20°，倾角沿倾向变化较大，沿走向变化不明显。区内经勘查发现断层45条，以高角度正断层为主，逆断层次之[17-18]。

文体即文章的体裁，是指文章作品在结构形式和语言表达上所呈现的具体样式或类别。它是人们对文章作品内在规律、特质的一种认识和总结。文体相对于语言、文字、篇章，是更高级的一种语文形式，它归约了用怎样的语言、怎么的文字、怎么的段落、怎样的篇章去表达。

2 主要结论及证明

定理1 设Gi(i = 1,2)是阶为ni,边数为mi的ri–正则图,则剖分—边—边联图的正规拉普拉斯特征值为:

引理5[10] 设矩阵Mn× n每一行元素的和为一个常数t,则

(1) 1,它的重数是n1 + n2;

(2)

则的正规拉普拉斯矩阵是

其中: C是每个元素为矩阵,B(G2)是每个元素为矩阵,B(G2)是每个元素为矩阵。

证明 设G1和G2分别是r1–正则图和r2–正则图,则的邻接矩阵和度矩阵分别为

 

(3)其中,μi是G1的邻接矩阵A(G1)的特征值;

 

(4)其中,iδ是G2的邻接矩阵A(G2)的特征值。

G1 G2的正规拉普拉斯特征多项式其中

 

定义 6[5] 在图 G的每条边上插入一个新的点得到的图S(G)叫做图G的剖分图。I(G)表示插入的新的顶点的集合。设Gi是连通图,则剖分—边—边联图G1G2是把S(G1)中的每个新点I(G1)和S(G2)中的每个新点I(G2)相连得到的。设G1是阶为n1,边数为m1的正则图,G2是阶为 n2,边数为 m2的正则图,则 G 1G2是阶为 n1 + m1 + n2 + m2,边数为 2m1 +2m2 + m1·m2的图。剖分—边—边联图 C 5 ⊗P2如图1所示。

上周（8月13日-8月17日）尿素开工率仍处低位，复合肥企业和经销商集中采购需求增多，市场价格有所反弹。8月20日中国尿素批发价格指数（CNPI）为1953.21点，环比上涨14.78点，涨幅为0.76%；同比上涨281.09点，涨幅为16.81%；比基期上涨89.96点，涨幅为4.83%。8月20日中国尿素零售价格指数 （CNRI） 为2051.26点，环比上涨0.36点，涨幅为0.02%；同比上涨262.57点，涨幅为14.68%；比基期上涨146.30点，涨幅为7.68%。

(1) 1,它的重数是n1 + n2;

(2)

1.1 研究对象 回顾性分析2016年10月-2018年7月来我院（萍乡市胎儿畸形产前筛查中心）行III级产前超声检查孕妇23835例，经产后超声心动图及引产后胎儿尸解证明上腔静脉先天性变异的72例患者。

(3) 其中,μi是G1的邻接矩阵A(G1)的特征值;

从个人的修身要求上升到国家治理的层面，孟子并不瞩目于两者之间的区别。如前所述，无论是面对违抗君命的民，还是诸侯的联军，在孟子那里，动刑与用兵的标准仍是唯一的，那就是“仁”。以这一点为统领，孟子的武德思想集中表现为一种极端崇德同时否定暴力的精神，“仁者无敌”就是其高度概括：

(4) 其中,δi是G2的邻接矩阵A(G2)的特征值。

参考文献:

[1]朱雪琴. 冠的两种变异类的谱问题[D]. 金华: 浙江师范大学,2016.

[2]Chung F R K. Spectral Graph Theory [M]. Rhode Island: American Mathematical Society,1997.

[3]Lu Pengli,Gao Ke,Yang Yang. Generalized characteristic polynomials of join graphs and their Applicaions [EB/OL].https://doi.org/10.1155/2017/2372931,2017.

[4]Banerjee A,Jost J. On the spectrum of the normalized graph Laplacian [J]. Linear Algeba and Its applications,2008,428(11/12): 3015–3022.

[5]Das A,Panigrahi P. Normalized Laplacian Spectrum of Different Type of Coronas of Two Regular Graphs [J]. Kragujevac Journal of Mathematics,2017,41(1): 57–58.

[6]Hom,Roger A,Charles R. Johnson. Topics in Matrix Analysis [M]. Cambridge: Cambridge University Press,1991.

[7]Zhang Fuzhen. The Schur Complement and its Applications [M]. New York: Springer-Verlag,2006.

[8]Cam McLeman,Erin McNicholas. Spectra of coronae [J]. Linear Algebra and Its Applications,2011,435(5): 998–1007.

[9]Liu Xiaogang,Zhang Zuhe. Spectra of subdivision-vertex and subdivision-edge joins of graphs [EB/OL].https://doi.org/10.1007/s40840-017-0466-z,2015.

[10]Cui Shuyu,Tian Guixian. The spectrum and the signless Laplacian spectrum of coronae [J]. Linear Algebra and Its Applications,2012,437(7): 1692–1703.