一、引言

关于数学教学，波利亚曾指出，数学既有论证推理的一面，又有合情推理的成分，教师教学应努力教会学生这两种推理。20世纪90年代中后期，我国数学教育受国际教育界的影响，有部分学者提出了数学教学实践性知识的概念，到现在也取得了丰硕成果。2001年张奠宙先生针对目前中学数学教育的现状，首次提出了数学知识的教育形态的概念[1]；用中学数学的知识(函数的概念、方程的概念、祖恒原理、勾股定理、三角函数、余弦定理等)为例，呼吁中学数学教学应从学术形态走向教育形态[2]1-4；他正式对数学知识的三种形态：原始形态、学术形态以及教育形态做了界定，通过大量的中学数学教学中的正反例子，对“去数学化”的教学现象做了评析，提出了在中学数学教学中要注意揭示数学的文化价值，加深学生对数学本质的认识[3]1-3。谭瑞梅等人以数学知识的三种形态为基础，指出在高等数学教学中，要讲数学史，要讲数学美，要揭示数学的本质[4]19-21。冯德雄就数学文化与数学知识的三种形态的关系进行了研究，指出：数学知识的三种形态与数学文化构成一个四面体的四个顶点，数学知识与体系是四面体的内部，四个顶点之间相互联系[5]。从以上研究可发现，对高等数学教育形态的涵义还需进一步挖掘，对学术形态向教育形态转变途径的探讨也不够深入、系统。本文借鉴张奠宙先生的观点，结合兰州城市学院实际，探讨高等数学教学中如何实现学术形态向教育形态的转变，研究结论既可丰富数学教育的理论，又对一线教学有指导意义。

二、数学知识的三种形态

数学知识的三种形态是指：原始形态、学术形态、教育形态。[3]3

原始形态：是指数学家发现数学真理、证明数学命题时所进行的复杂的数学思考。这一过程是朴素的、自然的，呈现出的数学知识是零碎、无系统性的，而且结论有时是或然的，表现形式是动态的。

综上，本实验以白及成熟蒴果为外植体对白及组织培养进行了研究。实验结果发现，1∕2MS培养基和适当的光照可使种子萌发速度快，长势好。在增殖过程中，NAA对白及的增殖影响最大，其次是KT，最优组合为MS+6-BA 1.00 mg∕L+NAA 0.05 mg∕L+KT 1.00 mg∕L，增殖系数达到1.83。生根过程中，NAA的浓度对生根率和每株试管苗生根数影响最大，本实验中白及生根的最优组合为1∕2MS+NAA 1.0 mg∕L+GA30.5 mg∕L+番茄汁100 g∕L。

学术形态：是指数学家发表论文时所采用的形态，形式化、严密地演绎，逻辑地推理，它呈现出简洁的、冰冷的形式化美丽，却把原始的、火热的思想淹没在形式化的海洋里[2]1-4。其表现经常是定义—定理—证明—举例—应用的形式，是静态的。

三年级语文教学如果仅凭几十篇课文的精讲深挖、设计无数的练习，由此来提高学生的阅读能力和习作水平，往往难以达到预期的效果，学生的学习兴趣难以提高。的确，课文只是个例子，应由一篇文章的阅读触及其余，启发学生把知识融会贯通，灵活、高效地学，有趣有味地学。例如在学习了《燕子》后，相机返顾或推荐多课文，引导学生把课文作横向比较，培养学生读书思考、分析感悟能力，这是从文章的内容方面相串联的；还可以从作家的系列作品拓展，在学习小组里交流安徒生这位“世界童话大王”的名作，花时少、收效高，关键是培养了学生广读博览的兴趣；还可以进行读写知识的迁移，在阅读教学中巧设情境，激发学生的情感。

把教科书上的静态数学知识，经过课前充分加工，在课堂中能深入浅出、通俗易懂地传授给学生，使其容易接受，进而丰富他们的数学知识结构，这是目前高等数学课程的教学目标之一[6]。但是仅就这一点上，授课教师的作为也是不到位的。把教科书上的定义、定理、证明照抄到黑板上的大有人在，导致学生认为高等数学就是冷冰冰的、毫无人性的、极具形式化的、用处不大的、仅是数学家在那儿摆弄的一堆数字与字母的繁杂游戏[7]，学生对高等数学的抵触情绪较大，出现了“大学有一棵‘树’，那就是‘高数’，挂在这棵‘树’上，会吊死人的”这样的段子来调侃高等数学。

三、教育形态的高等数学知识的理解

前面列举了张奠宙先生对数学知识三种形态的表述，我们觉得对教育形态的高等数学知识还有必要进行深度挖掘。在高等数学中，其教育形态应当突出以下几点：

(一)传授数学知识，丰富学生知识结构

教育形态：是指通过教师的努力，启发学生进行高效率的火热思考，把人类数千年积累的数学知识体系变为学生容易接受的形式。教师的作用是引导学生把教科书里的静态知识变为学生的动态思考。

(二)揭示数学思想，培育学生思维品质

济南厚坤房地产经纪有限公司（统一社会信用代码913701023517554212）经股东决定，拟向公司登记机关申请注销登记，清算组由李萌、李学忠组成，请债权人于2019年1月1日起45日内向本公司清算组申报债权。

(三)挖掘育人因素，体现数学教育价值

教育是培养人的一种活动，通过教育使受教育者在知识、能力、心智、体格、道德、思想等方面得到全面发展，实现社会的和谐进步。高等数学是理工类院校的一门主打必修课(有些文史类高校的某些专业也开设高等数学)，理应承担培养人的活动。但就目前的实际情况来看，高等数学的这一功能没有得到充分的发挥。高等数学的授课教师只注重教学——教学生学习高等数学知识，而忽视了教育——引导学生的身心向健康轨道发展。要明白，学习知识的最终目的是改变自己，使自己变得聪明、强大，为自己和社会创造财富。高等数学绝不是一堆定理的堆积、一些符号的游戏，会求几个极限、会求几个积分不是高等数学教育的初衷。透过高等数学一条条定理艰辛复杂的获得过程，要能体察出数学家们为真理而献身的一种拼搏精神，铸造自己坚韧不拔的意志品德。严密精准的逻辑论证，是数学家共同遵守的一种合约，也是数学知识赖以存在的唯一标准，其潜在的意思就是告诉我们做人做事要守时诚信、讲话要有根有据、遵守社会公德、与社会秩序合拍。牛顿—莱布尼茨公式把原本毫不相干的两个问题——定积分与不定积分非常巧妙地联到一起，体现了数学内部的一种和谐之美；极具辩证思想的ε-δ语言、定积分符号体现了数学的语言之美；不论一个函数多么复杂，泰勒公式展现了数学的一种结构、形式之美等。克莱因在哥廷根大学任教时曾豪壮地宣称：“音乐能激发或抚慰情怀，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，而数学能给予以上的一切”[10]。通过挖掘这样的数学美，可以提升学生的美学欣赏意识，唤起学生热爱我们生活的大自然和社会环境之情趣，珍惜和关爱我们的个体生命，有助于学生积极进取、乐观向上生活态度的形成。刚正不阿是理想社会备受推崇的一种品格，但现实社会中我们还要学会刚柔相济，有时甚至要以柔克刚。高等数学中，为了证明一个命题，我们有时会适当地增加一个条件，或减弱一个结论来实现一个定理，这种思路正是“刚柔相济”的具体体现。总之高等数学中培育人的素材很多，需要授课教师潜心挖掘，而这些才是教育形态的高等数学所应包含的内容。

(四)注重数学应用，转变学生数学认识

设S表示一段路程，表示一半的路程，2T表示跑完全程所需时间，T表示跑一半路程所需时间。

四、高等数学的学术形态向教育形态的转变

近几年来，大规模的扩招使学生的数学基础差异很大。笔者每年都进行调查，发现一个班中高考数学成绩40分、50分的有，110分以上的也有，还有的专业既有文科生又有理科生，学生对数学理解的差异程度很令人担心。面对这样的事实，教师到底该如何既面向全体又兼顾个体，是必须面对的一个非常迫切又现实的问题。幸运的是，教师们已经认识到问题的严重性，相关高等数学因材施教的论文很多，有的也很有见地，值得学习。笔者觉得因材施教是具体的、有内容的，而不是抽象的、空洞的，是教师关爱学生的突出表现，也可以说是教师职业道德要求的一项基本准则。高等数学教学中，因材施教中的“材”字，可以挖掘的素材太多了：不同的学校、不同的学生、不同的教材、不同的专业、不同的条件、不同的培养目标等都是要考虑的。这里不准备深究，仅给出一个案例，供大家思考。笔者曾听过同一教师关于 “数列的极限”的两次课，使用教材相同：《高等数学》同济版第三版，但授课班级不一样：一个班是交通运输专业“三校生”(42人)，另一个班是交通运输专业本科生(34人)。听课中发现，教师在两个班中的教学过程完全一样，甚至布置的作业也一样。还有，教师讲授过程中增添了例子，加强了对数列极限的ε-N定义的分析。课堂上教师讲得非常用心，学生听得也非常专注。从表象来看，这节课不错：学生注意力集中，没有嘈杂声，没有玩手机的。课后了解到，学生对这节课听得一塌糊涂。他们说，没有ε-N定义的时候，对数列的极限还有些认识，听了ε-N定义后，不知道数列极限是何物了，高等数学课程刚开始就这么难，不知道以后该怎么学，非常害怕。笔者觉得该教师备课充分、扎实，值得肯定，但授课中没有做好因材施教，导致学生听课效果极不理想。就这节课有四个问题值得探讨：(1)“三校生”与正常的本科生的数学差异程度很大，而且培养目标也不同，讲授方式完全一样，是否妥当？(2)数列极限的ε-N定义对于交通运输类专业的学生是否是必需的？也就是说，没有ε-N定义，对其专业课的学习影响有多大？(3)学生学习高等数学的热情与ε-N定义相比，到底哪个更重要？(4)课堂上老师说过，这个定义你们以后会慢慢理解的，这个“以后”到底是什么时候？高等数学教学中，教师养成下面的一些反问，可能有助于教学：我的课堂引入是否自然而不唐突？学生是否能接受？我确定的重难点是否得当？课堂上有多少学生听懂了？教学是否有利于培养学生的自信心和学习热情？如果没有我的讲解，学生自学效果怎么样？我在这节课中的作用到底是什么？学生在课中学到哪些思想、方法、知识？布置的作业是否是课堂所必须？对下节课有没有铺垫作用等等。因材施教是高等数学教学由学术形态向教育形态转变的必然要求。

(一)学点数学史，了解高等数学知识的时代背景

一部数学史就是人类的发展史，有了人类就有了数学，可以说人类与数学共生(其他科学如化学，至多有三四百年的历史)。研究数学、教育数学，就要对数学这门学科的产生、发展的背景及动因、对其他科学技术的作用等有所了解。英国数学家格雷舍曾说“任何企图将一种科目和他的历史割裂开来，我确信，没有哪一种科目比数学的损失更大”[4]19-21。学点数学史，可以丰富教学资料，使授课教师的课堂讲授进退自如、张弛有度，在整体上能高屋建瓴地掌控所教内容，能给“X光透视下的骨架”增添“鲜活的血液和肉质”，使课堂更精彩、更有可听性。比如瞬时速度和导数，其关系到底是什么？究竟谁先出现？穿越数学史，我们会发现，瞬时速度就是快车超越慢车那一瞬间的速度，是一种客观存在，其更加接近于原始概念，我们只是用导数这个概念来刻画，导数是一种工具，这正是讲导数时一般都从瞬时速度开始的原因。这正如小学里没有定义面积的概念，但可以求面积。再如微积分基本公式，一般教科书中都是由v(t)dt=S(t2)-S(t1)得这其实是一种运动学的解释，有助于学生理解。实际上，该公式是莱布尼茨在计算曲线y=f(x)由X=a到X=b时所产生增量(曲线的高)时，通过无限加密的过程得到的，等等。数学史介入数学教育，有助于“返璞归真”，还数学一个本来面目，能激起学生“火热的思考”，是高等数学教学由学术形态走向教育形态的有效途径。[11]

(二) 突出案例教学，化解高等数学的知识难点

案例教学最早起源于美国哈佛大学，是指在课堂教学中，教师本着理论与实际相结合的原则，依据教学目的和教学内容的需要以及学生自身的认知特点，运用典型案例，将学生引入一个特定的真实情境中，通过对案例的分析、讨论，引导学生进行自主探究性学习，了解与教学主题相关的概念或理论，以提高学生分析问题和解决问题能力的一种教学方法[12]9-13。它强调：以案例为教学材料，注重师生互动，学习材料与主题相关。高等数学中每一个概念、公式、定理的出现都不是凭空杜撰，它们都有具体的原型，课堂讲授中对核心的、难以理解的概念(极限、导数、微分、定积分、级数的和等)、公式(泰勒公式、微积分基本公式等)、定理(夹逼准则等)的教学要以具体案例为突破口。如调和级数的发散性，学生普遍难以接受：后面的项越来越小，为什么其和为无穷大呢？许多授课教师在此处都会说：任你给一个数M(很大)，都会有相应的一个自然数N，使得可以想象很少有师生实际验证过，比如对于M=1010，那个N是多少？教师的这种说法更接近于学术性的要求，但在课堂上显得苍白无力，学生只能囫囵吞枣：调和级数发散。下面的案例(变动了的芝诺饽论[12]9-13)可以参考：

数学以逻辑严密性、理论抽象性以及因抽象而派生出的应用广泛性这三大特性而著称。但在高等数学的学习中，学生确实体会到了逻辑严密性和理论抽象性，但丝毫看不出应用的广泛性(甚至点滴的应用也谈不上)。经常会听到学生问：学习高等数学有何用处？学生对应用性的理解非常肤浅：为了拿学分，为了考研。如果学生对高等数学持这样的观点，那只能说是高等数学教育的失败。本科生学习一般都有教科书，教师授课通常也按教科书进行，教科书中涉及应用的实例确实不多(《高等数学》同济版上册中仅有很少的，有些由于时间关系还被作为选学内容)，这也是导致学生高等数学学习热情锐减的一个主要原因，而这也是教育形态的高等数学应该关心的内容，需要授课教师加大研究力度。

对v2,v4,v6进行正常染色,若v2,v4,v6全染颜色1,则改染v3,由于v3为穷点,故为5--点,若的其它4个邻点中染1的个数≤2,则可将v3由颜色3改染为1,并用3染v。若 的其它4个邻点中染1 的个数为3个,则可用这4个邻点中缺失的颜色来重染(这种缺失的颜色为2或3),再用1重染v3,从而用3 染v,即可正常染回。若v2,v4,v6中染颜色1的个数≤2,则可以直接用1染v,得到G的一个(3,0,0)-染色,得出矛盾。

假定跑步者是等速行进。按逻辑，有时间等式：

教科书中的数学，多数保留了数学的简约严密性及和谐优美性，而形成这些结果的来龙去脉及其所包含的数学思想或深深隐藏其中或已被历史洗刷殆尽，教师的任务是挖掘和阐释隐含部分，再现原貌，以此来潜移默化地影响、培育学生良好思维品质的形成。因为这种深层次的思维品质一旦形成，会与人的外显行为形影不离，时时刻刻地影响一个人的做事、做人方式。日本学者米山国藏说过，“在学校学的数学知识，毕业后若没有机会去用，不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在头脑中的数学精神、数学思想、看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终生受益无限”[8]。英国数学家哈代曾说，“即使埃斯库罗斯被人们遗忘了，阿基米德仍会被人们记住，因为语言、文字会消亡，而数学思想却不会”[9]1。高等数学中包含的数学思想是相当丰富的，一个概念的提出、一个解题技巧甚至一个符号的出现都蕴含着极为深刻的思想，浸润着几代数学家的心血。极限思想为人们利用“有限”认识“无限”打开了通道；在此基础上的戴德金分割为人们认识无理数变成了现实，奠定了微积分的基础；柯西以发明家的胆略，灵光一闪，把静态的无穷小用动态的变化过程去解释，彻底清除了无穷小量“招之即来，挥之即去”的神秘阴影；导数概念的提出为人们研究各种变化率提供了具体方法，在物理学、经济学等方面展现出了强大的生命力，“在1972年秋天，尼克松总统宣布通货膨胀率的增长率正在下降，这是第一次一个当任总统使用一个三阶导数来推进他的连任活动”[9]38；清代李善兰的译本《代微积拾级》中晦涩难懂的微积分符号使这本书显得宛如天书，后来使用了莱布尼茨的符号，才使得这门神秘的学问被普通大众所了解成为可能；等等。挖掘数学思想，一方面能使零碎的数学知识之间建立关联，改变学生的知识结构，上升到认知结构，能居高临下地把握高等数学知识；另一方面，向前辈学习，学习他们思考问题的方式，学习他们遇到疑难问题时如何打破常规思路，创造性地解决问题，为丰富我们的创造性思维奠定基础；同时，透过数学思想，可以学习历史，分析当时的社会现象，比如分析演绎思想，为什么古代西方的数学是演绎数学，而我国古代数学是算法数学？其原因在于古希腊城邦实行奴隶主的民主政治(尽管是少数人之间的民主)，民主要求说服，说服需要证明，证明的源头是公理，证明过程就是严丝合缝的演绎。在我国古代，学术是通过谋士向君王建议治国之道而形成的，于是数学以符合帝王统治的需要而产生，就出现了《九章算术》中的内容：丈量田亩、计算税收、分摊徭役、计算土方、运输计费等官方管理数学[9]3。总之，数学思想是附着于数学知识之上的“魂”，需要我们去用心挖掘、体验、感悟。

多层次细节(LOD)模型是加速海量数据场景显示的有效途径，能够保证载入内存的数据始终根据视点，由近及远，不同细节层次的模型数据，从而减轻渲染压力。LOD模型一般通过手动建立不同细节层次的模型数据，工作量大，且耗费时间长，不适合海量数字城市模型数据的批制作。针对纹理数据和模型顶点数据分别采用二次采样和PM箅法[4]，生成一系列不同细节层次的模型。

结果为2T，也印证了上面的逻辑等式。所以，无限多项之“和”2T理解为前n项之和的极限是合理的，同时也说明级数收敛于2。

假定跑步者是不等速行进，每一路段上的速度都不一样：第1个一半路程的速度是第2个一半路程的速度是第3个一半路程的速度是第n个一半路程的速度是这时跑完全程所需时间应是(注意：下面是计算时间，而不是计算路程，否则就变为芝诺饽论了)：

这个计时过程是没有终结的，可以无限持续下去，时间是无限的，即级数没有和，说明调和级数是发散的。

上面的两大段陈述，一方面说明无穷级数是以加法形式出现的极限问题，既然是极限，就有极限存在与不存在之分，相应的，就有无穷级数的收敛与发散概念；另一方面，通过比较分析，有助于学生理解调和级数的发散性。

另外，考查有限项，有当n→∞时，

(三) 做好因材施教，确保高等数学教学目标的实现

如何将学术形态的高等数学向教育形态转变，使教科书中“冰冷的美丽”变为学生“火热的思考”？我们觉得授课教师要在以下几方面做足功课。

(四)提炼知识结构，厘清高等数学知识之间的脉络

华罗庚先生说“既要能把书读厚，又要能把书读薄”。读厚，就是要把每一条逻辑关系，每一个细节搞清楚，想明白；读薄，就是能抓住课程的主线和基本脉络，把握课程的内在联系，形成整体认识。美国教育家布鲁纳也认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构，这种基本结构应该成为教学过程的核心”[13]。高等数学的知识点非常之多，而且比较分散，以致于学到后面把前面的知识又忘了的现象经常发生。教师要善于和学生一道从逻辑的角度对每部分知识(重点知识、重要思想、典型解题方法、值得推广的结论、未解决的问题等)进行提炼、总结，使纷乱繁杂的数学知识变得清晰可见，数量由多变少，便于掌握。坚持每章做，每本书做，两本书学完再做。以基本结构统领基础知识，既是教师教学的艺术，也给学生学习高等数学提供了方法指导，同时为学生学习其他学科提供了范例。另外，目前学生的口头表达能力亟待提高，书面陈述逻辑混乱、因果不配、语句不通等。我们认为，经常性、有意识地对数学知识进行逻辑归类、整理，也有助于培养学生说话有条理、表述有层次以及做事有章法的良好品质。《高等数学》(上册)中，极限是一条基本主线，连续、可导、可微、定积分既是极限的产物，是极限思想的进一步应用，又是高等数学中的核心概念。连续、可导、可微刻画的是函数在一点的局部性质，而定积分是描述函数在一段区间上的整体性质，只有把局部性质搞清楚了，才有希望搞清楚整体性质。微分中值定理是导数的进一步应用，一方面几个中值定理本身就是用局部性质刻画整体性质的，另一方面，通过中值定理得到了计算一类极限的有力工具——罗比塔法则，还对判断函数的单调性、求最值、函数作图提供了切实可行的办法。不定积分实际上称其为“反导数”倒显得自然，之所以称不定积分，是由于牛顿、莱布尼茨在计算定积分的过程中发现了这种“反导数”的功用。常微分方程是微分和积分的联合应用，高等数学知识在此派上了用场，显示出了高等数学知识的强大生命力，具有一定的现实意义。

(五)善于利用平台，提高高等数学的教学质量

传统的教师在台上讲、学生在下面听的教学模式对高等数学的教学仍然有积极的意义，这种方法的好处在于师生之间的问题交流、情感交流都是实时的、面对面的，如果遇上一个优秀教师，讲课风趣、幽默机智，听课就是一种享受，对学生来说就很幸运，会受其人格魅力的影响，愿意了解数学、亲近数学。但上大学期间能遇上这样的好教师是可遇而不可求的，由于数学学科的性质所限，我们大部分教师还是有板有眼、不苟言笑的进行教学，听高等数学课更多的可能是难受而不是享受。那么怎样使这种现状得到改变(或部分地改变)呢？笔者觉得现在时机比较成熟，丰富的多媒体资源和发达的网络平台可以弥补课堂讲授的不足，对提高教学质量有推动作用。(1)掌握一两种常用的数学软件，比如几何画板、Mathematic。课堂中难以描述或难以想象的内容在软件平台上会变得直观、形象，比如函数的图像，数列的极限，调和级数的发散性，二次曲面，三重积分的积分区域的展示等。现在大学课堂中每个教室都有电脑平台，教师自己制作或借鉴别人的小课件均可在授课需要时即插即用，非常方便。(2)经常关注、搜索一些高等数学教学的视频网站。一方面，教师在闲暇之余可以学习别人怎么上课，这种自我培训对教师的成长极有帮助。我校有一个财经大学毕业的硕士生，见习期间，担任高等数学课程教学，作为一个新手，她对自己严格要求，利用空闲时间看了很多高等数学的教学视频，国外国内都有，不到三年时间就完全可以独立承担高等数学课程的教学了。另一方面，对于一些好的视频网站，还可介绍给学生，让学生课后浏览，以弥补自己授课的不足。(3)建立微信圈或QQ群。虽然授课教师和学生的接触基本限制在课堂之内，但学生其实是很愿意和老师接触的，他们非常渴望得到老师的关注和关爱。通过微信、QQ平台教师可以和学生进行交流、对话，既可以了解自己的授课情况，还可以为学生解答疑难，增进师生友谊。总之，在这个人人持手机、网络全覆盖的校园里，授课教师要善于利用这些高科技产品，化消极因素为积极因素，发挥平台优势，提高高等数学教学质量。

(六)加强应用教学，提升学生对高等数学的认同度

(1)从专业课中找问题，添加到高等数学课堂中体现高等数学的理论应用。高等数学课程中的例子，大部分是摒弃了具体的实际背景而抽象出来的，使用的字母也都是大家习惯了的x，y等。授课教师如果能够将例子和专业背景结合，使学生切实感到其专业课程对高等数学有很强的依赖性，为了专业课程学好高等数学。(2)积极组织学生参加数学建模，体验高等数学知识的实际应用。为了响应一年一次的全国大学生数学建模活动，每个高校也都有校级建模竞赛。授课教师应把握这一契机，积极宣传、正面引导，鼓励学生在校期间至少要参加一次校级建模，感受学业过程中极不寻常的一次人生历练。当然，赛前对学生进行辅导是必需的，毕竟建模和平常学习是完全不同的。通过参加这种综合类的实践活动，学生不但体会到了高等数学的应用价值，而且也体察到自己的知识欠缺，同时三天两夜的超负荷工作也是意志品质的考验，为其毕业以后的工作积累了非常宝贵的经验。(3)讲解数学思想的应用。数学思想是从大量的实际中提炼、抽象出来的，反过来对解决实际问题有一定的指导作用。如极限思想、微分思想、积分思想等，还有一般化、特殊化、分类、排序等。如洛伊德创作的“14—15智力游戏”[9]110，其相当于一个魔方，将编号为1～15的15个塑料片排列在一个4×4的网格中，刚开始把14、15对换(见图1左)，把玩者设法移动(左右、上下移动均可，不能拿出)这些塑料片，使之恢复到正常的次序(见图1右)，提供正确答案者可获1 000美元。据说洛伊德的这个游戏弄得当时(19世纪末期)数以千计的人神魂颠倒。爱好者们都苦苦思索着想回忆出他曾经完成的那一个步骤，而这个游戏的一个神秘特点恰恰是，似乎没有人能记住移动塑料片的一系列步骤。为了赢得这1 000美元，相传有的轮船驾驶员差点使他们的船出事，有的火车司机把火车开过了站，有相当一部分爱好者借助于昏暗的灯光，在寒风凛冽的冬季，双手颤抖地在盆子里将馅饼推来推去。

图1 “14—15智力游戏”

实际上该问题只需用一下排列中的奇偶性概念，就可知道洛伊德永远是赢家。由于对一个排列，无论怎样改变其中数字的排列次序，改变前后两个排列的奇偶性不变。再看洛伊德的问题，上面左图的排列是个奇排列，而右图的排列是个偶排列，也就是说，不论在左图中如何移动塑料片，都不可能变成右图中的形式，所以没有人能够从洛伊德手中赢得1 000美元。如果没有数学思想做指导，可能还会有人摆弄这个滑稽可笑的游戏。该例子虽然不是高等数学中某一思想的直接应用，但足可看出数学思想的强大威力。通过各种形式，介绍高等数学知识的应用，会改变学生对高等数学的看法，激发学习热情。

五、结语

目前，在一些地方二本院校中，高等数学授课面临很大压力：(1)授课学时偏少；(2)学生数学水平差异大；(3)学习热情不高、投入不够；(4)授课方式单一；(5)课后辅导欠缺；等等。这些因素都影响了高等数学的教学和学习质量。高等数学教学应从面向小众的学术形态走向面向大众的教育形态论断的提出，从某种意义上可以改变这种不良的局面。希望更多的高等数学教师参加到我们的讨论中，共同为大面积提高高等数学教育质量添砖加瓦。

文献报道金芪降糖片成分检测大多数为液相色谱紫外或荧光法，且目前对金芪降糖片代谢产物测定的研究也较少，本实验首次使用灵敏度高的UPLC‐MS对金芪降糖片成分及其血中移行成分进行分析，综合研究结果将对金芪降糖片的深入研究及开发提供有力支撑。

根据等温吸附理论 [14-17]，与吸附剂的吸附亲和力大小有关，可作为评价吸附容量的依据；Freundlich方程拟合结果表明，不同温度下K f值的变化不大，所以温度对H-103型树脂吸附氯离子的容量影响很小。n值反映了吸附过程的支持力。1/n越小，吸附性能越好，表示吸附过程比较容易进行。当1/n＞2时，则表示吸附过程比较难进行。n＞1时为优惠吸附，n=1时为线性吸附，n＜1时为非优惠吸附。由表中数据可看出，在不同的温度下拟合得到的Freundlich方程参数n均大于1，表明H-103树脂吸附氯离子属于优惠吸附。

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