如今，石油等能源商品成为众多利益的纠结体，尤其是2002年以来，我国部分地区开始出现“油荒”、“煤荒”、“电荒”这样的能源紧缺问题，引发了学术界与理论政策界对我国经济发展模式、能源安全和环境保护的忧虑。中国作为目前世界上第二大石油消费国，半数以上的石油依靠进口，但遗憾的是，在国际石油市场上，只有“中国需求”却没有“中国价格”。中国不但要承受能源安全的巨大压力，而且在国际石油市场上处于严重的、被动的价格接受者的地位。

伴随着金融衍生产品与环境、能源市场的不断增长，能源商品与金融市场相互融合已经成为一种趋势，能源商品的作用越来越接近于金融产品。这对于消费者规避风险，使收益与承担的风险相互匹配，从而最终达到资源的优化配置就显得尤为重要。因此，需要发展和完善能源商品的定价模型，更好地描述能源价格变化对能源市场的影响。能源风险管理中最主要的风险之一就是价格风险，故对能源商品的定价问题进行研究具有现实意义和理论意义。

Heston模型最早由Steven Heston于1993年提出，是描述标的资产波动率变化的数学模型，其方差过程是均值回归的Cox-Ingersoll-Ross过程(CIR过程)，即均值回复平方根过程(The Mean-Reverting Square-Root Process)。Heston首次将“尖峰”和“不对称”引入到标的资产收益的动态过程中，弥补了Black-Scholes期权定价模型中假设波动率为常数的不足[1]。

李静，周峤 [2]在Heston随机波动率模型下，给出了四种两资产期权分别是差价期权、商数期权、乘数期权、交换期权的定价公式。张敏 [3]等假设资产波动率服从CIR模型，在Heston模型下，利用傅立叶逆转公式给出了欧式一篮子看涨期权的定价公式。曹原[4]借助Heston随机波动率模型，研究了基于动态VAR约束的最优投资组合问题，利用动态规划技术，解决最优投资策略问题，假定在一定参数范围内，使用数值仿真方法近似计算出最优投资策略和与之对应的值函数。

但随着金融市场的不断发展与进步，标的资产的数量越来越多，金融衍生产品定价过程也变得越来越复杂。Heston模型无法准确得到这些复杂衍生产品的解析解。Limpert[5]等研究表明，服从对数正态分布的多个标的资产，其投资组合定价分布类似于通过“映射”或/和“平移”(negative or/and shifted)得到的对数正态分布。近似拟合得到投资组合的逼近分布可通过经典的Black-Scholes定价模型，获得由该投资组合组成的期权的解析解。该方法又可称为矩匹配(moment matching)方法。Deelstra等[6]将算术一篮子看涨期权分解成两部分，一部分是精确求解，余下部分利用3种方法近似逼近获得，其中一种方法就是矩匹配方法。Zhou和Wang[7]假设标的资产服从偏对数正态分布，利用矩匹配方法确定其参数，对亚式期权和一篮子期权的定价模型进行了研究。陈辉[8]给出了矩匹配方法在期权定价中的应用。Deelstra等[9]在Black-Scholes模型下，将对数正态分布和偏对数正态分布进行矩匹配，得出离散型欧式算术亚式篮子期权的近似公式。梁朝晖等[10]借助矩匹配技术，将多个标的资产组成的一篮子资产分布近似用“转换平移”过的对数正态分布拟合，求解得出实物期权的解析解。最后借助实际案例说明矩匹配方法的优越性。

本文将带有均值回复特性的能源商品，例如石油、天然气以及煤炭的投资组合视为一篮子期权，在Heston模型下，利用矩匹配方法对其进行定价。

一 一篮子期权理论概述

期权的机会成本较小，既可使交易者规避价格变动的风险，也保留了从有利的价格变动中获利的机会。对于能源行业来说，期权市场是深受消费者欢迎的价格风险管理方案。Li和Wu[11]指出一篮子期权作为投资组合期权可以应用在能源市场中，对冲价格风险。

比较文学是超过一国范围之外的文学研究，并且研究文学和其它知识及信仰领域之间的关系，例如艺术(如绘画、雕刻、建筑、音乐)、哲学、历史、社会科学(如政治、经济、社会学)、自然科学、宗教等等。质言之，比较文学是一国文学与另一国文学或多国文学的比较，是文学与人类其他表现领域的比较。[1]9

期权又称为选择权，是一种衍生性金融工具。期权最早记载于亚里士多德(前384-前322年)的著作《政治学》当中，他在书中描述了著名的希腊哲学家泰勒斯(前7世纪20年代中期——前6世纪40年代中期)所从事的一系列成功的交易。例如，泰勒斯以事前约定的价格为未来作物成熟时租用橄榄油压榨机支付了定金。定金与如今的期权保证金相同。这种行为实际是给人提供了未来行动的选择权[12]。

一篮子期权是20世纪80年代末出现的一种奇异期权(exotic option)。其基本特点是：在期权进行结算时，其结算额不是由某一种标的商品的价格决定，而是由多种标的商品的平均价格与执行价格之间的差额来确定。由于投资组合中的大部分商品都是高度相关的，简单地检验单个商品或者单个金融衍生品的风险就显得非常不经济。正因为一篮子期权把一篮子商品看作一个整体，减少了基金经理用于监视篮子中每个单独商品的工作量，大大降低了交易成本[13]。因此可以借助一篮子期权来完善国际能源市场的价格发现功能和实现风险规避功能。

白新欢提出马克思共产主义思想具有科学、现实和哲学三个基本维度，其中前两个维度使共产主义成为科学。他同时强调了马克思人道主义思想是共产主义思想的重要出发点。[12]

能源商品市场是发展迅速的新兴市场，能源产品是最重要也是交易最活跃的商品之一，在场外市场和交易所里都有许多种类的能源衍生品交易[14]。能源商品的价格服从CIR过程，价格有被拉回到中心价值的趋势。当一种资源的价格上涨时，其消费量很可能会下降，从而对价格产生下跌的压力。当一种资源的价格下跌时，其消费量很可能会上升，从而对价格产生上涨的压力[15-16]。

二 一篮子期权的定价模型

那么，我们可以直接计算得出

为了克服之前所提到的诸多问题，更加准确地为期权定价，我们使用随机波动率模型来优化期权价格的计算。随机波动率模型认为波动率本身随着价格变化而变化，并且这一变化过程符合随机过程。其主要思路是将标的资产价格的波动率描述为一个由价格水平、波动率均值回归趋势和波动率方差控制的随机过程。这样一来就可以对波动率的变化进行动态刻画，从而更加准确地对期权进行定价。比较经典的随机波动率模型就是Heston模型。该模型假设资产价格服从一个扩散过程，并考虑资产价格和资产波动率的相关性。在这个模型中，期权的价格是通过计算看涨期权到期时落在实值区域的概率得到的。Heston模型考虑了波动率与标的资产价格回报之间的相关性，尤为重要地描述了相关性参数，它反映了价格变动的偏度，很大程度上也突出了价格回报“尖峰厚尾”的特点。

(一)Heston模型

考虑m个带均值回复价格的能源商品，第i个商品为xi(t),i=1,2,…,m。故欧式一篮子看涨期权价格的线性组合可以表示为

 

(1)

其中αi是第i个资产xi(i=1,2,…,m)的权重。xi过程服从Heston模型。

Heston模型假设标的资产价格服从如下的扩散方程：

从一开始，他就是我心中的历史人物。早在他少年时代，在衢州石梁乡间写下的《一事能狂便少年》《人比黄花瘦》即已预告了武侠小说家的他，他青年时在重庆受到齐邦媛父亲齐世英先生等启发，开始关注国际问题，《太平洋杂志》几乎预告了一代报人、政论家的诞生。如果要问我对他的评价，差不多已尽在这两副不考虑平仄的挽联中了——

 

(2)

其中，μ表示标的资产的收益率；Vi(t)表示t时刻第i种能源商品的方差；假设波动率服从如下的CIR过程：

dVi(t)= κi(t)(θi(t)-Vi(t))dt+

 

(3)

其中θi(t)是长期方差，当t趋近于无穷时，Vi(t)的期望值也趋近于θi(t)；κi(t)是Vi(t)回归至θi(t)的速度；ξi(t)是波动率的波动率，也就是Vi(t)的方差。

故执行价格是K，到期时间为T的欧式一篮子看涨期权的价格为

 

(4)

(二)矩匹配法

除了较少的连续时间期权定价模型有解析解之外，大多数期权定价没有解析解。而蒙特卡洛仿真法是最为主流的数值方法，来解决那些求不出解析解的期权定价问题。

计算得出Heston模型的一阶矩匹配结果：

 

(5)

其中E为数学期望。

截至2018年10月10日，在PubMed、Embase和Cochrane数据库中分别检索到相关文献91、18和14篇；根据纳入和排除标准，通过阅读标题和摘要剔除72篇文献；通过全文阅读剔除26篇文献，最终纳入11篇文献[11-21]。文献筛选流程如图1所示。

动作方法：全身俯卧于小垫子(或草坪)上，双腿伸直，固定双脚，双手抱头；然后背部肌肉收缩，抬起身体，接着放下身体；以此反复动作。(固定双脚由他人来压住即可)

刘雁衡把目光转到他身后雪白的墙上，盯住那管箫：“我在为你庆贺，以你现在的人品，还不至于沦落到不配拥有这箫的地步。”

对于所有t∈[0,T]，Heston模型的二阶矩为

不断推进人员本土化进程。保加利亚公司高度重视生产与管理的本土化，聘请保籍农业专家担任执行经理，聘请培育、种植、加工、病虫害防治的农艺专家和技术骨干，组成以农业院校、种植专家、科技机构相结合的中保方人员参与的技术管理团队，目前绝大多数的中层岗位由保加利亚人员担任。同时不断加强中方管理人员与基地保方负责人、农业技术人员的沟通、交流，将中国先进的农业生产技术与保加利亚丰富的自然资源相结合，实现了资源、技术等多项优势互补，农业种植、田间管理的经验共享与提高。

Exi(t)2=

 

 

(6)

首先，在每一个小的时间间隔[tl-1,tl]，l=1,2,…,n上，借助对数正态过程Si(·)降低一篮子期权的维数。

1.2.4 变换体位 重度、特重度烧伤患者由于存在剧烈疼痛或取平卧位,多存在有效通气量减少现象,因此应对患者的体位进行适当调整,鼓励患者咳嗽帮助排痰。

 

(7)

其中

 

然后借助过程S(·)近似逼近x(·)，S(·)是虚拟假设的标的商品，其初始价格Si(0)和xi0一样大。

将给定时间段T分割成有限个小段[tl-1,tl]，Δtl=tl-tl-1,l=1,2,…,n，在[tl-1,tl]上，式子(6)可以直接计算得出

 

那么，

 

(8)

因为在每一个充分小的时间间隔[tl-1,tl]上，Si(·)近似逼近xi(·)，所以Si(·)的一阶和二阶矩在时间点tl-1和tl上是一样的。也就是，

 

(9)

在水产品草鱼、鲢鱼、鳙鱼等的保险加工与产业化方面，众多海洋食品科研人员研发并应用了冰温保鲜技术，该技术使这些淡水鱼产品在货架期上的存放可延长1-2倍；鱼体超低温液体速冻技术的开放，缩减了70%以上鱼体的速冻时间，显著提高了冷冻鱼体的品质；淡水鱼保活贮运成套技术则将鱼体缺氧时间由传统的10分钟减少到1.5分钟，运输存活率达90%以上。

 

(10)

其中Exi(t)和Exi(t)2分别是一阶矩和二阶矩，由式子(5)和(6)给出。

因此，借助Si(·)近似逼近，式子(1)的线性组合可以表达为

η为敛散因子，在12之间取值。根据式(7)的收敛条件，判定是否达到精度要求和终止迭代过程，R为相对收敛容差。

 

(11)

作为期权定价最经典的理论模型，Black-Scholes模型取得了巨大的成功[17]，然而Black-Scholes模型存在一些明显的不足，其中最重要的一点就是对于标的资产波动率固定的假设。期权的价格可以体现在隐含波动率上，而期权的隐含波动率一般是变化的，期权价格和到期时间不同的期权合约，隐含波动率通常也会不同，而这些显然与Black-Scholes模型的假设不相符[18-19]。

 

(12)

为了更进一步完善上面的定价算法，我们通过在每一个充分小的时间间隔[tl-1,tl]，l=1,2,…,n上，通过对数正态过程S(·)近似逼近式子(11)

利用式子(7)和(8)，可得

 

(13)

其中和分别是假设的股票红利和在时间t上的波动率。

 

下面的定理给出了欧式一篮子看涨期权的定价公式。

Boyle首次将蒙特卡洛仿真法用于金融。本质上，蒙特卡洛方法就是用数字模拟大量的标的资产价格的随机路径，既简单又灵活。

定理 给定执行价格K和到期时间T，欧式一篮子看涨期权的价格为

 

 

(14)

其中EX(T)和EX(T)2已由式子(12)给出。

(三)蒙特卡洛仿真法

矩匹配法是指对从标准正态分布中抽取的样本进行调整，以使得抽样与第一阶矩、第二阶矩以及其他可能的高阶矩相匹配。

国务院副总理汪洋在全国冬春农田水利基本建设电视电话会议上的讲话（摘登）………………………………………………(21.1)

蒙特卡洛方法由于灵活性以及便于操作等优势受到学者的广泛关注。一般情况下，它包含以下3个步骤：

1.在风险中性测度下仿真样本股票路径；

2.估计每一个样本路径下的折现收益率；

3.所有折现收益率取平均值。

蒙特卡洛仿真法的主要优点在于既可用于收益只依赖于标的变量S最终值的情形，又可用于收益依赖于标的变量S路径的情形(例如，该方法可用于收益依赖于S在0和T之间平均值的情形)。衍生产品的收益可能发生在期限内的若干时间点，而不是全在期限的末尾。因此，任何关于S的随机过程均可以采用蒙特卡洛仿真法。

蒙特卡洛仿真方法的潜在缺陷在于标准误差和模拟次数的平方根成反比。虽然任何要求的精度水平都可以通过增加模拟次数得到，但是更有效的方法是降低标准误差，一般可以通过方差减小技术实现。

冰箱行业转型升级提速，这一点得到了与会专家的广泛认可。国家信息中心资深家电产业专家蔡莹局长对2018年国内冰箱市场及相关宏观要素变化影响进行了分析。他认为，整体冰箱市场处于相对平稳的状态，但需求变化带来的产品差异化结果相对明显。高端产品占比明显提升，但是，新品推出速度和占有比例明显下滑，上市一年以上产品成为销售主力，这意味着，冰箱行业正在遭遇创新瓶颈，在未来，整个市场规模增长有限，但是，整体市场的品质和价值会有所变化，市场门槛会大幅提升。

一篮子期权是利用欧式期权中的个别股票作为控制变量，通过蒙特卡洛方法进行期权定价。定义欧式期权的贴现值为：

=e-eT(-K)+ 其中i=1,2

一篮子期权的贴现值为VT=e-rTHT，那么一篮子期权定价的蒙特卡洛估计为：

但是蒙特卡洛仿真法也存在致命的缺点，就是随着标的资产个数的增加，其计算速度变得异常缓慢，不利于快速得到计算结果。

三 数值仿真

为了说明标的资产在Heston模型下，矩匹配方法的精确性和有效性，本文利用MATLAB软件，将一篮子期权通过矩匹配方法得到的结果和经典的蒙特卡洛仿真结果相比较。

选取3个标的资产，到期时间为一年，无风险利率是每年5%，波动率为ξ1=ξ2=ξ3=20%；相关系数是ρ=(ρij)3×3，其中如果i=j,ρij=1；否则ρij=0。t0时现货价格是x1(0)=x2(0)=x3(0)=50；长期平均价格θ1=θ2=θ3=55.2646；

均值回复的相关系数为权重是

 

表1 一篮子期权的矩匹配结果与蒙特卡洛结果相比较

  

执行价格($)矩匹配($)时间(s)蒙特卡洛($)(标准差)时间(s)矩匹配与蒙特卡洛方法价格差别(%)3018.46380.01618.4675(0.0006)74.69-0.02003514.32470.01614.3258(0.0005)74.69-0.0077456.41850.0166.4153(0.0005)74.690.0500500.61280.0160.6132(0.0004)74.69-0.0653

如表1中显示，一篮子期权的矩匹配方法和蒙特卡洛仿真两种方法得出的结果之间的差异最大相差0.0653%，基本可以忽略。与蒙特卡洛仿真结果相比较，矩匹配方法可以给出较为精确的一篮子期权定价结果，且仅花费0.016s去执行一个定价过程，而利用蒙特卡洛仿真，需要74.69s，也就是说，一篮子期权的矩匹配方法仅花费蒙特卡洛仿真所需时间的0.0214%。因此矩匹配方法在时间上的有效性比蒙特卡洛仿真法更具有优势。

四 实证分析

将基于Heston模型的能源商品定价方法应用在真实能源市场中。本文选取3种主要的能源商品：石油、天然气以及煤炭，数据来源于IMF 数据库中的Primary Commodity Prices，采用月度数据，样本区间是1997年1月到2015年12月。利用卡尔曼滤波方法并将其应用到Heston模型中，获得石油、天然气以及煤炭的长均值月收益分别为0.7246%、2.6897%、0.9108%，波动率是0.0856、0.1726、0.1231，它们之间的相关系数矩阵为

 

到期日为T=1个月，无风险利率是每月0.5%。在t0时(即2015年12月31日)的现货价格为x1=50.79，x2=2.61，x3=155.20。均值回复的相关系数是权重分别是石油天然气煤炭

表2中结果表明两种估计方法的最大价格差非常小，可以忽略，但是在时间花费上，矩匹配方法仅是蒙特卡洛仿真法的0.03%。

这是市第一人民医院妇产科开具的关于竹韵的妇检证明。鉴定结果是这样写的：处女膜完整，无损缺，亦未发现修补痕迹，被检查者尚未在过性行为。

 

表2 能源商品价格的矩匹配结果与蒙特卡洛结果相比较

  

执行价格($)矩匹配($)时间(s)蒙特卡洛($)(标准差)时间(s)矩匹配与蒙特卡洛方法价格差别(%)3061.483656.2861.4838(0.0006)0.018-0.00033546.363256.2846.3634(0.0005)0.018-0.00044526.344656.2829.3443(0.0005)0.0180.00115016.884656.2816.8845(0.0004)0.0180.0006

五 结 论

一篮子期权作为规避能源商品价格风险的有效手段，篮子中的能源商品价格满足均值回复特征。本文利用矩匹配方法和蒙特卡洛仿真法对标的资产为3种能源商品组成的一篮子期权进行定价。用Heston随机波动模型对能源商品定价时，修正了经典的Black-Scholes定价模型中波动率为常数的假设。

通过在能源市场中的真实数据应用验证，不仅说明在Heston模型下，矩匹配方法在多维一篮子能源期权计算的高效性和准确性，同时也表明了一篮子期权在能源市场价格风险的防控方面的重要应用。

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