铅酸电池因具有维护简单、使用寿命长、质量稳定和可靠性强等优势,被广泛应用于军事、交通、通信和航空航天等领域中,发挥着极其关键的作用[1]。荷电状态(State of charge,SOC)是铅酸电池的一个重要性能指标,它反映电池的剩余可用容量。准确地预测铅酸电池的SOC可以防止电池过度放电,延长电池的使用寿命[2]。然而,传统的基于物理原理的预测方法,如电量累积法和加权安时法等,因周期长、精度低等缺点已无法满足实际应用的需求[3]。因此,为了快速准确地预测铅酸电池的SOC,近年来研究人员不断尝试提出新的方法,其中最有前景的是基于数据挖掘的方法。

基于数据挖掘的方法利用各种数据挖掘算法,如粒子滤波(Particle filter,PF)[4],高斯过程回归(Gaussian process regression,GPR)[5],支持向量机(Support vector machine,SVM)[6],人工神经网络(Artificial neural network,ANN)[7]等。这些算法通过对采集的历史数据进行建模,从而有效地预测铅酸电池的SOC。在上述数据挖掘算法中,GPR是近几年发展起来的一种回归方法,它主要基于贝叶斯框架的统计学理论基础,在处理高维数、小样本、非线性等复杂问题中具有较强的泛化能力,且适应性良好。此外,GPR能够更加充分考虑铅酸电池SOC的非线性变化特性,因此成为该领域常用的算法之一。然而,GPR模型中存在超参数过多的问题,超参数的优化是一项重要且艰巨的任务。在众多参数优化方法中,网格搜索(Grid search,GS)算法[8] 是最简单直接的一种。该算法将待优化的参数在一定的空间范围中划分成网格,每一种参数组合对应网格中的一个点,然后遍历所有的点来搜索最优的参数组合。GS算法在寻优区间足够大且步长足够小的情况下可以找出全局最优解,但其寻参时间太长,效率低下。此外,GS算法还存在对初值依赖性太强、迭代次数难以确定的弊端。

如今已是西藏大学理学院教授、钟扬的学生拉琼发现，病后稍有恢复的钟老师开始变本加厉地工作，一天排满了各种事。他的衣袋里总是装着很多小纸片，上面密密麻麻写满各种待办事项，每做完一项就用笔划掉。

针对上述问题,本文提出了一种基于粒子群优化的高斯过程回归(Particle swarm optimization with Gaussian process regression,PSO-GPR)算法来预测铅酸电池的SOC。该算法的核心思想是通过粒子群优化算法来解决GPR模型中的超参数优化问题。具体而言,首先随机生成一个粒子群,群中的每个粒子包含相应的GPR超参数信息;随后执行如下迭代步骤:根据当前每个粒子的超参数信息训练对应的GPR模型并评估该模型性能,结合适应度函数和每个模型的评估结果计算出每个粒子的适应度,并更新每个粒子中的超参数信息;经过多次迭代后,找到粒子群中适应度最小的粒子;最后从该粒子中提取对应的超参数信息,并训练最终的GPR预测模型。在铅酸电池数据集上的实验结果表明,所提方法优于对比模型,具有广阔的应用前景。

1 高斯过程回归算法及粒子群优化算法

1.1 高斯过程及其回归算法

高斯过程(Gaussian process,GP)[9]又称正态随机过程,它在处理小样本、非线性以及高维数等复杂问题时具有良好的适应性。给定一个有限的样本集和映射函数f:Rn→R,xi是第i个样本的n维特征向量,xi∈Rn;yi是第i个样本的观察目标值,yi∈R;N表示D中样本的数目。若f(x1),f(x2),…,f(xi),…,f(xN)可构成一个随机变量的集合,该集合的性质完全由均值函数m(x)和核函数k(xi,xj)决定,且满足联合高斯分布,则它们形成的随机过程就称之为高斯过程,定义如下

f(x)～GP(m(x),k(xi,xj))

(1)

一种主要基础是互联网可以把校园工作变得智慧化，并且把生活和学习变为一体化的环境叫作智慧校园。在智慧校园里面，把主要的载体称为可以应对多重应用服务的系统，可以把教学、管理、科研和学生教师在校园中的生活进行有效充分的融合。建设智慧校园之后，通过把大数据、云计算这些先进的技术进行充分科学的发挥，最终建成一个网络学习体系无处不在的校园。实现校园中的科研网络创新感随处可见，高校的治理校务是透明高效的，校园文化是多彩丰富的，学生的校园生活是周到方便的。通过智慧校园的引导，体育信息平台的建设应该在各个高校的努力之下共同完成，通过各类信息的共享，及时有效地为建设智慧校园提供帮助[1]。

(2)

However, active treatment has been linked to improved outcomes in PDA compared to best supportive care(BSC)[6].

(3)

式中:E[X]表示X的期望值。

若将噪声ε考虑到观察目标值y中,可建立高斯过程回归问题的模型,定义如下

y=f(x)+ε

(4)

式中:ε为与f(x)不相关的独立高斯白噪声,服从均值为0、方差为的正态分布,记作由于f(x)服从高斯分布,则y也服从高斯分布。因此,样本集D中所有的观察目标值y的联合分布的集合可以形成一个新的高斯过程,表示为

 

(5)

式中:δ为Kronecker delta函数,当i=j时,δi,j=1;否则δi,j=0。令X=[x1,x2,…,xi,…,xN]T,Y=[y1,y2,…,yi,…,yN]T,IN为N阶单位矩阵,K(X,X)为N×N的核矩阵,且Ki,j=k(xi,xj),则上述高斯过程的矩阵形式定义如下

 

(6)

给定测试样本x*,其预测值为f(x*)。根据贝叶斯原理,高斯过程在给定数据D的集合内建立先验函数,在测试样本x*下转变为后验分布,则样本集D中的观察目标值的集合Y与f(x*)的联合分布表示如下

(7)

式中:K(X,x*)=KT(x*,X)为测试样本x*与训练集X之间的N×1阶协方差核矩阵。

因此,可以计算出测试样本x*的预测值f(x*)所满足的后验条件分布,即GP模型回归方程如下

f(x*)|X,Y,x*～N(m(f(x*)),cov(f(x*)))

不同围岩初始温度的支护结构表面和岩壁交界面的温度过程对比见图8，最高温度、最大温升和发生时间见表3，可见3种初始岩温条件下的支护结构温度变化规律基本相同，支护结构表面温度随着时间延长而升高，在66.20 d时出现最高温度，初始岩温110℃时的表面最大升高值为28.0℃，90℃时的表面最大升高值为22.76℃，60℃时的表面最大升高值为14.90℃，此后温度逐步降低；岩壁交界面的支护结构温度在16.20 d达到最大，110℃初始岩温时的表面最大升高值为97.84℃，90℃时的表面最大升高值为81.21℃，60℃时的表面最大升高值为50.90℃，此后温度逐步降低。

(8)

步骤7 根据gbest(T)提取最优的GPR参数,然后在TRD上训练最终的预测模型GPRfinal;

 

(9)

交叉验证(Cross validation,CV)法[14]是将数据集D随机划分成大小相等的k个互斥子集,即D=D1∪D2∪…∪Dk,Di∩Dj=∅(i≠j),然后依次选择D1,D2,…,Dk作为测试集,余下的k-1个子集作为训练集。经过k次训练和测试后,数据集D中的每个样本都被测试过一次,将所有样本的真实值与预测值进行比较,并将比较结果作为本次交叉验证下的预测结果。在本文中,k=10。交叉验证通常用于选取模型参数,给定L组参数,对于每组参数,在数据集D上执行交叉验证。经过L次交叉验证后,选择使交叉验证下的预测结果最优的参数组合P作为模型的最终参数。然后将整个数据集D作为训练集,根据参数组合P在D上训练模型MF作为最终的预测模型。给定一个新的独立数据集D′,利用模型MF对D′进行预测,上述过程称为独立测试。

 

(10)

式中:m(f(x*))是预测值f(x*)的均值,cov(f(x*))是预测值f(x*)的方差。

在高斯过程回归中,核函数k(xi,xj)的定义如下:如果原始特征向量xi和xj的内积是〈xi,xj〉,经过隐函数φ映射后的内积为〈φ(xi),φ(xj)〉,那么核函数定义为k(xi,xj)=φ(xi)Tφ(xj)。常用的核函数有多项式核函数(Polynomial kernel,PK)、径向基函数(Radial basis function,RBF)、幂指数核函数(Exponential kernel,EK)等。本文采用一种特殊的Matern核函数[10],其定义如下

k(xi,xj)Matern=φ(xi)Tφ(xj)=

 

(11)

式中:σ表示核函数的半径,θ是平滑因子,τ(θ)是θ的伽玛函数[11],Hθ是θ的第二类贝塞尔函数(诺依曼函数)[12]。当θ=0.5,Matern核函数退化为EK核函数;当θ→∞,Matern核函数趋近于RBF核函数。EK和RBF核函数的定义由式(12)和式(13)分别给出

 

(12)

k(xi,xj)RBF=φ(xi)Tφ(xj)=

 

(13)

在本文中,高斯过程回归有3个超参数,分别是噪声ε的标准差σN、Matern核函数的半径γ和Matern核函数的平滑因子θ。

1.2 粒子群优化算法

粒子群优化(Particle swarm optimization,PSO)算法是一种基于群体智能的优化算法,其特点在于参数较少,实现容易,收敛速度快[13]。对于一个待优化问题O(x),PSO算法通过迭代步骤来求O(x)的最优解,其基本思想是将O(x)的每一个解看作空间中一个粒子所在的位置,并且将每一次迭代求解过程看作空间中粒子群的一次运动。

PSO算法求解O(x)的具体步骤为:在n维目标搜索空间中,假设有N个粒子构成一个种群P={p1,p2,…,pN},其中pi表示第i个粒子。首先初始化O(x)的N个随机解,依次表示每一个解可以看作经过j次迭代后粒子pi在n维空间中的位置,并用适应度函数f(x)来评价该位置的好坏,f(x)的值越小,表示该位置越好越接近最优解)。然后执行M次迭代,其中第j(j=1,2,…,M)次迭代的步骤如下:每个粒子pi从原始位置出发,以一定的速度在n维空间中运动,当pi到达新的位置时,计算其对应的适应度并将pi的速度更新为和的计算公式如下

 

 

(14)

 

(15)

 

(16)

 

(17)

 

(18)

式中:w为惯性权重,其值越大越有利于大范围的全局搜索;反之,则利于小范围的局部搜索;c1和c2为学习因子,通常c1,c2∈(0,2);rand1()和rand2()是均匀分布在0和1之间的随机数;表示粒子pi在前j次迭代过程中搜索到的最优位置;gbest(j)表示整个种群在前j次迭代过程中搜索到的最优位置,且gbest(M)为O(x)的最优解。在本文中,w=0.5,c1=c2=0.5。

2 基于粒子群优化的高斯过程回归算法模型

2.1 算法原理和基本步骤

基于粒子群优化的高斯过程回归(PSO-GPR)算法的核心思想是利用粒子群优化(PSO)算法对高斯过程回归(GPR)模型进行超参数优化,该算法的流程如图1所示。

  

图1 PSO-GPR算法流程图

根据图1,PSO-GPR算法的步骤可以描述如下:

输入:训练集表示第i个训练样本的特征向量,Yi表示第i个训练样本的回归值,M表示训练样本的数目;独立评估数据集表示第k个评估样本的特征向量,表示第k个评估样本的回归值,Meval表示评估样本的数目;粒子群的数目N;高斯过程回归GPR的超参数数目m;最大迭代次数T;

输出:高斯过程回归模型GPRfinal;

步骤1 令当前的迭代次数j=0;初始化粒子群,随机生成N个粒子,依次表示为p1,p2,…,pN;每个粒子pi对应的初始位置和速度分别设置为和其中表示第i个粒子在第j次迭代过程中所包含的第l个GPR超参数的值,表示第i个粒子在第j次迭代过程中所包含的第l个GPR超参数的增量;

步骤2 对于每个粒子pi,根据其当前位置提取GPR参数,并在训练数据集(Training dataset,TRD)上训练GPR模型,表示为

 

(19)

步骤3 对于每个粒子pi,利用评估数据集(Evaluation dataset,IED)评估其对应的的性能,并按照如下公式计算适应度

 

(20)

式中:表示对评估样本的预测值,实际上表示评估数据集IED中样本的真实值与其对应的预测值的均方根误差。

步骤4 根据式(16)-(18)找到每个粒子pi在前j次迭代过程中搜索到的最优位置和整个种群在前j次迭代过程中搜索到的最优位置gbest(j);

m(x)=E[f(x)]

步骤5 根据式(14)和(15)更新每个粒子pi的位置和速度;

步骤6 若j=T,执行步骤7;否则,j=j+1,返回步骤2;

为了评估PSO-GPR的预测性能,本文采用绝对百分比均值误差(Mean absolute percentage error,MAPE)γMAPE和均方根误差(Root mean square error,RMSE)γRMSE两个指标。γMAPE和γRMSE的计算公式如下

m(f(x*))=E[f(x*)|X,Y,x*]=

在本文中,N=100,m=3,T=100。

2.2 算法评估指标

“突突突……”11月的一天早晨，在监利县何王庙长江江豚省级自然保护区，一条铁驳船缓缓驶入河汊。协巡员周家喜把太阳帽扔进船舱，穿上救生衣和下水裤，跳下船去，从水里扯起一根小竹竿，带起一张10多米长的渔网。“江豚很有可能误闯进这种渔网中受到伤害。”周家喜将渔网从水中慢慢拖上岸，密封的下水裤和“江豚保护”救生衣让他感到闷热，额头很快冒出了汗珠。

 

(21)

 

(22)

式中:yi表示第i个样本的真实值,表示第i个样本的预测值,n表示样本的数目。γMAPE值表示模型相对误差的均值,γRMSE值表示模型误差的标准差,它们的值越小,模型的预测性能越好。

3 实验验证及分析

3.1 实验数据集

本文的实验数据来源于恒流放电实验,实验对象为HAB类型的铅酸电池,其额定容量为100 Ah。电池的放电实验描述如下:开始电压为2.3 V,截止电压为1.8 V,放电电流为32 A。在放电过程中,记录电池的电压和温度作为样本特征,同时计算电池的SOC作为样本回归量,SOC的计算公式如下

SOCt=Ct/C0

围绕检验中心工作，当好人民安全卫士。从1960年开展检验工作至今，青海省药品检验检测院的年检验量从95批次增至5000余批次。在应对“欣弗事件”“双黄连注射液”“三聚氰胺”“铬胶囊”等事件中，为药品安全事件的处置提供了及时、准确的技术依据。2010年4月14日玉树地震灾情发生后，对抗震救灾捐赠药品进行检验，共筛查捐赠药品近千批次，确保了灾区人民的用药安全。

(23)

式中:SOCt表示t时刻电池的荷电状态,Ct表示t时刻电池的剩余容量,C0表示初始放电时刻电池的容量(即电池充满电时的容量)。实验数据集共有200个样本数据。此外,对于每种样本特征,需要进行最小-最大值(min-max)标准化,其变换公式如下

 

(24)

式中:x表示标准化前的样本特征值,min表示样本特征集合中的最小值,max表示样本特征集合中的最大值,x′表示标准化后的样本特征值。

为了验证PSO-GPR算法的有效性,本文将采集的200个样本的前160个样本作为训练数据集DS1,剩余的40个样本作为独立测试数据集DS2。本实验首先在DS1上执行交叉验证用于选取预测效果最佳的模型参数,随后在DS2进行独立测试,并评估预测模型的性能。

6.单亲及后双亲家庭对子女的伤害。随着离婚率日渐攀高，单亲及后双亲家庭越来越多，残缺家庭如处置不当，可使相当多的子女因对父母抵触、不满的情绪而产生失望和厌学情绪。

2.5 精神因素 中枢神经系统受人体内外环境不良刺激的影响，通过交感神经系统的内脏反应使消化功能的调节失去平衡引起食欲减退[14]。良好的神经心理发育有利于饮食行为的学习和饮食习惯的建立。学龄儿童的焦虑抑郁、社交问题、思维问题、注意缺陷、攻击行为越重，其饮食行为问题越多；孤独症儿童的食物接受性更差，食物选择范围更窄，表现出轻微的自我用餐能力缺乏，以及对食物的逃避和病理性恐惧行为[15]。

cov(f(x*))=k(x*,x*)-K(x*,X)×

k(xi,xj)=E[(f(xi)-m(xi))·(f(xj)-m(xj))]

3.2 核函数对GPR模型性能的影响

高斯过程回归的预测性能与所选的核函数有直接联系。为了验证所选的Matern核函数的有效性,本节将基于Matern核的GPR与基于RBF核的GPR和基于EK核的GPR进行性能比较。为了便于描述,上述3种算法依次命名为M-GPR、R-GPR和E-GPR。R-GPR和E-GPR均有两个参数,分别是噪声的标准差σN和核函数的半径γ。M-GPR除上述两个参数外,还有一个参数平滑因子θ。利用传统的网格搜索法对上述3种方法进行寻参,参数范围为:σN∈[1,10],γ∈[2-15,23]和θ∈[0.1,10]。表1描述了10折交叉验证下M-GPR、R-GPR和E-GPR在训练集DS1上的预测性能。

收集资料的过程从横向来说可以在一定程度上扩展了知识的范围，从纵向来说则可以提高学生获取知识的积极性，并在收集资料的过程中提高学习者对信息的分析评价能力、综合能力、运用能力等等。因此在资料收集阶段，就可以实现部分学习目标，有助于提高学习的效率和更好的促进知识转化过程。

唐朝有十二位曾被册立为太子而没能继承皇位者，有八人死后获得了太子谥号，其中有两人被追谥为皇帝，五人为太子谥号，一人被追谥为王，所使用的谥号各有深意。八个谥号中，有三个单字谥，分别是“隐”“让”和“愍”；复字谥有五个，分别是“孝敬”“章怀”“节愍”“惠昭”“庄恪”。复字谥是由单字谥“孝”“敬”“章”“怀”“节”“愍”“惠”“庄”“昭”“恪”这十个字组合而成。无论单字谥还是复字谥，表达的多是褒扬或是哀思之意，没有恶谥的情况。每个谥号的释义有着不同的文化内涵，大致与受谥者的生平事迹相一致或略有溢美，这也是太子地位至高无上在古代国家政治活动中的一种体现。

 

表1 10折交叉验证下M-GPR、R-GPR和E-GPR在训练集DS1上的预测性能

  

算法γMAPE/%γRMSEM⁃GPR3．773．0565R⁃GPR5．886．2160E⁃GPR5．877．7206

从表1中可以观察到,在10折交叉验证下,M-GPR在DS1上的γMAPE值和γRMSE值均低于R-GPR和E-GPR,这表明M-GPR的预测性能优于R-GPR和E-GPR。具体而言,从γMAPE角度分析,M-GPR的γMAPE值相比R-GPR和E-GPR分别降低了2.11%和2.10%。从γRMSE角度分析,M-GPR的γRMSE值对比其他两种算法平均降低了3.911 8,其中较大降幅发生在E-GPR上,达到了4.664 1。

互易性检查的目的是验证该飞轮是否符合试验要求。试验方法是以测点12作为参考点时，激励测点10得出响应曲线；以测点10作为参考点时，激励测点12得出响应曲线。互易性越好，测试的数据越可靠，互易性检测如图6所示。

为了进一步比较M-GPR、R-GPR和E-GPR的预测性能,本文分别计算出3种算法在10折交叉验证下的真实值与预测值之间的误差。图2给出了M-GPR、R-GPR和E-GPR在10折交叉验证下的真实值与预测值的误差曲线。

  

图2 3种算法在10折交叉验证下的真实值与预测值的误差曲线

从图2可以看出,在10折交叉验证下,对于大多数的预测样本,M-GPR的预测误差比R-GPR和E-GPR更小,说明M-GPR的预测值更加接近真实值。由此也符合表1所述的评估指标数据,即M-GPR在训练集DS1上的γMAPE值和γRMSE值均低于R-GPR和E-GPR。

3.3 PSO-GPR与基于传统网格搜索的GPR的性能比较

为了验证PSO-GPR算法的有效性,本文将其性能与基于网格搜索的GPR的性能进行比较。为便于描述,基于网格搜索的GPR被命名为GS-GPR。PSO-GPR和GS-GPR均对3个GPR参数进行优化,参数范围为:σN∈[1,10],γ∈[2-15,23],θ∈[0.1,10]。表2描述了10折交叉验证下GS-GPR和PSO-GPR在训练集DS1上的预测性能;表3描述了GS-GPR和PSO-GPR在独立测试数据集DS2上的预测性能。

 

表2 10折交叉验证下PSO-GPR和GS-GPR在训练集DS1上的预测性能

  

算法γMAPE/%γRMSE算法执行时间t/sPSO⁃GPR3．693．0444725GS⁃GPR3．773．05651398

 

表3 PSO-GPR和GS-GPR在独立测试数据集DS2上的预测性能

  

算法γMAPE/%γRMSEPSO⁃GPR8．074．8740GS⁃GPR8．544．9883

从表2中可以得出,在10折交叉验证下,PSO-GPR在DS1上的预测性能和寻参效率均优于GS-GPR。从预测性能的角度分析,PSO-GPR的γMAPE和γRMSE值相比于GS-GPR分别降低了0.08%和0.012 1;从寻参时间的角度分析,PSO-GPR比GS-GPR少耗时673 s。从表3中可以观察到,在独立测试数据集DS2上,PSO-GPR的γMAPE值和γRMSE值相比于GS-GPR分别低0.47%和0.114 3,这意味着PSO-GPR具有更强的泛化能力。

4 结论

本文主要研究铅酸电池荷电状态(SOC)的预测问题。准确地预测铅酸电池的SOC能够防止电池过度放电,延长电池的使用寿命。为了提高预测准确率,提出了一种基于粒子群优化的高斯过程回归(PSO-GPR)算法。该算法的核心思想是通过粒子群优化算法来解决GPR模型中的超参数选择问题。相比于现有的模型,本文提出的算法能够更有效地预测铅酸电池的SOC,具有广泛的应用价值。

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