0　引言

磁流变液[1](MRF)是由高导磁性微颗粒和非导磁性液体混合而成的智能可控流体,具有对外加磁场的变化十分敏感的流变特性.当外加磁场发生变化时,磁流变液体状态的粘弹性将会发生改变,且所需反应时间极短(ms级),它的这一特性被称为磁流变效应[2]．科学家们利用磁流变液的这种效应可以研制成各种响应迅速的中间传动装置,应用于调剂各类系统的性能,如磁流变阻尼器[3-5]、汽车悬架系统[6]、磁流变离合器[7]和制动器[8]等．

磁流变阻尼器是磁流变液的主要应用,因其磁流变效应而具有可控并响应迅速的阻尼,目前已在汽车座椅、悬挂系统减振、航天军工等工业振动控制领域有了成功的应用．

根据中国贸易促会研究院调查，特朗普抛出对中国出口美国2000亿美元产品加征10%关税的计划以后，美国客商立即提出要我方企业降价11%的要求。

磁流变阻尼器的机械模型是达到设备最理想控制效果的关键方式．本文使用分数阶模型[9-13]来描述磁流变阻尼器的动力学特性.分数阶模型以非整数为阶数,可以将磁流变阻尼器的粘弹特性统一描述,相较于整数阶模型可以更加全面地描述磁流变阻尼器的力学特性．其他建模方法还包括Bingham模型[4]、Bouc-Wen模型[5]等．

在工业振动控制领域,磁流变阻尼器因其可控并响应迅速的阻尼特性成为了优质减振器的良好材料,但是传统的控制策略对振动系统工作时伴随的不确定性仍然有些力不从心,尤其在控制策略的动态性能方面．模型预测控制 (Model Predict Control,MPC)[14-21]作为一种新兴且高效的控制策略,以其预测控制、反馈校正和在线优化等特点可以有效应对振动系统实际运作中的不确定性,能够较大程度地优化振动控制系统的动态性能，目前已在工业生产、航天军工和建筑等行业里得到了越来越多的应用,促进了预测控制和其他工业领域先进成果的结合,实践的同时也在工业控制领域得到了长足的发展[16]．使用模型预测控制对磁流变阻尼器振动系统实施预测控制是一次大胆的尝试和创新．

本文采用模型预测控制(MPC)策略来保证振动系统获得更好的动态性能.模型预测控制是基于有限时域开环最优控制问题的数值优化控制,可以使用系统模型预测未来的控制效果和未来的动作响应,然后以一定的时间间隔对系统性能进行优化,属于局部最优化处理决策(非全局最优)．据不完全统计,模型预测控制已经在石油化工、车辆生产、航空航天、造纸制浆、建筑抗震等全世界4 600多个工业装备和工程控制中得到应用[16]．

本文的结构安排如下:在第1节中,为磁流变阻尼器振动系统建立分数阶模型,并对分数阶传递函数使用Oustaloup方法[13]近似,得出其整数阶高阶近似;第2节中,对磁流变阻尼器振动系统实施模型预测控制,通过预测方程、滚动优化和反馈校正3个步骤实现预测控制,使用实例做Oustaloup方法不同分数阶次的振动系统预测控制仿真实验,得出最佳分数阶次的控制输入、预测输出及误差曲线,验证磁流变阻尼器振动系统的良好动态性能及模型预测控制方案的可行性和稳定性．

1　系统的分数阶模型

1.1　分数阶模型分析

在模型预测控制中,系统的模型用于预测参考轨迹所需要的未来输出和控制工作,并负责提供精确的未来输入轨迹,可以说系统的模型准确性一定程度上决定了预测控制的精度和效果,所以,为磁流变阻尼器振动系统选择合适的建模方法至关重要．

本文选择分数阶建模方法[9-13]为磁流变阻尼器振动系统建立动力学模型.分数阶模型以非整数为阶数,可以将磁流变阻尼器的粘弹特性统一描述,相较于整数阶模型能够更加全面精确地描述磁流变阻尼器的力学特性．在本文中,磁流变阻尼器的粘弹特性可以通过分数阶微分方程推导建立,其中微分方程的阶数可以是任何实数或复数．

北京市房山区作为独立测试区分别于2009年、2012年、2015年参加了由教育部考试中心主持的学生能力国际评价PISA中国独立研究。北京市房山区教育委员会以此为契机，成立了“阅读能力提升项目研究”项目组，组织专家和一线教师深入钻研PISA阅读材料，有针对性地对房山区的语文阅读教学进行诊断和改进，以推动房山区语文教学改革的深入发展，提升阅读教学的品质。

定理1　最常见的Riemann-Liouville(R-L)分数阶微积分定义由下式给出:

 

n-1≤q≤n,

式中,Γ(·)是伽马函数,q是非整数阶次,a0为迭代初始值．

定理2　Caputo分数阶微积分定义也经常被用于工程应用,定义如下:

 

n-1≤q≤n．

为了区分Caputo定义和R-L分数阶微积分定义,为微积分表达式添加额外的顶点C．R-L定义的拉普拉斯变换与分数阶微分和积分的初始值有关,虽然可以找到解决方案,但对这些解决方案的合理物理解释依然很难理解．Caputo分数阶微积分定义的优点是初始值的物理意义与整数阶微积分相同,较容易理解．因此,对于任意实数q,分数阶微积分定义由下式给出:

 

由定义知,上式可化简为

 

为了进一步研究和分析磁流变阻尼器的动态性能,本文使用等效阻尼[9]来代替复杂的阻尼系统:假设c为等效粘性阻尼系数,k为等效粘性阻尼刚度,m为受力物体,施加的力f(t)与m的运动方向相反,于是磁流变阻尼器等效结构模型如图1所示．

  

图1　磁流变阻尼器等效结构模型Fig.1　The equivalent structure model of the magnetorheological damper

在实施模型预测控制之前,需要对分数阶运算符sα或s-α进行近似,因为分数阶微积分的积分项不能直接计算得出,所以需要得到一个对分数阶传递函数的整数阶近似值．本文采用的是Oustaloup递归近似[13]算法,它在指定频率范围内对分数阶传递函数的拟合精度较高,逼近效果较好．Oustaloup近似算法定义如下:

(1)

(2)

因此,经典动力学二阶系统的分数阶微分方程可由下式给出:

 

(3)

为了化简式(3),设则式(3)可以改写为

D2x(t)+A1Dαx(t)+A2x(t)=P(t),

0<α≤1．

与单纯急性缺血造成的创伤性股骨头坏死不同，SNFH的缺血原因更为复杂，与其发病机制密切相关，包括血管内因素(脂肪栓子、血栓)、血管外因素(髓腔脂肪变性、髓内压升高)、激素本身效应(高脂血症)及激素的继发效应等等，上述原因互为因果、相互促进，共同启动和加重了股骨头局部血液循环障碍[1]。Jones提出存在一个缺血的阈值，认为GC引起的脂栓或血栓在理论上与缺血的阈值有关，阈值以上即发生不可逆性SNFH[11]。Drescher等采用放射性微球研究SNFH的血流变化，发现SNFH模型股骨头及邻近区域的血流量值出现不同程度的下降[12]。

(4)

进行拉普拉斯变换得:

在酸醚比3:1、小单体总量和丙烯酸用量不变、引发剂用量为1%、链转移剂用量为0.9%，考察了疏水单体醋酸乙烯酯(VAc)用量对减水剂性能的影响，结果见图3。

0<α≤1．

(5)

Caputo分数阶导数运算符可以和初始值一起使用,被称为复合分数阶振动方程．因此,分数阶模型系统的传递函数可以由拉普拉斯变化得出:

现状干支渠均为土渠，边坡冲刷，底部淤积，输水能力不足。西片区南侧尚有3万多亩 （1 hm2=15亩，下同）耕地，通过引蛇家坝干渠水进行灌溉，需对区域内灌溉水系进行规划整治，以满足近期灌溉要求。

(6)

1.2　Oustaloup近似

由等效模型可以得出单一自由度动力系统二阶模型的动力学方程[11]为

假设固有频率临界阻尼系数阻尼器系数μ=c/cc．所以式(1)可简化为

(7)

式(7)中,极点、零点和增益可以由下式计算:

教师总结：对条件l1⊥l2的转化，思路2用的是勾股定理，思路4用的是平面向量知识，二者虽然角度不同，但实质是一样的，都是通过坐标运算得出结果．思路4之所以能顺利得到k1k2=-1，是因为得到④后并没将其左边展开，而是根据其形式与斜率公式形式的结构特征，计算k1k2．如将④左边展开，则和思路2中的③完全相同．实际上，得到③后，观察其中含有项，而和相乘可以出现因而尝试计算k1k2是不难想到的．

(8)

其中,(ωb,ωh)为给定频率段．值得注意的是,N的值为算法的逼近阶次,N的值越小,近似的整数阶系统阶次越低且越简单,相应的跟踪误差也很大;当N的值变大时,近似的整数阶系统阶次越高且越复杂,虽然跟踪精度随之增大,可计算量也越来越大．因此,Oustaloup近似算法的重点在于逼近阶次N的值的选取,实际系统中逼近阶次的选择是系统近似精度和计算实现的折中．通过不同阶次的实验仿真结果,来确定实际系统模型的最佳逼近阶次．

2　模型预测控制

2.1　预测方程的建立

磁流变阻尼器振动系统经过Oustaloup近似后的离散时间状态空间模型为

(9)

假设磁流变阻尼振动系统的全部状态都是可测量的,为了引入积分以减少或消除静态误差,将离散化的系统状态模型式(9)改写为增量模型:

(10)

其中,各增量由下式定义:

 

(11)

设定初始条件模型预测时域长度为p,控制时域长度为m,在实际应用中上经常有m≤p存在的情况,即在m时刻后系统将不能继续获得控制输入．模型预测控制策略的实施需要在整个预测时域都能得到控制输入,若上述情况发生则不能很好地预测系统的未来状态,所以需要假设控制量在m+1时刻以后保持m时刻的值不变,得到系统的预测方程为

谢友鄞，中国当代著名作家，辽宁省作协副主席。1976年开始发表作品。1991年加入中国作家协会。文学创作一级。著有长篇小说《嘶天》，另有《谢友鄞小说选》、《大山藏不住》等。短篇小说《窑谷》、《马嘶秋诉》分获第八、九届全国优秀短篇小说奖，《火神》获全国首届煤炭乌金奖，长篇小说《嘶天》获辽宁曹雪芹文学奖，荣获国家级、全国性、省部级以上重要创作奖二十多项。谢友鄞最近被网络读者评选为国内最受欢迎的一百位作家之一。

Yp(k+1|k)=SxΔx(k)+Iyc(k)+SuΔU(k)．

(12)

式(12)即为系统的预测方程,其中

 

(13)

式中Su的矩阵为下三角阵形式,这种形式反映了下一时刻控制输入不影响上一时刻预测输出的系统时间因果关系．

廖：原因大概有两方面，其一是对“浮躁”的反感.例如媒体访谈，大多是为了完成他们自己的任务.然而“任务”天天变，但任何一个人都不可能通晓知识的各个领域，所以说了半天却没什么共鸣，甚至会根据采访者内心预设的结论断章取义——如此又何必为非知音者“弹琴”呢？

2.2　开环优化问题的描述与求解

目标函数的选取反映了对系统性能的要求,本文的优化目标是在控制动作变化不太大的前提下使被控输出接近参考输入,并且在整个预测时域中可以采用时变的加权因子(在线优化),具体形式如下:

 

模型预测控制具有在线滚动优化的特点,即其优化目标就有时变的加权因子,可以及时弥补振动系统由于外界干扰或模型失配畸变等引起的不确定性．使用模型预测控制方法可以使磁流变阻尼器振动系统获得更好的动态控制性能,对磁流变阻尼器振动系统实施模型预测控制经过实验证明是完全可行的,而且具有一定的稳定性,对两者结合的研究不仅对模型预测控制理论的实践应用有着重要意义,而且对磁流变阻尼振动控制领域的创新发展也具有重要意义．

(14)

式中,rj(k+i),i=1,2,…,p为第j个参考输入分量;Γy,i为控制输出分量误差的加权因子,Γu,i为控制增量分量的加权因子.预测输出对控制输入的逼近精度取决于两个加权因子的值,理论上希望加权因子越大越好．值得注意的是,如果加权因子Γy,i和Γu,i是时不变的,那么系统也可以离线计算预测增益Kmpc．

设置中间变量ρ:

 

(15)

则优化目标函数可以化简为

J(x(k),ΔU(k),m,p)=ρTρ．

(16)

将中间变量ρ代入系统预测方程,得ρ=Az-b,由ρTρ=(Az-b)T(Az-b)的极值条件得:

(18)

经过计算得到极值解:

(19)

因此得到预测控制k时刻的最优控制序列为

 

SuTΓyTΓyEp(k+1|k),

(20)

其中

Ep(k+1|k)=R(k+1)-SxΔx(k)-γyc(k)．

(21)

2.3　预测控制的反馈校正

模型预测控制理论上只实施最优控制序列第1个元素的控制作用,用以保证控制决策滚动优化过程中的准确性与实时性,基本思想可由下式表示:

Δu(k)=(Inu×nu，0，…，0)1×mΔU*(k)．

荷里路德修道院遗址给我留下了非常深刻的印象。在这残垣断壁中，还能依稀看出修道院原来的模样，粗壮的立柱、长长的廊道、精美的雕刻以及雕刻上附着的绿色斑痕，无不透着岁月的沧桑。

(22)

定义预测控制增益为

s2X(s)+A1sαX(s)+A2X(s)=P(s),

0<α≤1．

(23)

于是系统控制增量可由下式计算:

改变理论知识传授、学生被动接受的传统教学模式，采用以学生为主体、以项目为载体，实施基于典型工作任务的教学模式。将实际工程项目设计成若干个教学项目，每个教学项目划分成若干个任务，以任务驱动的方式实施教学。教学中以学生为主体，教师为主导，以一个个教学项目为主线来展开，把相关的知识点融入教学项目的各个任务中去，层层推进项目，让学生以“做中学”的方式经历项目从构思、设计、实现到运作的完整流程，达到培养学生工程实践能力与素质的目的。

Δu(k)=KmpcEp(k+1|k)．

(24)

最后,得到振动系统k时刻的预测控制作用:

u(k)=u(k-1)+Δu(k)．

(25)

将控制量u(k)作用于系统,并在k+1时刻测量得到x(k+1),计算Δx(k+1)=x(k+1)-x(k)代入系统预测方程得到系统k+2时刻的输出,并得到系统k+1时刻的最优控制序列,再将第1个元素作用于系统,重复上述步骤,即可实现模型预测控制．

其中为方位向降采样数据；Φa∈Na′×Na为方位向随机降采样矩阵，且Φa由0、1元素组成，当数据缺损时将会在对应的位置出现0；En为噪声.

本文选取磁流变阻尼器实例参数A1(s-2)=28.625,A2(s-1)=28.723,控制频率段为(0.01,100),设置参考输入为r=1.8，本文研究的系统属于经典Lagrange二阶系统，故可选取逼近阶次N=5[11]，使用Oustaloup近似方法的不同分数阶次(α=0.1～0.9)对分数阶Lagrange系统模型实现整数阶近似；预测控制方案选择预测时域为6(T=0.01 s),控制时域为4,仿真时间为30，实现磁流变阻尼器振动系统的模型预测控制仿真实验,得到分数阶模型不同分数阶次的预测控制输出和控制量的曲线如图2所示.

  

图2　不同分数阶次的预测控制输出和控制量变化曲线Fig.2　Curves of predictive control output and control quantity at different fractional orders

计算预测输出相对参考输入的误差和控制量变化量,可以得到如图3所示的误差曲线.

  

图3　不同分数阶次的预测控制误差和控制量变化曲线Fig.3　Curves of predictive control error and control variation at different fractional orders

结合不同分数阶次的预测控制输出和控制量的曲线与误差曲线(图2和图3),可以看出当分数阶次为0.6时,系统响应速度较快,预测控制输出与参考输入误差较小,同时控制量的变化幅度较小,满足磁流变阻尼器振动系统的动态性能和控制要求．经进一步的计算与试验,发现当分数阶次取值0.68时,系统对磁流变阻尼器的粘弹性描述效果最好,即对振动系统的控制效果最好(图4和图5)．得出的模型预测控制输出与控制量曲线如图4所示,模型预测控制输出误差曲线与控制量变化曲线如图5所示.

  

图4　分数阶次为0.68时的预测控制输出和控制量变化曲线Fig.4　Curves of predictive control output and control quantity at fractional order of 0.68

  

图5　分数阶次为0.68时的预测控制误差和控制量变化曲线Fig.5　Curves of predictive control error and control variation at fractional order of 0.68

3　结束语

参考文献References

[1]　Ma L,Song W L,Wang R S.Study on shear stress model of magnetorheological fluids with distance weighted factors[J].Smart Materials and Structures,2017,26(6):065009

[2]　Yang X B,Huang Y H,Hou Y Q,et al.An experimental study of magnetorheological fluids on electrical conductivity property[J].Journal of Materials Science:Materials in Electronics,2017,28(11):8130-8135

[3]　Spencer Jr B F,Dyke S J,Sain M K,et al.Phenomenological model of magnetorheological damper[J].Journal of Engineering Mechanics,1997,123(3):230-238

[4]　刘晓梅,李洪友,黄宜坚.磁流变阻尼器的分数阶Bingham模型研究[J].机电工程,2015,32(3):338-342

植被的生长离不开水资源的有效补给，因此，对于各种植被的种植过程需要定时给予水分的补充，特别是对于新移植的植被或树木。对于不同生长环境、不同类型的植被来说，其浇水量及浇水次数都有一定的限制。例如成活生长3年以上的乔灌木，其浇水的次数无需很多，需要结合当地环境因素进行适时适量的水量补给。同时，要针对植被的生长特性，制定合理的浇水方案，增强风景园林景观的养护效果。

2.3 制备放射性生物样品 不同形态的样品，其制备方法也有所不同。植物体常用打孔法或匀浆法，如探究光合作用有机物生成路径实验即是通过研磨小球藻，制备匀浆样品。动物体组织既可采用匀浆法，也可进行细胞组织切片的制作，如探究分泌蛋白合成与运输路径的实验中，采取的方法即制备豚鼠胰腺腺泡细胞的超薄切片。对于沉淀等干物质的样品制备，则需先将其置于70～80℃的烘箱中烘干，并用研钵研磨制取粉末，再放入烘箱烘干，之后取出干燥制成薄膜状样品。液体样品一般可直接进行测量，或利用热风吹、电热板或红外灯进行干燥铺样。如在噬菌体侵染大肠杆菌的实验中，对沉淀物采取薄膜样品制备，而上清液则利用仪器烘干进行铺样检测。

LIU Xiaomei,LI Hongyou,HUANG Yijian.Fractional derivative Bingham model of MR damper[J].Mechanical & Electrical Engineering Magazine,2015,32(3):338-342

[5]　王唯,夏品奇,刘朝勇.基于Bouc-Wen方程的磁流变阻尼器实验建模[J].振动工程学报,2006,19(3):295-301

WANG Wei,XIA Pinqi,LIU Zhaoyong.Experimental modeling of MR damper based on Bouc-Wen function[J].Journal of Vibration Engineering,2006,19(3):295-301

[6]　岳永恒,王茂,赵强.饱和不确定磁流变阻尼器悬架系统反馈控制器的设计[J].汽车工程,2012,34(7):613-617

YUE Yongheng,WANG Mao,ZHAO Qiang.The design of feedback controller for the suspension system with saturated uncertain magneto-theological damper[J].Automotive Engineering,2012,34(7):613-617

[7]　张春光,苗运江,巫峰.汽车磁流变液离合器的设计[J].润滑与密封,2012,37(5):91-94

ZHANG Chunguang,MIAO Yunjiang,WU Feng.Design of automobile magnetorheological fluid clutch[J].Lubrication Engineering,2012,37(5):91-94

[8]　徐静,董雁.磁流变制动器的设计与探讨[J].机械设计与制造,2001(3):34-35

XU Jing,DONG Yan.Design and discussion of magnetorheological fluid arrester[J].Machinery Design and Manufacture,2001(3):34-35

[9]　李卓,徐秉业.粘弹性分数阶导数模型的等效粘性阻尼系统[J].清华大学学报(自然科学版),2000,40(11):27-29

LI Zhuo,XU Bingye.Equivalent viscous damping system for viscoelastic fractional derivative model[J].Journal of Tsinghua University (Natural Science Edition),2000,40(11):27-29

[10]　Das S.Functional fractional calculus for system identification and controls[M].Berlin:Springer Verlag,2008

[11]　Chen B S,Li C Y,Wilson B,et al.Fractional modeling and analysis of coupled MR damping system[J].IEEE/CAA Journal of Automatica Sinica,2016,3(3):288-294

[12]　Poinot T,Trigeassou J C.Identification of fractional systems using an output-error technique[J].Nonlinear Dynamics,2004,38(1/2/3/4):133-154

[13]　Oustaloup A,Levron F,Mathieu B,et al.Frequency-band complex noninteger differentiator:Characterization and synthesis[J].IEEE Transactions on Circuits & Systems Fundamental Theory & Applications,2000,47(1):25-39

[15]　Richards A,How J P.Robust distributed model predictive control[J].International Journal of Control,2007,80(9):1517-1531

[16]　Qin S J,Badgwell T A.A survey of industrial model predictive control technology[J].Control Engineering Practice,2003,11(7):733-764

[17]　Sopasakis P,Sarimveis H.Stabilising model predictive control for discrete time fractional-order systems[J].Automatic,2017,75(C):24-31

[18]　Boudjehem D,Boudjehem B.A fractional model predictive control for fractional order systems[M]∥Baleanu D,Luo A C J,Machado J A T.Fractional dynamics and control.New York:Springer,2012:59-71

[19]　Mayne D Q,Seron M,Rakovi S V.Robust model predictive control of constrained linear systems with bounded disturbances[J].Automatica,2005,41(2):219-224

[20]　Li H P,Yan W S,Shi Y.Continuous-time model predictive control of under actuated spacecraft with bounded control torques[J].Automatic,2017,75(C):144-153

[21]　Madakyaru M M,Narang A,Patwardhan S C.Development of ARX models for predictive control using fractional order and orthonormal basis filter parametrization[J].Industrial & Engineering Chemistry Research,2009,48(19):8966-8979