0　引言

近年来,由于多智能体系统在无人机编队、移动机器人、航天器、舞台演出等方面的广泛应用[1-4],多智能体的协同控制已引起了研究者们浓厚的兴趣．特别地,在舞台装备行业,受益于机械和通信手段的不断丰富与成熟,目前基于多智能体协同控制方法在舞台演出中受到了越来越广泛的应用．协同控制的基本目标是使一组智能体系统完成某些特定的任务,其中最重要的部分就是多智能体的一致性控制,即基于相邻节点间信息交换来设计控制律,使得所有智能体的状态达到一致．

对于多智能体系统的一致性控制的研究可以分成两个方向:一个方向是无领航者一致性[5-6],由于多智能体中没有实际领航者,此类研究需要根据多智能体系统行为进行控制;另一个方向是领航者跟随一致性[7-11],此类研究中领航者会给出特殊的轨迹让系统中的跟随者进行跟踪[9]．文献[12]讨论了多智能体系统网络拓扑结构对于一致性的影响;文献[13]通过设计一个类似能量函数来实现对多智能体的控制．

上述文献的结果都基于多智能体系统的动态模型以及控制器增益不存在不确定性的假设,但在实际应用中由于通信网络中延时、丢包等现象的存在以及外界扰动的存在,使得该假设难以成立．特别地,在某些特定环境中,不法分子可能会对多智能体系统发起攻击,对正常运转的控制器注入虚假信息,造成控制器信号输入的不确定性．而在这种情况下,所设计的控制器方法往往不能达到预定的目标,例如收敛时间将会延长,尤其是在不确定性较强的情况下,不考虑系统的不确定性的设计方法可能会导致多智能体系统无法实现一致性，甚至失稳．最近,文献[14]针对具有控制器不确定性的一致性问题进行了研究,但是忽略了这种不确定性发生的随机性．

本文针对具有控制器随机不确定性的多智能体系统一致性问题,利用李雅普诺夫理论和线性矩阵不等式工具,得到了跟踪误差控制系统渐近稳定的充分条件和控制器的设计方法．最后通过仿真研究,验证了所设计的控制方法的有效性．

很多人都奇怪，为什么自己在别人的打呼声中睡不着，却听不到自己在打呼呢？这是因为，人体神经中枢在向肌肉传递动作信号时还会产生一份信号拷贝，并将其与感觉系统的信号进行比较。如果信号一致，你就对自己的动作将产生的变化有了“防备”，从而减少对自发动作的反应。

1　图论基础

本节引入关于图论的基本概念．令G={v,ε,W}表示一个有向加权图．其中,v={v1,v2,…,vn}表示具有n个节点的集合,ε⊆v×v表示边集合．邻接矩阵W=(wij)N×N,其中矩阵元素wij>0表示第i个节点可得到第j个节点的信息，否则wij=0．

定义节点i的邻居集合Ni={j:wij>0},矩阵为矩阵W的第i行元素的和(称为节点i的出度),则矩阵L=D-W为图G的Laplacian矩阵．对于任意的两个节点i和j,当wij=wji时,称图G为无向图．对于任意的两个节点i和j,若存在下标集合 {k1,k2,…,ks}，满足wik1>0,wk1k2>0,…,wksj>0,则称节点i和j之间存在一条有向连接路径．对于任意的两个节点i和j,若存在至少一条有向连接路径,则称图G为强连通的．在强连通图中,若G的各个节点的入度等于出度,则称图G是平衡的．假设图中包含N个跟随者和1个领航者,对角矩阵M=diag{m1,m2,…,mn}表示为领航者的邻接矩阵,如果领航者是第i个智能体的邻居,则mi>0,否则mi=0．

2　问题描述

本文考虑包含N个跟随者和1个领航者的多智能体系统．领航者的离散时间动态模型如下:

(1)

其中x0∈Rn是领航者的状态,y0∈Rq是领航者的输出,A和C是已知的常数矩阵．

假设第i个跟随者的离散时间动态模型为

 

(2)

则系统(6)可以转化为

本文首先考虑状态反馈控制器设计问题．特别地,在传统的多智能体系统研究中往往构造以下控制器,以实现一致性:

很多夫妻之所以会走到离婚的那一步，往往是因为平时没有及时处理婚姻中出现的各类问题或矛盾。当婚姻中出现问题的时候，夫妻之间需要及时沟通。出现问题并不可怕，可怕的是当问题出现后，彼此熟视无睹，互不相让，导致婚姻中的问题越堆越多。夫妻间应坦诚相处，做到相互关照，这样比赠送礼物更令人高兴。

 

Kmi(xi(t)-x0(t)),

(3)

其中K是需要设计的控制器增益矩阵．由于信息传输的不确定性、外部的扰动和不法分子的攻击等因素,控制器可能发生随机不确定性．因此,本文考虑如下控制器:

 

(K+α(t)ΔK)mi(xi(t)-x0(t)),

(4)

其中E{α(t)=1}=α表示控制器不确定性发生率．ΔK=MΔ(k)N,并且M和N均为已知常数矩阵,‖Δ(k)‖≤I．

（3）含L-阿拉伯糖的NGM培养基：配制L-阿拉伯糖浓度分别为5、10、15、20、40 mmol/L，然后按1：1与线虫混合，再涂布到含葡萄糖的NGM培养基，得到L-阿拉伯糖的终浓度分别是2.5、5、7.5、10、20 mmol/L。

定义跟踪误差信号ei(t)=xi(t)-x0(t),将式(4)代入(1)和(2)中可得:

 

(K+α(t)ΔK)miei(t),

(5)

其中eij(t)=xi(t)-xj(t)．定义:

 

W=[wij]N×N,

M=diag{m1,m2,…,mN},

 

则Laplacian矩阵L=Υ-W．根据以上定义可得:

以标准化思维和手段助力“河长制”。采取群众评议等形式，或参照国内外相关政务服务标准的方式，了解公众在水环境治理中对政府的期望，尽快理顺管理体制，及时研究制定出台“河长制”标准化实施细则，以进一步规范化、常态化、精细化落实“河长制”。按照“简约化、统一化”原则，依托政府政务信息平台，将“河长制”工作性质统一定义，相关组织、人员、职责、监督、管理等事项条例性列出，进行有效信息匹配。通过大数据分析与云计算系统，分解量化各项指标，为水环境治理提供技术支撑。

 

(6)

其中

⊗A)+(L+M)⊗[B(K+α(t)ΔK)]．

天线的电压驻波比（Voltage Standing Wave Ratio，VSWR），在3.1～12 GHz的频段内，有3个阻带，分别是3.3～3.8 GHz，5～6.1 GHz，7.9～8.8 GHz，其余频段都保持VSWR小于2，满足了UWB频段范围和三陷波频段要求。

引理1　对于给定的K1,K2和K3,且则

 

(7)

其中⊗A)+Λ⊗[B(K+α(t)ΔK)],Λ是由L+M相似对角化所得的对角矩阵．从Λ的结构上看,系统(6)的稳定性等价于以下N个子系统的稳定性:

(8)

(9)

水泥土浆液搅拌法有两种形式：一种是粉体喷搅拌法，另一种是深层搅拌法。一般的市政建筑工程地基深度都较浅，所以适合用深层搅拌法，这种搅拌法适合深度在10 m左右的地基。深层搅拌法是借助搅拌设备将地基中的土和水泥窑混合在一起，通过固化剂的作用使地基中的软土凝结在一起构成一个整体，再利用水泥使其在底部形成连续的坚硬墙体。

3　主要结论

本节将首先给出关于闭环跟踪误差系统(6)渐近稳定的充分条件,之后给出控制器增益的设计方案．

陀思妥耶夫斯基是罗扎诺夫文化叙事的主角[1]，他为罗扎诺夫的文学批评活动提供了丰富的精神资源。 罗扎诺夫在其第一部出版物《论理解》(О понимании，1886年)中，首次谈到了作为宗教思想家的陀思妥耶夫斯基。 此后发表的有关陀思妥耶夫斯基的论文有数十篇之多。 罗扎诺夫的批评著述，有不少新颖的观点，为我们理解陀思妥耶夫斯基的创作提供了启发。

 

(10)

对所有的i∈{1,2,…,N}都满足,则闭环跟踪误差系统(6)是渐近稳定的,即系统实现一致性．其中λi是L+M的特征根．其中,Ψ12=A+λiBK+αλiBMΔ(k)N,Ψ13=λiBMΔ(k)N．

证明　由于矩阵L+M是对称阵,则令

⊗

其中xi∈Rn是第i个跟随者的状态,ui∈Rm是需要设计的控制器,yi∈Rq是跟随者的输出,B是已知的常数矩阵．

 

(11)

对于所有都成立,当且仅当存在一个标量ε>0使得以下不等式成立:

定理1　对于给定的控制器增益K,如果存在P=PT>0且以下的矩阵不等式:

资金使用透明度低，流向不明确。轻松筹平台通过网络实现募集筹款，筹集资金使用去向未能做到公开透明，导致某些项目方违规使用捐赠资金，甚至可能会虚设项目，骗取公众捐助，如“罗一笑”事件和德国留学生诈捐事件。导致捐助人产生受骗心理，对轻松筹信任度降低。

(12)

为了分析系统的稳定性,本文构造以下的Lyapunov函数:

 

(13)

应用所构造的Lyapunov函数,可得:

E[ΔVi(t)]=E[Vi(t+1)-Vi(t)]=

(14)

其中

由此可知，研究区地下水一旦被污染，以现有水力条件仍难以控制。根据模拟结果和研究分析，提出以下几点建议：

 

Θ=ΞTPΞ+θ2(λiBΔK)TP(λiBΔK)-P,

 

为保证系统(6)渐近稳定,则

Θ<0,

(15)

使用Schur补性质可得如果不等式(10)成立,则不等式(15)成立．证明完毕．

★营养学家说，碳酸饮料喝多了，会引起身体不适，我觉得有道理，昨天我把老婆的碳酸饮料喝了，现在我的脸还没消肿呢。

基于定理1,下面给出控制器增益的求解方法．

定理2　对于给定的标量ε>0,如果存在Q=QT>0且以下的矩阵不等式:

(16)

对所有的i∈{1,2,…,N}都满足,则闭环跟踪误差系统(6)是渐近稳定的,即系统实现一致性．

其中

证明　对不等式(10)分别左乘diag{P-T,P-T,P-T}和右乘diag{P-1,P-1,P-1},令Q=P-1,可得:

 

 

 

然后使用引理1可得式(16)．

当系统状态无法全部获取时,可以利用输出设计静态输出反馈控制器,具体如下:

 

(K+α(t)ΔK)mi(yi(t)-y0(t))．

(17)

基于静态输出反馈的控制器求解可以通过以下结论得到．

推论1　对于给定的标量ε>0,如果存在P=PT>0和Q=QT>0且以下的矩阵不等式:

 

(18)

成立,则基于静态输出反馈的控制系统渐近稳定．

证明　按照之前的推导可直接得到,因此证明过程省略．

在定理2中,式(16)是一个线性矩阵不等式,可以利用许多计算机软件求解．但是如果系统状态未知时,式(16)将会对应一个双线性矩阵不等式(18),也就是令P-1=W,此时很难设计控制器增益K．幸运的是,有不少算法可以解决这个问题,比如锥补线性化(CCL),控制器增益K可以通过求解一个最优化问题求得．为此,首先定义以下矩阵不等式:

 

(19)

(20)

其中W×P=I．具体的控制器设计算法已经在算法1中给出．

厉玲是中国零售业的元老级人物，人称“百货女王”。在这本书中，厉玲将自己25年的零售从业经验高度提炼为关于零售本质的规律和方法。其最核心的部分，是对于人的关注。希望读者能够从这本书中领悟到关于零售的本质，从而在零售的新世界中一起看到一些原本看不到的东西。

该位置是操纵列车常用制动，使列车正常缓慢停车或调整运行速度所使用的位置。包括初制动位和全制动位，两者之间是制动区。

  

算法1输出反馈控制器算法设计第1步找到可行解集合(P(0),W(0),K(0))满足(19)和(20),并设k=0.第2步解决最优问题:mintr{P(k)W+W(k)P},满足(19)和(20).第3步将第2步求得的(P,W,K)代入(19),判断是否成立.若成立则输出可行解,并退出.第4步如果k>N,则退出.N为选取的最大步长.第5步设k=k+1,(P(k),W(k),K(k))=(P,W,K)返回第2步.

4　计算机仿真

在本仿真中,假设系统具有3个跟随者,相互之间的通信如图1所示,并假设每个智能体之间连接权重值为1．跟随者的动力学模型是由一个二阶模型来描述:

则系统(6)是渐近稳定的．

(21)

其中ri,vi和ui分别表示第i个智能体的位置、速度和控制输入．式(21)可建立以下状态空间模型:

(22)

  

图1　网络拓扑结构Fig.1　Network topology structure

假设采样周期T=0.1 s,则离散时间系统状态空间模型:

定义1　如果对于每个初始条件e(0)都满足下面的不等式:

(23)

其余系统参数如下:

α=0.8,M=0.1×BT,N=0.2×A,

 

基于上述的参数并且根据所提出的控制器增益求解算法,得到一个可行解:

 

为了描述一致性的效果,本文中各智能体的初始状态设置如下:

 

 

仿真结果如图2—5所示．其中图2和3表示的是3个跟随者的跟踪性能,而图4和5表示的是3个跟随者的跟踪误差,可见系统状态最后达到一致,即实现一致性控制目标．

  

图2　位置跟踪性能Fig.2　Position tracking performance

  

图3　速度跟踪性能Fig.3　Speed tracking performance

  

图4　位置跟踪误差Fig.4　Position tracking error

  

图5　速度跟踪误差Fig.5　Speed tracking error

5　结束语

本文研究了控制器存在随机不确定性的多智能体系统一致性问题．假设智能体连接网络拓扑是无向、固定和连通的,而且每个个体的控制器存在随机不确定性,我们分别给出了基于状态反馈和输出反馈的闭环系统状态空间模型．应用基于李雅普诺夫稳定性理论,得到了一种保证误差系统状态渐近稳定的充分条件．特别地,可以通过求解一组线性矩阵不等式求得状态反馈控制器,最后应用计算机仿真验证了该结论的有效性．

参考文献References

郭如才指出，生态文明建设是中国特色社会主义事业总体布局的构成部分，建设生态文明符合我国经济社会发展趋势和规律，有利于解决当前我国经济社会发展面临的突出矛盾和问题；顺应了全国人民的新期待，是以人为本的必然要求；适应了国际形势的新变化，有利于维护国家能源安全，建立负责任大国的形象，并有利于我国抢占下一轮国际竞争的制高点，赢得发展的主动权［21］。

[1]　Hu J W,Xu Z.Distributed cooperative control for deployment and task allocation of unmanned aerial vehicle networks[J].IET Control Theory & Applications,2013,7(11):1574-1582

[2]　Qiu Y L,Chen F,Xiang L Y.Distributed adaptive coordinated tracking for coupled non-holonomic mobile robots[J].The 26th Control and Decision Conference,2014,8(18):253-257

[3]　Li S H,Wang X Y.Finite-time consensus and collision avoidance control algorithms for multiple AUVs[J].Automatica,2013,49(11):3359-3367

[4]　Zhou N,Xia Y Q,Fu M Y,et al.Distributed cooperative control design for finite-time attitude synchronisation of rigid spacecraft[J].IET Control Theory & Applications,2015,9(10):1561-1570

[5]　Li Z K,Duan Z S,Chen G F.Dynamic consensus of linear multi-agent systems[J].IET Control Theory & Applications,2011,5(1):19-28

[6]　Moreau L.Stability of multiagent systems with time-dependent communication links[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2005,50(2):169-182

[7]　Zhang D,Shi P,Yu L.Containment control of linear multi-agent systems with aperiodic sampling and measurement size reduction[J].IEEE Transactionson Neural Networks and Learning Systems,2017,DOI:10.1109/TNNLS.2017.2784365

[8]　Zhang D,Xu Z H,Karimi H R,et al.Distributed H∞output-feedback control for consensus of heterogeneous linear multi-agent systems withaperiodic sampled-data communications[C]∥IEEE Transactions on Industrial Electronics,2017,DOI:10.1109/TIE.2017.2772196

[9]　Liu Y,Jia Y.Adaptive leader-following consensus control of multi-agent systems using model reference adaptive control approach[J].IET Control Theory & Applications,2013,6(13):2002-2008

[10]　Tang Y T.Leader-following coordination problem with an uncertain leader in a multi-agent system[J].IET Control Theory & Applications,2014,8(10):773-781

[11]　Peng Z H,Wang D,Zhang H W,et al.Distributed model reference adaptive control for cooperative tracking of uncertain dynamical multi-agent systems[J].IET Control Theory & Applications,2013,7(8):1079-1087

[12]　Justh E W,Krishnaprasad P S.A simple control law for UAV formation flying[R].ISR Technical Research Report,2001,TR 2002-38

[13]　Tanner H G.Flocking with obstacle avoidance in switching networks of interconnected vehicles[C]∥IEEE International Conference on Robotics and Automation,2004,3:3006-3011

[14]　Guo X G,Wang J L,Liao F.Non-fragile H∞ consensus of linear multi-agent systems with interval-bounded variations[C]∥The 23th Mediterranean Conference on Control and Automation,2015:16-19