0　引言

由于二维系统的理论重要性和实际应用性,近些年来二维系统受到众多学者的研究和关注.在实际生活中,许多系统可以建模为二维系统,如重复过程、气体吸收、线性图像处理[1-4]和迭代学习控制[5-6].然而这些应用系统容易受到突然变化的影响,如飞行控制系统、电力电子和混沌发生器[7-8],这种现象可以通过切换模型来描述,假定系统通过切换信号在几个模型之间切换运行[9-10].切换系统是一类重要的混杂系统,它包括有限个子系统并且通过切换信号在子系统之间进行切换.近几年来二维切换系统也引起广泛关注,且得到一些初步的结果.例如,二维切换系统的稳定性分析和镇定控制问题[11-12]以及二维切换系统的异步控制问题[13].众所周知,二维系统的模型包括FM模型[14]、Roesser模型[15]、Attasi模型[16]和Gereral模型[17].其中,Roesser模型、Attasi模型和Gereral模型可以看作是FM模型的特例,因此本文针对二维切换系统的FM状态空间模型展开研究.

耗散性,意味着系统内部的能量不超过外部为系统所提供的能量.耗散性理论最早由Willem[18]提出,Hill等[19]对其进行了推广.耗散理论在控制领域至关重要,为控制系统的设计提供一个统一框架.到目前为止,已经有许多和耗散性相关的结论,如Li等[20]考虑了离散时间非线性切换系统的耗散性问题;Wang等[21]研究了二维FM系统的耗散稳定性分析和控制问题.

在本文中,二维切换系统的FM 状态空间模型的耗散稳定性问题以及耗散镇定控制器的设计问题得到解决.主要的研究思路为:首先给出二维(T,S,R)-δ-耗散性的定义,然后提出保证系统满足渐近稳定性和二维(T,S,R)-δ-耗散性的条件,接着进行耗散镇定控制器的设计,最后通过一个数值算例来验证所设计控制器的有效性.

1　问题描述

考虑以下二维切换系统FM状态空间模型:

大力推进基本公共文化服务均等化。提升新生代农民工文化素养，是缓解城乡居民交往互动心理隔阂和文化整合的基本条件。要大力推进城市基本公共文化服务均等化建设，推动图书馆、科技馆、文化馆等城市公共文化资源向新生代农民工开放。城市公共文化活动及社区活动应积极吸纳农民工群体参与，帮助他们提升素养，增加城乡居民接触机会，创造互相接受、互相尊重、互相学习的城乡居民交往互动文化社会环境。

xi+1,j+1=A1(ri,j+1)xi,j+1+A2(ri+1,j)xi+1,j+B1(ri,j+1)ui,j+1+B2(ri+1,j)ui+1,j，

yi,j=C(ri,j)xi,j+D(ri,j)ui,j，

(1)

其中,xi,j∈Rnx表示状态向量,ui,j∈Rnu表示控制输入信号,yi,j∈Rny表示测量输出信号,ri,j∈N表示切换信号,其中N={1,2,…,M},M表示子系统的个数.矩阵A1(ri,j+1),A2(ri+1,j),B1(ri,j+1),B2(ri+1,j),C(ri,j),D(ri,j)为已知的常系数矩阵.

张培林告诉记者，医疗机构成本管理的难点在于技术难度与社会学难点两个方面，技术难度涉及样本量大、统一核算归类、成本分摊、信息化支撑等方面；社会学难点是指医学的伦理学与卫生经济学的相关性，现行体制中由于市场性与公益性的界定不清晰，医院发展难免存在“逐利与医者仁心的人道主义”形成的悖论纠结。

根据一维系统(T,S,R)-δ-耗散性的定义[22-23],下面给出系统(1)满足二维(T,S,R)-δ-耗散性的定义:

定义1[24]　给定标量δ>0,给定矩阵T,S和R,其中T≤0,R是实对称矩阵,且存在矩阵T*,使得如果不等式

 

法国迈特罗芝集团（metrologic group）成立于1980年，是专业制造检测系统及服务的公司。主要业务范围包含：装备或者改造三坐标测量机（MMT），在线检测系统供应、培训、维护及校准MMT。目前，其销售网络遍布全球17个国家和地区，并在美国、德国及意大利建立有分公司。客户是汽车及航空制造集团及其供应商，3D测量系统的机器制造生产商。

一是尽快争取出台文件，将基层水利组织统一确定为县级水行政主管部门的派出机构，定性为公益性事业单位，受当地县级（市、区）水行政主管部门和镇人民政府（街道办）的双重领导，以县管为主。二是应将基层水利组织统一定性为全额财政拨款类事业单位，编内在职人员工资经费及退休人员退休金全额列入县级财政预算，工资和各类津贴补贴按事业单位工作人员的标准由县级财政核发。三是机构设置可以根据各地具体实际情况考虑，可以按流域或水系设立。

(2)

在零边界条件下,对于任意的Ti≥0和Tj≥0均成立,那么就称系统(1)是严格二维(T,S,R)-δ-耗散的.

引理1[11]　如果存在矩阵P(p)>0,P(q)>0和矩阵Q(p)>0,∀p,q∈N,使得以下线性矩阵不等式成立:

 

(3)

其中

 

 

diag{…}表示分块对角矩阵,那么系统(1)是渐近稳定的.

线性矩阵不等式(5)说明Ψ<0,则对于任意的ξ≠0均有J<0.因此可以得到以下线性矩阵不等式

ЖZ<0,

(4)

其中sym{A}表示A+AT.

2　耗散稳定性分析

基于前面讨论的二维切换系统的模型以及耗散性定义,本节主要对二维切换系统的耗散稳定性进行分析,并给出保证二维系统(1)满足(T,S,R)-δ-耗散性及稳定性的条件.

定理1　给定标量δ>0,给定矩阵T,S和R,R是实对称矩阵,其中T≤0,且满足如果存在正定矩阵P(p)>0,P(q)>0和Q(p)>0,∀p,q∈N使得

Ψ

(5)

其中

 

 

 

最后根据定义1可以判断系统(1)是严格二维(T,S,R)-δ-耗散的.

 

 

 

则称系统(1)是渐近稳定和严格二维(T,S,R)-δ-耗散的.

证明

首先,构造如下指标函数:

J

 

 

 

(6)

根据式(1)和(6)可得:

zi，j=E(ri，j)xi，j+F(ri，j)ui，j+G3(ri，j)ωi，j.

(7)

其中有

 

 

引理2[25]　给定矩阵X,Z,Π,如果存在一个矩阵Y满足sym(XTYZ)+Π<0当且仅当以下投影不等式成立:

 

 

 

 

(8)

根据式(8)可得:

 

 

 

 

 

 

 

 

⋮

 

 

 

 

 

对以上线性矩阵不等式组求和得到:

 

 

证明

 

 

 

 

 

 

 

⋮

将外部期待内化为内部需要。通过宣传、讲解、辨析等途径，让工科新教师清楚认识到学生、学校、社会对其的期待，认识到自身承载的社会责任与角色担当，促进其将外部的角色期待内化为内在的培训需要。

 

 

 

接着,对不等式两边求和得:

 

 

 

(9)

对式(9)进行变形得:

 

 

(10)

R+δI，

xi+1，j+1=A1(ri，j+1)xi，j+1+A2(ri+1,j)xi+1,j+

 

 

通过引理1可以判断系统(1)是渐近稳定的.则定理得证.

定理2　给定标量δ>0,给定矩阵T,S和R,R是实对称矩阵,其中T≤0,且满足如果存在正定矩阵P(p)>0,P(q)>0和Q(p)>0,p,q∈N使得:

 

(11)

其中,

 

则系统(1)是渐近稳定和严格二维(T,S,R)-δ-耗散的.

根据求和后的线性矩阵不等式可构造如下线性矩阵不等式组:

线性矩阵不等式(5)可以写成如下形式:

 

 

 

(12)

对上式运用Schur定理可得：

 

(13)

式(13)左乘对角阵diag{I,I,P(q),I}T,右乘对角阵diag{I,I,P(q)，I}可以得到式(11).证毕.

3　耗散状态反馈控制器的设计

本节基于二维切换系统耗散稳定性的分析结果,为二维切换系统设计具有耗散性能的状态反馈控制器.首先考虑如下二维切换FM系统:

下面,令系统(1)中的ui,j=0.根据定理1,有

B1(ri，j+1)ui，j+1+B2(ri+1,j)ui+1，j+

G1(ri，j+1)ωi，j+1+G2(ri+1，j)ωi+1，j,

J=ξTΨξ,

(14)

其中,xi,j∈Rnx表示状态向量,ui,j∈Rnu表示控制输入,ωi,j∈Rnω为外部扰动,zi,j∈Rnz是控制输出,ri,j表示切换信号.矩阵A1(ri，j+1),A2(ri，j+1),B1(ri，j+1),B2(ri，j+1),G1(ri，j+1),G2(ri，j+1),G3(ri，j),E(ri，j),F(ri，j)为已知的常系数矩阵.设计状态反馈控制器的形式为

ui,j=K(ri,j)xi,j,

农村中学生的心理健康教育工作事关下一代的成长和发展，是一项具有重大意义的教育工作，必须从思想上提高认识，从制度上加强管理，从措施上进行深化，切实形成学生心理健康成长的机制和环境，把农村中学生心理健康教育工作做实做好。

(15)

其中K(ri,j)表示控制器的增益．由(14)和(15)可得相应的闭环系统为

对于金融业而言，大量的用户、长期的运营产生了海量的数据，包括存款贷款、客户信息、理财投资等。通过人工智能技术进行数据分析，可以更有效地勾勒用户画像，制订个性化、智能化的客户方案，提供友好的智能客服助手，从而达到提升用户粘性和吸引新的优质客户的目标。在互联网+金融的背景下，金融服务会更多依赖信用机制，以降低呆账、坏账的概率，实现风险控制。例如蚂蚁金服将人工智能应用到互联网小贷、保险、征信、理财、客户服务等多个领域，将虚假交易率降低了近10倍。芝麻信用通过分析用户在阿里巴巴业务体系内的行为得出不同芝麻分，并放以不同金额的消费贷款。

 

zi,j=[E(ri,j)+F(ri,j)K(ri,j)]xi,j+G3(ri,j)ωi,j,

血，喷涌着，殷明有些惊慌失措，他狠劲地压住了血管，抽出卫生纸，一层一层地缠绕着。血慢慢地止住了。呆呆地坐了半晌，他又找出云南白药，开始处理伤口。总算弄好了，他在镜子前理理头发，深深呼了口气，拉长袖子，似乎不太看得见受伤的部位了。

(16)

其中的参数矩阵为

 

B2(ri,j+1)K(ri,j+1)],

 

那么,相应的二维(T,S,R)-δ-耗散性能可给定为

 

 

(17)

然后根据定理1得出如下引理:

引理3　给定标量δ>0,给定矩阵T,S和R,R是实对称矩阵,其中T≤0,且满足如果存在正定矩阵P(p)>0,P(q)>0和Q(p)>0,∀p,q∈N使得：

(1)通过分析关键词节点大小，可知在整个社会网络图谱中，创客教育处于中心位置，对整个网络图谱的作用最强。其次是创客、创客运动、创客空间等关键词，反映了当前研究热点。通过查询文献发现，研究主要集中在创客教育与创客、创客运动和创客空间之间的关系等方面。

(18)

其中

 

 

 

 

 

 

 

则称系统(16)是渐近稳定和严格二维(T,S,R)-δ-耗散的．

注1　由于P(ri,j)和Q(ri,j)都是多维系统矩阵,所以通常求解K(ri,j)的方法将不再有效．因此,本文将集中于解决此问题并得出如下结论：

定理3　给定标量δ>0,给定矩阵T,S和R,R是实对称矩阵,其中T≤0,存在一般矩阵则下面两个条件等价:

1)式(18)和ЖR<0,成立,其中

 

(19)

2)存在一个对角矩阵Jd=diag{J,J}使得:

 

(20)

其中,

综上所述，UKA手术具有手术时间短、总失血量少、术后住院天数少等特点。但无论是UKA或是TKA手术方式，术后隐性失血占总失血量百分比均较大，且手术时间与围手术期总失血量呈明显正相关。临床医生应提高手术技术，手术过程中简化手术步骤，缩短手术时间以减少围手术期总失血量；术后警惕隐性失血的状况，尤其应了解TKA手术治疗单侧间室膝骨关节炎时围手术期隐性出血量明显增加。重视围手术期的护理与治疗，对比术前与术后3 d Hb和Hct的变化有助于及时发现隐性失血，降低围手术期风险。

 

 

 

证明　线性矩阵不等式(18)可以转化为

财务公司的产业链金融服务不仅涉及到企业集团的各类财务信息，同时还需要将企业集团产业链相关的上下游企业的财务信息一同纳入处理和分析范围当中，所以财务公司需要完成较繁重的信息管理任务。现阶段很多财务公司在产业链金融中的信息管理能力有限，不仅缺乏专业的软硬件设施来快速收集相关财务信息，同时在控制财务信息质量方面也不够理想。财务公司对各类财务信息的处理和分析能力相对不足，很多时候只是片面地从财务角度来分析各企业的运营情况而没有深层次地发掘其金融服务的需求。

 

(21)

定义X,Y,Z分别为

X=JT,　Z=I,

 

然后条件1)和2)的等价关系可以根据投影引理得到．为了得到状态反馈控制器的增益矩阵K(ri,j),可以将矩阵T*,S,R分割为如下形式:

 

 

(22)

基于定理3可得如下结论:

定理4　给定标量δ>0,给定矩阵T,S和R,R是实对称矩阵,其中T≤0,且满足如果存在矩阵J,Y(p)和正定矩阵P(p)>0,P(q)>0和Q(p)>0,∀p,q∈N使得:

想要达到理想的ISO14001绩效，需要企业有较强的学习能力、知识整合及较强的落实能力。通过认证机构的审核，能有效降低受审核企业知识获取成本，发现企业自身在长期的经营管理活动中忽视的问题，结合财务管理系统，优化业务流程。结合企业财务管理及内部控制现状，在某种程度上，可以说认证机构审核延长了企业财务管理的触角，对企业的内部控制起到了很好的补充作用。

 

(23)

其中

多媒体课堂教学调动各项感官，富有趣味性，增加师生互动，符合学生对课堂的期待。目前尚存在一些问题，如教师过度使用多媒体，讲课速度快，容量大，学生难以跟上节奏；部分学生由于学习风格及习惯等对多媒体教学模式接受度不高。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

则称系统(16)为渐近稳定和二维(T,S,R)-δ-耗散的．

另外,控制器(15)的增益矩阵被给定为K(p)=Y(p)JT．

证明　定义

 

 

 

 

则不等式(23)可以写为

 

(24)

其中

 

 

 

 

 

 

不等式(20)说明J+JT>P(q)>0,J和Jd均为非奇异矩阵．相反的,不等式(24)说明J+JT>P(q)>0,则可以确保J为非奇异的．定义不等式(20)可以通过不等式(24)分别左右乘对角阵和对角阵得到．证毕.

4　实例仿真

本节将通过一个数值实例来验证设计控制器的有效性．所选系统具有两个子系统并且具有如图1所示的切换信号．

  

图1　切换信号Fig.1　Switching signal

实例1　考虑二维切换系统(14)具有两个子系统,且子系统的矩阵参数如下:

1)子系统1

 

 

 

 

F(1)=[-0.1].

2)子系统2

 

 

 

 

F(2)=[0.5].

二维(T,S,R)-δ-耗散性能的参数δ=0.2,且参数矩阵被给定为

 

 

 

 

根据不等式(23)得到控制器的增益矩阵K(1)和K(2)分别为

 

 

为了验证所设计控制器的有效性,选择如图1所示的切换信号,其中“1”和“2”分别表示子系统1和子系统2．图2和图3描述了相应闭环系统的状态响应,并清楚地显示出通过耗散状态反馈控制器后系统为稳定的．

  

图2　闭环系统的状态响应x1(i，j)Fig.2　State x1(i，j) of the closed-loop system

  

图3　闭环系统的状态响应x2(i，j)Fig.3　State x2(i，j) of the closed-loop system

5　主要结论

本文主要研究了二维切换FM系统的耗散稳定性以及耗散镇定控制器的设计问题,并给出了二维切换系统渐近稳定和满足 (T,S,R)-δ-耗散性的充分条件.然后通过解决一系列线性矩阵不等式问题来设计耗散镇定控制器.最后给出一个数值实例来验证设计控制器的有效性.

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