面齿轮传动是一种新型的齿轮传动形式。因其具有转矩分流、承载能力强、重合度大等优点，早在20世纪50年代，国外学者Emilio和Sarri.O.E等就针对正交面齿轮齿根根切问题开展了研究。Litvin等[1]分析了面齿轮的啮合原理、接触齿面的接触轨迹及面齿轮的齿面方程。Litvin还将面齿轮传动应用于Apache直升机的动力分扭传输系统中[2]。Michele等[3]在考虑面齿轮啮合传动两轴线相交或交错的不同形式下，给出了面齿轮齿间载荷分配方法。Barone等[4]基于ANSYS对面齿轮三齿模型进行了加载分析，给出了轮齿的接触应力、弯曲应力及其他性能参数，并研究了含有安装误差模型和小轮修形后的加载分析。朱如鹏等[5-9]对面齿轮传动开展了大量研究，主要包括：面齿轮的几何设计、面齿轮加工基本原理及仿真分析等。方宗德等[10-12]研究了斜齿面齿轮的齿顶变尖、根切以及面齿轮副拓扑修形设计及啮合性能等问题。目前国内外对于正交面齿轮齿根过渡曲面的理论研究成果较少，齿根过渡曲面对正交面齿轮弯曲强度影响的研究未见报道。

本文依据面齿轮加工啮合原理和插齿理论齿廓包络面方程，建立正交面齿轮理论齿廓，导出齿根过渡曲面方程，并分别给出齿顶尖角插齿刀和齿顶圆角插齿刀范成加工所切制面齿轮的齿根过渡曲面。文中还以内切抛物线理论为基础，给出了正交面齿轮轮齿的最大弯曲应力位置。最后利用ANSYS有限元软件研究了齿根过渡曲面对正交面齿轮弯曲强度的影响并验证理论分析的正确性。

1 正交面齿轮几何模型

1.1 加工坐标系与刀具齿面方程的建立

正交面齿轮传动是一种圆柱齿轮与圆锥齿轮相啮合的齿轮传动。正交面齿轮齿面的插齿加工是基于插齿刀与被加工面齿轮的范成运动而切制的，其加工啮合原理如图1所示[5]。根据面齿轮的包络原理，现利用四个标架对正交面齿轮的啮合传动进行分析，SS0(OS0XS0YS0ZS0) 和S20(O20X20Y20Z20)是两个定标架；SS(OSXSYSZS)是与刀具S固联的动标架，随刀具旋转；S2(O2X2Y2Z2)是与正交面齿轮2固联的动标架，随面齿轮2旋转。ZS0和ZS是刀具旋转轴，Z20和Z2是面齿轮旋转轴，其交点为O。ZS0(ZS)与Z20(Z2)夹角γ=90°，如图2所示。

翻转课堂(Flipped Classroom)，即在信息化环境中，教师提供以教学视频为主要形式的学习资源，学生在课前完成对各种学习资源的观看及学习，课堂上师生共同完成作业答疑、协作探究和互动交流等活动的一种教学模式[13]。该模式颠倒了传统的“课上教师讲授，课后完成作业”的教学安排，已为众多教师所熟知并成为全球教育界关注的教学模式[14]。

  

图1 正交面齿轮加工啮合示意图Fig.1 Schematic diagram of processing gear of orthogonal face gear

  

图2 正交面齿轮加工坐标系Fig.2 Machining coordinate system of orthogonal face gear

根据图2，由标架SS到标架S2的坐标变换矩阵可表示为

M2,S=M2,20M20,S0MS0,S=

 

(1)

带有齿顶尖角和带有齿顶圆角的插齿刀的结构示意图分别如图4 (a)、(b)所示。

虽然蔬菜的腌制已经有非常悠久的历史，腌制的蔬菜深受人们的喜爱，但是这些腌制的食品中含有亚硝酸盐，亚硝酸盐的含量如果过高，人体在食用之后不仅会出现组织缺氧等现象，严重时还会引发癌变[6]。对食品中的亚硝酸盐进行具体测定时，需要与实际情况进行结合，将所有样品的温度控制在35℃以下，并且保证一定的干燥性。脂对亚硝酸盐含量测定的影响如表3所示。

主题出版重在“主题”，讲求的是社会效果，能否引发读者认知、态度和行为层面发生变化，而议程设置正是关注于人的“认知”层面。各出版社围绕同一主题进行出版，其实就是引导人们“想什么”，使读者将注意力集中到特定的问题上。多形式的同主题内容产生叠加效果，使该主题不断刺激人们的认知。大众受议程设置的影响，对这类主题就会自然关注，即使没有深入学习也能在认知层面意识到该议题的重要性并引发思考。

建立插齿刀轮齿齿面各个参数之间的关系，如图3所示[5]。在与刀具S固联的动标架SS(OSXSYSZS)下，刀具齿面方程为

在工程造价信息化建设中，其最为核心的一个问题就是确保相关数据库的建设和运用较为合理，而这也是当前较为常见的问题所在。很多工程企业虽然都运用了信息化管理技术，也在造价控制中运用了相对较为合理的数据库，但是这些数据库在实际运用中却存在着很多的问题，很多数据库虽然能够被造价管理人员熟悉，也能够准确运用，但是却很难被其他管理人员审查，尤其是在高层管理人员的查阅时，容易出现误读现象，如此也就需要重点把握好该方面的完善和构建。

 

 

(2)

经推导计算，正交面齿轮承受的最大弯曲应力位于轮齿齿面上端，而不是像多数其他类型齿轮位于齿根过渡曲面附近。其分析截面齿廓曲线方程为

刀具齿面幺法矢ns为

 

 

(3)

  

图3 刀具齿面参数Fig.3 Parameters of the tool tooth surface

1.2 正交面齿轮齿面方程的建立

设刀具齿面上的任意一点N(xs,ys,zs)，其径矢rs为

 

(4)

在刀具设计手册中，对于模数2≤m≤8的插齿刀，其齿顶圆角为0.15≤rc≤0.4mm[13]，本文取rc=0.3 mm。根据上述正交面齿轮齿面数学模型，基于Matlab软件得到两种插齿刀切制的面齿轮理论齿廓，如图5所示。其主要参数见表1。

 

(5)

式中：ωs为刀具S角速度，q2 s为正交面齿轮齿数与刀具齿数比。

由齿面啮合原理知

ns·v(S,2)=0

(6)

将式(2)、(3)、(5)代入式(6)，可得出正交面齿轮啮合方程

f(θs,φs,us)=rbs-usq2scos φθ=0

(7)

一言以蔽之，在对待公权力失范的局面上，是应当依靠社会结构，还是依靠社会选择。如果是社会选择，那么在社会选择的过程中，就存在技术修复的问题。因此，职务犯罪调查技术原论应当包括如下问题：职务犯罪调查中的技术应当进行怎样的外延界定才能清晰地展示技术运用的全貌；职务犯罪调查和技术之间的契合模式是什么；在职务犯罪调查与技术关系的背后，隐藏着怎样的国家治理逻辑。

式中：A=αA-φ-ψ-τ-φs，B=αA+γA-φ-ψ-τ-φs，C=φ+ψ+τ+φs。

 

(8)

式中 φ2=q2 sφs。

1.3 正交面齿轮齿根过渡曲面及其齿廓的生成

式中：φs为刀具S的转角，φ2为面齿轮2的转角。

  

图4 两种插齿刀结构示意图Fig.4 Schematic diagram of the structure of gear slotting cutter

在图4 (b)中，构建坐标系S0和Sos。ra0是插齿刀齿顶圆半径，r0是刀具分度圆半径，rbo是刀具基圆半径。插齿刀齿顶圆角的曲率中心为Oc，圆弧和渐开线相切于点A，A点的向径为rA，圆角的半径为rc，A点处渐开线压力角为αA。

由包络原理得正交面齿轮过渡曲面方程:

 

(9)

式中：f(us，θs，γA)=nt·v(t,2 t)为啮合方程，nt(γA,us)为圆角曲面法矢M2 t,t为标架St到S2 t的坐标变换矩阵。

则可得出由带有齿顶圆角插齿刀所切制的正交面齿轮的过渡曲面方程

 

(10)

联立式(1)、(7)得到正交面齿轮齿面方程：

式中 is、js、ks为标架Ss中三个方向幺矢。则N点在两齿面的相对速度矢v(S,2)为

 

表1 面齿轮主要参数Table 1 Main parameters of orthogonal face gear

  

参数刀具(圆柱齿轮)面齿轮齿数N2040模数m/mm55压力角α/(°)2020齿顶圆角rc/mm0.3—轴交角γ/(°)9090齿宽B/mm—12内半径r1/mm—100.5外半径r2/mm—112.5泊松比υ—0.3弹性模量E/MPa—2.06×105载荷T/N—1 000

将两种不同齿面结构插齿刀切制的正交面齿轮理论齿廓进行对比，如图6所示。可以看出，齿顶圆角插齿刀所切制正交面齿轮的齿根过渡曲面要比齿顶尖角插齿刀切制的齿根过渡曲面要平坦，即两者的曲率是不同的。采用带齿顶圆角的插齿刀加工得到的面齿轮过渡曲面的曲率较大。

  

图5 正交面齿轮插齿理论齿廓Fig.5 Theoretical gear profile of orthogonal face gear by pinion cutter

  

图6 两种插齿刀切制的正交面齿轮齿根过渡曲面Fig.6 Two kinds of tooth root transition curved surface cut by angle cutter & corner cutter

以上正交面齿轮齿面方程通过数值计算得到齿面离散数据点，在Pro/E软件中通过边界混合即可构建两种正交面齿轮齿廓及三维实体模型，如图7所示。

  

图7 正交面齿轮全齿实体模型Fig.7 3D model of orthogonal face gear

2 正交面齿轮弯曲强度分析

2.1 正交面齿轮危险截面的计算

正交面齿轮的轮齿边界齿廓线是不一样的，因此面齿轮轮齿与一般可作为悬臂梁分析的齿轮轮齿不同，现分析其轮齿齿面上的危险点位置。首先确定与齿长方向垂直且经过齿面受载位置的截面。如图8所示，集中载荷在面齿轮的齿顶线上，其中γ为法向力Fn和x轴之间夹角，且Fn相切于圆柱齿轮基圆。

  

图8 正交面齿轮受力图Fig.8 Force diagrams of orthogonal face gear

式中：θS0=π/(2Ns)-invαS，rbs为刀具基圆半径，θs为齿向角，θs0为齿槽角，us为刀具Z方向变量，Ns为刀具齿数，αs为刀具压力角，invαs为渐开线函数。式(2)中“±”号分别与渐开线γ-γ与β-β相对应。

 

(11)

式中：C为常数，其值与正交面齿轮齿顶受载位置有关；d为面齿轮轮齿各分析截面的齿顶长度。

感知有用性是指消费者在使用无现金支付时，主观认为该支付方式对生活产生的有用程度。无现金支付带来支付方式的巨大转变，消费者使用无现金支付，可以不用找零，缩短交易时间，提高时间的利用效率。不用携带现金，避免假钞，对人们生活产生重要积极的作用，提高生活的效率和质量。

由于式(11) 较繁，不易直接通过其求解出正交面齿轮弯曲危险截面。可采用前文正交面齿轮齿面数据点形成的方法，通过正交面齿轮传动的啮合方程来解出φs和θs之间的关系。根据正交面齿轮的啮合条件可以求解出θs的取值范围，在这个范围中取i个离散值，于此同时，根据φs和θs之间的关系，可以得到对应φs的i个离散值。将这些值对应地代入式(11)，可以求得相应面齿轮齿廓上的i个点的坐标(x,y)。通过曲线拟合将这些离散坐标点拟合成有一定精度的函数y=f(x)。

根据上述方法，本文利用Matlab软件编制了正交面齿轮齿面最大弯曲应力点的程序。其中重要的参数为：模数m=5 mm，齿数N2=40。结果如表2所示。

 

表2 面齿轮齿面最大弯曲应力点Table 2 The maximum bending stress of tooth surface

  

序号齿顶受载位置齿面承受最大弯曲应力位置1(1.245 7,-124,-48)(1.699 7,-124,-48.268 4)2(1.479 2,-122,-48)(2.188 9,-122,-48.865 3)3(1.706 7,-120,-48)(2.758 2,-120,-49.334 8)4(1.920 8,-118,-48)(3.221 7,-118,-49.734 8)5(2.125 0,-116,-48)(3.514 4,-116,-49.943 4)6(2.316 1,-114,-48)(3.699 3,-114,-50.038 1)7(2.495 1,-112,-48)(3.794 2,-112,-49.958 7)8(2.660 3,-110,-48)(3.705 4,-110,-49.642 9)9(2.809 0,-108,-48)(3.524 4,-108,-49.245 8)10(2.940 4,-106,-48)(3.415 4,-106,-48.721 4)11(3.051 3,-104,-48)(3.194 4,-104,-48.178 7)12(3.139 8,-102,-48)(3.037 2,-102,-47.454 1)

将表2中数据导入Matlab软件可得到正交面齿轮齿面承受最大弯曲应力位置图，如图9所示。可以看出正交面齿轮承受的最大弯曲应力位置在沿齿高方向齿面的上半部分。

代谢性高血压治疗的最终目标是在降压的同时改善糖脂等代谢紊乱，实现对靶器官的保护，降低心血管疾病的发病率和死亡率。目前，代谢性高血压的治疗方式主要是药物治疗和非药物治疗2种，且都与调节胃肠激素相关。

(3) 温度高低、昼夜温差对叶绿素含量、根系特征、根系活力均有明显影响。昼温和夜温对幼苗生长和生理指标的影响是耦合效应,且相关度高。运用回归分析建立的数学模型,得到适合甜瓜幼苗生长发育以及各项生理指标优化的的温度区域是25/15 ℃。

  

图9 正交面齿轮齿面承受最大弯曲应力位置Fig.9 Maximum bending stress position on tooth surface

2.2 正交面齿轮有限元分析模型

对本文给定参数所建立的两种不同正交面齿轮的三维实体模型，基于ANSYS软件对其模型进行有限元仿真分析，计算其相应工况下的弯曲应力及应力分布状态。综合考量计算精度和计算效率，确定采用正交面齿轮的三齿模型进行有限元分析，网格模型的单元类型采用八节点六面体单元并通过结构化分网技术对其进行网格划分。划分节点数为131 881个，单元数为29 799个。

边界条件为在正交面齿轮三齿模型的底面施加固定约束，以限制其全部自由度；同时为了减小仿真所采用三齿模型对正交面齿轮弯曲强度的影响，本文对其两个周向截面施加对称约束。考虑到正交面齿轮在传动的过程中其齿面上的受载位置是不断变化的，为确定轮齿的危险截面，需分析其最不利的受力状况，即啮合点达到正交面齿轮轮齿的齿顶处时，现对三齿正交面齿轮齿顶处施加集中载荷。载荷的加载位置分别为x/b=0、1/4、1/2、3/4、1处，其中b为正交面齿轮轮齿宽度， 为载荷施加位置到面齿轮内径的距离。根据实际工况，面齿轮齿顶集中载荷设置为1 000 N，载荷的加载方向与正交面齿轮相啮合圆柱齿轮的基圆相切，并通过正交面齿轮齿面方程参数θs、θs0和φ予以确定。

式中φθ=φs±(θs0+θs)。

对所建立的有限元分析模型进行求解，即可得出两种不同插齿刀所切制正交面齿轮轮齿的弯曲应力及应力分布。采用两种插齿刀切制的正交面齿轮轮齿弯曲应力分别对比如图10、图11所示。

(4) CK-20: The keratins are intermediate filament proteins responsible for the structural integrity of epithelial cells. Recently, many investigators identified CK-20 as one of the potential cancer-related biomarkers used for detecting peritoneal free cancer cells in gastric cancer[57].

维吾尔族舞段中有大量的男子与女子群舞的切换，在秉承传统用色调区分舞段的前提下，运用了许多颜色分区将整个表演区丰富起来，例如在女子群舞中先用粉红色刻画场景和舞段情绪，当男子从下场门上场以后，将下场门区域用电脑染色灯以及大角度LED帕灯照射虚化光斑并做相应的转换色调处理，就呈现出女粉红男浅蓝的左右分割画面，在舞段的进行中，还出现了类似于斗舞的斜分区场景，通过电脑灯的灵活性，又将左右分割的画面变成了斜线分割的画面，并且因为电脑染色灯与大角度LED帕灯的运用，舞台表演区上空也有肉眼可见的颜色斜分区画面，这样便使整个场景更加饱满也更加生动形象，不再单一地只是做到“换一组人跳，换一种色调”的简单处理。

图10和图11给出了两种正交面齿轮在给定的边界条件以及载荷作用下轮齿的弯曲应力分布状态，从图中可以看出，在正交面齿轮传动的过程中，对于最不利的受载状况，其载荷施加位置分别为x/b=0、1/4、1/2、3/4、1 处时，正交面齿轮所承受的最大弯曲应力位置始终处于沿齿高方向齿面的上半部分，且在面齿轮轮齿的高度方向上其弯曲应力值由齿顶向齿根逐渐减小，当载荷作用点沿齿长方向向轮齿的两端移动时，最大弯曲应力位置会同时随着加载位置向轮齿的两端移动并沿齿高方向向齿顶移动。由此可见，正交面齿轮齿面承受最大弯曲应力位置的有限元分析结果与上文理论分析结果是一致的。为定量比较齿根过渡曲面对正交面齿轮弯曲强度的影响大小，现将两种正交面齿轮的有限元仿真分析结果数据导入Matlab软件，拟合得到其弯曲应力变化曲线，如图12所示。从图中可以看出，带有齿顶圆角插齿刀所切制的正交面齿轮的最大弯曲应力小于齿顶尖角插齿刀切制的正交面齿轮。进一步说明了齿顶圆角插齿刀切制的齿根过渡曲面对正交面齿轮的抗弯强度有一定程度的提高。

在碰撞核中的函数b(cosθ)是一个非负的、隐式的、局部有界的函数，在很长的一段时间里，数学家所作的工作都是基于这么一个条件：

  

图10 尖角插齿刀切制的面齿轮弯曲应力云图Fig.10 Bending stress nephogram of face gear by angle cutter

  

图11 圆角插齿刀切制的面齿轮弯曲应力云图Fig.11 Bending stress nephogram of face gear by corner cutter

  

图12 两种正交面齿轮的弯曲应力曲线Fig.12 Bending stress curves of two kinds of orthogonal face gears

3 结论

1)根据面齿轮的加工啮合原理和插齿理论齿廓包络面方程，研究了正交面齿轮齿根过渡曲面的理论推导过程，并利用Matlab软件和Pro/E软件建立了正交面齿轮的工作齿面和齿根过渡曲面，准确给出了面齿轮的三维实体模型。进而比较了两种插齿刀切制的正交面齿轮齿根过渡曲面的结构，从结构分析了带有齿顶圆角的插齿刀所切制的正交面齿轮的过渡曲面是光滑连续的，不易产生应力集中现象，理论上使得其承载能力得到加强。

2)利用内切抛物线法从理论的角度分析了正交面齿轮轮齿的最大弯曲应力位置，正交面齿轮轮齿在受到作用于齿顶的集中载荷时，其最大弯曲应力位置在沿齿高方向的齿面的上半部分。

3)基于ANSYS软件验证了理论推导的正确性。通过有限元分析结果可以得出采用齿顶圆角插齿刀切制的正交面齿轮的最大弯曲应力小于采用齿顶尖角插齿刀所切制的面齿轮，即齿顶圆角插齿刀切制的齿根过渡曲面提高了正交面齿轮的弯曲强度。

参考文献：

[1] LITVIN F L. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳, 等译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008: 484-518.

LITVIN F L. Gear geometry and applied theory[M]. GUO Kai, YE Lingyun, FAN Lin, et al. Trans. Shanghai: Shanghai Science and Technology Press, 2008: 484-518.

[2] LITVIN F L, FUENTES A, ZANZI C, et al. Face-gear drive with spur involute Pinion: geometry, generation by a worm, stress analysis[J]. Computer methods in applied mechanics and engineering, 2002, 191(25/26): 2785-2813.

[3] GUINGAND M, DE VAUJANY J P, JACQUIN C Y. Quasi-static analysis of a face gear under torque[J]. Computer methods in applied mechanics and engineering, 2005, 194(39/40/41): 4301-4318.

[4] BARONE S, BORGIANNI L, FORTE P. Evaluation of the effect of misalignment and profile modification in face gear drive by a finite element meshing simulation[J]. Journal of mechanical design, 2004, 126(5): 916-924.

[5] 朱如鹏, 潘升材, 高德平. 正交面齿轮传动中齿宽设计的研究[J]. 机械科学与技术, 1999, 18(4): 566-567, 569.

ZHU Rupeng, PAN Shengcai, GAO Deping. Study of the design of tooth width of right shaft angle face gear drive[J]. Mechanical science and technology, 1999, 18(4): 566-567, 569.

[6] 朱如鹏, 高德平. 在面齿轮设计中避免根切和齿顶变尖的设计方法的研究[J]. 中国机械工程, 1999, 10(11): 1274-1276.

ZHU Rupeng, GAO Deping. Study on the method of avoiding dedendum undercutting and addendum pointing in face gear design[J]. China mechanical engineering, 1999, 10(11): 1274-1276.

[7] 付自平. 正交面齿轮的插齿加工仿真和磨齿原理研究[D]. 南京: 南京航空航天大学, 2006: 89-95.

FU Ziping. Research on the simulation of shaping process and grinding principle of orthogonal-shaft face gear[D]. Nanjing: Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, 2006: 89-95.

[8] 李政民卿, 朱如鹏. 装配偏置误差对正交面齿轮传动接触特性的影响[J]. 航空学报, 2009, 30(7): 1353-1360.

LI Zhengminqing, ZHU Rupeng. Impact of assembly deflection error on contact characteristics of orthogonal face gear drive[J]. Acta aeronautica et astronautica sinica, 2009, 30(7): 1353-1360.

[9] 李政民卿, 陈宏尚, 朱如鹏. 主要参数对面齿轮传动噪声辐射的影响分析[J]. 航空动力学报, 2015, 30(11): 2803-2809.

LI Zhengminqing, CHEN Hongshang, ZHU Rupeng. Influence predictions of base parameters on noise radiations of face gear drives[J]. Journal of aerospace power, 2015, 30(11): 2803-2809.

[10] 沈云波, 方宗德, 赵宁, 等. 齿廓方向修形的斜齿面齿轮啮合特性研究[J]. 中国机械工程, 2008, 19(18): 2219-2222.

SHEN Yunbo, FANG Zongde, ZHAO Ning, et al. Meshing performance of modified face gear drive with helical pinion in the profile direction[J]. China mechanical engineering, 2008, 19(18): 2219-2222.

[11] 崔艳梅, 方宗德, 王星. 考虑安装误差的弧线齿面齿轮承载接触分析[J]. 机械传动, 2015, 39(8): 115-118.

CUI Yanmei, FANG Zongde, WANG Xing. Load tooth contact analysis for arc tooth face gear considering assembly misalignment[J]. Journal of mechanical transmission, 2015, 39(8): 115-118.

[12] 付学中, 方宗德, 李建华, 等. 面齿轮副小轮拓扑修形设计及啮合性能分析[J]. 哈尔滨工程大学学报, 2016, 37(9): 1281-1286.

FU Xuezhong, FANG Zongde, LI Jianhua, et al. Design of topological shape modification of auxiliary pinion of face gears and analysis of meshing performance[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2016, 37(9): 1281-1286.

[13] 袁俊哲, 刘华明. 刀具设计手册[M]. 北京: 机械工业出版社, 1999: 950-952.

YUAN Junzhe, LIU Huaming. Tool design manual[M]. Beijing: China Machine Press, 1999: 950-952.