1 预备知识

假设E为实赋范线性空间，K是E中的非空子集，自映射T:K→K,记F(T)={x∈K:Tx=x}为T的不动点集合. 称T:K→K是非扩张映射,如果对于所有的x,y∈K，有‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖. 称T:K→K是拟非扩张映射，如果对于所有的x∈K,p∈F(T)，有‖Tx-p‖≤|x-p|.

最后，在地理空间数据分幅提取后，相关人员可对分幅后数据进行批量裁剪，并设定统一的名称。地理空间数据批量裁切主要是将以*.img格式分幅数据、*.txt格式分幅坐标等文件，导入ArcGIS Engine软件中，并与MosaicPro模块结合，对相应地理空间数据系统、数学投影进行批量提取。需要注意的是，若在实际处理阶段，分幅数据坐标系统、最终成本坐标系统存在一定差异，则需要重新进行大地经纬度坐标系统投影转换操作。

1972年，Goebel 和 Kirk引入了渐近非扩张自映射概念.

定义1.1[1] 设E为实Banach空间，K是E中的非空子集，自映射T:K→K称为渐近非扩张的，如果存在序列{kn}⊂使得

‖Tnx-Tny‖≤kn‖x-y‖,∀x,y∈K,

n≥1.

Goebel 和 Kirk举例说明渐近非扩张自映射是非扩张自映射的真推广.

例1[1] 设B是Hilbert空间l2中的单位球，定义T:B→B如下：

 

其中数列Ai⊂

2001年，刘启厚引入了渐近拟非扩张自映射概念如下：

1、我自横刀向天笑，笑完我就去睡觉。2、收银员说：没零钱了，找你两个塑料袋吧！3、你的手机比话费还便宜。4、路漫漫其修远兮，不如我们打的吧。5、别人装处，我只好装经验丰富。6、不怕偷儿带工具，就怕偷儿懂科技！7、失败不可怕，关键看是不是成功他妈。

‖Tnx-p‖≤kn‖x-p‖,∀x∈K,p∈F(T),n≥1

2003年，Chidume等人引入了渐近非扩张非自映射的概念.

定义1.3[3] 设E为实赋范线性空间，K是E中的非空子集，设P:E→K是E到K上的非扩张收缩映射, 非自映射T:K→E称为渐近非扩张的，如果存在序列{kn}⊂使得

‖T(PT)n-1x-T(PT)n-1y‖≤kn‖x-y‖,∀x,y∈K,n≥1.

为了证明该文的主要定理，需要以下重要引理.

刘涌泉和郭伟平在文献[4]中给出了非扩张收缩的例子如下:

例2[4] 设E为Hilbert 空间，K={x∈E:‖x‖≤r}，其中r>0，定义映射P:E→K如下

定义1.2[2] 设E为赋范线性空间，K是E中的非空子集，自映射T:K→K称为渐近拟非扩张的，若T的不动点集F(T)=∅,如果存在序列{kn}⊂使得

则P:E→K是非扩张收缩映射.

定义1.4 设E为实赋范线性空间，K是E中的非空子集，设P:E→K是E到K上的非扩张收缩映射, 非自映射T:K→E称为渐近拟非扩张的，若T的不动点集F(T)=∅，如果存在序列{kn}⊂使得

‖T(PT)n-1x-p‖≤kn‖x-p‖,∀x∈K,p∈F(T),n≥1.

注记1.1 渐近非扩张非自映射一定是渐近拟非扩张非自映射(F(T)≠∅).

2003年，Childume等人[3]在一致凸Banach空间中，通过研究下面的迭代(Mann迭代)方法：

“一带一路”战略实施五年来，我国统揽国际国内两个大局，深化与沿线各国全方位合作，建设成果超出预期。2017年中国与“一带一路”国家的进出口总额达14 403.2亿美元，占全国进出口贸易总额的36.2%[1]。

 

(1)

其中{αn}⊂[0,1], 获得了渐近非扩张非自映射T的收敛性定理. 2006年，Wang[5]将迭代(1)推广到了渐近非扩张非自映射的Ishikawa迭代. 2009年，Thianwan[6]考虑了一种新型的迭代方法如下：

 

(2)

其中T1,T2:K→E是两个渐近非扩张非自映射,{αn},{βn}⊂[0,1]. 并且, 在一定的条件下,得到了T1,T2关于序列(2)的收敛性定理. 2010年，Wang C., Zhu J.等[7]考虑了迭代序列(2)带误差的情形, 具体如下：

 

(3)

其中及{un},{vn}是K中的有界序列,T1,T2:K→E是两个渐近拟非扩张非自映射. 并且, 在一定的条件下, 得到了T1,T2关于序列(3)的收敛性定理.

该文引入新的迭代序列{xn}, 其定义如下：

第一，以个人技能层次为标准进行分组。例如，在教学“体操的组合动作”、“篮球上篮技术”以及“足球带球过人技术”时，这几类项目可以先将学生划分成为运动技能A、B、C三个层次，然后再进行分组，确保每一个小组都有三个层次的学生，即“组内异质、组间同质”的状态。通常来讲，A层次学生基本上都已经熟练的掌握了一些技能，且身体素质比较好；而B层次的学生，虽然掌握运动技能的水平良好，但是身体素质不够全面；C层次的学生，运动技能以及身体素质都比较差，难以有效完成一个动作技术。因此，一个小组之内涵盖三个层次的学生，可以达到优势互补的目标，学生之间可以相互帮忙、合作，从而达到共同进步的目标。

秀容月明眼疾手快，一把搂住她肩头，乔瞧站稳了，脸也红了，望他一眼，把头侧过去。秀容月明也觉不好意思，把搂她的手放开。哪知他刚放开，乔瞧便在水底下把他的手牵住了。

设K是实Banach空间E中的非空凸子集,P:E→K是E到K上的非扩张收缩映射, S1,S2:K→K是两个渐近拟非扩张自映射, T1,T2:K→E两个渐近拟非扩张非自映射, 定义迭代序列{xn}如下:

 

(4)

其中

及 {un},{vn}是K中的有界序列.

显然，迭代序列(4)推广了迭代序列(3), (2)和(1).

当S1,S2为恒等映射时, 式(4)简化为(3).

延伸组随访期间生活质量评分（89.2±7.5）分，对照组随访期间生活质量评分（67.5±5.4）分，延伸组随访期间生活质量评分显著高于于对照组，组间对比，差异有统计学意义（P＜0.05）。

当时, 式(3)简化为

 

(5)

当T为恒等映射时, 式(5)简化为

 

(6)

称实Banach空间E子集K为E上的收缩集，如果存在连续映射P:E→K使得对任意x∈K有Px=x. 一致凸Banach空间中的每个闭凸子集都为收缩集. 称映射P:E→E为收缩的, 如果P2=P.换言之，如果P为可收缩的，则对P的值域中的每个y都有Py=y.

引理1.1[8] 设{an},{bn},{cn}是三个非负实数列, 满足

an+1≤(1+bn)an+cn,∀n≥n0

其中n0为某个常数(非负整数),

那么以下两个结论成立：

(1)极限存在；

F=F(S1)∩F(S2)∩F(T1)∩F(T2)

环流形势场上,16日白天近地面华东大部为高压后部控制,高压中心位于东部海上,浅层切变位于苏皖中部。随着切变线南压,夜里12时华东东部沿海转为东南偏东风,风速3～6 m/s(图2a)。合适的风向风速条件把海上暖湿水汽向内陆输送,在遇到冷下垫面后,给华东中部沿海大范围地区带来平流大雾天气(图2b)。

在医院中,产科是高风险的科室,同时也是投诉率最高的科室。在我国的医疗纠纷案中,产科医疗纠纷案是占比比较高的类别,也是被所赔率比较高的一种。在我国二胎政策正式开始实施后,好多家庭都选择了要二胎,其中有很多的大龄产妇,有剖宫产史的孕妇的比例有所增加,已经做过剖宫产手术的产妇再次怀孕后孕妇子宫破裂的危险增加了3-7倍,生产过程中的风险也要大很多。因此,妊娠合并症增加,从一定程度上导致产科护理风险加剧。

an+1≤(1-ωn)an+bnωn,∀n≥n0

其中n0为某个常数(非负整数)，{ωn}⊂ 则有

2 主要结果

该部分的目的是在一般实Banach空间中，证明两个渐近拟非扩张自映射和两个渐近拟非扩张非自映射关于迭代序列(3)的强收敛性.

引理2.1 设K是实Banach空间E中的非空闭凸子集,设S1，S2：K→K是分别具有的渐近拟非扩张自映射,T1,T2:K→E是分别具有的渐近拟非扩张非自映射,并且⊂⊂ 设{xn}是由(4)定义的迭代序列, 其中六个实数列⊂[0,1]，且满足,及{un},{vn}是K中的有界序列. 若F=F(S1)∩F(S2)∩F(T1)∩F(T2)非空, 则∀p∈F, 极限存在.

证明 给定p∈F,由{un},{vn}的有界性可知存在M>0, 使得

 

记 则有 由(3)知

 

且

 

将(7)式代入(8)式得到

 

其中 则有 又因为 由引理(1.1)可知，∀p∈F, 极限存在. 证毕.

引理2.2 设K是实Banach空间E中的非空闭凸子集,设S1,S2:K→K是分别具有的渐近拟非扩张自映射,T1,T2:K→E是分别具有的渐近拟非扩张非自映射,并且⊂⊂ 设{xn}是由(4)定义的迭代序列, 其中六个实数列⊂[0,1]，且满足及{un},{vn}是K中的有界序列. 若

(2)如果还存在一子列{anj}⊂{an}满足 则

非空, 则存在常数R>0,使得对∀p∈F, 有

引理2.3 设K是为实线性赋范空间E的非空闭子集，S:K→K是具有{rn}⊂[1,∞)且的渐近拟非扩张自映射，T:K→E是具有{kn}⊂[1,∞)且的渐近拟非扩张非自映射，则S和T的公共不动点集F=F(S)∩F(T)为闭集.

成立，其中

证明 由引理2.1可知

哦，是孙姐介绍的牌友，打过几次牌，留了号码。今天突然说想和我这样牌风好的切磋切磋。我哪有时间啊？忙着包饺子呢。要他等几天，估计就欠牌欠到梦里去了呗。

中药治疗组：泰山磐石散加减治疗。党参12 g、黄芪15 g、白术9 g、川芎4.5 g、白芍药9 g、熟地黄12 g、川续断12 g、杜仲12 g、黄芩 3 g、砂仁 3 g（后下）、菟丝子 12 g、炙甘草 6 g。用法均为每日一剂，2次/日，水煎服。30天为一疗程。2～3个疗程为一个治疗周期。

其中 由上式可得

∀n,m≥1.

令 注意到∀x≥0, 有1+x≤ex. 故由上式可得

 

其中也就是说

∀n,m≥1,p∈F(T)

其中 证毕.

∀n,m≥1

证明 首先证明T的不动点集F(T)为闭集. 任取{qn}⊂F(T)且注意到

‖Tq-q‖≤‖Tq-qn‖+‖qn-q‖≤k1‖qn-q‖+‖qn-q‖,

当n→∞时，‖Tq-q‖→0. 故q∈F(T). 因此F(T)为闭集.

同理，可以得到证明S的不动点集F(S)为闭集. 因此S和T的公共不动点集F=F(S)∩F(T)是闭集. 证毕.

定理2.1 设K是实Banach空间E中的非空闭凸子集,设S1，S2：K→K是分别具有的渐近拟非扩张自映射,T1,T2:K→E是分别具有的渐近拟非扩张非自映射,并且⊂⊂ 设{xn}是由(4)定义的迭代序列, 其中六个实数列⊂[0,1]，且满足及{un},{vn}是K中的有界序列. 若F=F(S1)∩F(S2)∩F(T1)∩F(T2)非空, 则{xn}强收敛到S1,S2,T1,T2的公共不动点的充要条件是 其d(x,F)=inf{‖x-p‖:p∈F}.

证明 必要性是显然的, 只需证明充分性.

设 由引理2.1可知

引理1.2[9] 设{an},{bn},{ωn}是三个非负实数列, 满足

 

故

 

又因为 故由引理1.1可知，存在. 又因为故

下面证明{xn}是Cauchy列. 任取ε>0，由于及因此存在n0使得当n≥n0，有

 

特别地， 也就是 故存在p*∈F使得

 

于是当n≥n0，对于∀m≥1，由引理2.2知

‖xn+m-xn‖≤‖xn+m-p*‖+‖xn-p*‖

 

 

故{xn}是Cauchy列.由于K是实Banach空间E中的闭子集, 故存在一点q∈K使得 而又有 故d(xn,F)=0. 由引理2.3知F是闭的, 故q∈F. 证毕.

定理2.2 设K是实Banach空间E中的非空闭凸子集,设S1,S2:K→K是分别具有的渐近拟非扩张自映射,T1,T2:K→E是分别具有的渐近拟非扩张非自映射,并且⊂⊂ 设{xn}是由(4)定义的迭代序列, 其中六个实数列⊂[0,1]，且满足及{un},{vn}是K中的有界序列. 若F=F(S1)∩F(S2)∩F(T1)∩F(T2)非空, 则{xn}强收敛到S1,S2,T1,T2的一个公共不动点p的充要条件是存在{xn}的一子列{xnk}强收敛到p.

证明 注意到

 

由定理2.1可知, 定理2.2成立. 证毕.

当S1,S2为恒等映射时, 式(4)简化为(3), 则由定理2.1容易得到定理2.3, 定理2.2容易得到定理2.4.

定理2.3 设K是实Banach空间E中的非空闭凸子集,设T1,T2:K→E是分别具有的渐近拟非扩张非自映射, 并且⊂ 设{xn}是由(3)定义的迭代序列, 其中六个实数列⊂[0,1]，且满足,及{un},{vn}是K中的有界序列. 若F=F(T1)∩F(T2)非空, 则{xn}强收敛到T1,T2的公共不动点的充要条件是 其d(x,F)=inf{‖x-p‖:p∈F}.

以粗灰分含量为横坐标、钙含量为纵坐标作图，得图10，显示了鱼粉中钙含量与粗灰分含量的关系为正相关关系，统计数据符合方程：y=0.011 6x2+0.004 3x+0.350 6，R2=0.807 3。多数鱼粉样本的钙含量小于5.0%。

定理2.4 设K是实Banach空间E中的非空闭凸子集,设T1,T2:K→E是分别具有的渐近拟非扩张非自映射,并且⊂ 设{xn}是由(3)定义的迭代序列, 其中六个实数列⊂[0,1]，且满足及{un},{vn}是K中的有界序列. 若F=F(T1)∩F(T2)非空, 则{xn}强收敛到T1,T2的一个公共不动点p的充要条件是存在{xn}的一子列{xnk}强收敛到p.

当时, 式(4)简化为(5), 则由定理2.3容易得到定理2.5, 定理2.4容易得到定理2.6.

定理2.5 设K是实Banach空间E中的非空闭凸子集,设T:K→E是分别具有ln的渐近拟非扩张非自映射,并且{ln}⊂ 设{xn}是由(5)定义的迭代序列, 其中三个实数列αn,βn,γn⊂[0,1]，且满足及{un}是K中的有界序列. 若F(T)非空, 则{xn}强收敛到T的不动点的充要条件是,其中d(x,F)=inf{‖x-p‖:p∈F}.

定理2.6 设K是实Banach空间E中的非空闭凸子集,设T:K→E是分别具有ln的渐近拟非扩张非自映射,并且{ln}⊂ 设{xn}是由(5)定义的迭代序列, 其中三个实数列αn,βn,γn⊂[0,1]，且满足αn+βn+γn=及{un}是K中的有界序列. 若F(T)非空, 则{xn}强收敛到T的一个不动点p的充要条件是存在{xn}的一子列{xnk}强收敛到p.

当T为恒等映射时, 式(5)简化为(6), 则由定理2.5容易得到定理2.7, 定理2.6容易得到定理2.8.

定理2.7 设K是实Banach空间E中的非空闭凸子集,设T:K→K是分别具有ln的渐近拟非扩张自映射,并且{ln}⊂设{xn}是由(6)定义的迭代序列, 其中三个实数列αn,βn,γn⊂[0,1]，且满足及{un}是K中的有界序列. 若F(T)非空, 则{xn}强收敛到T的不动点的充要条件是其中d(x,F)=inf{‖x-p‖:p∈F}.

定理2.8 设K是实Banach空间E中的非空闭凸子集, 设T:K→K是分别具有ln的渐近拟非扩张自映射,并且{ln}⊂. 设{xn}是由(6)定义的迭代序列, 其中三个实数列αn,βn,γn⊂[0,1]，且满足 及{un}是K中的有界序列. 若F(T)非空, 则{xn}强收敛到T的一个不动点P的充要条件是存在{xn}的一子列{xnk}强收敛到p.

文华斋的熏炉名头最响，这一点峋四爷早就知道。让峋四爷不解的是，文华斋居然舍得焚烧如此好香。焚天香，赚吆喝，只为卖铜炉？

3 算例

设E=(-∞,∞), 其范数为‖·‖, E中的闭凸子集K=[-1，1]⊂E. 定义映射T:K→K如下：

3.将起酥面擀为 0.1～0.2 cm厚的一大张面片，用扣碗扣为饺子皮。包馅制成饺子。饺子皮外抹上蛋黄，放入烤箱，用230～250℃箱温将饺子烤熟。

容易验证T:K→K为具有的渐近拟非扩张自映射.

事实上，F(T)={0},并且∀x∈[-1,0), 有

,

同时∀x∈[0,1], 有

 

其中∀ 因此T:K→K为渐近拟非扩张自映射.

取数列{αn}, {βn}, {γn}⊂[0,1]满足

αn=1-βn-rn，其中

 

 

对于任意给定的x1∈K, 迭代序列{xn}如下：

xn+1=αnxn+βnTxn+γnun,∀n≥1.

其中

则{xn}强收敛到0∈F(T).

首先，对任意的x1∈[-1,1], ∀n≥2,xn>0. 事实上, 若x1∈[0,1]，显然有∀n≥2, xn>0. 若x1∈[-1,0), 因为 于是

x2=α1x1+β1Tx1+γ1un

 

 

再由序列{xn}定义, 可知∀n≥2, xn>0.

对于∀n≥1, 令 则有

{ωn}⊂

并且, ∀n≥1, 有

 

由引理所以序列{xn}存在一子列{x2n+1}收敛于T的一个不动点0∈F(T). 因此由定理2.8可知, 序列{xn}强收敛于0∈F(T).

注记 (1)该文给出了渐近拟非扩张映射的例子，从而实质性地推广了渐近非扩张的概念；

(2)该文的主要结果将文献[6]渐近非扩张映射的相关结果推广渐近拟非扩张映射；

(3)该文的主要结果将文献[7]关于两个渐近拟非扩张映射非自映射迭代算法的结果推广到了关于两个渐近拟非扩张自映射和两个渐近拟非扩张非自映射的混合迭代算法.

参 考 文 献

[1] Goebel K, Kirk W A. A fixed point theorem for asymptotically nonexpansive mappings[J]. Proc Amer Math Soc, 1972, 35(1):171-174.

[2] Liu Q. Iterative sequences for asymptotically quasi-nonexpansive Mmappings with error member [J]. Math Anal App, 2001,259(1):18-24.

[3] Chidume C E, Ofoedu E U, Zegeye H . Strong and weak convergence theorems for asymptotically nonexpansive mappings [J]. Math Anal Appl, 2003,280:364-374.

[4] 刘涌泉, 郭伟平. 混合型渐近非扩张映射合成隐迭代序列的收敛性定理[J]. 数学物理学报, 2015, 35(2):422-440.

[5] Wang L. Strong and weak convergence theorems for common fixed points of nonself asymptotically nonexpansive mappings[J]. Math Anal Appl, 2006, 323(1):550-557.

[6] Thianwan S. Common fixed points of new iterations for two asymptotically nonexpansive nonself-mappings in a Banach space [J]. Comput. Appl Math, 2009, 224 (2): 688-695.

[7] Wang C, Zhu J, An L. New iterative schemes for asymptotically quasi-nonexpansive nonself-mappings in Banach spaces [J]. Comput Appl Math, 2010, 233 (11): 2948-2955.

[8] Liu Q. Iterative sequence for asymptotically quasi-nonexpansive mappings with error member[J]. Math Anal Appl, 2001, 259(1): 18-24.

[9] Weng X. Fixed point iteration for local strictly pseudo-contractive mapping[J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 1991, 113(3):727-731.