0 引 言

近年来随着传感器、计算机和无线通信技术的发展，定位技术因其广泛的应用前景，受到越来越多研究人员的关注。目前已有许多方法应用于实际定位问题中，如到达时间差(Time Different of Arrival, TDOA)、到达角度(Angle of Arrival, AOA)、到达时间(Time of Arrival, TOA)、极大似然(Maximum Likelihood, ML)、线性最小二乘法(Line Least Square, LLS)等[1-4]。其中，基于TOA的定位方法是常用的定位方法之一。TOA方法具有测量操作简单、定位精度高等优点，在节点自定位、无线定位、水下定位等领域均有广泛的应用[5]。传统的TOA定位方法往往将噪声信号简单地定义为白噪声或有色噪声，但在实际应用中，TOA测量噪声与距离有关，即乘性噪声。乘性噪声的引入，使得定位系统在形式上变得更加复杂[6]。Long Y.等[7]针对带有乘性噪声的单输入单输出线性反馈离散时间系统，研究了一种最佳跟踪控制设计，解决对单位步进参考信号跟踪的最优均方控制。K.M.Atiyeh等[8]研究了一种基于预测间隔的自适应粒子滤波器，在存在乘性测量噪声的情况下对机动目标进行跟踪。Liu G.等[9]通过预校准方法消除乘法噪声，采用3个三循环矩阵进行最小二乘回归对目标的方位角和距离参数进行估计。Wang X.等[10]提出了一种结合卡尔曼滤波和ML估计的定位算法，先通过ML估计获得一个位置的预估计，再通过标准卡尔曼滤波器获得目标状态的递归更新。在处理乘性噪声信号的方法中，ML估计算法在高信噪比下具有良好的性能[11]。然而，当低信噪比或者初始值选取不恰当时，ML估计结果易发散。一种较为常见的改进方法是通过半定松弛优化将传统的ML估计算法松弛为凸优化问题，近年来已经有不少学者和工作者进行了相关研究，并取得了一定进展[12-14]。

本文结合ML估计算法，提出一种基于半定松弛(Semidefinite relaxation，SDR)优化的TOA定位算法。首先对ML定位问题进行重构使之转变为基于ML的优化问题，再通过半定松弛对优化问题进行近似，使之转化为凸优化问题，通过对凸优化问题进行求解来获得目标位置的最优估计。

1 问题描述

在本文的场景中，有m个可用的传感器节点用于定位目标。定义c=[x,y,z]T为未知目标在笛卡尔坐标系下的位置向量，ui=[xi,yi,zi]T为第i个传感器节点的位置向量。

由图6可知，总体上，HHCB和AHTN的去除率随合成麝香初始浓度的增加先急剧增加后趋于平稳。HHCB在初始质量浓度为150 ng·L-1时，去除率达到最大值（84.40%），之后随着HHCB浓度的增加，去除率趋于平稳；而AHTN在初始浓度大于200 ng·L-1后，去除率趋于平稳。

传感器节点与目标之间的距离计算如下：

 

(1)

式中，表示二范数。假定每个传感器节点与目标之间均沿视距传播，通过估计方法，例如TOA估计方法，对在传感器节点与目标之间的单路信号的传输时间进行估计，根据距离公式计算得到di，定义d=[d1,…,dm]T。第i个传感器节点与目标之间实测的距离为有：

移动目标定位问题可以概括为：通过已知的传感器节点位置u和实测距离向量对未知目标位置c进行估计。由于乘性误差是非线性误差，用线性方法难以对目标位置进行估计，在已知误差向量ε与δ的概率模型先验知识的情况下，通过ML方法对量测c进行位置估计。一般来说，由于误差的产生取决于许多复杂的因素，误差向量ε与δ的概率密度函数是难以测量的。通常情况下，假定误差向量服从零均值高斯分布，并且每个误差均与其它误差相互独立。定义为误差的方差矩阵，其中

 

(2)

式中，向量g(c)的第i个元素为：

这是家知名的小咖啡馆，店主是名画家，墙上挂着不少文艺复兴时期的仿制品。进门的墙边放着一架老式钢琴，一个十来岁的小男孩坐在钢琴前正全神贯注地弹奏一支肖邦的练习曲。

 

(3)

其中，X≥0表示矩阵X是半正定矩阵。在式(12)中的半正定约束条件是凸的，因此式(12)是一个凸优化问题。一旦找到式(12)的最优解后，即可将目标位置解作为SDR近似后的ML位置估计。

 

(4)

式中，εi与δi表示测量误差，δ=表示乘性噪声，ε=[ε1,ε2,…,εm]表示加性噪声[8]。

式(11)中的2个矩阵秩均为1，且是半正定矩阵。对式(10)的C和G矩阵进行如上松弛后，得到了式(11)中的半正定矩阵，可以得到如下松弛后的半正定松弛ML问题：

 

(5)

为了获取ML位置估计，需要先解式(4)。然而，式(4)显然是一个非凸优化问题，很难找出全局最优解。故本文提出对式(4)进行半定松弛优化。

2 SDR算法

SDR是一种对数个难解优化问题进行精确近似的方法。为了提升SDR对ML估计方法的近似程度，本文首先聚焦于非凸的ML估计问题求最优的问题。然后，将展示如何重构ML问题使之通过半定规划能够近似凸优化。

2.1 ML问题的重构

在式(4)中，ML位置估计问题可以写为约束二次规划问题：

 

(6)

由于距离向量中仅包含非负元素，因此(6)可以去掉最后一个不等式，简化为

 

(7)

对式(7)进行二范数分解，将式(7)中的ML问题改写为：

 

(8)

式(8)为带有齐次二次等式约束的齐次二次规划，其目标函数是凸函数，而约束条件非凸。

冲刷作用下砂土地层中桩的侧向力学性质分析 林城，韩杰，Caroline BENNETT,Robert PARSONS(24)

2.2 半定松弛

定义2个矩阵G=ggT，C=ccT，有：

下面通过基于凸优化问题的半定松弛方法对式(8)中的非凸问题进行近似，使之成为凸优化问题。

(9)

根据矩阵的基本特性xTAx=tr{xxTA}，式(8)中的ML可以改写为：

 

(10)

在对ML问题的重构中，约束条件Gii是线性的，但是约束条件G=ggT，C=ccT是非凸的。SDR的目的是通过调整式(10)使之能够近似为凸优化问题[14]。将上述的2个矩阵扩展为式(9)中的矩阵，即：

假设某马尔可夫过程[11-13]{ξ(t)，t∈T}，(t1

 

(11)

总的来说，灌溉农业的主要效益是解决粮食安全问题和增加农民收入的社会效益。因而，灌排事业的发展必须要得到国家的大力支持，包括国家的政治意愿，以及在制定政策、发挥领导作用、制定发展规划、提供资金和技术支撑、改革管理机构和管理体制等方面的支持。中国在灌排领域的发展成就、政策及目标和模式举世瞩目，获得了国际社会的高度评价和认可。

 

(12)

ML位置估计为[13]：

在高中化学教学中，学生自我管理能力的有效培养能帮助教师更轻松地开展教学活动，还能令学生打破现有思维局面，将学习的主动权掌握在自己手中.教师在培养学生自我管理能力时，应在实际教学情况的基础上设计相应的培养计划，将化学严谨、科学的精神融入学生的学习意识，令学生能自发探究化学的独特魅力，最终取得理想的学习成果.

3 仿真结果

为了验证本文提出的基于SDR的ML算法的准确性，本文选取2种常用的位置估计算法即文献[15]的LLS算法、文献[16]的ML算法和本文SDR-ML算法进行对比。

仿真场景中，有5个位置已知的传感器节点用于目标定位。传感器节点与目标位置的坐标分布如图1所示。

  

图1 传感器节点与目标位置在空间中分布情况

假设TOA测量的乘性噪声误差的标准差均一致，即加性噪声误差的标准差均一致，即且σε,i=10 000σδ,i。随着噪声方差的变化，3种算法的均方误差(MSE)变化如图2所示，图中引用文献[14]中TOA定位方法的克拉美罗界(CRLB)作为参考。估计结果与目标位置真实值的距离偏差(BIAS)变化如图3所示。

元丰八年（1085），山谷有诗《寄黄几复》：“我居北海君南海，寄雁传书谢不能。桃李春风一杯酒，江湖夜雨十年灯。持家但有四立壁，治病不蕲三折肱。想见读书头已白，隔溪猿哭瘴溪藤。”其时山谷监德州（今属山东）德平镇。山谷忆昔相聚宴游之乐，每当夜雨潇潇漏尽灯残之时，则思念有加。虽仕途平顺，心境却如“江湖夜雨十年灯”，有孤寂之感。

  

图2 均方误差MSE变化

  

图3 估计结果与目标位置真实值的距离偏差

由图2可知，由于存在非线性误差分量，在噪声方差较低的情况下，3种算法均不能贴近CRLB。随着噪声信号方差的增大，LLS算法与CRLB偏离程度越来越大，ML算法开始发散，本文的SDR-ML算法可以稳定收敛于CRLB。由图3可知，在噪声方差较大的情况下,3种算法中,SDR-ML算法的估计结果与真实数据的偏差最小。

4 结束语

本文提出了一种基于ML估计的半定松弛优化算法，通过将ML估计算法进行半定松弛，解决了在噪声信号带有乘性噪声下的无线传感器网络定位问题。相比于ML估计方法和线性最小二乘法，具有无需选取初始值，稳定收敛等优点。下一步将重点研究所提出的SDR-ML算法在传感器位置不确定情况下的应用。

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