1 引言

基于可靠性的多学科设计优化（Reliability-based Multidisciplinary Design Optimization，RBMDO）是充分考虑复杂系统设计中不确定性因素的影响，以提高产品质量为目的，通过设计优化策略组织和管理设计过程，利用各学科相互作用产生的协调效应获得满足可靠性要求的系统整体最优解。RBMDO是对大型复杂工程系统进行综合优化设计的有效方法[1]。而其中的多学科可靠性分析（Multidisciplinary Reliability Analysis，MRA）精度对 RBMDO结果精度起着至关重要的影响[2]。在多学科可靠性分析方法的研究上，文献[3]基于最可能失效点（Most Probable Point，MPP）和并行子空间优化策略（Concurrent Subspace Optimization，CSSO）进行MRA，结合局部灵敏度分析允许子系统并行进行可靠性分析。文献[4-5]基于性能测量法、多学科可行法和序列规划法进行多学科可靠性分析。文献[6]基于两级一体化法（Bi-Level Integrated System Synthesis，BLISS）将可靠性分析和系统分析分解，采用先进的一阶可靠性方法进行可靠性分析。文献[7]在SORA（Sequential Optimization and Reliability Assessment）框架下将单学科可行法（Individual Disciplinary Feasible，IDF）与逆可靠度方法（Inverse Reliability Strategy，IRS）结合进行多学科可靠性分析。文献[8]提出基于性能测量法和CSSO的序列化多学科可靠性分析。在可靠性分析的应用上，文献[9]研究了基于Matlab和iSIGHT的门式起重机金属结构的系统可靠性分析应用。文献[10]将可靠性分析应用到斗轮结构的设计优化中去。

可靠性分析的主要任务就是计算故障的概率Pf。准确的计算Pf运算量较大，因此需要近似。最流行的近似方法包括改进均值法，一次可靠性分析方法（FirstOrderReliabilityMethod，FORM）和二次可靠性分析方法（Second Order Reliability Method，SORM）。上述方法都是基于一阶可靠性分析方法，它计算效率高，但是在计算非线性极限状态函数问题时会变得不准确。SORM可以精确的计算非线性极限状态函数问题但是它的计算效率比较低。提出的方法的目的是在保证计算效率的基础上改善FORM的精度。方法基于单变量降维法和鞍点近似法。采用了二次多项式近似极限状态函数，同时引入了鞍点近似计算失效概率，因此减少了该方法计算过程中的精度流失，从而提高了计算精度。因此该方法比一阶可靠性分析方法有更高的计算精度。

2 FORM和SORM的介绍

2.1 FORM

典型的概率约束条件可表示为：R=P｛g（x）≥0｝≥Rt （1）

式中：P（■）—概率约束函数；g（■）—极限状态函数，X=｛X1，X2，…，XN｝T—由N个正态分布的随机变量组成的N维随机向量；R—概率约束函数的可靠度；Rt—给定的可靠度要求。概率约束函数的可靠度由联合概率密度函数fx（x）在安全区域的多重积分获得：

波里马和陕2A两大类型不育系的微粉问题在一定程度上影响了两大不育系杂交种的质量。近年来，通过农业科研技术工作者的努力，针对微粉在生产上的问题有了很大程度改善[9-13]。通过调节播期、摘顶、调节行比、化学杀雄或异地制种等栽培手段控制不育系微粉的缺陷，虽然取得了一定成效，但仍不完善，存在加大了制种成本、技术措施不易操作、延缓了种子销售时间从而增加了企业资金周转期等问题。因此，只有发现或培育出一种不育性稳定的新细胞质不育系，才能从根本上解决目前胞质不育系微粉问题。

 

FORM方法在计算式（2）时，首先在U空间中将g（X）在初始点处进行泰勒级数展开至一次项。然后利用了随机变量的均值和方差的信息，用迭代法逐步逼近真正的MPP点，并由式（3）迭代计算求得该点的值u*。最后，概率约束函数的可靠度R通过式（4）计算。

 

式中:的二次导数。

（Zi/σzi）2的累积生成函数由下式给出：

2.2 SORM

对于非线性的极限状态函数，一次可靠性分析方法（FORM）方法的误差较大，其应用面临挑战。而二阶可靠性分析方法（SORM）一般比FORM法的精度高。SORM法计算失效概率的公式化定义可表示为

因为Zi是Xi的线性函数，所以它遵循参数为N（μzi，σzi）的正态分布。其中

同天，2018第二届食品饮料智能物流技术与应用论坛在C3室外展区举行，会议以“食品安全，物流先行”为主题，吸引了广大食品饮料及物流行业等专业人士的交流与讨论。现场，林德（中国）产品管理经理柯凌晟先生分享了《解冻您的物流作业效率》的主题演讲，鲜明地介绍了林德叉车及其相关物流解决方案，如何实现物流作业效率提升和智能化升级，引起了与会人员的关注与肯定。

3 基于鞍点近似的高效SORM方法

3.1 SORM法精度损失分析

传统基于最可能失效点（MPP）的SORM方法在进行可靠性分析的过程中一般有四种近似：（1）极限状态函数的近似表示（如泰勒展开）；（2）非正态随机变量当量正态化造成的转化误差，以及求解MPP点过程中的截断误差；（3）可靠度指标是数值推导的近似结果；（4）由近似的可靠度指标计算失效概率带来的误差。

所提的方法可以从以下方面来提高可靠性分析的精度：减少（a）类误差：通过二次多项式近似极限状态函数，保证方法的精度与 SORM 法相当；消除（b）、（c）、（d）类误差：首先所提方法不是基于MPP的方法，因此可以杜绝由于MPP点搜索和当量正态化的转化所造成的误差。其次利用鞍点近似直接求解失效概率，避免使用可靠度指标方法计算失效概率的误差。

3.2 二次多项式组合近似逼近极限状态函数

所提方法在均值点处进行极限状态函数的二次多项式展开，假设极限状态函数可以如下表示：

不失一般性，令ci为正，则最后得到的gˆ（X*）可变形如下：

 

所提方法的可靠性计算步骤大致如下：

首先计算均值点处极限状态函数的全局灵敏度方程（GSE）和海塞矩阵，海塞矩阵计算如式（7）。

 

由均值点（x*i）处的GSE方程可获得极限状态函数在x*i处的梯度g（x*），而近似函数的梯度可表示如下：

 

由极限状态函数和近似极限状态函数在均值点处的性质可列方程组：

“一带一路”倡议视野下国际贸易法律复合人才法律英语教学是面向国际贸易发展的高端人才培养，是建立在先进的教学理念基础上的教学活动。随着我国高校扩招，对于人才培养的实际质量和就业统计，明显存在较大水分。高校在毕业生就业率统计过程中弄虚作假的情况比比皆是，以这样的人才培养目标实现和评价机制来反思人才培养的理念，具体到法律英语课程的教学理念，毫无疑问，是不可能培养出有效的创新型人才的。国际贸易法律复合人才不仅需要培养人才的国际化思维，而且必须掌握多种实践应用技能的复合型高端人才。很显然，目前人才培养的教学理念尚无法给予法律英语课程教学更好地指引。

 

式中主对角线元素组成的对角矩阵。

由方程组即可求得Δgˆ（x）的各个系数。其中，极限状态函数的海塞矩阵的对角线值即是Δgˆ（x）的各个二次项系数。

1.2 实验设备 DWC150型动物实验加压舱，购于上海 701 所杨园医用氧舱厂。MyLab 30CV型彩色超声成像系统（LA435 超声探头），购于意大利百胜集团公司。BC-2800 Vet型全自动动物血液细胞分析仪，购于深圳迈瑞生物医疗电子股份有限公司。XL1000e 系列全自动凝血测试仪，购于北京众驰伟业科技发展有限公司。

 

式中：βF—一阶可靠性指标；ki（i=1，……n）—极限状态函数在MPP点处的主曲率；Φ（·）—标准正态分布的累积分布函数。SORM法比FORM法计算精度高是因为其在验算点处采用了高次曲面来近似极限状态函数。这种曲面近似的方式较平面近似更易拟合实际极限状态函数，而又不会使计算量过于增大。

3.3 鞍点近似计算失效概率

鞍点逼近有如下特点：计算简便，可操作性强；对函数的整体逼近效果优良，对尾概率分布逼近效果非常好；当密度函数已知而分布函数计算困难时，鞍点逼近十分有用。而可靠性分析有时面对的工程问题较为复杂，极限状态函数的分布函数难以求得，而鞍点逼近无疑是一种有效的解决方法。下面针对上节求得的多项式近似极限状态函数运用鞍点逼近方法求解其失效概率。

根据卡方分布的性质，（Zi/σzi）2遵循自由度为1的卡方分布，即（Zi/σzi）2～Χ2（1，λ），式中

上述工作贯穿于油田开发的全过程。对此，我们称之为油气生产的战术接替。随着其采出程度的提高和上述各单项措施本身经济效果的相对降低，老油田（区）多种措施的增产难以弥补自然递减以致出现越来越大的综合递减，伴之而来的是经济效益的下降。

2.2.3 反应时间 缩合反应中时间通过热力学控制能稳定的产物的转化率，有机胺B反应活性较低，通过增加反应时间有利于控制产物的转化率。当缩合反应转化率越高，再下一步的羟甲基化反应中产物转化率也会相应提高，根据文献研究显示一般羟甲基化反应转化率在95%以上，实验条件控制合理情况下一般能到达99%以上。实验长链烯基A和有机胺B比例为1∶1.2，反应温度控制在25℃，催化剂比例为0.25%，搅拌速度为50r·min-1，结果见图5。

采用SPSS 18.0统计学软件处理数据，计量资料用（±s）表示，采用 t检验，计数资料用[n（%）]表示，采用χ2检验，P＜0.05为差异有统计学意义。

 

式中：（t）—K（gˆt）的导数。

 

求出近似函数的累计生成函数后，即可用鞍点逼近近似估计出极限状态函数的失效概率。具体步骤是，首先通过下式计算鞍点：

应用上述性质可以得到gˆ（X）的累积生成函数：

则功能函数的概率密度函数为：

3)通过优化地质选井选层、优化压裂施工规模、优化射孔方式、优化压裂液、加强现场施工管理等措施，有效减少压裂波及邻井情况发生，工艺成功率100%。对其他类似区块老井区的压裂具有指导意义。

 

式中：Φ（·）—标准正态分布的概率密度函数。

 

从上述的计算过程看到，FORM方法以一次泰勒级数展开式为基础的可靠性分析方法对于非正态分布的随机变量和非线性的极限状态函数等问题上还存在着相当的近似性，会带来无法估计的计算误差，而极限状态函数的非线性问题却是复杂产品的可靠性分析中经常要遇到的，在对非线性问题可靠性评估中，FORM方法的计算精度显然不能满足高精度的工程需求。

4 算例验证

这里使用一个数值算例证明所提方法的有效设原始设计空间的极限状态函数为

式中：R′、D′—独立的随机变量，R′服从正态分布，μR′=170，σμR′=24.99；D′服从正态分布，且 μD′=29.4，σμD′=2.9988。这是一个简单的可靠性分析算例。但是其是典型的非线性问题。因此很有代表性。

先用传统SORM渐进法计算失效概率。首先将极限状态函数转换到标准正态空间内，由自编程求得一次可靠性指标βF=2.9082，及标准正态空间验算点：U*（r*，d*）=（-1.7204，-2.3388）。将验算点值代入，可得K值及B矩阵及J值。

如果将高中政治教学局限在课堂内，那么高中政治教学工作也将仅仅发挥其应试教育的作用，不能有效调动学生的学习积极性，这在一定程度上会削弱高中政治教学效果。要实现基于学生发展核心素养的高中政治课堂转向，满足课程改革提出的新要求，使高中政治教学工作得以平稳有序的开展，就要本着以人为本的工作和教学态度，平稳有序地扩展高中政治教学边界，发掘新的可能性，与此同时，加强与学生之间的沟通与交流，聆听学生的困惑和建议，从而制定出更加灵活的教学策略，为高中政治教学的创新提供新思路，探索新路径。

 

最后可计算得：Pf=2.2594。

然后使用所提方法进行计算。首先在均值点处进行二次多项式近似，易得：gˆ=R-（47.2214D2-86.5756D+32.1542）

求得极限状态函数的累积量母函数后，利用鞍点近似获得的失效概率为2.2594。与其他方法的计算结果对比，如表1所示。为了对比，使用FORM法和渐进法对该算例进行了计算。并用样本容量为106的蒙特卡洛法（MCS）作为标准去检验各种方法的准确性。

迈克尔逊和莫雷并没有更深入地追究“以太”是否存在的问题。迈克尔逊把他的干涉仪用于高精密度的物理测量上，他用实验发现，保存在巴黎国际度量局的标准米是镉光谱光线波长的1 553 163.5倍，他为长度基准找到了一个非实物的标准。1907年，迈克尔逊由于在“精密光学仪器和用这些仪器进行光谱学的基本长度测量”方面的研究荣获诺贝尔物理学奖。

 

表1 计算结果对比Tab.1 Comparison of Calculation Results

  

可靠性方法 β Pf×10-3 errPf函数调用次数FORM 2.9028 1.849 2.42% 14 SORM（渐进法） 2.8298 2.3287 -0.13% 14 SORM（鞍点近似） 2.8324 2.2594 0.22% 1 MCS 2.8300 2.3275 0 105

由表1可知，几种方法对所提算例均获得了较为满意的结果。但是FORM法的误差最大。与鞍点近似方法比较而言，渐进法虽然误差最小，可是其调用了14次极限状态函数进行计算，耗费的计算资源较多。本算例为包含两个随机变量的情况，对于包含大量随机变量的可靠性分析问题，鞍点近似的方法将会更能体现它的高效率。

5 结论

提出了一种基于鞍点近似的高效SORM方法，方法利用极限状态函数的二次近似获得密度函数的累积分布函数，并运用鞍点近似求解失效概率。由于使用了二次逼近去代替极限状态函数，所以一般而言这种方法的计算精度比FORM法要高。虽然这种方法调用状态函数的次数较少，但其在实际的应用中的计算量体现在鞍点逼近求解失效概率的过程。所以其效率受计算机性能的影响也较大。另外对于极限状态函数为隐式的情况理论上这里方法也适用，因此对隐式极限状态函数的具体应用方式将是作者下一步的研究目标。

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