0 引言

随机微分方程能够较准确、真实地描述客观现象，其理论研究和应用都得到了迅速发展[1-2]。求解随机微分方程的数值方法主要有：随机Taylor方法、Euler方法、Milstein方法和随机Runge-Kutta方法。文献[3-8]相继研究了显式Euler方法。文献[9-11]又对隐式Euler方法进行了研究。文献[12-14]给出了Milstein方法的研究结果。1974年，文献[15]提出了Heun方法，后来文献[16-17]对Heun方法的收敛性和稳定性进行了研究，但Heun方法的稳定性对于步长的限制较严格，从而增加了计算成本。本文在Heun方法的基础上改进得到θ-Heun方法，并研究了θ-Heun方法用于求解标量自治随机微分方程的稳定性。

图 12：ht t p://img.mp.itc.cn/upl oad/20170701/9163525ddcac 45349232f 91671978e27_t h.j pg

1 随机微分方程及数值方法

1.1 随机微分方程

考虑标量自治随机微分方程[18]:

 

(1)

其中:f(X),g(X)是[a,b]上的连续可测函数，分别称为漂移系数和扩散系数，E<∞;w(t)是标准的winner过程，且与X0相互独立。当t>0，步长h>0时，增量△w(t)=w(t+h)-w(t)是一列服从正态分布N(0,h)且相互独立的随机变量。

方程(1)一般有两种特殊的形式[19]：当g(X)关于X为线性时，称为乘性噪声；当g(X)为常量时，称为加性噪声。为了研究随机微分方程数值方法的性质，对随机微分方程用数值方法迭代一步得到的迭代式记作：Xn+1=R(h,λ,μ,△wn)Xn。

1.2 θ-Heun方法

定义1 设N是正整数，h=b-a/N，tn=t0+nh=a+nh，n=0,1,…，N,称

 

(2)

Xn+1=Xn+h[(1-θ)f(Xn)+θf(Xn+hf(Xn))]+g(Xn)△wn， θ∈[0,1]，

(3)

现在讨论特殊的随机微分方程：

定义2[20] 令R1(h,λ,μ)=E(R2(h,λ,μ,△wn))，则称R1(h,λ,μ)是此方法的均方稳定函数。如果给定步长h，|R1(h,λ,μ)|<1，则称此数值方法是均方(mean square,MS)稳定的。若令p=λh,q=μ2h，则记R1(h,λ,μ)为R(p,q)，称为该数值方法的稳定区域，简称稳定域。

1.科技创新补贴。与单一科技创新补助金额相比，本文更加关注创新驱动政策实施后，相关地方区域性创新补贴的内在变动，扶持重点是否发生调整。因此本文在变量设计上选择了地方创新补助项目比重(Subsidy_local)、创新科技财政补助项目数量(Subsidy_item)、创新补助基准(Subsidy_item_mean)、集中度(Subsidy_item_sd)、创新科技补助金额(Subsidy_R and D)来刻画科技创新补贴的变动。

定义3[18] 对于一个给定的步长h，一个数值方法用于解随机微分方程得到其离散解如果存在两个正常数m和N使得：

E≤NEe-mnh， ∀n≥0，

(4)

则称此数值方法对于随机微分方程在均方意义下是指数稳定的。

2 θ-Heun方法的稳定性分析

分别为求解随机微分方程(1)的Heun方法和θ-Heun方法,其中,Xn+1为用数值方法得到的数值解。

李大钊同志的农民教育思想离不开中国是一个农民人口大国的国情，他在1919年的《青年与农村》中提出：“他们（农民）若是不解放，就是我们国民全体不解放；他们的苦痛，就是我们国民全体的苦痛；他们的愚暗，就是我们国民全体的愚暗；他们生活的利病，就是我们政治全体的利病。”[2]648-649他的农民观是马克思主义中国化了的思想实际，契合中国农民大国的实际，农民问题是中国问题之主要问题，农民问题的解决将决定着其他问题的走向。

 

(5)

[8] BUCKWAR E.Weak approximation of stochastic differential delay equations[J].IMA Journal of numerical analysis,2005,25(1):57-86.

Xn+1=Xn+h[(1-α)λXn+αλ(Xn+λhXn)]+μXn△wn,

整理得：

Xn+1=(1+λh+h2λ2α+μ△wn)Xn=R(h,λ,μ,△wn)Xn。

(6)

定理1 θ-Heun方法对方程(5)是均方稳定的充要条件：(1+λh+h2λ2α)2+μ2h<1。即稳定区域为：S={(p,q)|(1+p+p2α)2+q<1且q>0}。

证明 充分性：

R1(h,λ,μ) =E(R2(h,λ,μ,△wn))=E(1+λh+h2λ2α+μ△wn)2=

E((1+λh+h2λ2α)2+μ2△wn2+2μ△wn(1+λh+h2λ2α))=

一杭嘴对着酒壶，将残酒一口气喝光，叫店小二埋了单，挺着肚子扶着楼梯下了楼。风一吹，酒劲涌上来，赶紧扶着一棵斑驳的梧桐树呕吐不止。店小二并不关心出门的顾客，“吱呀”一声，将店门关上了。

(1+λh+h2λ2α)2+μ2h,

(7)

若(1+λh+h2λ2α)2+μ2h<1，即|R1(h,λ,μ)|<1，根据均方稳定的定义知θ-Heun方法对方程(5)是均方稳定的。

必要性:

本文所有数据将采取SPSS18.0软件来进行处理和分析,计量资料用均值±来表示,P<0.05为差异具有统计学意义。

门外响着鸡叫，窝在被窝里的周泽赡抬抬眼皮，起身去上厕所。如厕后，周泽赡又瘫在床上，怀里抱着娃娃，闭上眼沉睡去。

对Xn+1=(1+λh+h2λ2α+μ△wn)Xn两边求模方，Xn与△wn是相互独立的[1]，于是有：

E =EE=

((1+λh+h2λ2α)2+μ2h)E=R1(h,λ,μ)E。

(8)

若θ-Heun方法是均方稳定的，由均方稳定的定义可知：|R1(h,λ,μ)|<1，即：

(1+λh+h2λ2α)2+μ2h<1。

令p=λh,q=μ2h>0，则由式(7)有：

学习仅仅是计算机科学中的一个专门术语，用更为严格的数学语言来说，学习即是统计的意思。机器学习，简单地说，仅仅是利用计算机这个平台，利用统计学的方法，去对数据集进行分析与归纳。现代个性化的推荐系统便是机器学习中的一个重要的主题，也是我们日常生活中较为熟悉的一个机器学习的贴切的例子。推荐算法是推荐系统的核心所在，一个特定的算法本质上就是一个计算的过程。推荐算法的计算主要来自于数学中的线性代数与概率统计，其中一个核心的概念，便是矩阵。

R(p,q)=(1+p+p2α)2+q，

定理2 θ-Heun方法对方程(5)是指数稳定的充要条件是(1+λh+h2λ2α)2+μ2h<1。

S={(p,q)|(1+p+p2α)2+q<1且q>0}。

即θ-Heun方法对方程(5)是均方稳定的充要条件是：(1+p+p2α)2+q<1。即稳定区域为：

证明 为书写方便，记r=(1+λh+h2λ2α)2+μ2h，由式(8)反复递推得：

E=rnE=eln rnE=enln rE=[eln r]nE。

(9)

必要性:若θ-Heun方法对方程(5)是指数稳定的，根据指数稳定的定义有：

E≤NEe-mnh， ∀n≥0，

再根据式(9)有：

[eln r]n≤Ne-mnh。

又因为式(4)对任意的n都成立，故取则：

传统的入学教育主要有军事国防教育、爱国主义教育、校规校纪教育、专业教育、学习方法教育、职业生涯规划教育等。

 

从而r<1，即(1+λh+h2λ2α)2+μ2h<1。

充分性:若r<1，对于任意满足r的步长h，取则：

∀n≥0，

于是：

E=R1nE<2R1nE=NEe-mnh, ∀n≥0，

即存在两个正常数使得E≤NEe-mnh,∀n≥0，根据指数稳定的定义知该方法对方程(5)是指数稳定的。

定理3 θ-Heun方法对方程(5)是指数稳定和均方稳定等价的。

证明 若θ-Heun方法对方程(5)是指数稳定，则根据指数稳定的定义有：存在正常数m和N，使得

参考文献：

E≤NEe-mnh， ∀n≥0，

而E=R1nE，则

R1nE≤NEe-mnh, ∀n≥0,

从而R1n≤Ne-mnh,∀n≥0，取有：

 

从而R1<1，即θ-Heun方法对方程(5)是均方稳定的。

若θ-Heun方法对方程(5)是均方稳定的，则根据均方稳定的定义有：|R1(h,λ,μ)|<1，即：(1+λh+h2λ2α)2+μ2h<1，对于任意满足|R1(h,λ,μ)|<1的步长h，取则：

∀n≥0,

于是：

E=R1nE<2R1nE=NEe-mnh, ∀n≥0,

即存在两个正常数使得E≤NEe-mnh,∀n≥0，根据指数稳定的定义知，该方法对方程(5)是指数稳定的。

脑卒中是中老年人的常见病、多发病,大部分患者会遗留不同程度的功能障碍, 偏瘫上肢活动障碍对患者生活质量影响很大[1]。上肢在皮层中占的比例大，受损后脑功能重组难度大，偏瘫上肢常呈屈曲痉挛模式、手抓握状畸形、肩手综合症等是康复难题，临床上常予以肩部悬吊、肌内效贴、磁热疗法、针灸、神经肌肉电刺激等进行对症处理，但效果欠佳。因此，进一步探索新的康复治疗方法，更好地改善偏瘫患者上肢功能，具有十分重要的意义。本研究对脑卒中偏瘫上肢运用新Bobath技术治疗脑卒中偏瘫患者，疗效较好，报道如下。

3 数值实验

对于方程(5)，令在区间[0,1]上，选取3个不同的步长分别利用θ-Heun方法和Heun方法进行迭代，运用绘图软件绘制结果。图1为θ-Heun方法的均方稳定性。图2为Heun方法的均方稳定性。

  

图1 θ-Heun方法的均方稳定性图2 Heun方法的均方稳定性

从图1中可观察到：当时，由均方稳定的定义知，θ-Heun方法是均方稳定的。对于图2，只有当h=1时，Heun方法才是均方稳定的。通过对比得到θ-Heun方法的稳定性比Heun方法的稳定性对步长的要求低。

4 结论

对求解随机微分方程的Heun数值方法进行改进，得到θ-Heun方法。以标量自治随机微分方程为例，研究了θ-Heun方法的均方稳定性和指数稳定性。并通过数值实验，验证了用θ-Heun方法求解方程(5)时，解的均方稳定条件对步长的要求比Heun方法低。本方法仍需进一步改进，以提高求解随机微分方程的稳定性。

我国征地制度的改革探究已经开展了许多年，并受到了广泛关注。过度占地是我国社会发展和经济建设中最突出的问题，已经远超过可控范围。经济增长偏热、投资规模过大是面临的主要问题，一些地方过于追求经济的增长而采用低地价甚至是零地价来实现招商引资，造成耕地量急剧持续下降，尤其是人均耕地面积。在这种情况下，土地被过度占用，导致人们的生活环境和整体经济的发展都受到了严重影响。为此，有必要进一步健全和强化宏观调控，落实对占用地的监管。从农村人民发展经济的长远利益考虑，允许任何一种对国家发展有积极意义的经济形式存在。

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Environmental Protection Measures Against Noise and Dust Caused by Road Construction……………YAO Wen’gang, WEI Chen, LI Xiaodong(4·78)

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为求方程(5)的解，将区间[0,T]进行N等分，0=t0<t1<…<tn<…<tN=T，其中T=Nt，且tn=nh。则求解方程(5)的θ-Heun方法的差分格式为：

[1] 武文娜，周圣武，黎伟.分数布朗运动下支付红利的亚式期权定价[J].河南科技大学学报(自然科学版),2012,33(4)：100-104.

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[18] 李井刚，朱晓临，王子洁.一种基于随机Taylor展开式的随机微分方程数值解法[J].大学数学，2013，29(4)：44-51.

我国高校学生党建工作是一项复杂的工作，要求在党建工作过程中，既要重视对理论基础的教育，又要重视实践工作的发展。因此，在进行高校学生党建工作过程中，需要注重理论与实践相结合。首先，高校应当合理规划高校学生党建工作的课时，合理安排理论课程与实践课程的比例，能够促进理论教育和实践教育相结合；其次，重视高校学生党建工作中的实践活动，充分认识到实践活动的重要性，只有这样才能促进高校学生党建工作在实践中不断发展。

[19] 朱霞，阮立志.求解随机微分方程的两种方法的稳定性分析[J].中南民族大学学报(自然科学版)，2006,25(2)：98-100.

[20] WANG W Q,CHEN Y P.Mean-square stability of semi-implicit Euler method for nonlinear neutral stochastic delay differential equations[J].Applied numerical mathematics,2011,61(5):696-701.

我在这个时候往往会在心里狠狠地骂上一句：“你给我闭嘴！”但仍要不动声色地跟家属讲清楚道理：“我个人不认为这个时候做X检查有什么必要，我高度怀疑患儿就是生长痛，你要非给孩子做这个检查也行，反正……有辐射，你看着办。”