0 引言

考虑如下的凸半无限规划(semi-infinite programming,SIP)问题：

市水管委主任由市长亲自担任，常务副主任由分管水利的副市长担任，成员由23个部门以及各县（市、区）政府分管水利工作的领导组成。水管委下设水资源管理办公室，实行与水利局合署办公的改革模式。与其他地区成立水务局的水务改革方案相比，级别更高，更具权威，更能协调和监督市水管委各个成员单位、职能部门和各县（市、区）实行水务一体化管理。

 

(1)

其中：Ω为Rn中一闭集；f:Rn→R∪{∞}为广义实值凸函数;对每个w∈Ω,g:Rn×R→R关于变量x是凸函数。

半无限规划问题的一个特例为线性半无限规划(linear semi-infinite programming,LSIP)问题。文献[1-2]给出了LSIP问题的拉格朗日函数,并利用该函数得到对偶问题,给出了原问题与对偶问题的强对偶定理。在假设退化条件成立的前提下,文献[3]利用标准的拉格朗日函数研究了凸半无限规划的对偶定理,并且将半无限问题转化为有限问题。文献[4-8]也在标准拉格朗日函数的基础上,利用鞍点准则讨论了无对偶间隙问题。文献[9-12]讨论了锥上的半无限规划问题,在锥约束下,利用标准拉格朗日函数证明了强对偶性。文献[13]讨论了在标准拉格朗日对偶下,集值最优化问题的对偶。文献[14]讨论了多目标规划的对偶问题。文献[15]利用增广拉格朗日函数讨论了零对偶间隙问题。在增广拉格朗日函数的基础上,文献[16]用新的拉格朗日乘子法求解约束非线性优化问题。现有的大部分文献，均是在拉格朗日函数的基础上得到约束规划的对偶问题，而利用增广拉格朗日函数研究对偶问题的内容较少见。本文首先给出了修正的增广拉格朗日函数,然后在此函数基础上得到了对偶函数,从而得到多变量的对偶问题,证明了原问题与对偶问题的强对偶性。

本文采用增广拉格朗日函数,其形式为:

 

其中：Ω为Rn中一闭集；f:Rn→R∪{∞}为广义实值凸函数；对每个w∈Ω,g:Rn×R→R关于变量x是凸函数；λ≥0，μ≥0为增广拉格朗日乘子。事实上,该方法是已有方法[2-3,8-9,12，15]的一个推广,在增广拉格朗日函数中,令μ=0,即可得到标准拉格朗日函数。同时,将增广拉格朗日函数中的二次项部分进行修改,而且修正后的增广拉格朗日函数的性态不变。与现有文献相比,在对偶性的证明过程中改变了经典的拉格朗日函数,增加了二次项部分,形式更一般化,但仍能得到弱对偶与强对偶成立的结论，同时完善了利用拉格朗日函数研究凸半无限规划对偶问题的理论体系。

1 凸半无限规划与其对偶问题之间的弱对偶性

对于问题(1),对应的拉格朗日函数为：

L(x,λ)=f(x)+λg(x,w),

(2)

其中：λ≥0为拉格朗日乘子。继续考虑拉格朗日对偶,给出增广拉格朗日函数。

其中:c=(c1,c2,…,cn)T,ci∈Rn,i=1,2,…,n，Ω为Rn中一闭集。

 

(3)

其中：λ,μ为增广的拉格朗日乘子,λ≥0,μ≥0。

结论得证。

由式(3)可知：

 

(4)

因此,问题(1)可以写成极大极小形式

 

(5)

则问题(1)的拉格朗日对偶问题是：

证明 根据假设2,由g(x,w),w∈Ω的凸性可以得到关于变量x的凸性。结合假设1，有:

 

(6)

定义对偶函数为：

 

(7)

则问题(1)的拉格朗日对偶问题为：

 

(8)

其中：称问题(1)和问题(8)分别为原问题(P)和对偶问题(D),分别用val(P)和val(D)表示原问题(P)和对偶问题(D)的最优值。用Sol(P)(可能是空集)标记原问题的最优解集。

下面给出原问题(P)和对偶问题(D)最优值之间的关系。

颜姨是米多兄妹俩的监护人。自从米多的双亲去世后，她就一直照顾他们。不过，因为从事外贸工作，颜姨总是“飞”来“飞”去，在家的时间非常有限。

定理1 弱对偶定理

假设x∈Rn和(λ≥0,μ≥0)分别是原问题(P)和对偶问题(D)的可行解,则有：

θ(λ,μ)≤f(x)。

(9)

证明 由θ(λ,μ)的定义可以得到：

 

立足当地道教信仰的文脉，与时俱进的植入“绿色经济，茶的文明”[10]的现代文化因子，把茶产业做出茶文化和茶信仰，并以此规范群众的茶叶种植和市场交易行为。为了使茶坛更具神圣感，茶坛的设计者们，立足地方特色，从传统文化找灵感，从坛的建造到祭坛过程都赋予神圣的仪式感。孙君先生在《五山模式》一书中有详细记载[11]。

推论1 假设x∈Rn和(λ≥0,μ≥0)分别是原问题(P)和对偶问题(D)的可行解,则有:

由A，B两种零件的仿真优化结果可得，带检测夹具方式的零件加工质量成本控制方法提高了零件加工精度，降低了制造成本。

 

(10)

根据定理1，易得该结论。

定理3 在假设1和假设2下,对任意的λ,μ≥0,有L(x,λ,μ)=L**(y*,λ,μ)。

证明 结合和推论1,有:

 

即对任意的都有表明是原问题(P)的最优解。根据定理表明(λ≥0,μ≥0)是对偶问题(D)的最优解。

浙江省纪委督导调研组近日在暗访时发现，有些机关单位的工作微信群和政务办公群，已经成为形式主义的温床。因为“干得好不如晒得好”，所以有些基层干部，便把手机当作展示政绩的“秀场”。一天到晚，用指尖刷数字、刷进度、刷形象。据说有人为了刷下乡走访的里程，还专门到院子里或大街上溜圈。

推论3 若则原问题(P)无解。

党的十七届六中全会作出了《关于深化文化体制改革，推动社会主义文化大发展大繁荣若干重大问题的决定》，中华民族优秀文化又迎来了一个新的发展机遇，中国共产党为了民族的伟大复兴提出了一个新命题。笔者认为，要推动社会主义文化大发展大繁荣，中国共产党必须首先加强自身的思想文化建设。

根据推论1,易得该结论。

如果则对任意的λ≥0,μ≥0,令θ(λ,μ)=-∞。

2 凸半无限规划与其对偶问题之间的强对偶性

该部分讨论使得强对偶关系val(P)=val(D)成立的条件。给出下面符号:

(Ⅰ)令

 

(11)

(Ⅱ)令

 

(12)

对偶理论是凸半无限规划中一个重要的部分。然而,实际中的很多问题与其对偶问题之间存在对偶间隙。本文为消除对偶间隙，给出了一种修正的增广拉格朗日函数,并系统地讨论了凸半无限规划与其对偶问题之间的弱对偶特性与强对偶特性。提出的修正的增广拉格朗日函数对讨论弱对偶与强对偶特性是有意义的。在适当的假设下,强对偶特性成立,即不存在对偶间隙。而且该方法是已有方法的一个推广。

定义1 (对偶间隙) 如果fmin>θmax,则称原问题(P)和对偶问题(D)之间对偶间隙存在。用δ=fmin-θmax标记对偶间隙。

试剂：t-BAMBP(纯度大于90%，北京瑞乐康分离科技有限公司)；二甲苯(纯度大于99%，天津天力化学试剂有限公司)；氢氧化钠(分析纯，国药集团化学试剂有限公司)。

前人学者在“直播”与“转播”、从无形财产向邻接权转化等方面对于体育赛事转播权的分类思考，事实上属于对体育赛事转播权“构成”的思考。本文认为，体育赛事转播权并非单一的权利概念，它在结构上包含了几个层次，这些层次在法律上有不同的定性。

这样, val(P)=val(D)等价于δ=0。考虑如下含参问题Dy:

 

(13)

其中:

 

(14)

易得ψ(λ,μ,y)关于变量λ,μ,y是线性的,则ψ(λ,μ,y)关于变量λ,μ,y也是凸函数。定义如下函数：

 

(15)

根据函数上确界与下确界的关系,有：

建筑工程设计管理中运用BIM完成相应的管理工作时，为提高工作效率，增强工程设计管理效果，需要考虑BIM应用过程中的相关问题[3]。具体包括：

 

(16)

因为一个线性函数的上确界函数或者下确界函数既是凸函数又是凹函数,因此，v(y)是广义实值凸函数。显然val(Dy)=-v(y)且val(D)=-v(0)。做如下假设:

假设1 f:Rn→R∪{∞}是正常凸且下半连续的。

假设2 g(x,w):Rn×R→R,(w∈Ω)关于变量x是凸函数；Ω是Rn中一闭集。

待实验结束后，分别对实验组与参照组发放调查问卷，参照组共发放问卷71份，回收有效问卷65份；实验组共发放问卷70份，回收有效问卷67份，并对问卷中有关评价方法的数据进行对比。通过参照组与实验组的调查问卷统计数据发现，评价方法与评价指标对团队配合与成员参与度的提升有着明显的作用，但传统评价方法的认可程度明显低于改进后评价方法的认可程度，见图2。

定理2 对任意的增广拉格朗日乘子λ,μ≥0,函数L(x,λ,μ)关于x是正常凸且下半连续的。

本研究的主要内容是高校团委开展创业工作的具体情况和对高校开展团委创业工作的必要性分析。从中寻找高校团委开展创业活动过程中的优势与不足，以此进行讨论与思考，探求出更好的方式方法。

 

是正常凸且下半连续的。结论得证。

定义2[17](共轭函数) 给定正常凸函数f:Rn→(-∞,+∞],由

f*(ξ)=sup{<x,ξ>-f(x)|x∈Rn}

(17)

定义的函数f*:Rn→[-∞,+∞]称为f的共轭函数。

推论2 如果其中是原问题(P)的可行解,(λ≥0,μ≥0)是对偶问题(D)的可行解,则和分别是原问题(P)和对偶问题(D)的最优解。

根据定理2和文献[18]的推论12.2.1,易得该结论。

现在计算函数v(y)的共轭函数,有：

v*(y*

 

 

 

 

 

 

(18)

其中:L*(y,λ,μ)为L(y,λ,μ)的共轭函数;L**(y*,λ,μ)为L*(y*,λ,μ)的共轭函数。

引理1 假定假设1和假设2成立,则val(D)=-v(0),val(P)=-v**(0),Sol(P)=-∂v**(0),其中，val(D)表示对偶问题(D)的最优值,val(P)表示原问题(P)的最优值,Sol(P)表示原问题(P)的最优解集。

医院思想政治工作是医院为实现当前和长远的目标而奋斗的社会实践活动。其首要任务就是用科学发展观统领全局，引导职工不断提高对客观世界的认识能力。其核心是发扬救死扶伤的人道主义精神，全心全意为人民服务；目的是充分调动和发挥广大职工的积极性和创造性。它具有鲜明的政治性、严格的科学性、强烈的实践性、广泛的群众性、高度的综合性等特征。

证明 (Ⅰ)易得val(D)=val(D0)=-v(0)。

(Ⅱ)由于

v*

则

 

而且

v**(ξ)=sup{<ξ,x>-v*(x)|x∈Rn},

因此,所以,val(P)=-v**(0)。

(Ⅲ)因为

 

特别地,当x=0时,

 

因此,Sol(P)=-∂v**(0)。结论得证。

下面寻找使得强对偶特性val(P)=val(D)成立的条件。

定理4 假定假设1和假设2成立，且v**(0)有限,则val(P)=val(D)(即δ=0)成立，当且仅当v(y)在y=0处下半连续。

证明 因为v**(0)有限,即v**(0)<+∞,结合v(y)的凸性,有v**(0)=v(0)，当且仅当v(y)在y=0处下半连续。由引理1可得:val(D)=-v(0),val(P)=-v**(0)。因此,val(P)=val(D)，当且仅当v(y)在y=0处下半连续。

定理5 假定假设1和假设2成立，且v**(0)有限,则val(P)=val(D)(即δ=0)，且Sol(P)≠Φ成立，当且仅当v(y)在y=0处次可微。

证明 如果v(y)在y=0处次可微,即∂v(0)≠Φ,由v(y)-v(0)≥<ξ,y>,得v(0)有限且v(y)在y=0处下半连续,∂v(0)=∂v**(0),根据定理4有val(P)=val(D)和Sol(P)≠Φ。

反之,如果val(P)=val(D),即-v(0)=-v**(0),v(0)=v**(0)。又v**(0)有限且∂v**(0)≠Φ,这意味着∂v(0)=∂v**(0)≠Φ,因此,v(y)在y=0处次可微。结论得证。

注意到y=0在结果分析中起着关键作用,给出下面局部性质。

2．晁公武《郡斋读书志》：“《嵇康集》十卷。右魏嵇康叔夜也，谯国人。康美词气，有丰仪，不事藻饰。学不师受，博览该通；长好老庄，属文玄远。以魏宗室婚，拜中散大夫。景元初，钟会谮于晋文帝，遇害。”

定理6 假定假设1和假设2成立，且v**(0)、val(P)是有限的，则val(P)=val(D)(即δ=0)且Sol(P)非空有界，当且仅当下述命题成立：存在0∈Rn的一个球形邻域B使得对任意的y∈B,存在增广拉格朗日乘子λ,μ≥0,使得:

 

证明 假设条件成立，那么对任意的y∈B,存在增广拉格朗日乘子λ,μ≥0,使得ψ(λ,μ,y)>-∞,因此，对任意的y∈B有v(y)<+∞。在假设下有v(0)=v**(0)=-val(P)且val(P)有限,因此v(0)有限。由v(y)关于变量y的凸性,有v(y)在y=0处下半连续,应用定理4有val(P)=val(D),而且∂v(0)非空且有界,∂v**(0)非空且有界。因此,Sol(P)非空且有界。

反过来,假定Sol(P)非空且有界,则∂v**(0)非空且有界。这意味着,对0∈Rn的球形邻域B内任意的y∈B,v**(y)是有限的。也就是在0∈Rn的球形邻域B内,对任意的y∈B,v(y)是有限值,因此条件成立。结论得证。

3 算例

考虑如下的LSIP问题：

 

(19)

定义修正的增广拉格朗日函数为：

对任意的增广拉格朗日乘子λ,μ≥0,

 

则

 

因此，对问题(19),定理6中的条件等价于如下条件:

0∈inf {y∈Rn|y=c+λa(w),λ≥0}，

(20)

这说明拉格朗日函数改变后结论仍成立。

4 结束语

(Ⅲ)令<y,x>表示x与y的标准数量积。

参考文献：

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