图论在自然科学、经济管理以及社会问题中起着非常重要的作用，它是近几十年来发展迅速并且应用范围很广泛的一门学科，图的染色理论[1]是其重要的一个分支，它来源于1852年“四色猜想”问题的提出。Burris A C和Schelp R H提出了图的点可区别正常边染色；张忠辅等人在点可区别正常边染色的基础上提出了图的邻点可区别边染色[2]；张忠辅等人结合学习传播过程中的干扰和共振现象提出了图的邻点可区别全染色[3]；张忠辅等人提出了图的邻点强可区别全染色[4]。张忠辅教授在邻点可区别全染色的基础上，弱化了边的条件，进一步提出了邻点可区别的E-全染色，在文献[5-6]中得出了一些相应的结果。本文在此基础上得到了距离为3的图Mk(Pn3)、Mk(Cn3)的邻点强可区别区别E-全染色，下面给出相关的定义：

定义1[4]　设图G是阶数至少为2的连通图， 映射f:V(G)∪E(G)→{1,2,···,k}, 其中k为正整数，C(u)={f(u)}∪{f(v)}∪{f(uv)|uv∈E(G),v∈V(G)}。 如果f满足：

1) 对任意的uv∈E(G),f(u)≠f(v),f(u)≠f(uv),f(v)≠f(uv);

2) 对任意的uv,uw∈E(G),u≠w,f(uv)≠f(uw);

3) 对任意的uv∈E(G),u≠v,C(u)≠C(v)。

则称f为图G的k-邻点强可区别全染色，简记为k-AVSDTC,又称χast(G)=min{k|G有k-AVSDTC}为G的邻点强可区别全色数。

定义2　设图G是阶数至少为2的连通图， 映射f:V(G)∪E(G)→{1,2,···,k}，其中k为自然数，C(u)={f(u)}∪{f(v)}∪{f(uv)|uv∈E(G),v∈V(G)}。 如果f满足：

(1) 对任意的uv∈E(G),u≠v,f(u)≠f(v),f(u)≠f(uv);

(2) 对任意的uv∈E(G),u≠v,C(u)≠C(v)。

则称f为G的k-邻点强可区别E-全染色，简记为k-E-AVSDETC, 又称为图的邻点强可区别E-全色数。这里C(u)={f(u)}∪{f(uv),f(v)|uv∈E(G),v∈V(G)}。

由图的邻点强可区别全染色和图的邻点强可区别E-全染色的概念，下面引理成立：

定义3[7]　设G的顶点集合为V(G)={u1i|i=1,2,…,n}的简单图，n是正整数，称Mk(G)为G的k重Mycielski图，其中k≥2， 如果

V(Mk(G))={u1,1,u1,2,···,u1,n;u2,1,u2,2,···,u2,n;···;uk,1,···,uk,n;}∪{w}。

E(Mk(G))=　　　E(M(G))∪{uijui+1,l|u1ju1l∈E(G),1≤j,l≤n,1≤i≤k-1,}

∪{wvkj|vkj∈V(G),1≤j≤n}。

引理1[8]　对于无孤立边的简单图G，有

1　主要结论及其证明

定理1　设Pn是n(n≥4)阶的路，则有

 

低碳行为碳减排量的核算是碳普惠制实施的前提条件及数据基础。通过专业数据库和交易服务平台，将居民的减碳行为（如绿色出行、垃圾分类回收、节气节电等）进行具体量化计算，将经核证的减排量依据一定原则转化为碳信用或碳积分等，并结合商业机制对民众进行奖励。推广碳普惠制，有利于提高民众低碳意识，调动全社会践行绿色低碳行为的积极性，降低生活领域碳排放，符合城市可持续发展的内在需求。

情形1.1　当|C(w)|=3时，则点uij(除了u1j)和点w在邻点强可区别E-全染色的条件下，必存在j∈{1,2,…,n},使得C(u1j)=C(u1,j+1),与定义矛盾。

健康水平低下是导致抑郁发生最危险的因素之一，严重影响心理健康，空巢老人身体健康状况差、慢性疾病患病率较高，更易受外界刺激影响[6-7]，遇事常伴血压升高、心跳加快等症状，产生消极情绪且呈上升趋势，得不到合理宣泄，易陷入恶性循环的漩涡，出现严重心理问题。

情形1.2　当|C(w)|=4时，必存在j∈{1,2,…,n}, 使得C(ukj)=C(w),与定义矛盾。故下面给出图Mk(Pn3)的一个5-E-AVSDETC染色法，令f如下：

 

 

f(u1ju1,j+1)=3,　1≤j≤n-1。f(u1ju1,j+3)=3, 1≤j≤n-3。

1≤j≤n-1。

f(u1ju2,j+3)=3, 1≤j≤n-3。f(u1ju2,j-3)=3, 4≤j≤n。

当i≡0(mod 4)或i≡1(mod 4)时：

f(uijui+1,j+1)=4, 2≤i≤k-1,1≤j≤n-1。　f(uijui+1,j-1)=4, 2≤i≤k-1,2≤j≤n。

f(uijui+1,j+3)=4, 2≤i≤k-1,1≤j≤n-3。　f(uijui+1,j-3)=4, 2≤i≤k-1,4≤j≤n。

证明：易知χ(Mk(Pn3))=3，由引理1可知若设色集合C={1,2,3,4}，令：φ(w)=4。由图的结构知，|C(w)|≥3 ，下面分两种情形考虑：

当i≡2(mod 4)或i≡3(mod 4)时：

f(uijui+1,j+1)=5, 2≤i≤k-1,1≤j≤n-1。　f(uijui+1,j-1)=5, 2≤i≤k-1,2≤j≤n。

f(uijui+1,j+3)=5, 2≤i≤k-1,1≤j≤n-3。　f(uijui+1,j-3)=5, 2≤i≤k-1,4≤j≤n。

1≤j≤n。

柔性基层泡沫沥青冷再生配合比设计研究及应用…………………………………………… 唐启文，唐钱龙（5-111）

此时，各点的色集合的补集为：

1≤j≤n。

当i≡0(mod 4)或i≡2(mod 4)时：

当i≡1(mod 4)时：

如果设色集合C={1,2,3,4,5,6}，令：φ(w)=6。

当k≡0(mod 4)时：

定理2　设Cn是n(n≥4)阶的圈，则有

当k≡2(mod 4)时：

[6] 赵同彬,郭伟耀,韩 飞,等.工作面回采速度影响下煤层顶板能量积聚释放分析[J].煤炭科学技术,2018,46(10):37-44.

当k≡3(mod 4)时：

对于脖子粗的美少女，可以选择高领的毛衣来修饰脖颈，但是注意千万不要选择紧身高领毛衣，那样会让脖子显得更“局促”。尽量选择宽松的高领毛衣，领子不宜过高，适当露出部分脖子的皮肤，可以达到更好的修饰脸型效果。

显然， 对∀uv∈E(G)，,有C(u)≠C(v), 故结论成立。

当k≡1(mod 4)时：

 

证明：　下面分两种情况讨论：

情况1　当n≡0(mod 2)时，易知由引理1可知若则会出现与定理1类似的矛盾，故下面给出图Mk(Cn3)的一个5-E-AVSDETC染色法，令f如下：

1≤i≤k;1≤j≤n。

 

f(u1ju1,j+1)=3, 1≤j≤n-1。　f(u1ju1,j+3)=3, 1≤j≤n-3。

f(u1ju1,j+3-n)=3, n-2≤j≤n。　f(u11u1n)=f(u11u2n)=f(u1nu21)=3.

2≤j≤n。　 f(u1ju2,j+1)=3, 1≤j≤n-1。

口腔：将一份微球样品和1 mL 磷酸缓冲溶液(pH7.0， 10 mM)、6 mL纯水混合，然后和8 mL的模拟唾液混合，将pH调为6.8，置于37℃条件下搅拌10 min，搅拌速度为100 r/min.模拟唾液的制备如表1所示.

When ABC crank rotate at speed ω1=1 rad/s, the motion equation of point C on the upper horizon line track is in the following

f(u1ju2,j+3-n)=3, n-2≤j≤n。　f(u1ju2,j+n-3)=3, 1≤j≤3。

当i≡0(mod 4)或i≡1(mod 4)时：

然而，车内突然安静了，没有人回答他。杨年喜仍旧没有要说话的意思。而杨年丰握着方向盘的手似乎颤抖了一下。

第二，不仅应当切实立足实际的教学活动，也应超出各个具体内容并从更一般的角度去思考相关研究的意义，即是真正做到“小中见大”，用具体的例子说出普遍性的道理，从而真正起到“以点带面”的作用．

f(uijui+1,j+1)=4, 2≤i≤k-1,1≤j≤n-1。　f(uijui+1,j-1)=4, 2≤i≤k-1,2≤j≤n。

f(uijui+1,j+3)=4, 2≤i≤k-1,1≤j≤n-3。　f(uijui+1,j-3)=4, 2≤i≤k-1,4≤j≤n。

f(uijui+1,j+3-n)=4,2≤i≤k-1,n-2≤j≤n。f(uijui+1,j+3-n)=4, 2≤i≤k-1,1≤j≤3。

3.随着人民群众生育观念的转变，加之物价上涨使抚养子女成本逐年增加，越来越多的有觉悟的人选择生育独生子女，迫使乡村人口出生率自然下降，虽然部分群众响应国家政策选择生育二胎，但和过去相比，落后的自由式生育已经绝迹，取而代之的是晚婚晚育、优生优育等新时代婚育观。农村适龄儿童总数逐步减少，这也是农村小规模学校的主要成因之一。

f(u1ju2,j+3)=3, 1≤j≤n-3。　f(u1ju2,j-3)=3, 4≤j≤n。

f(ui1ui+1,n)=f(uinui+1,1)=4。

当i≡2(mod 4)或i≡3(mod 4)时：

f(uijui+1,j+1)=5, 2≤i≤k-1,1≤j≤n-1。　f(uijui+1,j-1)=5, 2≤i≤k-1,2≤j≤n。

f(uijui+1,j+3-n)=5,2≤i≤k-1,n-2≤j≤n。f(uijui+1,j+n-3)=5, 2≤i≤k-1,1≤j≤3。

1≤j≤n。

此时，各点的色集合的补集为：

1≤j≤n。

当i≡0(mod 4)或i≡2(mod 4)时：

当i≡1(mod 4)时：

当i≡3(mod 4)时：

当k≡0(mod 4)时：

当k≡1(mod 4)时：

当k≡2(mod 4)时：

当k≡3(mod 4)时：

显然， 对∀uv∈E(G)，有C(u)≠C(v), 故结论成立。

情况2　当n≡1(mod 2)时，易知χ(Mk(Cn3))=5，由引理1可知

当i≡3(mod 4)时：

由图的结构知，|C(w)|≥5 ，下面分两种情形考虑：

当着我的面，我妈总爱说我哪儿哪儿都不好，怎么怎么不争气；一转身，她就跟别人夸我好，夸我是她兜里的宝。初中毕业的时候，我被保送到我们那儿最好的高中。那个暑假，我妈脸上总挂着我从未见过的神色，活灵活现、得意扬扬，像个了不起的老小孩。

膜分离产业指应用膜分离技术的产业。本研究对象为我国膜分离产业内企业（以下简称膜企业）。数据来源包括两部分：一部分来源于现场调研，通过走访企业，参加2018年膜产业峰会、2018年青岛国际水大会获取膜企业的调研问卷。另一部分数据通过膜产业的相关协会等机构的统计年鉴获取。

情形2.1　当|C(w)|=5时，则点uij(除了u1j)和点w在邻点强可区别E-全染色的条件下，必存在j∈{1,2,…,n},使得C(u1j)=C(u1,j+1),与定义矛盾。

情形2.2　当|C(w)|=6时，必存在j∈{1,2,…,n}, 使得C(ukj)=C(w),与定义矛盾。故下面给出图的一个7-E-AVSDETC染色法，令f如下：

f(w)=5。

f(uijui+1,j+3)=5, 2≤i≤k-1,1≤j≤n-3。　f(uijui+1,j-3)=5, 2≤i≤k-1,4≤j≤n。

蜜蜂是对人类有益的昆虫类群之一，为农作物、果树、蔬菜等各种农作物传粉增产。人类食物的三分之一直接或间接地依靠昆虫授粉，而这三分之一中的80%是由蜜蜂完成授粉任务。蜜蜂是各种作物的最理想授粉昆虫，被誉为“农业之翼”。与会专家和嘉宾一致认为，与人工授粉相比，蜜蜂授粉往往产量更高，质量更好，还能促进农药减量。推广蜜蜂授粉是农作物增产提质和助力农业绿色发展的重要手段，要加大宣传力度，倡导保护和科学利用蜜蜂，推广蜜蜂授粉及配套技术，推动绿色农业发展，实现生态与市场价值共赢。

f(u11u1n)=f(u11u2n)=f(u1nu21)=2。

 

2≤j≤n-5。

 

当i≡0(mod 4)或i≡3(mod 4)时：

f(uijui+1,j+1)=6, 2≤i≤k-1,1≤j≤n-1。　f(uijui+1,j-1)=6, 2≤i≤k-1,2≤j≤n。

f(uijui+1,j+3)=6, 2≤i≤k-1,1≤j≤n-3。　f(uijui+1,j-3)=6, 2≤i≤k-1,4≤j≤n。

f(uijui+1,j+3-n)=6,2≤i≤k-1,n-2≤j≤n。f(uijui+1,j+n-3)=6, 2≤i≤k-1,1≤j≤3。

f(ui1ui+1,n)=f(uinui+1,1)=6。

当i≡1(mod 4)或i≡2(mod 4)时：

f(uijui+1,j+1)=7, 2≤i≤k-1,1≤j≤n-1。　f(uijui+1,j-1)=7, 2≤i≤k-1,2≤j≤n。

f(uijui+1,j+3)=7, 2≤i≤k-1,1≤j≤n-3。　f(uijui+1,j-3)=7, 2≤i≤k-1,4≤j≤n。

f(uijui+1,j+3-n)=7,2≤i≤k-1,n-2≤j≤n。f(uijui+1,j+n-3)=7, 2≤i≤k-1,1≤j≤3。

1≤j≤n。

此时，各点的色集合的补集为：

 

 

当i≡1(mod 4)或i≡3(mod 4)时：

当i≡0(mod 4)时： 3≤i≤k-1。

当i≡2(mod 4)时：

当k≡0(mod 4)或k≡1(mod 4)时：

当k≡2(mod 4)或k≡3(mod 4)时：

 

显然， 对∀uv∈E(G)，有C(u)≠C(v), 故结论成立。

参考文献：

[1] Bondy J A,Marty U S R.Graph Theory with Application[M].New York：The Macmillan Press Ltd，1976:51-72.

[2] Zhong Z F，Liu L Z，Wang J F.Adjacent Strong Edge-Coloring of Graph[J].Applied Mathematic letter，2002，15(5)：623-626.

[3] Zhang Z F，Chen X E，Li J W，et al.On adjacent vertex-distinguishing total coloring of graphs[J].Science in China: Ser A Mathmatics2005，48(3):289-299.

[4] Zhang Z F，Chen X Y.On adjacent-vertex-strongly-distinguishing total coloring of graphs[J].Science in China.Series A: Mathmatics，2008，51(3):427-436.

[5] 李沐春，张忠辅.若干笛卡尔积图的邻点可区别E-全染色[J].数学的实践与认识，2009，45(1):24-29.

[6] Chen X G，Wang Z Y.Adjacent vertex-strongly-distinguishing EI-total coloring of graphs[J].Shandong Univ Nat Sci,2010(6):18-22.

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[8] 顾忠栋，强会英.路的平方及立方的邻点强可区别E-全染色[J].兰州交通大学学报，2016，35(6)：126-130.