在自然界中，种群之间的相互作用使得种群生存和进化。在现实生活中存在着多种天然的或者人工培养的生物资源，为了能长期地使用资源，就必须对其采取正确的管理，并进行合理的开发。对资源进行合理的开发以及科学的管理，要考虑到当前的资源的产量，还应考虑到维护生态平衡的稳定，使得资源能长期使用，并使其能得到可持续发展，以及人类投入所获得的经济效益。近年来，食饵-捕食者模型在生态问题中扮演越来越重要的角色，如何才能更有效地调节生物种群，对促进种群的更好发展，有着非常重要的意义。 捕食与被捕食是自然界中普遍存在的物种之间的相互关系，其相互关系是生物数学中研究的主要课题。近些年来，人们发现除了捕食与被捕食之间的关系，人类捕获捕食者和被捕食者这样的影响也在其中占有很大的作用。因此，学者们开始对具有收获率的捕食者和被捕食者模型做了大量研究[1-4]。

文献[5-6]提出了一类具有Holling-Tanner型捕食模型，如下

本文使用MATLAB仿真软件对考虑风速、风向变化及机组间尾流效应的风场模型进行仿真。风电场内运行16台1.5 MW双馈异步风力发电机,机组间距离均为300 m,风机叶片半径为31.5 m,风轮中心点高度为70 m,风机额定风速为13 m/s。考虑到海面相对平稳,本文采用修正后的Jensen地形平坦模型计算尾流风速。威布尔分布用于模拟所选风电场风塔测量的风速。仿真结果表明,当α=7,β=2时,仿真曲线符合实际

 

(1)

对于这个模型，众多研究者对其做了研究，并取得了许多有意义的成果。比如，文献[7]研究了该模型相对应的反应扩散模型的全局稳定性。文献[8]研究了正平衡态解的稳定性。文献[9]研究了模型正解的局部与整体分歧。文献[10]研究了模型相对应的反应扩散模型的非常数正平衡态解的存在与否的条件。文献[11]研究了模型的全局渐近稳定性。文献[12]用比较原理讨论了正平衡态解的全局稳定性。

本文主要研究食饵具有收获率的捕食-食饵模型，则常微分模型如下

 

(2)

考虑到种群密度分布的不均匀性，本文对具有食饵收获率的系统加了扩散项，则模型如下

 

(3)

式中：Δ是Laplace算子，Ω∈Rn是具有光滑边界∂Ω的有界区域，η是边界∂Ω上的单位外法向量，

 

表示单位法向量的方向导数，u表示食饵种群u在t时刻的密度，v表示捕食者种群v在t时刻的密度,常数d1是是食饵u的自扩散系数，常数d2是捕食者v的扩散系数，α和β是分别是食饵u和捕食者v的内禀增长率，r表示捕食者依赖食饵的程度，m表示食饵的饱和值。上述参数都是非负的。

考虑到种群之间的相互作用，在模型(3)中引入交错扩散项，其系数可为任意数。其中正系数表示一个种群朝着另一个种群的低密度方向移动，而负系数表示一个种群朝着另一个种群的高密度方向移动[13]。本文中，只考虑一维空间中的交错扩散模型，模型如下

液体培养的菌株按1%的接种量接种到pH 2.0(HCl调节)的酸性MRS培养基中，30 ℃培养24 h，利用稀释涂布法计数，计算菌株成活率，判断菌株的耐酸性。

 

(4)

这里d21(<0)为交错扩散系数。

则特征方程为:λ2+Aλ+B=0，其中

(u*)2+(m-α+βr+r1h1)u*-(α-r1h1)m=0。

(5)

对任意的又u0(x)≥0，v0(x)≥0且不恒等于零。由强极值原理知，对任意的t>0，有u1>0，v1>0。

本文主要先讨论模型(2)的正平衡点的稳定性，然后研究自扩散对模型(3)的正平衡点的稳定性的影响，最后讨论交错扩散对模型的Turing不稳定性影响。

1　一致有界性

定理1　设u0(x)、v0(x)是非负且不恒为零的光滑函数，则模型(3)存在唯一解并满足：对任意的有

当1≥e1>e2>0时，对任意的λ1，定理2结合定理1，有q*(e1,λ1)>q*(e2,λ1)，如图4所示。

 

本节讨论模型(3)古典解的一致有界性。记

 

 

证明：记

容易验证，(f,g)在Rn上充分光滑,在上混拟单调,(M1,M2)、(0,0)是模型的上下解。由文献[10]可知，模型(3)存在唯一古典解(u1,v1)，满足：0≤u1≤M1，0≤v1≤M2。

我们只考虑一个正根的情形，只要求：(α-r1h1)m>0，即α>r1h1。

2　正平衡点在常微分系统中的局部稳定性

本节主要讨论模型(2)的局部稳定性。

定理2　对于常微分系统(2)，如果则正平衡点E*(u*,v*)是局部渐近稳定的。

三是探索儿童课程：幸福童年。新教育一直主张，把最美好的童书给最美丽的童年。多年来，新教育实验团队一直在探索将阅读课程化，努力使阅读不再仅仅成为语文课的补充，而是学生各科学习和日常教育教学生活中的重要内容。“晨诵、午读、暮省”，就是我们的探寻成果之一。新教育以阅读为主导内容的儿童课程，通过多年的实验，产生了大量感人的故事，也激励了参与实验的教师和学校，更让那些父母感动不已，让人们真正地感受到了一种幸福完整的教育生活。

证明：系统在模型(2)处的Jacobi矩阵为

 

(6)

考虑到模型的生态学意义，仅在第一象限内讨论。经简单计算，系统(2)和(3)有平凡平衡点E0=(0,0)，半平凡平衡点E1=(α-r1h1,0)。当α>r1h1，正平衡点为E*=(u*,v*)，其中u*，v*满足α-u*从而有

A=2u*

 

因为E*的局部渐近稳定性要求是：A>0，B>0，只需要求：

A=2u*

 

乡土正义并非抽象的法律权利正义，“赌咒”和“气”都是一种正义受损的社会表达机制。“赌咒”是一种通过采取对自己利益有损的方式来争取社会正义的方式，而“气”是正义丧失后的心理情感状态，本质上是一种社会情绪。“赌咒”“气”和乡土正义互为表里，其中“气”的发生可能是由于乡土正义的丧失，而乡土正义的恢复则伴随着“气”的消解。作为一种发誓的形式，“赌咒”的最终目的是实现正义心证，而“气”只有得到排解和宣泄，正义才算获得伸张。

2u*

 

 

 

因而当时，即A>0，B>0。故当时，系统在正平衡点E*(u*,v*)是局部渐近稳定的。

粤菜亦善用食材，不仅各地菜系所用的禽畜鱼蔬等无不用之，而其它菜系罕见使用的蛇、鼠、猫、虫等山间野料也被粤菜烹之有味，多有上席。

3　正平衡点在具有自扩散的偏微分系统中的局部渐近稳定性

本节主要讨论模型(3)的局部稳定性。

我发挥自己八卦的本事，四处打听，总算把他的往事东拼西凑勉强有个全貌。杨公子幼时因父亲下狱，被寄养在舅父家中，舅父有一女儿嫣然，与他自幼青梅竹马，感情甚笃。后来舅父终究怕被杨家连累，把独女嫣然许给一官宦人家。杨生和嫣然相约私奔，却没想杨生在桥头没有等来嫣然的身影，他恨嫣然爽约，独自离开舅父家。多年后，他父亲杨涟的冤案被新君平反，他回到故里，才知道嫣然那晚被家丁抓回，被迫嫁与他人，一个月后嫣然郁郁而亡。自此，他封存了自己的感情。世间再无痴情人杨生。

为了便于叙述，我们记

 

(7)

其中

a11=α-2u*

模型(3)在E*处的线性化，则系统是：Et=LE。对于任意的i≥0，Xi是算子L的不变子空间，λ是算子L的特征值等价于λ是矩阵-μiD+GE(E*)的特征值。矩阵-μiD+GE(E*)的特征多项式为：

φi(λ)=λ2+Cλ+D。

(8)

设0<μ1<μ2<…是-Δ算子在奇次Neumann边界条件下的特征值，是μi的特征子空间，设其中{φij:j=1,…,dimN(μi)}是N(μi)的一组正交基。那么 设设D=diag(d1,d2)，L=DΔ+GE(E*)。这里其中

因u*则 λi,1+λi,2=-C<0，λi,1·λ1,2=D>0。

λi,1+λi,2=-μid1-μid2+β-2β+α-2u*

 

 

 

即当时，有λi,1+λi,2<0，λi,1·λi,2>0。 故引入自扩散时正平衡点E*(u*,v*)在系统(3)是稳定的。于是得到如下结论。

（2）制定的绩效目标与实体经济不能量化。事业单位会计制度的改革要求会计政策和制度是按照支出进行合理的收取，以运营成本和核算成本反映其任务单位的绩效。

定理3　对于反应扩散系统(3)，如果则E*(u*,v*)是局部渐近稳定的。

乡村旅游开发要坚持规划先行，先规划后建设，编制《鄂尔多斯乡村旅游发展总体规划》。要进一步完善规章制度和行业标准，研究制定《鄂尔多斯乡村旅游接待设施管理规范》、《鄂尔多斯乡村旅游服务管理规范》等系列标准，提升标准化服务水平。要扩宽筹资渠道，改造提升乡村路网、通讯网等硬件基础设施及停车场、环保厕所、标识系统等配套设施。

该定理说明在系统(2)中引入自扩散项，对系统的稳定性无影响。

4　交错扩散模型的Turing不稳定性

讨论模型(4)中交错扩散系数d21，对正平衡态解E*的稳定性影响。

定理4　假设有则正平衡点E*(u*,v*)对模型(3)是局部渐近稳定的，而对模型(4)是不稳定的。

证明：由上节可知：E*对模型(3)稳定，此节只需证得E*对模型(4)是不稳定的。在E*处将模型(4)线性化，空间分解同上节，有Et=L1E，L1=D1Δ+GE(E*)，这里

 

若存在一些k∈N+使得至少有一个根λ含有正实部，那么E*(u*,v*)是不稳定的。其中λ是算子的L1特征值等价于λ是矩阵Mk=-k2D1+GE(E*)的特征值。即

 

由定理1知，a11<0，a12<0，a21>0，a22<0。设Mk的特征方程有两个根λi,1和λi,2，则λi,1+λi,2=Trace(Mk)=-k2d1-k2d2+a11+a22<0λi,1·λi,2=Det(Mk)=k4d1d2+a12d21-a22d1-a11d2k2 -a12a21。

由于

Ck=-Det(Mk)=-k4d1d2+k2a11d2-a12d21+a22d1+a12a21。

因而Mk满足的一个充分条件是：Ck=-Det(Mk)<0，显然成立。因d21<0。因而存在某些k∈N+使得

泌尿系微创手术具有无切口、损伤小、恢复快和预后好等特点，在泌尿系统疾病治疗中应用日益广泛。术中、术后进行足三里和三阴交穴位按摩，运用中医护理手段改善术后膀胱痉挛的持续时间，有利于患者早日康复。

+a12a21<0。

故定理得证。

两个人都在气头上，父母也不好多劝，过了两天，等田朵的一股怨气、小宁的半腔怒火都消了消之后，双方父母才话里话外地劝合。小宁看这两天田朵忙前忙后的，也就不再提离婚这茬了。其实，回头想想，他们之间并不存在不可调和的矛盾，说到底，就是挤牙膏、吃醋那点破事，和漫长的、珍贵的婚姻之路相比，这些小瑕疵，根本不值一提。

定理3证明了在一定的条件下，自扩散系数不会使模型(3)的稳定性发生变化，也就是未发生经典意义下的Turing不稳定。但由定理4可以看出，交错扩散系数的会使模型(4)产生Turing不稳定现象。

参考文献：

[1] Mukhopadhyay B, Bhattacharyya R.Effects of harvesting and predator interfererce in a model of two-predators competing for a single prey[J].Applied Mathematical Modelling，2016，40(4):3264-3274.

[2] Wang X，Wang Y Y.Novel dynamics of a prdator-prey system with harvesting of the predator guided by its population[J].Applied Mathematical Modeling，2017，42:636-654.

因u*则

[3] Li M，Chen B.A bioeconomic differential algebraic predator-prey model with nonlinear prey harvesting[J].Applied Mathematical Modelling，2016，42:1-12.

[4] 陈兰荪.数学生态学模型与研究方法[M].北京：科学出版社，1998：199-232.

[5] Tanner J T.The stability and the intrinsic growth rates of prey and predator population[J].Ecology，1975(56)：855-867.

[6] Wollkind D J,Collings J B，Logan J A.Metastabillity in a temperature-dependent model system for prey-predator mite outbreak interactions on fruit flies[J].Bulletin of mathematical Biology，1988，50:379-409.

[7] Qi Y W，Zhu Y.The study of global stability of diffusive Holling-tanner predator-prey model[J].Applied Mathematics letters，2016，57:132-138.

方案二：谷物和薯类统计为粮食。在现行的统计口径下，不再将豆类列为粮食的统计范畴，薯类(不含木薯)仍然按5比1折粮。

原原本本学思想。理论武装是管根本、保方向的基础性工作。要进一步健全完善学习制度，自觉用习近平新时代中国特色社会主义思想武装头脑，切实在学懂弄通做实上下功夫，绝不能一阵风、走形式、喊口号、做样子。要继续往深里学、往实里学、往心里学，深刻把握贯穿其中的马克思主义立场、观点、方法，不断提升运用科学理论指导工会工作的水平。

[8] 冯孝周，陈法超.一类Holling-Tanner捕食模型正常数平衡态解的稳定性[J].西安工业大学学报，2008，28(5)：502-505.

[9] Wu J H. Global bifurcation of coexistence state for the competition model in the chemostat[J].Nonlinear Analysis，2000，39(7):817-835.

[10] Peng R，Wang M X.Positive steady-states of the Holling-Tanner prey-predator model with diffusion[J].Proceedings of Royal Society of Edinburgh: Section A，2005，135：149-164.

[11] Peng R，Wang M X.Global stability of the equilibrium of a diffusive Holling-Tanner prey-predator model[J].Applied Mathematics Letters，2007，20(6):664-670.

[12] 叶其孝，李正元.反应扩散方程引论[M].北京：科学出版社，1999:45-70.

[13] 伏升茂，吴守妍.食饵有强弱之分的Leslie-Gower捕食者-食饵扩散模型的稳定性[J].西北师范大学学报(自然科学版),2015,51(1)：1-5.