近年来，对统计流形的研究受到越来越多的关注.信息几何随着Amari[1-2]的研究变得成熟，并应用到由概率密度函数构成的统计流形上.李帝东等[3]在2014年用纤维丛的方法来处理统计流形问题.纤维丛以其特有的丛空间、底流形、纤维和结构群等结构特点，在对统计流形的几何特征进行分析时，大大减少了计算量.李帝东利用此方法对一元正态分布流形进行了具体的计算.

在本文中，作者在李帝东提出的方法的基础上，以二元正态分布流形为例，具体说明纤维丛在计算统计流形上的高效性.

1 主 丛

定义1[4-5] 假定P，M和G都是光滑流形，其中G是作用在P上的一个(右)李氏变换群，π:P→M是一个光滑的满射.如果满足下列条件，那么(P,π,M,G)称为一个主丛.

HPLC法同时测定药用卤化丁基胶塞中5种抗氧剂和游离硫的含量 ……………………………………… 朱碧君等（18）：2475

① G作用在P上是自由的，也就是说，如果ug=u,∀u∈P，那么g是G中的单位元；

② π-1(π(p))=pG∶={pg|g∈G},∀p∈P；

③ ∀x∈M，存在x的一个开邻域U和一个微分同胚ΦU∶π-1(U)→U×G，其中ΦU由两部分构成，ΦU=(π,φu)，满足φU∶π-1(U)→G，并且

杨树扦插育苗中，由于春天地温比气温回升慢，会造成插穗在扦插后先出芽后生根的现象，先出芽会消耗插穗中的营养，但是这时插穗还没有生根，无法及时从土壤中给芽的生长提供水分及营养，影响扦插苗的树势。所以在营建青杨雄株采穗圃时选用前一年扦插平茬根桩作为母根来定植，平茬高度离地10-15cm为宜，有利于侧芽的萌蘖和直立生长。

φU(pg)=φU(p)g,p∈P,g∈G，

(1)

G称为主丛P的结构群，(π-1(U),ΦU)称为局部平凡化.

(2)经济发展水平。人均GDP和固定资产投资与旅游经济网络之间具有正向相关性，说明较强的旅游经济联系往往会出现在居民生活水平较高、经济发达的地区，区域整体经济实力的提升对增强旅游经济联系具有积极促进的作用。但是随着旅游经济联系网络的完善，固定资产投资的影响力在逐渐降低。可能是由于固定资产在投资时更多以行政区划政府为主导，没有形成河南省全域化的整体意识，在一定程度上阻碍了旅游经济的交流。

定义(r;))称为向量丛(E,π,M,r,GL(r;))的伴随标架丛.特别地，当E=TM，流形M的切丛F(M)∶=F(TM)叫做流形M的标架丛.由于标架丛的性质，在处理具体问题时标架丛可以起到很重要的作用.

定义3[6] 用(F(M),π,M,GL(n;,H,Ω,Θ))表示联络为H，曲率形式为Ω，挠率形式为Θ的主丛.那么对任意的X,Y,Z∈TpM,W∈X(M),u∈π-1(p)有

(2)

(3)

(4)

式中和分别为向量场X，Y，W的水平提升.

定理1[7-8] (F(M),H,Ω,Θ)是上的一个标架丛，其中是由H诱导的M的联络.用T和R分别表示M的挠率张量和曲率张量.对任意的X,Y,Z∈X(M)，有

(5)

(6)

2 统计流形上标架丛的α结构

在这部分，用S={p(x;θ)|θ∈Θ}来表示一个n维统计流形，其坐标卡是并且，定义是的对偶一形式.令表示黎曼联络的联络形式.

定义4[5] α联络形式定义为

(7)

定义5[7] 用F(S)表示局部平凡化为{(Uβ,φβ,Φβ)|β∈J}的S上的标架丛.定义

u∈π-1(Uβ).

(8)

命题1[8-9] 令为S上的标架丛，其中Θ(α)和Ω(α)分别为F(S)上的α挠率形式和α曲率形式.那么

(9)

(10)

那么

还可以和甜玉米粒、豌豆、香菇丁、火腿碎、鸡蛋一起做成炒饭，味道很不错，因为加了蔬菜，营养更好（前提是少放油）。

(11)

(12)

(13)

证明见参考文献[3].

3 在二元正态分布流形上的应用

二元正态分布流形

S∶={p(x,y,μ1,μ2,σ1,σ2,σ12)=

μ2∈R,σ1∈R+,σ2∈R+,σ12=cov(X,Y)}，

(14)

式中：θ=(θ1,θ2,θ3,θ4,θ5)=(μ1,μ2,σ1,σ2,σ12)为坐标(y-μ2)+σ1(y-μ2)2.

通过信息几何[1-2]知道gij=E[∂il∂jl]，可以得到黎曼度量为

(15)

然后利用矩阵求逆的方法，可以得到度量矩阵的逆矩阵G-1=[gij].根据黎曼几何中，

以及(利用Einstein和式约定)，可以得到联络系数.从而可以计算截面曲率为

(16)

式中NAN表示没有定义.

再利用公式可以算出Tiks，其中i,k,s=1,2,…,5.从而，可以得到α联络系数，α联络的黎曼曲率张量，以及S上的α联络形式等.

SEM观察可见，A组釉质表面呈蜂窝状凹坑，可见较多不规则孔隙；B组釉质表面可见较多孔隙，但蜂窝状凹坑明显变浅、变少；C组釉质表面无孔隙，可见大量不规则球形物质堆积，其体积大小不等；D组釉质表面平坦，可见一些不规则的片状物堆积；E组釉质表面有大量片状物质堆积，且在片状物间有较多散在的孔隙(图1)。

病死猪眼脸水肿，耳部和尾部有一小块出血斑，阴鞘积尿；打开腹腔可见肝脏有出血斑、脾脏周边有锯齿状梗死，肾脏上布满针尖大小出血点，肠系膜胶冻样水肿，肠系膜淋巴结肿大，肠道粘膜有卡他炎症，胃萎缩，划开胃大弯浆膜下有透明的水肿液，大肠的回盲瓣处多个纽扣状溃疡，膀胱内有出血点[1]。

现在考虑S上的标架丛F(S).由于θ=(θ1,θ2,θ3,θ4,θ5)是S上的一个整体坐标，那么这个标架丛是平凡的，也就是说F(s)=S×GL(5,).通过标架丛的定义，知道∀u∈F(S)，u表示Tπ(u)S的一个基(e1,e2,e3,e4,e5).

假设

那么u的坐标是u1,u2,…,u30，其中

u6=A11,u7=A12,u8=A13,u9=A15,

u10=A15,…,u30=A55.

根据F(s)中点的坐标的意义，π(u)=(θ1,θ2,θ3,θ4,θ5)=(u1,u2,…,u5)，所以

(17)

由于丛是平凡的，局部平凡化是

Φ∶F(S)→S×GL(5,)，

u(u1,u2,…,u5,A)=(θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,A).

那么，

Φ∶F(S)→G，

uA.

因为Φ=(π,φ).由定义

因为

u=(u1,u2,…,u30)，

并且有

ACA-1+A-1B，

a.The activity of pouring and offering tea politely is a necessary.

Ad((φ(u))-1)°ω(α)(π*(Xu))+θG(φ*Xu)=

Ad((φ(u))-1)°π*ω(α)(Xu)+φ*θG(Xu)=

(18)

式中

0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1).

所以，水平空间是

A-1B=0}.

针对百米林带植物群落中封闭草地型空间占比较大、乔木种植过密的问题。建议梳理群落空间层次,对一些植物长势过于杂乱、种植密度过高的群落进行适当的抽稀处理,去除长势较差的植物,使群落层次更加清晰,在提升景观视觉效果的同时也增加可游憩面积。

(19)

现在，考虑特殊情况.令

定理2 ∀X,Y,Z∈X(M)，有

u=(u1,u2,u3,u4,u5,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,

C根据计算结果得到.

并且

数据库设计(Database Design)是指对于一个给定的应用环境，构造最优的数据库模式，建立数据库及其应用系统，使之能够有效地存储数据，满足各种用户的应用需求(信息要求和处理要求)。

φ(u)=(θ1,θ2,…,θ5,I5×5)，

式中I5×5为一个5×5单位矩阵.那么，

∀

(20)

有

(21)

所以对应的水平空间成为

(22)

这样，的水平投影是

(23)

式中

X6=-C11，X7=-C12，X8=-C13，X9=-C14，

X10=-C15，X11=-C21，…，X30=-C55.

同理，可以验证等其他公式.这样，就验证了定理2中第一个公式.同样，由于挠率T(α)和曲率R(α)都可以由联络导出，类似地可以验证定理2中的其他两个公式.

(24)

特别地，令

场地仅钻孔（CK3、CK9-10、ZK10-11、ZK14-15、ZK18、ZK21） 有揭露，揭露层厚2.20～3.40m，平均厚度 2.91m；层顶高程-0.75～0.60m，层顶深度 3.20～4.40m。

可以得到和

通过统计流形上的信息几何理论，可以得到

(25)

同理，可以得到等.

-t(-1+α),0,-1,0,0,0,0,0,

γ1(t)∶=(u1+t,u2,u3,u4,u5,-1,0,

通过统计流形上标架丛的α结构，考虑

-1,0,0,-t(-1/2+α/2),0,0,-1).

(26)

很明显，γ1(0)=u，并且所以有

(27)

现在，假定那么X的水平提升是

4 结 论

文中作者将主丛引入正态分布流形中，利用标架丛的特点对正态分布流形进行处理.在对二元正态分布流形进行计算时，所有的操作都转换到结构群GL(5,)上来进行.由于GL(n,)是一个矩阵李群，所以右变换和切映射都是矩阵之间的乘积，这样一来就都是线性的，从而很大程度地方便了计算.

所以文末通过对二元正态分布流形的计算，既验证了定理2的正确性，又展示了标架丛在处理统计流形时的高效性和简便性.

参考文献:

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[4] 陈维桓.微分流形初步[M].北京：高等教育出版社，2001.

Chen Weihuan.Preliminaries of differential manifolds[M].Beijing:Higher Education Press,2001.(in Chinese)

木棉花在民间和凉茶中应用极为广泛，中成药和凉茶很多以木棉花作为组方被收载到药典及部颁标准上，可见木棉花的疗效确切。近年来国内外学者从木棉花中共分离到53个化合物，主要包括黄酮类、苯丙素类酚类、甾醇和脂肪酸等成分。其中酚类化合物是木棉花的主要次级代谢产物，这可能与木棉花的多种生理活性有关，并且有可能是木棉花作为中药和凉茶的功效物质基础[8]。木棉花具有多种功效，参考文献中提到木棉花具有抗氧化[9]、抗菌、保肝[10]、心脏保护、抗炎、抗癌，降血糖[11]、降血压、杀虫等作用[12]，还可能具有改善血液流变学作用[10]、中枢镇痛作用和周围镇痛作用[13]。

[5] 陈维桓，李兴校.黎曼几何引论[M].北京：北京大学出版社，2002.

可以说,奥林匹克文化深刻地影响了希腊欧洲的哲学变革，引导着哲学家们向人的原始冲动中寻求答案。在此,笔者仅举两例：

Chen Weihuan,Li Xingxiao.Introduction to Riemannian manifolds[M].Beijing:Peking University Press,2002.(in Chinese)

[6] 梁灿彬，周彬.微分几何入门与广义相对论[M].北京：科学出版社，2015.

Liang Canbin,Zhou Bin.Introduction to differential geometry and general relativity[M].Beijing:Science Press,2015.(in Chinese)

以移动互联、大数据、云计算、人工智能、新型材料和智能制造等技术为代表的新一轮科技革命正加速孕育突破，引领全球制造业全面转型升级，并引发产业格局和生态的重构。汽车产业以其强大的基础性、关联性和带动性，历来是最新科技研发应用的前沿阵地。汽车，正加快从单纯的交通运输工具向具有情感的智能移动终端转变。当低碳化、信息化、智能化和轻量化成为未来汽车发展的潮流趋势，汽车制造业将做出怎样的技术变革？

[7] 黄正中.微分几何导引[M].南京：南京大学出版社，1992.

Huang Zhengzhong.Guide of differential geometry[M].Nanjing:Nanjing University Press,1992.(in Chinese)

[8] Steenrod N.The topology of fiber bundles[M].[S.l.]:Princeton University Press,1951.

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