偶然发现本刊近年有一篇文章计算了宇称算符(或空间反演算符)的显式[1].所谓显式，即将该算符表示为坐标和动量算符(实际上该文用的是谐振子的升降算符)的函数.如果说常见的量子力学教科书上没有给出这一显式，就我们所知，确是事实. 然而，文献上1965年就已经有了同样的结果[2].尽管前者所用的方法颇为不同，但作者没有检索到后一文献并加以引证和评述，仍然有些遗憾，因为可能对年轻的读者造成误导.

文献[2]只有一页的篇幅，讨论相当简略.而文献[1]的主要内容是计算，用了三种方式，对一些相关问题也未作讨论.本文拟对这些问题略作评述，希望对于年轻的读者深入理解有所助益.由于内容简短，我们直接进入正题.

1) 推导简述及其改进.这主要是针对文献[2]的.考虑一维体系，在空间反演变换x→x′=-x下，态|ψ变成|ψ′，相应的波函数ψ(x)变成ψ′(x)=ωψ(-x)，其中ω=±1是所描述粒子的内禀宇称[3，4].宇称算符或空间反演算符P由下式定义

Pψ(x)=ψ′(x)=ωψ(-x)

(1)

多数文献，包括文献[1，2]，在定义中不包括ω，相当于只考虑内禀宇称为1的情况.由这一定义出发，容易证明P既是幺正又是厄米的.以及

P-1xP=-x, P-1pP=-p

(2)

为了书写方便，假设x和p均己无量纲化，满足[x,p]=i.令

(3)

这里引入系数ωi只是为了下面的方便.容易证明

U-1xU=-x, U-1pU=-p

(4)

文献[2]由此推测P应该与U一致，然后通过将一般波函数用谐振子本征函数展开的方法加以证实.但是这个论证存在一个瑕疵：对于不能用谐振子本征函数展开的波函数(虽然这样的波函数物理上不一定能接受)，这个论证无法覆盖.为了克服这一缺点，我们采用另一种证明：结合式(2)和式(4)，可得[PU,x]=[PU,p]=0，由此可知PU=c，c是常数.将两边作用于谐振子基态，定出c=1.再由P2=1,即得P=U.

U的幺正性是显而易见的.厄米性则未见讨论.既然己经得到P=U，当然可以由P的厄米性得出.不过从U的表达式来看，厄米性并不是显然的.为了得到厄米性，需要证明U2=1.事实上，由式(4)容易得出[U2,x]=[U2,p]=0，故U2为常数算符，再将U2=-exp[-iπ(x2+p2)]作用于谐振子基态，可以定出该常数，而得U2=1.

苏霍姆林斯基认为教师应在学生心灵中激起求知欲望和点燃热爱知识的火花。这“欲望”与“火花”就是学习兴趣与动机的激发。为了消解同学们对写话的畏难情绪，我设计了如下的课堂导入：

卷积层的运算仅仅是卷积核在输入特征图上的滑动，所以不管输入特征图多大都不影响卷积层的参数数量，只是对于不同大小的特征图卷积得到不同大小的输出特征图而已，即卷积层的参数和输入大小无关。池化层没有参数，通过固定大小的滑动窗口下采样输入特征图。双线性插值是一种图像缩放中常用的插值算法，可以通过双线性插值放大输入特征图的尺寸。可以通过池化层和双线性插值的实现实现输入尺度可变的网络结构。

两幅图画，两个屏幕，顺势而接，隔着两千五百年，依然天籁般洽和。可是现在田园将芜！田园已芜！采莲的男人走了，其他的男人也走了，男耕女织就这样颠覆错位了：

推广到三维情况，易得

(5)

2) 经典极限.以一维情况为例.设和分别是原始的坐标和动量算符，且

(6)

则

(7)

由于[x,p]=i，而ћ，故有αβћ=1，于是，当ћ→0时，α→∞和β→∞至少有一个成立，因此U的经典极限是不存在的.如果采用谐振子的参数进行无量纲化，则α2=μω/ћ，β2=1/μωћ,此时ћ=0是U的本性奇点.

张永德先生的教材上论证了宇称算符不可能表示为坐标和动量算符的函数[5].然而，这一论证的前提假设是该函数存在经典极限.由于U不存在经典极限，故其论证不适用.既然找到了U的具体形式并证明其符合要求，存在性当然就不在话下了.但由于该书在青年学生中具有广泛的影响，上述澄清是非常必要的，可惜文献[1]对此未置一词.

3) 推广到狄拉克方程.在洛仑兹变换x→x′=ax(分量形式是下，旋量波函数ψ(x)变为ψ′(x)=Λψ(a-1x)，其中Λ满足按照这一条件，Λ只能确定到一个常数因子.对于连续变换，比如转动，可以要求当a→1时Λ→1来确定该常数.对于空间反演，不存在连续的变换参数，但我们可以通过要求ψ′(x)保持归一化将该常数确定到一个相因子ω.容易求出Λ=ωγ0.要求两次反演之后波函数复原，则ω=±1.于是有

Pψ(t,x)=ψ′(t,x)=ωγ0ψ(t,-x)

(8)

由此可以求出

(9)

其中Pnr是由式(5)给出的非相对论结果.取标准表象并令

(10)

其中φ和χ是二分量旋量.在非相对论极限下，对正能解， χ可以忽略，此时有φ′(t,x)=Pnrφ(t,-x).对负能解(对应于反粒子)，φ可以忽略，而此时有χ′(t,x)=-Pnr χ(t,-x).由此可见，粒子的内禀宇称为ω(对于轻子和夸克，习惯上均取为1)，而反粒子具有内禀宇称-ω，这是粒子物理中熟知的结论[4].也可以证明电荷共轭波函数在空间反演下的变换为由此亦可知反粒子的内禀宇称为-ω，对此不作仔细讨论.

参考文献：

[1] 王帅，李体俊.研究宇称算符的一种新方法[J].大学物理，2009，28(3)：1-3.

[2] Epstein S T. The parity operator and the Fourier transform operator[J].Am J Phys，1965，33. (5)：375

[3] Schiff L I. Quantum Mechanics[M].3rd ed. New York：McGraw-Hill，1968.

[4] Martin B R，Shaw G. Particle Physics[M].3rd ed Chichester：Wiley，2008.

[5] 张永德. 量子力学[M]北京：科学出版社，2002.