非线性谐振子模型在量子力学中具有重要作用[1-7].非线性谐振子体系的薛定谔方程往往无严格解. 微扰法是教科书中处理该类问题的一种最常用近似方法. 但是，文献[4]在对带坐标4次方微扰项的非线性谐振子的本征能量进行计算后发现，微扰法所得本征能量，其误差随微扰项的增大而迅速增大，而且随能级的提高而迅速增加. 因此，研究如何提高用微扰法计算非线性谐振子体系本征能量的精度是有所裨益的，而且有助于丰富量子力学教学内容.

文献[8]在计算类氦原子基态能量时提出了参数微扰法. 其基本思想是通过在哈密顿算符中引入待定参数，致力于使微扰项尽可能小，然后利用体系基态能量最小的属性确定该参数. 计算得到的类氦原子一级近似基态能量比无参数微扰法的结果更接近实验值. 目前，应用该方法研究体系激发态能级的工作尚未见报道. 基于上述考虑，本文利用参数微扰法求解了一维非线性谐振子和二维非线性耦合谐振子体系的一级近似本征能量，并将参数微扰法的应用扩展到体系激发态，计算所得结果精度比相应的无参数微扰法结果有显著提高.

1 一维非线性谐振子本征能量

1.1 带坐标2次方微扰项的非线性谐振子

设非线性谐振子的哈密顿算符为[1]

(1)

其中为微扰项.

根据参数微扰法，将式(1)的哈密顿算符改写为

(2)

式中ω1为参数，视为微扰项.在新微扰项下的一级近似能量为

ћ

(3)

计算中利用了[1]

(4)

根据∂E0/∂ω1=0，有

(5)

将式(5)代入式(3)，得到

(6)

该结果与体系的严格解完全相同，已经优于用无参数微扰法得到的三级近似能量[1].

1.2 带坐标4次方微扰项的非线性谐振子

对于经济不发达地区而言，得力的乡村文化建设，不仅有利于突破经济弱势的桎梏，实现乡村文化的繁荣发展与传承，促进当地多元文化、民族文化的发展，而且有利于丰富村民的精神生活，引导村民树立正确的价值观，坚定村民的自信心和自豪感。

(7)

H′=λx4为微扰项.

将式(7)的哈密顿算符改写为

根据∂E0/∂ω1=0，有

(8)

式(8)中最后一项视为微扰. 在新微扰项下的一级近似能量

ћ

(9)

计算中利用了式(4)和矩阵元公式[2]

(10)

虽然洛必达法则是极限计算的一种有效的、常用的方法，但有时运用洛必达法则计算极限的计算量相对较大，且并不是满足型的待求极限都能够运用洛必达法则计算出极限值的。如下实例:

图1给出了用无参数微扰法、参数微扰法和自洽平均值法[4]计算出的前10个本征能量与精确数值解的相对误差. 由图可知，参数微扰法的基态基态相对误差比激发态更低. 例如，在β=0.1时，基态相对误差0.2%小于第一激发态误差0.7%. 这是因为我们利用基态能量最小的属性确定参数微扰法中的参数. 此外，参数微扰法的相对误差显著低于无参数微扰法的相对误差. 例如，在β=0.3且n=1时，参数微扰法的相对误差为1.6%，无参数微扰法的误差高达25.3%. 第三，在β=0.1且能级较低时，参数微扰法结果的相对误差比自洽平均值法的低；在β=0.1且能级较高时，参数微扰法结果的相对误差比自洽平均值法的稍大. 在β=0.3及更大时，参数微扰法的相对误差始终比自洽平均值法的低. 总之，参数微扰法的一级近似能量的精度比无参数微扰法的有显著提高，而且仍保持了计算的相对简单性.

(11)

其中 由三次代数方程(11)解出ω1/ω，代入式(9)，可得体系的无量纲本征能量：

(12)

给定β的数值，结合式(11)和式(12)即可计算出体系基态和激发态的本征能量. 特别地，当ω1=ω时，Kn退化为无参数微扰法的本征能量.

由于马克思著作中关于异化范畴的运用直接体现在《1844年经济学哲学手稿》及其之后的一段时间内，因此，在有关马克思异化理论在其思想发展历程中的地位和作用存在着不同的看法和观点，主要争论集中于异化理论是否是贯穿马克思一生的致思理路。异化理论中断结论的得出，更多来自于对文本的简单化诠释，缺少对于马克思异化思想的深度挖掘。因此，目前“贯穿说”和“扬弃说”成为了主导性的观点。

图1 无参数微扰法(△)、参数微扰法(▽)和自洽平均值法(□)算出的前10个本征能量与精确数值解的相对误差

2 二维非线性耦合谐振子本征能量

将式(13)的哈密顿算符改写为

——据人民网报道，南京专家研究发现，长时间的共同生活，使夫妻俩肠道菌群逐渐变得相似，这会对夫妻双方的性格、行为习惯等产生影响，有些夫妻甚至还会出现常人所说的夫妻相

(13)

其中H′=λx2y2为微扰项.

设非线性谐振子的哈密顿算符为

南京地铁于2010年前后提出了“全效修”维修集约范式表述。该范式可视为“均衡修”维修集约范式的一类演变形式。

(14)

式中ω1为参数，微扰项

(15)

哈密顿算符式(14)的零级近似能量和波函数分别为

ћω1，

几个人就撇下李老黑向小卖部走过去了。这时我听见马兰带着哭腔的声音说，你们几个行行好吧，我们娘儿俩就指望着这个小卖部过呢，求求你们了。怪不得刚才看不到马兰，原来她一直守在小卖部的门口呢，从我这里看过去，那里正是视线的一个死角。

n1,n2=0,1,2,…; n=n1+n2

设非线性谐振子的哈密顿算符为[2,4]

(16)

其中

(17)

一级近似基态能量

ћ

(18)

根据∂E0/∂ω1=0，有

(19)

其中由三次代数方程(19)解出ω1/ω，代入式(18)，可得体系无量纲基态能量

(20)

特别地，当ω1=ω时，K0退化为无参数微扰法的基态能量.

图2显示了无参数微扰法和参数微扰法得到的基态能量与精确数值解的相对误差. 在β=0(即λ=0)时，两种方法的解析结果均等于严格解，相对误差都为零. 在β>0时，参数微扰法结果的相对误差显著低于无参数微扰法结果的相对误差，而且前者的误差随β增大的增幅小于后者的增幅. 可见，微扰项不为零时，参数微扰法的基态结果优于无参数微扰法的结果，相对误差小于1.1%.

图2 无参数微扰法(△)和参数微扰法(▽)得到的基态能量与精确数值解的相对误差随β的变化关系

体系的激发态能级存在简并，采用简并微扰法[1]处理. 以第一激发态为例，体系能级为二重简并，零级波函数存在两个：

φ1(x,y)=ψ0(x)ψ1(y) φ2(x,y)=ψ1(x)ψ0(y)

(21)

以它们为基矢，计算出微扰项式(15)的矩阵元

W11=W22=ћ W12=W21=0

(22)

将式(22)代入久期方程

det|Wμμ′-E(1)δμμ′|=0, μ,μ′=1,2

(23)

解得能量的一级修正

E(1)=ћ

(24)

可见，体系的第一激发态能级简并未解除，写成无量纲形式为

(25)

特别地，当ω1=ω时，K1退化为无参数微扰法的第一激发态能量.

图3显示了无参数微扰法和参数微扰法得到的第一激发态能量与精确数值解的相对误差. 可见，两种方法的相对误差都随β的增加而增加；在微扰项不为零时，参数微扰法的结果优于无参数微扰法的结果，与精确解的相对误差小于2.8%.

图3 无参数微扰法(△)和参数微扰法(▽)得到的第一激发态能量与精确数值解的相对误差随β的变化关系

最后需要指出，为了简化论述，选取的哈密顿算符式(13)在两个坐标方向具有对称性. 如果哈密顿算符在两个坐标方向不对称，可以采用双参数微扰法[9]更准确地计算出体系能量.

3 讨论

注意到，如果用变分法求解上述非线性谐振子问题，且选取的试探波函数形式恰好是谐振子波函数[见式(17)，以ω1或为参数]或与谐振子波函数相差一个不为零的常系数因子，那么变分法得到的基态能量计算公式与参数微扰法的一级近似能量计算公式相同或相差一个不为零的常系数因子.因此，两种方法给出的基态能量相同.在此基础上，两种方法得到的激发态能量也相同.可见，参数微扰法与传统变分法有一定的相通之处.但是这两种方法的物理内涵具有显著差别. 弄清参数微扰法与变分法的关系，有助于加深对参数微扰法本质的认识.

首先，这两种方法求解体系能量的出发点及对波函数的要求不同. 参数微扰法的出发点如本文引言所述. 该方法本身并未对波函数的选择做出具体限制，得到的波函数是一种自然而然的结果. 相比而言，变分法求解体系能量的出发点是，选取合适的试探波函数，然后通过对体系基态能量平均值求极值，确定试探波函数中的参数，从而得到相应的能量和波函数. 虽然变分法往往可根据体系的物理特点来设计试探波函数，但是对波函数的设计依旧有一定的“试探性”. 易见，用参数微扰法得到的波函数可为变分法中波函数的选取提供有意义的参考.

其次，参数微扰法仍是以微扰法为核心，不但可以计算体系的一级近似能量，而且可以计算体系的更高阶近似能量[10,11]. 此时，参数微扰法和变分法计算基态能量的表达式出现本质区别，前者多出了高阶修正项.

第三，从原理上来看，两种方法也有差别. 变分法给出的是体系能量的上限，而参数微扰法计算体系能量时并未包含此限制条件. 总之，参数微扰法与变分法尽管有一定的联系，但它们有本质的差异，是两种不同的方法.

为实现快速测量，实验系统需要预先标定，标定的测量范围为100 mm(在正交光栅成像610 mm～710 mm之间)设710 mm处为参考平面高度为0，标定间隔为5 mm，标定调制度比值与高度对应关系已经在图2(b)给出.为了评估该方法的测量精度，标定后实测一个平面，检测平面放置在离参考面32.5 mm位置.图8(a)为CCD获取的检测平面上的正交光栅像，检测平面的恢复结果如图8(b) ，图8(c)为检测平面测量误差的放大图.平面恢复的平均高度为32.49 mm，平面恢复的标准差为0.03 mm,平面恢复的平均误差为-0.01 mm，最大误差为0.09 mm.

4 结束语

应用参数微扰法计算了一维和二维非线性谐振子的一级近似本征能量. 参数微扰法不但保持了计算过程的相对简单性，而且计算结果明显优于无参数微扰法的一级近似甚至多级近似结果. 参数微扰法是一种比无参数微扰法精度更高的计算量子体系基态和激发态能量的方法. 用参数微扰法进一步研究原子体系激发态能量将是后续工作.

参考文献:

[1] 曾谨言. 量子力学 (卷Ⅰ) [M]. 4版. 北京：科学出版社，2007：85，356-375.

[2] 顾樵. 量子力学 Ⅱ [M]. 北京：科学出版社，2014：413-414.

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[10] 陆霁，李天乐，席伟，等. 参数微扰法计算氦原子基态能量 [J]. 大学物理，2016，35(8)：36-38.

[11] 张昌莘，席伟，陆霁，等. 基于参数微扰法精确计算类氦离子和的基态能量 [J]. 四川大学学报(自然科学版)，2016，53(5)：1062-1066.