1　引　言

2015年中国股市经历了又一轮的大起大落，股票价格的变动之谜再一次引起了社会的关注.金融学中一个非常重要的问题是如何来合理地刻画股票价格的变动.以股票或股票指数为标的的期权定价模型严重依赖于股票价格变动过程的选择，基于不同的股票价格变动过程会得出不同的期权定价公式.2015年2月9日中国正式推出了金融市场上的首只期权——上证50ETF期权.在此背景下，研究适合于中国股市的股票价格过程以及相应的期权定价问题具有重要的理论意义和应用价值.

目前，常用的模拟股票价格变动的模型有Black-Scholes模型[1]，扩散模型(Merton(1971)[2])，随机波动率模型(Hull 和White(1988)[3], Heston(1993) [4])，跳模型等等.值得注意的是，上述所有的模型都认为股票价格变动的随机性来源于外部冲击，比如有关上市公司的利好或利空信息的发布，国家宏观经济政策的调整等等.关于股票价格或股票收益率的随机性在理论上通常使用布朗运动来刻画.例如，著名的Black-Scholes模型假设股票价格服从几何布朗运动，其中布朗运动作为外生的随机项给出.De Meyer 和Moussa-Saley(2003)[5]通过建立一个简单的非对称信息下的重复博弈模型给出股票价格变动的一个内生性解释，即市场上博弈双方由于信息不对称而采取随机化策略导致了股票价格的随机变动.De Meyer(2010)[6]通过建立更一般的非对称信息下的重复博弈模型推导出由于博弈双方的随机化策略而导致股票价格服从一个由布朗运动驱动的鞅，称其为连续最大变差鞅.但是基于该过程的期权定价问题在文献[6]中并没有涉及.

本文将进一步推广文献[6]中的非对称信息下的重复博弈模型，发现在更一般的条件下，股票价格的折现过程仍然为一个连续最大变差鞅.在此基础上，进一步研究了在此过程下的欧式期权定价问题.

2　金融交易博弈模型

2.1　金融交易博弈模型

金融交易博弈模型由De Meyer(2010)引入, 它可以视为是经典的Aumann-Maschler博弈模型[7]的推广.该模型为单边不完全信息下的双人零和重复博弈模型.本文将以股票市场为例给出博弈模型.

假设股票市场中有两类参与者：庄家与散户.他们重复地交易一项风险资产R(某一只股票)和无风险资产N(现金).在时刻t=1，股票R的清算价格记为L，它是一个随机变量，其分布记为μ.无风险资产N的清算价格始终假设为1.交易在时刻t=0和时刻t=1之间分为n个回合进行.每一回合交易可以通过三元组(I,J,T)来刻画，其中，I和J分别表示庄家和散户的行动集，且T:I×J→R2为交易转移函数.如果庄家和散户选择策略(i,j)，那么T(i,j)=(Aij,Bij )表示资产从散户到庄家的转移量：Aij 和Bij 分别表示庄家从散户处得到的R和N的数量.如果和分别表示在第q回合结束后庄家和散户各自的资产组合，那么

yq=yq-1+T(iq,jq )，

zq=zq-1-T(iq,jq)．

(1)

与经典的Aumann-Maschler模型类似，该n回合重复博弈按如下规则进行：

第0回合：依概率测度μ随机选择L，庄家知道L的确切取值而散户仅仅知道它的概率分布为μ.

第q回合(q=1,2,…,n)：庄家和散户依照各自的信息和历史观测独立的采取他们的策略iq∈I和jq∈J，且在每一回合结束后将策略向双方公开.

具体而言，由于庄家拥有内部信息，其行为策略σ=(σ1,…,σn)为一列依赖于他的内部信息和历史观测的转移概率：

σq:R×(I×J)q-1→Δ(I)．

(2)

其中，σq (L,i1,j1,…,iq-1,jq-1)为在第q回合，当风险资产R的清算价格为L且博弈的前q-1回合的历史观测为(i1,j1,…,iq-1,jq-1)时，庄家选择iq的概率分布；Δ(A)表示定义在集合A上的任意阶矩均存在的概率测度的全体.同样的，散户的行为策略τ=(τ1,…,τn)为一列依赖于他的历史观测的转移概率:

τq:(I×J)q-1→Δ(J)．

(3)

(H4)关于风险资产中的无风险部分的平移不变性：

庄家和散户的行为策略集分别记为Σn和Τn.通过三元组(μ,σ,τ)可以诱导出唯一的概率测度π(μ,σ,τ)∈Δ(R×In×Jn).不失一般性，本文始终假设初始资产组合y0=z0=(0,0).从而该博弈为一个零和博弈，且庄家的收益函数为：

 

(4)

庄家的最大收益和散户的最小收益为：

 

 

显然，始终成立.当等号成立时，称上述博弈的值存在：

 

(5)

其中,ω0设为100π rad/s,其他各次谐波的角频率为基波角频率的整数倍,谐波最高次数N=9,每次迭代的采样频率f =1 000 Hz,共采样10个点(即n=10)。仿真中所使用的电流信号基波和各次谐波的幅值及相位如表1和表2所示。

2.2　自然交易机制

自然交易机制的假设为：

(H1)博弈值的存在性：∀μ∈Δ(R)，单期博弈的值存在，即

在大城市想找份工作立稳脚跟是很难的，想不到在小城市生存竞争也这么激烈。一个薪水低得不能再低的职位，竟然有十多名大学生去抢，更不要说稍微像样的工作了。我从一家招聘英语教师的辅导培训学校摔门而出，因为他们一个月仅开1200块钱工资加一点菲薄的课时费，这么低的待遇还要任课老师双休日去公共场所拉生源。我想象自己站在少年文化宫门前像出台的婊子拉客那样，腆着脸拉小学生们来参加培训，简直无法忍受。薪水再低我都忍了，准备先干着再说，唯有这拉生源的条件成为压垮骆驼的最后一根稻草，让我摔门而去。

(H2)交易的有界性：存在常数C，使得∀i,j: Aij ≤C.

(H3)正齐性：

∀α>0,∀L: V1 (aL)=αV1 (L)．

(6)

其中，τq(i1,j1,…,iq-1,jq-1)为在第q回合散户基于历史观测(i1,j1,…,iq-1,jq-1)选择jq的概率分布.

事实上，给定博弈规则之后，上述博弈完全可以由两个参数决定：风险资产L的分布μ和博弈的回合数n.方便起见，将上述博弈简记为Gn(μ).

∀β∈R,V1(L+β)=V1(L)+V1(β)．

(7)

(H5)信息具有正价值：∃L: V1(L)>0.

其中，记号[X]表示随机变量X的分布.

（2）ES 有非常强大的可扩展性，分布式架构可以扩展到上百台服务器，能够应对PB 级结构化或非结构化数据。

课题的研究通过校企合作，开发实训项目，共同制定完善的与人才培养方案匹配的生产性实习的课程标准，学校与企业共同制定实习考评体系，从而有效保障良好的实习质量，培养高端技能型人才，填补了生产性综合实习课程化的空白。

对于固定的n，设(σ*,τ*)是Gn(μ)的均衡解.假设股票在这n个回合的博弈过程中的价格过程为：

 

显然，为离散时间过程，定义：

 

(8)

其中，[x]表示不超过x的最大整数.此时，为由所诱导出的连续时间过程.

定义1　连续最大变差鞅为在区间[0,1]上具有如下形式的鞅St:

∀t∈0,1: St=f(Bt,t)．

(9)

其中Bt为标准布朗运动且f:R×0,1→R关于第一个变量为增函数.

下面的定理说明了股票的价格过程在一定的条件下将收敛于连续最大变差鞅.

据了解，仅2017年共组织人员外出取证、复审培训8次，司炉、电工、焊工、危化品、起重机械工等特种作业人员培训及取复证248人次，特殊工种持证上岗率100%，开展技能知识的相关培训1000多人次。

定理1　如果(H1)～(H5)成立，那么对所有的μ∈Δ(R)，当n→+∞时，股票价格过程依有限维分布收敛到连续最大变差鞅St=f(Bt,t)且f(x，1)=fμ(x)，其中fμ(x)满足：对于标准正态随机变量Z，有fμ(Z)～μ.

上述定理的证明过程极为复杂，感兴趣的读者可以参见Li(2013)[8].

C(f,K;t)=

2.3　关于博弈模型的几点注记

从式(13)可知，若要得到f的显示表达式或数值解，需要附加一定的边界条件.为此，假设在终端时刻T有：φ(x)=f(x,T)，则此时可以得到f(x,t)的显示表达式：

（1）实际进行建筑电气安装工程施工时，需要对电气系统的绝缘电阻进行测试，并对绝缘电阻测试结果进行记录，然后同时也需要对电气设备调试的结果进行记录。对于电气设备的高度与开关开启方向、配线等，都需要与图纸要求保持一致，此外，室内电控箱、电表箱、插座盒、接线盒线头拼接都需要安装在一致范围内，以使得安装线路能够保持一定的合理性。各个回路线、地线、零线、相线的颜色需要明确标准，并对管线敷设、设备、管线与开关的安装时间进行合理确定，以科学性的进行相关安装。

∀β∈R: V1(L+β)=V1(L)．

(10)

此时，结合(H3)和(H2)可以得到：

∀β∈R,V1(β)=0．

(11)

式(11)意味着通过交易无风险资产不会产生价值.但是在某些情形，例如，当考虑到交易费用时，式(10)不再成立.文献[8]中给出一个带有交易费用的博弈模型，它不满足文献[6]中的自然交易机制，但是满足本文中的假设 (H1)～(H5).

2)关于信息的不对称性，在第0回合，庄家已经知道风险资产L的确切取值，而散户仅仅知道它的分布.这导致在各回合的双方策略中，庄家的策略见式(2)可以依赖于L，而散户的策略见式(3)独立于L，但是散户可以通过庄家的策略来推测L的具体取值，而庄家则有意通过随机化策略来隐藏L的具体信息，在彼此的相互博弈过程中导致了股票价格的随机变动.

3)关于假设(H1)，与Aumann-Maschler模型不同，由于此时重复博弈模型中博弈双方的策略集均不是有限集，最小和最大算子未必可以交换(Mertens等(2015)[9])，从而相应的单期博弈的值未必存在.

4)定理1中的结论与风险中性理论的结论相一致.风险中性理论说明在等价鞅测度下，风险资产的折现过程为一个鞅(Harrison和Pliska(1981,1983)[10,11]).在上述重复博弈模型中，为了简化问题，并没有考虑无风险资产的折现问题，从而定理1中的股票价格事实上是股票的折现价格.此时，股票价格的折现过程是一个在维纳测度下由标准布朗运动驱动的鞅.

5)模型中其实暗含庄家和散户在进行高频交易，即博弈回合数n充分大时，股票价格过程收敛于鞅模型(9).但是中国股市实行T+1的交易规则，高频交易似乎在此行不通.如果将庄家和散户看成是两个群体，这样在短期内会发生高频交易，从而使得股票价格过程仍能收敛到鞅模型.

6)实际股票市场中庄家和散户的博弈行为要复杂的多，远非通过理论模型可以刻画.但是本文所得的结果非常有趣：股票价格的折现过程是由布朗运动驱动的鞅.值得注意的是，与Black-Scholes模型不同，重复博弈模型中并没有关于布朗运动的外生性假设，但是所得到的股票价格过程却是由布朗运动来驱动，从而可以给出股票价格随机变动的一个内生性解释，即股票价格的随机变动来源于庄家和散户的随机化交易策略，庄家采用随机性策略来干扰散户对其所知信息的判断以获得最大收益.当然，外部冲击对股票价格的影响在某些情形会起到关键性作用，但是考虑到模型的复杂性，本文在此处并没有考虑到外部冲击对股票价格的影响.

3　期权定价公式

在上文中通过建立非对称信息下的重复博弈模型推导出股票价格的折现过程具有形式：

随机选取2015-06—2016-06就诊于我院口腔内科的高龋均患者(Q组)和重度牙周炎患者(Z组)各10例，纳入标准：①年龄20～65岁；②无全身性疾病、先天性疾病及嗜烟酒史；③妇女非妊娠期、哺乳期且无长期服用避孕药史；④ 1个月内未服用抗生素，1年内未进行牙周治疗；⑤龋病患者口内除龋病外无其他口腔疾病，重度牙周炎患者口内除牙周病外无其他口腔疾病；⑥高龋均患者的DMFT≥6[6]；⑦重度牙周炎患者至少有2个牙的附着丧失(attachment loss,AL)≥6 mm, 并且有≥1个牙的探诊深度≥5 mm(即在AL≥6 mm的牙中至少有1个牙的探诊深度≥5 mm)[7]；⑧知情同意。

 

(12)

且为鞅过程.

由公式可以可知，若为一个鞅过程，当且仅当f(x,t)满足热方程：

10篇文献报道了多孔钽金属加强块重建Paprosky II、III型髋臼骨缺损导致术区感染的并发症，各研究间不存在统计学异质性（P=0.57，I2=0.0%），采用固定效应模型进行分析。荟萃分析结果显示：术区感染发生率3.59%（95%CI：0.03～0.07），不同文献报告的该并发症发生率差异有统计学意义（图1）。

 

(13)

由于且BT-t与BT-Bt同分布，可知式(15)成立.

从式(12)中可以发现，在鞅模型中未知变量是一个满足式(13)的二元函数f(x,t).一个非常实际的问题是如何通过实际市场中的数据来估计函数f.

针对当前中小企业发展过程中财务会计管理工作中存在的问题，新时期要想循序渐进地改善财务会计管理工作的基本情况，促进综合管理效能的提高，就要加强对中小企业财务会计管理工作的重视，制定更为科学的财务会计管理方案，为企业实现持续稳定发展的目标创造理想化的条件，发挥中小企业的重要作用，维护我国市场经济的稳定发展，为经济强国的构建奠定基础。

1)自然交易机制首先在文献[6]中提出，本文对文献[6]中的假设做了进一步改进，其中与原始假设最大的不同是(H4)，在文献[6]中，相应的假设为：

 

(14)

从而仅需要知道终端函数φ(x)，即可由式(14)得到函数f(x,t)的表达式.显然，由于若能求得股票的折现价格在未来某一固定时刻T的分布则通过对F做适当的变换即可求得φ(x).

事实上，仅仅利用股票市场中的历史数据无法较为精确地估计股票的折现价格在未来某一固定时刻T的分布.但是借助相应的期权市场数据，Breeden和Litzenberger(1978)[12]给出一种基于期权报价来估计股票价格在未来某一固定时刻 T的分布的方法，将估计出的股票价格的分布称为隐含概率分布.本文将利用此方法给出一种估计φ(x)的方法.

在传统的治疗中,主要是采用口服药物的方式进行治疗。其中,抗组胺药物,是使用最广泛的药物。但在一些研究中表明并未找到充足的证明,证明抗组胺药物可有效改善患者出现瘙痒和皮肤损坏。并且经过资料库中相关资料的查询中,现有的报道大多是在研究抗组胺药物使用过程中的有效性,而不能将其做且评估抗组胺药物本身疗效的依据。但是在治疗的过程中发现,一些重度的特应性皮炎患者对于常规的口服药物治疗方式并不十分敏感,其临床治疗效果相对较低。因此,必须要在此基础上,应用糖皮质激素或免疫抑制剂等药物治疗的利弊进行综合的考虑和研究。

首先，考虑相应的期权定价问题.记执行价格为K，到期日为T的欧式认购期权在 t时刻(0≤t≤T)的价格为C(f,K;t)，则有如下的期权定价公式：

定理2　欧式认购期权定价公式：

C(f,K;t)=

 

(15)

证明　由风险中性定价原理，

C(f,K,t)=E[e-r(T-t)(ST-K)+|Bs,s<t]=E[ert(f(BT,T)-Ke-rT)+|Bs,s<t]．

由布朗运动的性质，BT-Bt与 Bs,s<t独立，从而式(15)可化为：

“你们小心点，别靠得太近。”另一名男子抬起头，露出脸上戴着的镂空黑皮面具，一双细长而有神的眼睛，带着灼灼光华，“不要忘了，她可是银盾军团的人。”

EerT(f(BT-Bt+x,T)-Ke-rT)+|x=Bt．

随着医学技术的发展，鼻内窥镜手术已经成为目前鼻科学领域治疗慢性鼻窦炎鼻息肉的主要方法。如何选择鼻腔填塞物也是该手术重要的技术组成部分。以往我院都使用凡士林油纱条进行鼻腔内填塞，虽然能起到压迫止血作用，但却存在头痛、鼻腔胀痛、鼻腔不通气和抽取时易出血等不足。2009年8月，我院鼻科采取PVF医用海绵对部分鼻内镜手术患者进行术腔填塞止血，效果显著，现报道如下。

从而股票价格的折现过程可以由满足式(13)的函数f唯一决定.

特别地，当f(x,t)=eσx-1/2σ2t时，股票价格过程满足Black-Scholes模型，将其代入式(15)，可得：

CBS(f,K;t) =StN(d1)-Ke-r(T-t)N(d2),

即为著名的Black-Scholes期权定价公式.其中，为标准正态分布累积分布函数.

若将相应的欧式认沽期权在t时刻的价格记为P(f,K;t)，则由无套利原理容易验证如下期权平价公式成立：

C(f,K;t)+Ke-r(T-t)=P(f,K;t)+St．

从理论上讲，借助期权平价公式，欧式认沽期权的性质完全可以通过欧式认购期权的性质推出，所以本文仅研究欧式认购期权.

在时刻t=0，可以从期权市场上观测到到期日为T的执行价格为K的欧式看涨期权的报价C(K).如果鞅模型式(12)与实际市场中股票的价格变动较为吻合，那么C(K)=C(f,K;0)，则有如下结论：

性质1

 

证明　首先，由期权定价公式式(15)可知：

 

(16)

类似于文献[14]中的方法，对式(16)中的K求一阶偏导数可得：

近年的研究表明，决定瓦斯涌出量大小的因素众多，机理复杂，且缺少线形映射。传统的线性方法很难作出准确的预测。神经网络所具有的非线性映射能力、泛化能力、函数逼近能力都很适合用来解决瓦斯涌出量预测的问题。

 

将代入即得：

 

又由于BT与同分布，可得：

F(BT≤φ-1(Ke-rT))=

 

注意到此时B1为标准正态分布，从而有：

 

整理即得性质1成立.

在实际期权市场中，对于同一到期日 T，存在许多具有不同执行价格K1<K2<…<KM的期权，从而可以得到相应的期权报价C(Ki).基于如下近似估计：

 

可以计算出：

 

 

理论上，由性质1可知φ(xi)=yi，从而可以采用参数或非参数等统计方法估计出函数φ的具体形式.得到φ的表达式后则可以利用式(14)得到函数f(x,t)的估计式，进而由式(15)可以为欧式期权进行定价.

4　结　论

本文通过建立一个非对称信息下的重复博弈模型对股票市场中庄家和散户的博弈行为进行了刻画，推导出股票价格的折现过程服从一个鞅模型.通过该模型，本文给出了股票价格随机变动的一个内生性解释：庄家通过采取随机化策略来隐藏自己所知道的信息从而导致了股票价格的随机变动.在此基础上，本文研究了基于鞅模型的欧式期权定价问题，并给出相应的期权定价公式以及未知函数的估计方法.

参考文献

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[10] HARRISON M，PLISKA S. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading [J]. Stochastic Processes and their Applications, 1981, 11(3): 215-260.

[11] HARRISON M， PLISKA S. A stochastic calculus model of continuous trading: complete markets [J]. Stochastic Processes and their Applications, 1983, 15(3):313-316.

[12] BREEDEN D，LIZENBERGER R. Prices of state-contingent claims implicit in option prices [J]. The Journal of Business, 1978, 51(4):621-65.