1　 引　言

稀疏优化问题是近年来被广泛研究的热门问题之一，其目的是通过求解稀疏优化模型得到线性或非线性系统的非零分量尽可能少的解(即稀疏解).这类问题特别适合于数据规模较大但包含大量冗余信息的问题，因此稀疏优化在变量选择、图像重构、信号处理、投资组合等领域具有广泛的应用.

目标具有极为重要的导向作用。对于校企合作的实施而言，合理职业体育教学目标的确立很关键，最好是由企业与学校共同完成，双方共同展开对于人才的培养。这样的话，对于学校而言，在日常的教学计划设置中，除了一些基础性的知识和综合性的知识以外，还应该切实做好实践技能的培训，这样的话，人才培养的针对性就更加理想了，利于学生毕业之后的就业上岗。

本文研究一类带有闭凸集约束的稀疏非线性规划问题，其模型为：

min f(x) s.t. ‖x‖0≤s,

采用Stata 13.0软件进行回归分析，通过Hausman检验确定采用固定效应模型。分别加入rta，wtoc，wtoe变量及各控制变量进行回归，得到的总体结果见表5。

g(x)≥0,h(x)=0,

(1)

其中，f:Rn→R是连续可微的；g=(g1,…,gm)T:Rn→Rm，gi:Rn→R是连续可微的凹函数，i∈1,…,m；h=(h1,…,hl)T:Rn→Rl，hj:Rn→R是线性函数,表示向量x非零分量的个数，s是小于或等于n的正整数.约束函数的凸性保证了集合x:g(x)≥0,h(x)=0是凸集.可行集记为Ω∩S，其中

Ω=x:g(x)≥0,h(x)=0，

S=x∈Rn:‖x‖0≤s.

注意到,稀疏约束集S可表示为其中Θ={J⊂表示第i个分量为1其余分量为0的向量.Γ(x)=supp(x)={i∈{1,…,n}:xi≠0}表示向量x非零分量对应的指标集.点x*∈Rn处不等式约束中积极约束指标集记为I(x*)={i∈{1,…,m}:gi(x*)=0}.若x*是问题(1)的可行点，则‖x*‖0≤s,记Γ*=supp(x*)，Θ*={J⊂{1,,…,n}:J⊇Γ*，J=s}，

 

当s=n时，模型(1)就退化为经典的非线性规划；当s<n时，约束集合Ω∩S是闭集但不再是凸集，这使得点到该集合的投影不再是唯一的，这给问题的分析和求解带来非常大的困难.此外，在变量选择、图像重构、信号处理、投资组合等实际大规模问题中往往不仅要求s<n，而且要求s≪n.例如，在股票投资问题中xi表示对第i支股票的投资资金量，目标是期望收益最大，约束可以是资金约束、风险约束等.由于仅上证A股的股票数就有两千多支，也就是x的维数是两千多维，但正常情况下单个投资者只会选择几种股票去投资，也就是说x的非零分量的个数是很少的，因此实际需要的是稀疏解.

分析和求解模型(1)的一个前提是其最优性条件的刻画，由于函数‖·‖0:Rn→R是非凸、非光滑、非Lipschitz，甚至是不连续的，因此经典的光滑优化理论、凸优化理论和Lipschitz优化理论都不再适用，可用的理论工具非常缺乏.对于经典非线性规划，研究其最优性条件需要一定的约束规格，如线性独立约束规格、M-F约束规格、Slater约束规格、Robinson约束规格等；在一定约束规格下，问题的局部解与问题的KKT点可建立有效的联系，这成为求解问题的基础和依据，参见文献[1].对于稀疏约束非线性规划问题(1)，经典约束规格不再适用，需要建立新的约束规格.为寻找稀疏约束非线性规划的最优性条件，受文献[2，3]启发，Pan和Xiu[4]，Pan、Xiu和Zhou[5]，ervinka，Kanzow和Schwartz[6]定义了限制性M-F约束规格，并且基于法锥的分解性质得到了3类KKT点：B-KKT点、M-KKT点和C-KKT点.

实践民俗学在各个国家的发生都有着不同的社会文化和学术发展的背景。在中国，它发生于近二、三十年来中国民俗学转型性发展的过程之中，与所研究的中国本土民俗文化传统和日常交流实践传统不可分割，所以不能简单说中国的实践民俗学理论与实践是受到国外影响的结果。譬如，我们加强了对中国基层社会中特有的庙会文化传统的研究，开拓了对当代民俗即生活方式转变的民俗志书写和研究等，这些都说明了中国民俗学所具有的主体性和与各国民俗学进行对话的资格。[注]参见毛晓帅《中国民俗学转型发展与表演理论的对话关系》，《民俗研究》2018年第4期。

本文引进限制性Slater约束规格，并分析此约束规格与限制M-F约束规格的关系，然后在此约束规格之下讨论模型(1)的最优性条件.

2　预备知识

对于(1)中的等式约束，会用到假设条件：{hj(x):j=1,…,l}是线性无关的.该假设对于非线性规划的等式约束是标准的，见文献[1].若{hj(x):j=1,…,l}是线性相关，则存在P⊆1,…,l，使{hj(x):j∈P}构成{hj(x):j=1,…,l}的一个极大线性无关组，此时，1,…,lP中的线性等式可以由指标集P中的线性等式约束集线性表出.

讨论约束优化的最优性条件需要用到约束集合的切锥和法锥的概念，下面简单介绍，更多内容参见文献[7].

设Q⊂Rn,x*∈Q,则集合

 

 

(ⅰ)‖x*‖0=s时，若限制性Slater约束规格成立，则限制性M-F约束规格在点x*处成立；

 

 

 

分别称为Q在点x*处的Bouligand切锥，Fréchet(正则)法锥和Mordukhovich法锥.三类法锥有下述关系：⊆NQ(x*)⊆

L(x,λ*,μ*)≥L(x*,λ*,μ*)+(x-x*)TxL(x*,λ*,μ*)≥L(x*,λ*,μ*).

 

 

NS(x*)=

 

 

定义1(限制性Mangasarian-Fromovitz约束规格)[5]　设x*∈Ω∩S，称限制性M-F约束规格在点x*处成立，若

(ⅰ)当‖x*‖0=s时，{hj(x*):j=1,…,l}是线性无关的，并且存在向量y∈Rn，使得〈gi(x*),y〉>0，i∈I(x*)及〈hj(x*),y〉=0，j∈1,…,l成立；

(ⅱ)当0<‖x‖0<s时，{Γ*hj(x*)：j=1,…,l}是线性无关的，并且对任意J∈Θ*，存在向量使得〈gi(x*),y〉>0，i∈I(x*)及〈hj(x*),y〉=0，j∈1,…,l成立.

定义2 (M-KKT,C-KKT)[5]　称点x*是稀疏非线性规划问题(1)的M-KKT点(C-KKT点)，若存在λ*∈Rm，μ*∈Rl使得

 

其中是问题(1)的Lagrange函数.

3　限制性Slater约束规格

定义限制性Slater约束规格.

定义3(限制性Slater约束规格) 对于稀疏非线性规划问题(1)的任意可行点x*，若任意内均存在可行点x'∈Ω∩S，使得

gi(x')>0，i=1,…,m，

则称该规划问题满足限制性Slater约束规格.

下面讨论限制性Slater约束规格与限制性M-F约束规格的关系.

定理1　设稀疏非线性规划问题(1)可行点x*，则

分别称为Q在点x*处的Clarke切锥和Clarke法锥，与互为极锥；集合

(ⅱ)0<‖x*‖<s时，若限制性Slater约束规格成立，且Γ*hj(x*)，j∈1,…,l线性无关，则限制性M-F约束规格在点x*处成立.

证明　设x*∈Ω∩S，当‖x*‖0=s时，由限制性Slater约束规格，存在可行点x'∈Ω∩S，使得

gi(x′)>0，i=1,…,m.

令y=x′-x*，y∈Rn，由hi(x)为线性函数得

证明　对于稀疏非线性规划问题(1)，L(x,λ*,μ*)关于是凸函数，因此

yThi(x*)=yThi(x*)，

对凹函数gi(x)，i∈I(x*)，

0<gi(x′)=gi(x*+y)≤gi(x*)+

yTgi(x*)=yTgi(x*)，

据调查结果选取具有代表性的不同品质、类型的卫生纸做为实验对象，分别为低档卫生纸(粗制低价)、中档卫生纸(普通一般)、高档卫生纸(昂贵小众)及报纸(图1).

由线性独立性假设得，限制性M-F约束规格在x*处成立.

对任意λi≥0，i=1,…,m，μj∈R，j=1,…,l，

0=hi(x′)=hi(x*+y)=hi(x*)+

yThi(x*)=yThi(x*)，

0∈

(3)加强水利工程建设的安全管理。水利工程项目是一项大工程，参与的人员也很多，施工程序与其他工程相比也是十分复杂的，因此，水利工程自身的特殊性也就决定了安全管理的重要性，项目管理中重要的一部分就是工程施工过程中的安全生产管理和监督检查，在加强安全管理的过程中要落实安全生产责任制度到个人身上，定期开展安全隐患的排查工作，通过培训加强施工人员的安全责任意识，加大安全宣传教育和培训的力度，通过这些安全管理的措施对水利工程的项目管理奠定基础，确保安全施工以及工程完工后的质量。

对凹函数gi(x)，i∈I(x)，

0<gi(x′)=gi(x*+y)≤gi(x*)+

yTgi(x*)=yTgi(x*).

“初则梵客华僧，听言揣意，方圆共凿，金石难和，椀配世间，摆名三昧，咫尺千里。觌面难通。次则彼晓汉谈，我知梵说，十得八九，时有差违，至若怒目看世尊、彼岸度无极矣。后则猛、显亲往，奘、空两通，器请师子之膏，鹅得水中之乳，内竖对文王之问，扬雄得绝代之文，印印皆同，声声不别，斯谓之大备矣。”（赞宁2017：47）

限制性M-F约束规格在x*处成立.

证毕.

定理1表明，当‖x*‖0=s时，限制性Slater约束规格退化为Slater约束规格.当0<‖x*‖0<s，且{Γ*hj(x*):j=1,…,l}线性无关时，限制性Slater约束规格是在限制在集合上的Slater约束规格.

4　最优性条件

本节在限制性Slater约束规格条件下，讨论x*是问题(1)的全局解、局部解的条件.

1.2.3 Transwell实验 以50 mg/L Matrigel 1∶8稀释液包被Transwell小室底部膜的上室面，4℃风干。将制备好的细胞悬液200 μL加入Transwell小室，24孔板下室加入500 μL含FBS的培养基。在37℃、5%CO2的孵箱中常规培养24 h，用棉签擦去上室内的细胞，4%多聚甲醛固定15 min，清洗、染色后置于倒置显微镜下观察，拍摄和细胞计数。

定理2　设点x*为问题(1)局部最优解，则

(ⅰ)‖x*‖0=s时，若限制性Slater约束规格成立，则x*为问题(1)的M-KKT (C-KKT)点；

习近平总书记强调，要推动乡村产业振兴，就要紧紧围绕发展现代农业，围绕农村一、二、三产业融合发展，构建乡村产业体系，实现产业兴旺。中国农村的发展程度和富裕程度，决定着国家总体发展的质量与速度，决定着我国在实现全面建成小康社会的基础上全面建设社会主义现代化强国。这要求我们不仅要认识到乡村产业发展对乡村总体振兴的重要性与必要性，同时也要贯彻落实乡村振兴战略[5]。

(ⅱ)0<‖x*‖0<s时，若限制性Slater约束规格成立，且{Γ*hj(x*):j=1,…,l}线性无关，则限制性M-F约束规格在点x*处成立，则x*为问题(1)的M-KKT (C-KKT)点.

要改变当前语文名著导读的现状，最为重要的是改变广大语文教师的教学观念，让其从思想上重视名著导读教学，同时要明白名著导读教学是一项长期能力的培养，并不能得到立竿见影的效果，所以教师对学生要有耐心，遵循教育培养的规律。笔者根据自己的教学经验，提出了一些自己的对策。

证明　由文献[4]中定理4.2及法锥的包含关系得，结论成立.

证毕.

定理3　设f是连续可微的凸函数，若(x*,λ*,μ*)是稀疏非线性规划问题(1)的M-KT对，则(x*,λ*,μ*)是在上Lagrange函数的鞍点.

0=hi(x′)=hi(x*+y)=hi(x*)+

根据三类法锥的定义，文献[4]给出了稀疏集合S的三类法锥的具体刻画

当0<‖x*‖0<s时，存在可行点使得0<Γ(x*)=Γ(x′)≤s.令y=x′-x*，y∈Rn，由hi(x)为线性函数得

 

因此，(x*,λ*,μ*)是在上Lagrange函数的鞍点.

由此可见，中小外贸企业想要继续在市场上生存，就必须要抢占发展先机，努力推进跨境电子商务转型，获得竞争优势，这已成为学者们的共识。

证毕.

定理4　设f是连续可微的凸函数，若(x*,λ*,μ*)是稀疏非线性规划问题(1)的M-KT对，则(x*,λ*,μ*)是在上的全局最优解.

M-KKT和C-KKT的刻画依赖于问题的Lagrange函数和稀疏集的法锥，下面直接用目标函数的梯度和约束集合的法锥来给出问题(1)最优性条件的另一种刻画，并对约束集合的几类具体形式给出问题最优性条件的具体表达形式.

引理8　(见文献[7]中推论11．25)：对Rn中的任意非空锥K1和K2，

 

成立.

证明　设d∈(K1∪K2)0，那么对于任意z∈K1∪K2，有〈d,z〉≤0.于是对任意z∈K1或z∈K2，都有〈d,z〉≤0成立.因此且那么即(K1∪K2)0⊆

设那么且那么对任意z∈K1∪K2，都有〈d,z〉≤0.因此d∈(K1∪K2)0，即(K1∪K2)0⊇

综上成立.

如今，近视和弯腰驼背等身体问题在学生群体中日益增多，追究其本质，是学生没有形成良好标准的写字习惯。在小学语文汉字书写的教学过程中，学生正处于启蒙阶段，为了避免长期的写字习惯对其身心健康造成影响，教师应从写字的姿势、握笔和笔画三个方面加以重视，整体性提升小学语文汉字书写教学的有效性。

证毕.

引理5　设x*是问题(1)的可行点，问题(1)满足限制性Slater约束规格，若‖x*‖0=s，则

成立；

俗话说：好记性不如烂笔头.学生预习时总会遇到各种各样的问题, 为了解决这些问题, 在课堂上, 在专心听老师讲解的同时, 一定要做好课堂笔记.可以在相关的内容上写一些醒目的文字, 例”含义””意义””作用””措施”等, 把课堂上教师增加的课本上没有的知识点写在相关知识点的旁边, 让笔记一目了然, 让自己印象深刻, 也方便以后复习.

若0<‖x*‖0<s，且Γ*hj(x*)，j∈1,…,l线性无关，则

 

成立.

证明由文献[4]中推论2及引理8，上述引理成立.

定义6(B-稳定点)：称x*∈Ω∩S是稀疏非线性规划(1)的B-稳定点，若

2) 海冰水域：东北航线的海冰区域集中在巴伦支海至楚科奇海之间，航程2 789 n mile。[10]

成立，其中表示可行集在点x*处的Bouligand法锥.

定理7　设点x*∈Ω∩S为问题(1)局部最优解，则x*为问题(1)的B-稳定点.

证明由文献[2]中定理2.1和文献[6]中定理2.8可得.

若定理4的条件成立，x*∈Ω∩S是问题(1)的局部最优解，它必是B-稳定点，则

0∈

(2)

下面对约束集合的几类具体形式给出问题最优性条件的具体表达形式.

形式1　当问题(1)的非空闭凸集时，容易验证限制性Slater约束规格成立且{Γ*hj(x*):j=1,…,l}线性无关，若x*∈Ω∩S是局部最优解，它必是B-稳定点，此时

 

于是问题(2)等价于

当Γ*=s时，

当0<Γ*<s时，

形式2　当问题(1)的非空闭凸集Ω=x∈Rn:a≤xi≤b，a<0,b>0时，容易验证限制性Slater约束规格成立且{Γ*hj(x*):j=1,…,l}线性无关，若x*∈Ω∩S是局部最优解，它必是B-稳定点，此时

 

于是问题(2)等价于

当Γ*=s时，

当0<Γ*<s时，

5　总　结

本文对一类带有闭凸集约束的稀疏约束非线性规划问题引进了限制性Slater约束规格的概念，分析表明该约束规格强于限制性M-F约束规格且更容易验证，此约束规格可保证局部最优解是M-KKT点、C-KKT点和B-稳定点.最后，对约束集合的两种具体形式，指出限制性Slater约束规格必满足，并给出了一阶必要性条件的具体表达形式.本文的结果对于设计和分析有效算法提供了理论基础.

参考文献

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[2]　BECK A, ELDAR Y C. Sparsity constrained nonlinear optimization:optimality conditions and algorithms[J]. SIAM Journal on Optimization, 2012, 23(3):1480-1509.

[3]　BECK A, HALLAK N. On the minimization over sparse symmetric sets:projections, optimality conditions, and algorithms[J]. Mathematics of Operations Research, 2016, 41(1):196-223.

[4]　PAN L L, XIU N H, FAN J. Optimality conditions for sparse nonlinear programming[J]. Science China, 2017, 60(5):1-18.

[5]　PAN L L, XIU N H, ZHOU S L. On solutions of sparsity constrained optimization[J]. Journal of the Operations Research Society of China, 2015, 3(4):421-439.

M, KANZOW C, SCHWARTZ A. Constraint qualifications and optimality conditions for optimization problems with cardinality constraints[J]. Mathematical Programming, 2016, 160(1/2):353-377.

[7]　ROCKAFELLAR R T, WETS R J. Variational analysis[M]. Berlin：Springer-verlag,1998.