1 引 言

索伯列夫嵌入定理[1](Sobolev Imbedding Theorems)是索伯列夫空间中最重要的性质，此定理是由苏联数学家索伯列夫于1938年证明的.它内涵丰富，在偏微分方程数值解或者理论解(包括有限差方法和有限元方法等进行求解)的误差估计时作用重大，比如用它来分析解的先验误差估计，数值格式的稳定性及其收敛性等，起着十分关键的作用.因而该定理对于偏微分方程数值解的教学[3，4]和科研起着重要的作用.尤其在教学过程中，学生也经常会被该定理的证明所困惑，因而有必要提供更多形式的易于理解的证明方法，这也是本文的一个主要动机.

作者在从事偏微分方程数值解的教学过程中，所采用的教材是东南大学孙志忠教授编写的普通高等教育“十二五”规划教材《偏微分方程数值解法》[2，5]，本文主要是针对该教材第一章的连续型和离散型的嵌入定理给出另一种证明方法，该定理可看做索伯列夫嵌入定理的一个特殊情形.该证明方法可以作为教师教学、科研或者学生科研训练的一个补充证明.

2 基本定义及引理

Cm[a,b]表示闭区间[a,b]上所有具有m阶连续导数的函数的集合.

试验期间，CDFU进出水含油情况如图8所示。由图8可以看出:①CDFU具有较好的除油效果，最高除油率可达74%;②CDFU体现了抗冲击能力强的特点，在来水水质波动大(ρ(油)为15～61 mg/L)的情况下，有效保证了出水ρ(油)＜30 mg/L，满足后面两级精细过滤器对进水含油的要求，有效避免进水水质波动对过滤器的冲击;③CDFU除油效果与来水中油含量有很大关系，来水油含量越高，除油率越高;④气源改为天然气后，CDFU除油效果变好，这主要是因为天然气相较于N2在水中溶解度更大，可增加水中溶气量，更有利于将油带出。

为解决上述问题，学生设计测交实验对假说进行进行演绎推理。持控制眼色的基因位于Ⅱ-2区段观点的小组设计的测交实验遗传图解如图3所示，持控制眼色的基因位于Ⅰ区段观点的小组设计的测交实验遗传图解如图4、图5所示。教师展示学生的成果，学生发现如仅按图3、图4进行测交实验，F1个体的表现型及比值是相同的，依然无法判断基因的位置。此时，教师提醒学生图5所示的测交实验，子代雌蝇均为红眼，雄蝇均为白眼。

记v∈Vh，则

如果u(x)∈C1[a,b]，则

设Ωh={xi|0≤i≤m}为区间[a,b]上的网格，

Vh={v|v={vi|0≤i≤m}为Ωh上的网格函数}.

设u(x)∈C[a,b]，则

证 对任意的x∈(a,b)和z∈(a,x)，有

纵观彭绍升的这篇传记，其中包含着几乎所有清初隐遁遗民都会面临的四重尖锐而激烈的矛盾冲突：“殉节而死”与“不死苟活”、“出应世务”与“栖隐土室”、“与世交接”与“杜门避居”、“受赠馈遗”与“坚却不受”。面对一重重尖锐而复杂的矛盾冲突，该何去何从，这几乎成为易代之际士大夫道德操守的试金石，就在这一次次的冲突、纠结和抉择中，考量着每一位当事者的道德底线，也自然成为衡量士人志节操守的道德准绳和标签。在清初散文史上，以遗民志士为传主的传记散文中，这些道德维度的评判便逐渐形成传记写作中相对固定的“范式”。

引理 2.1 对任意的a,b∈，有

3 连续情形

首先给出如下经典证明.

定理 3.1(连续型嵌入定理) 设u(x)∈C1[a,b]，则对任意有ε>0有

其中

u2(x)-u2(z)=2u(s)u′(s)ds.

结合引理 2.1和L2范数及H1半范数的定义，可得

(1)

不妨设ξ>η，进一步有

以下是关于定理 3.1的一个新证明.

(2)

将(2)两端除以b-a，得

五、缩略语文中尽量少用，必须使用时于首次出现处先叙述其全称，然后括号注出中文缩略语或英文全称及其缩略语。一些公知公认的缩略语如CT、MRI、MRA、DSA、DNA、WBC、RBC、PCR、EEG、ECG、CSF 和 PBS缓冲液及病理染色方法不必注全称，详见《本刊关于文稿中缩略语的书写要求》。

(3)

由于(3)式对任意的x∈(a,b)都成立，故定理得证.

即对任意的x∈(a,b)，有

证 由于u(x)∈C1[a,b]，故存在ξ,η∈[a,b]，满足

对(1)式两端关于z积分，得

(3)智慧城市市民抱怨、智慧城市预期与智慧城市建设满意度呈现负相关得到验证(H5，H6)，且在0.05水平下是显著的。这表明较高的市民期望值会对智慧城市的建设发展产生些许的负面影响，如果市民对智慧城市建设的期望太高，市民在享受服务之后的实际心理感知与期望值相比差距较大，那么市民的满足性预期得不到满足，市民对智慧城市建设的抱怨就会增多，因而降低了市民的满意度。

因此

由此定理3.1得证.

4 离散情形

定理 4.1(离散型嵌入定理) 设u∈Vh，对任意的ε>0有

关于定理 4.1的经典证明请参考[6]中的附录.有关此定理的一个新的证明如下

3、专家咨询费管理的标准。专家咨询费是指临时受聘的专家所取得的费用，其标准按国家有关规定执行。专家咨询费在实际中争议较少，主要是专家咨询费的标准普遍不明确，存在较大随意性。同时，存在以虚构人员名单等方式虚报冒领或者套取专家咨询费的情况。

化学农药问世以来，对它的质疑从《寂静的春天》引发的反思和环保浪潮之后，可以说就没有停息过。近日，孟山都被指认隐瞒除草剂危害，致使曾在美国旧金山约翰逊说罹患淋巴瘤。不久前，美国加州旧金山方面有陪审团裁决，孟山都被判赔偿患癌园丁2.89亿美元，约合19.8亿元人民币。虽然孟山都表示不认同裁决，但此事还是把孟山都再一次抛到风口浪尖。

证 不失一般性，假设存在0≤j<i≤m，满足记

则有

由此定理4.1得证.

虽然教改进行多年，“学生是课堂的主体”喊得山响，但我们的课堂还是在教师的主导下向着既定方向发展，对学生看似多余的提问、质疑往往是忽视，甚至当教师无法解决问题时，送给学生的是当头断喝“就你事多”。学生质疑精神正是这样被教师消灭的。因此，教师要善于重新为师生关系定位，教师不是万能的神，不可能解决所有问题，学生也不是教师的附属，他们可以有自己的感受和思想。教学中的师生思维冲突是一种不可避免的必然，不存在对教师形象尊严的影响，教师要等闲视之。

5 结论与认识

偏微分方程数值解作为数学系本科生，尤其是计算数学专业本科生的一门模块课，是一门比较基础的课程，对于打算进一步从事计算数学专业研究和探讨的本科生起着重要的桥梁作用，因而有必要着重对待.本文的证明方法对于偏微分方程数值方法的教学和科研有一定的帮助作用.

[参 考 文 献]

[1] Adams.索伯列夫空间[M]. 叶其孝，王耀东，应隆安，韩厚德，吴兰成译.北京：人民教育出版社，1983.

[2] 孙志忠.偏微分方程数值解法. [M].2版.北京:科学出版社，2012.

[3] 邓斌，朱晓临，张瑞丰，吴强，王寿城.《微分方程数值解》课程教学改革的探索和实践[J].大学数学，2014，30(S1):56-58.

[4] 吴强，朱晓临，王寿城. 浅谈“偏微分方程数值解”教学中的实践性教学环节[J].大学数学，2014，30(S1):5-8.

[5] 教育部数学与统计学教学指导委员会. 关于《信息与计算科学》专业办学现状与专业建设相关问题的调查报告[J].大学数学 ，2003，19(1):1-5.

[6] Gao G H， Sun Z Z. The finite difference approximation for a class of fractional subdiffusion equations on a space unbounded domain[J]. Journal of Computational Physics ，2013，236：443-460.