1 引 言

近几十年来，Kadomtsev-Petviashvili (KP) 系列[1]及其推广情形是孤立子与可积系统领域的热门研究对象之一. 将modified Kadomtsev-Petviashvili (mKP) 系列[2]中对x的微分∂替换为q-微分算子∂q[3,4]可得到q-形变的mKP系列[5]. 2017年文献[5]中给出q-mKP系列的Lax算子、Lax方程，以及与q-KP系列[6,9]之间的Miura变换、Bäcklund变换等可积性质. 流方程是可积系统的基本表达形式，是可积系统可积性质的具体载体，因此理解不同形式流方程之间的内在关系、给出其等价形式是研究可积系列的第一步.对于KP系列、mKP系列、q-KP系列，相关研究结果已经较为丰富[10,11]，一个自然的问题是q-mKP系列流方程的内在关系如何呢？有哪些具体的等价形式？这些问题是论文的主要研究内容.论文的安排如下：第二节中将介绍量子微分算子以及q-mKP系列的Sato理论体系，包括其Lax算子、Lax方程；第三节中进一步探讨q-mKP系列流方程的内在关系、给出其不同的等价形式；第四节是总结.

2 量子微分算子及q-mKP系列

为使论文体系完整，首先罗列q-微分算子的定义和性质.对于任意的函数f(x)，q-微分算子∂q对其作用定义为

(1)

当q→1时q-微分∂q(f(x))退化为经典情形的微分∂x(f(x)).Q-shift算子θ对函数f(x)的作用定义为θ(f(x))=f(qx).算子θ和∂q是不交换的，它们满足(∂qθk(f))=qkθk(∂qf),k∈.

用表示∂q的逆算子，运用数学归纳法可以推导出q-形变的Leibnitz公式

,

(2)

其中q-整数和q-二项数定义为

为了方便理解，下面给出公式(2)中一些常用式子

∂q∘f=(∂qf)+θ(f)∂q，

对形式为的拟微分算子，定义和

类似于经典的KP系列，沿着Sato理论体系[1]构造q-mKP系列.称拟微分算子

(3)

为q-mKP系列的Lax算子，其中函数ui=ui(x;t1,t2,…),u0≠1且u1≠0，这一点不同于经典mKP系列.Q-mKP系列的Lax方程定义为

(4)

对比上式中的系数可以得到一系列的微分方程簇，统称为q-mKP系列的流方程. 对每个取定的m∈，tm流方程均包括无穷多的微分方程，这里仅给出m=1的前三个方程，即t1流方程的前三个

∂1u0=u0(θqu1)-u0u1,

观察t1流方程的结果不难发现q-mKP系列与经典mKP系列的区别之一：在q-mKP系列中，等式∂1Lq=∂qLq已不再成立，即变量t1与变量x不再以(x+t1)的形式出现在函数ui中.

3 Q-mKP系列流方程的等价形式

引入函数集(pj(n))j≤n,(qj(n))j≤n将Ln(n=1,2,3,…)表示为

其中

通过对Lax算子加以限制定义q-mKP系列的一种n-约束条件

可以验证无穷维函数集合(u0,u1,u2,…}与(qn(n),qn-1(n),qn-2(n),…}之间存在着如下关系

(5)

若将Ln拆分为两个部分，计算可知

对Paideia这个“不可译”之词的勉强翻译无论是否足够准确，都显露出对于洞穴比喻的一种整体理解。现在，回到海德格尔文章开篇所提出的目标，即倾听在柏拉图思想中的未被道说者——真之本质的一种转变，问题便是：洞穴比喻所讲的Paideia作为一种过渡与真之本质的转变有何关系。Paideia作为过渡引导着一种回转，这种回转与真之本质的转变是同一回事吗？还是说Paideia实际上引导了真之本质的转变，抑或Paideia引起的回转要以真之本质的转变为前提？

(6)

(7)

1.6 内在机制——进化的实质 第(5)小题： 水稻种植区的Mp是由不同基因型组成的群体。大面积连续种植某个含单一抗病基因的水稻品种，将会引起Mp种群____________，使该品种抗病性逐渐减弱直至丧失，无法在生产中继续使用。

定理1 Q-mKP系列的流方程可以表示为

(8)

其中

(9)

证 从等式(6)和(7)可知

[(Lm)≥1,L]=[L-(Lm)≤0,L]=[L,(Lm)≤0]

上式第一部分为

类似可计算第二部分

1988 年沪嘉高速公路——我国大陆第一条高速公路建成通车。30年来，我国高速公路发展从无到有，从疏到密，总里程世界第一，创造了世界道路建设史上的奇迹。

今天，公众能轻易学会修改数码图片内容的后期技术，将客观现实主观化，而且可以构建虚拟实景，把已经消失的或根本不存在的物像重构或虚构出来，将主观意识客观化。这种客体和主体双重反转对社会既有观念具有极大的破坏力，它可能把我们扔向虚拟现实和虚拟社会的深渊。那么，我们还能拥有真实吗？数码摄影能否代替我们人类智能？后资本主义时代数码文化工业是否开启望远镜将人类智能置入数码摄影之中？当真理成为漂浮的能指之时，量子—数码世界观将会把我们带向怎样的未来？

对比上式中的系数，不难证明

选取接受口腔种植骨结合治疗的糖尿病患者与非糖尿病患者各50例展开研究。糖尿病患者组中，含有男性21例，女性29例，年龄均在40～80岁，平均年龄均在62.12岁，糖尿病病程6.5年，同时该组患者含有55颗种植体。非糖尿病患者中，含有男性26例，女性24例，年龄均在42～80岁，平均年龄为64.42岁，糖尿病病程6.6年，同时该组患者含有55颗种植体。将这100例缺牙患者的患者的年龄、性别和病程等资料进行对比分析差异无统计学意义（P＞0.05），不具有可比性。

.

(10)

这里需要特别注意的是上述定义中的n-约束条件是Ln=(Ln)≥0，而不是Ln≠(Ln)≥1.

等式(9)中引入算子Xj,r，这也是q-mKP系列不同于mKP系列、q-KP系列之处. 定理1和定理2给出q-mKP系列流方程基于函数集(qj(n),j∈}的等价形式，类似可以得到其基于函数集(pj(n),j∈}的等价形式，不加证明的给出如下两个定理.

鸡蛋可以供给宝宝优质的蛋白质和大量生长发育必不可少的胆固醇。幼儿园是集体进餐的，让孩子吃全蛋很难做到，所以宝宝能在幼儿园吃到蛋，但是很少吃到全蛋，这样孩子吃到的蛋量就会有多有少，老师盛的多就吃得多，盛的少就吃得少，孩子吃到的量就没有保证了。

这里k=r+α,j=k+h.上述两式与Lax方程对比的系数可得出结论.

U(n)tm=A(n)Q(n,m)，

(11)

其中U(n)tm=(u0,u1,…,un-1,un)′,Q(n,m)=(q0(m),q-1(m),…，q-n+1(m),q-n(m))′,

m=1,2,3,…且m≠n.

坡林地是京津冀地区水土流失的主要策源地之一，随着当前经济林建设的快速发展，燕山、太行山山区水蚀坡林地面积不断增加，水土流失问题日趋严重，坡林地治理也是当前水土保持工作的薄弱环节。

证 由q-mKP系列的n-约束条件可知，对任意的j<0，qj(n)均等于0,再由等式(5)可得

⋮

.

上述等式说明，在n-约束的条件下,对任意正整数s，(un+1,un+2,…,un+s)可以由(u0,u1,…,un)完全表示，因此q-mKP系列的动力学意义已由无穷多个自由函数(u0,u1,u2,…)变成有限个(u0,u1,…,un).考虑定理1，对m≠n时q-mKP系列的Lax方程可以等价的改写为等式(11)的形式.

定理2 在n-约束条件下，q-mKP系列的流方程的等价形式可以表示为

定理3 Q-mKP系列的流方程可以表示为

(12)

满足结合律和分配率的运算符号函数π,可以选取为多边矩阵⊗本身，此运算与矩阵的阶数没有限制，而求最小值运算对矩阵的阶数是有限制的，要求相应的矩阵阶数相同，即可以进行叠合运算。但是在结果张量矩阵不能进行对应元素的叠合运算时，可以取运算符号函数π,为⊗，即多边矩阵⊗的最小值，所有数值是可以进行加法运算的。

定理4 在n-约束条件下，当m=1,2,3,…且m≠n时，q-mKP系列的流方程的等价形式可以表示为

U(n)tm=B(n)P(n,m)，

(13)

其中

定理5 在n-约束条件下，当m=1,2,3,…且m≠n时，q-mKP系列的函数集(pj(n),j∈}存在如下的递归关系

对于腕表而言，同轴擒纵系统可减少机心内部的摩擦，提高机械效率，保证腕表的长期耐用性。对于消费者而言，同轴擒纵系统可保证腕表在更长周期内的精准走时，延长了腕表的保养周期。

(14)

(15)

其中

证

上式第一部分是

第二部分是

岩溶发育程度是岩溶塌陷形成发生的先决条件[9]。研究区浅部岩溶发育，下伏基岩主要为二叠系上统长兴组石灰岩(P2c)。基岩面附近岩溶化程度较高，岩溶形态多样，溶隙、溶槽、溶洞发育(图7)，为岩溶塌陷的形成提供了良好的排水和颗粒运移通道[10]。据钻探资料，特别是浅层岩溶发育(ZK5在地表以下50 m范围内发育13个溶洞)，大多为小溶洞，高度0.3～5.0 m不等，个别高度达30 m以上，多数为全-半充填状态，充填物为泥砂及碎石(图8)。

与等式的左边比较可得定理.

4.4.3 气候变暖有助于不耐低温的作物生长，因此要针对引进的优良作物品种进行气候适应性研究，并与本地气候特征进行对比分析，科学合理确定种植制度，做到因地制宜、效益优先。由于气候变暖，使得作物生长季延长，因此，适当调整种植结构，民和县的川水地区可适当扩大冬小麦种植面积。

4 结 论

文章在对量子微分和q-mKP系列作简短介绍的基础上，研究q-mKP系列流方程的内在关系，并给出n-约束条件下流方程的等价形式，从而将q-mKP系列的无穷维流方程改写成有限维的矩阵形式，文章最后给出q-mKP系列的动力学函数内部的递归关系.从文中结果可以看到，q-mKP系列的结果明显不同于KP系列，这说明q-mKP系列并不是mKP系列一个非平凡的量子化推广. 另一方面，当q→1时文中结果退化为经典mKP系列的情形，与参考文献[2]中结果一致，佐证这种推广是合理的.

[参 考 文 献]

[1] Dickey L A. Soliton Equations and Hamiltonian Systems[M]. Singapore: World scientific, 2003.

[2] Cheng J P, Wang L H, He J S. Recursion operators for KP, mKP and Harry-Dym Hierarchies [J]. J. Non. Math. Phys., 2010, 18: 161-178.

[3] Kac V, Cheung P. Quantum calculus[M]. New York: Springer-Verlag, 2002.

[4] Klimyk A, Schmüdgen K. Quantum groups and their represntaions[M]. Berlin: Springer, 1997.

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[7] Tu M H. q-deformed KP hierarchy: its additional symmetries and infinitesimal Bäcklund trans- formations[J]. Lett. Math. Phys., 1999, 49: 95-103.

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[11] Tian K L, Zhu X M, He J S. On recursion of the q-KP hierarchy[J]. Commun. Theor. Phys.,2016, 66(3): 263-268.