1 问题的提出和结论

首先叙述Stokes公式，参见文献[1] P307定理22.6.

为什么单独说这一句呢？因为这句让我特别有感觉，大家猜个脑筋急转弯，请问初一和十五，什么时候月亮更圆？正确答案是，什么时候的月亮，都是一样圆。

定理1(Stokes公式) 设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线，若函数P，Q，R在S的某邻域有一阶连续偏导数，则

厦门柔性直流输电工程的直流额定电压为±320 kV，输送容量1000 MVA，采用真双极接线。两侧换流站之间由两回直流线和一回回流线形成回路，当一极停运时，另一回直流线同回流线形成回路，具体接线如图1所示。

(1)

其中S的侧与L的方向按右手法则确定.

Stokes公式(1)建立了沿空间双侧曲面的第二型曲面积分与沿其边界曲线的第二型曲线积分的关系.通常，应用Stokes公式可以将一封闭曲线的第二型曲线积分转化为以此曲线为边界的曲面上的第二型曲面积分，该积分与曲面的选取无关.自然的问题是，如何逆向使用Stokes公式.亦即，给定(X，Y，Z)，如何构造定义在曲面S邻域上有二阶连续偏导数的向量场(P，Q，R)使

其中约定S的侧与L的方向按右手法则确定，|·|表示行列式，

(2)

成立.注意到，若

则A的散度

divA=0.

这表明，div(X，Y，Z)=0是公式(2)成立的必要条件.文献[2]证明了下面的定理，本文给出该结论的定积分形式.

第三步，令得将c带回(7)，得

(3)

由图6可知，随着恒温搅拌时间的增加，磁性产品的产率逐步增大，赤铁矿的回收率逐渐升高。说明磁性颗粒随着搅拌时间的延长逐渐增加，当时间达到8 min时，弱磁性赤铁矿回收率基本上达到最高值。

其中(x0，y0，z0)为S上任一点.

证 由Stokes公式(1)直接验证可得结论.

利用公式(3)，可以比较方便地将满足条件div(X，Y，Z)=0的第二型曲面积分化为其边界上的第一型曲线积分.但是，通常第二型曲面积分并不满足div(X，Y，Z)=0条件.甚至，当Z(x，y，z)依赖第三个空间变量z时，由于无法由定理2将单独地转化为其边界的第一型曲线积分.相反地，如果能够单独转化该项，根据对称性也能类似地转化另外两项，然后将这三项相加就能得到更广的不需要条件div(X，Y，Z)=0的逆向Stokes公式，这正是本文的研究动机.对此，本文将给出正面的解答，主要结论如下.

（1）实现更高效、便捷的预约报账服务。优化预约报账业务流程，实现报账系统由以会计核算为中心向以用户体验为中心的转变。一方面，通过简化预约流程，分析报账人行为模式，推动报销流程自动化，提高财务数据利用率，通过更友好、更易于操作的程序，完善细节设计，提升用户体验，缓解“报账难”现象，为广大老师营造出一个潜心研究的良好环境。另一方面，在做好财务日常工作的同时，要不断缩短财务信息处理流程，减少业务处理环节，改进信息处理手段，逐渐提高信息资源利用效率，不断强化财务管理功能，进而提高预约报账服务效能。

由Stokes公式及[1]P303定理22.4，有

S∶z=z(x，y)， (x，y)∈Dxy

(4)

式中：β为统一强度参数，反映中间主应力影响的权参数，一般取为0<β<1，本文取为β=1/2，统一强度能替代D-P准则。σt为土体拉伸强度极限，ω为土体拉压强度比，根据摩尔-库仑准则得：

(5)

满足

(6)

推论4 设S，L与定理3中相同，Z是S邻域上的连续函数，则

(7)

其中约定S的侧与L的方向按右手法则确定，P由(5)式决定.

证 由Stokes公式(1)及[1]P303定理22.4，有

推论5 设S,L与定理3中相同，X,Y,Z是S邻域上的连续函数，则

目前国内外三维扫描仪都通过测量仪器扫描原始完整零件模型数据；但是国外的三维扫描仪精度普遍高于国内。本文针对复杂曲面零件特别是边缘处不宜通过三维扫描仪精确取得的曲面数据，提出了一种基于迭代计算的三维数据提取方法。对于三维预扫描数据，首先采用电流计在曲面外沿设置多个采样的定位点V(x,y,z)，而此定位点即为通过三维扫描仪对物体所在的位置进行测量后所固定的点。依照现在三维扫描仪中的数据提取技术，一般来讲，对定位点的捕捉精度较高，而其对定位点的误差主要受到三维扫描仪捕捉精度的影响。

注1 当光滑曲面的形式为

证 由[1]P303定理22.4和推论4立得.

推论6 设S，L与定理3中相同，X,Y,Z是S邻域上的连续函数，则

其中约定S的侧与L的方向按右手法则确定

证 容易验证

定理3 设光滑曲面

同理可知

其中约定S的侧与L的方向按右手法则确定，P1=P由(5)式决定

S∶x=x(y，z)， (y，z)∈Dyz，

(4′)

其中Dyz为S在yz平面的投影区域，L是其边界；或者当光滑曲面形式为

的边界L是按段光滑的连续曲线，其中Dxy为S在xy平面的投影区域，Z是S邻域上的连续函数，则定义在S某邻域上具有一阶连续偏导数的函数

S∶y=y(z，x)， (z，x)∈Dzx，

(4″)

其中Dzx为S在zx平面的投影区域，L是其边界；我们也可以得到类似定理3的公式.

2 定理3的证明及应用例子

本节，主要目的是证明定理3，并用此结论计算一个例子.

定理3的证明 注意到，满足(6)的P不唯一.为此，解下面的一阶线性偏微分方程

一方面是设计以及规划方案都是要结合建筑的实际程序来进行执行，反复进行核查和检测，加强计划整体的安全质量。管理人员要做好各方面的交接以及沟通，排除在实际施工中的各类安全隐患，对施工中的各个环节进行设计，然后是对各方面的资源展开合理的应用，做好对设备的控制。另外是企业的原材料采购，需要向一些有知名度的优质企业进行采购，施工中做好材料的管理以及控制，避免材料出现质量问题。对材料的施工也是要符合规程，不要有违规的操作出现。监管人员要在现场加强各方面程序的检查，保证程序的严格执行。

用特征线方法来解.第一步，解特征线方程的初值问题

妻子左挑右选，看上一条四克多的白金项链。四百零四块钱一克，价格一千八百零八块钱。营业员小姐说，这个数字吉利。妻子说，就拿这一条。我早已经看出来，妻子挑选白金项链，有意挑选细的。细的克数少，花钱就少。妻子给自个买白金项链，还是有那么一点舍不得花钱。银行卡在我身上，自始至终我手插口袋，一直紧紧地攥着，生怕银行卡长翅膀，“扑棱”一声飞走了。我跟妻子一起去收银台付钱。营业员小姐一边开票一边鼓动妻子再买一只吊坠跟白金项链在一起佩戴。

的解为其中c为常数.第二步，沿特征线化简方程.令

则得沿特征线简化的方程为

其解为

定理2 设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线，X，Y，Z在S的邻域上有一阶连续偏导数，满足div(X，Y，Z)=0.则

例1([1]P303例3) 计算

2)中孔数量增加更有利N2和I-3吸附量(孔容)的增加。随硝酸改性时间、温度、浓度和超声功率增加，I-3的吸附量先增后减，在75 min、343 K、硝酸浓度为7 mol/L、功率为70～80 W时，改性活性碳I-3吸附最佳。

其中S={(x，y，z)|z=x2+y2，z∈[0，1]}，取上侧.

解 注意到div(2x+z，0，z)=3，因此不能用定理2来变为S边界的第二型曲线积分.由zx=2x，以及[1]P303定理22.4有

为了适应高中生的心理特点及时代发展要求，就要充分利用创客教育模式，合理开发和利用教学资源，为新知识的传授注入新活力，从而将抽象的生物知识形象化。例如，在讲解《细胞的能量“通货”-ATP》一节，教师通过展示萤火虫尾部发光的动态图，询问学生“萤火虫为什么会发光”，将教材中的图片转变为动态图，从而激发学生的学习兴趣。

又因为zy=2y，则

及

因此

得到

其中

表2展示了MPDPC.I,MPDPC.II和MPDPC.III在稳态下的平均开关频率和电流总谐波畸变率(THD)。由于直接功率控制的开关频率不固定,平均开关频率是通过计数6个开关管在1 s内动作的总次数再除以6得到的。从表中可以得出,相比于MPDPC.I,MPDPC.II大幅度地降低了开关频率,但同时也对电流波形产生了极大的影响,电流THD明显增加,这不利于系统的稳态运行。而MPDPC.III凸显出很大的优势,不但开关频率有更大幅度的降低,更重要的是,其仍然保持着较高水平的电流输出波形。

直接计算

例2 计算

其中S={(x，y，z)|z=x2+y2， z∈[0，1]}，取上侧.

第1步：通过计算机录取目标在各种运动状态下的回波数据。针对指数加权法，通过改变其加权因子α的值，改善其检测结果，给出最优探测结果下α的取值范围。

解 注意到 直接验证，满足公式 (6). 记

雁荡山完整地记录了火山爆发、塌陷、复活隆起的完整地质演化过程，不仅是亚洲大陆边缘巨型火山带中白垩纪火山的典型代表，还是研究流纹质火山岩的天然博物馆，为中生代晚期亚欧大陆边缘复活型破火山模式的典型范例，对研究全球白垩纪时期破火山演变规律和地貌演化特征具有重要的科学意义。雁荡山融山水美学、自然科学、历史文化于一身，被誉为“海上名山、寰中绝胜”，史称“东南第一山”，是中国大地上的一颗“东方明珠”。2004年11月8-10日，联合国教科文组织地学部主任伊登博士，在考察雁荡山后题词，称赞雁荡山是“一首由岩石、水和生命组成的交响乐。”

因此，由公式(7)有

[参 考 文 献]

[1] 华东师范大学数学系. 数学分析(下册) [M]. 4版.北京：高等教育出版社，2010.

[2] 王湘君，刘继成. Stokes公式的一个注记[J]. 大学数学，2015，31(6)：45-49.

[3] 陈纪修，於崇华，金路. 数学分析[M]. 2版.北京：高等教育出版社，2004.

[4] 卓里奇B A. 数学分析[M].4版. 蒋铎，王昆杨，周美珂，邝荣雨，译.北京：高等教育出版社，2006.

[5] 崔尚斌.数学分析教程[M].北京：科学出版社，2013.

[6] 吴良森，毛羽辉，韩士安，吴 畏.数学分析学习指导书(下册)[M].北京：高等教育出版社，2004.