21世纪是重知识、强经济、求发展的时代,而知识,经济等是依靠新的发现、发明和创新,其中创新是其核心.创新需要知识作为基础,知识与创新互依并存.而任何学科知识都是以数学知识作为基础,数学之重要,数学无处不在.正如华老所言：“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,日用之繁,无处不用数学”.

数学之重要,数学是各学科创新之基础，因此培养社会急需高素质创新型人才的任务就摆在我们每位高校数学教师面前.为实现创新人才培养这一目标,特别在当下“厚基础、重能力、求创新”的形势下,数学课堂教学方式的改进尤显重要.因为它关系到我们培养的学生能否适应时代发展的需要,将来能否驾驭自己学科前沿,因此教学方式的改进一直成为高校数学教师谈论和探讨的永恒话题与课题.

以下以案例形式讲述我们是怎样进行启发式、对比式、研讨式、探究式教学的.

文学是人学。蒙古史诗《罕哈冉惠传》属于民间文学范畴。因此，我们不仅要从宗教的视角，还更应从文学的视角审视评判这部史诗。作品中主人公哈冉惠这一形象所表现出来的文学审美价值，应当是研究者们关注的焦点之一。有些研究者在分析哈冉惠的艺术形象时，紧紧抓住以下两句诗文：

1 培养学生学习兴趣，激发他们的学习热情

美国教育心理学家布鲁纳说过“学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，使学生对一门科学产生兴趣的最好办法是使学生感到它值得学习”.数学的学习过程特别是学习之初,教师要培养学生的兴趣,重视学生的兴趣是现代教学方法的一个突出特征.兴趣,是人的意识的内在动力,兴趣能对人类活动产生持久的影响,能成为欲望和意志的源泉.只有对感兴趣的事才会主动地去做.例如,在给学生讲《抽象代数》课程当讲到多项式环时就简要地提一下当下代数界热议的“Gröbner基”.让学生知道除了用有限元方法外还可以用Gröbner基处理一些多变元非线性方程组的问题.让他们有悬念，从悬念→好奇→探知.又如,在指导大学生毕业设计时,希望他们能在本科4年奠定的基础上,在知识的应用上有一跨越.因此我指导的题目一般都与Gröbner基有关(因为Gröbner基应用面很广).记得一个学生在做毕业设计时对Gröbner基产生了浓厚兴趣.他在探知的过程中不但解决了一些“小问题”，即:以前用初等数学方法解决的问题,而且还有一些新突破.毕业论文完成后他兴奋地对我说,很想把我借给他的英文版的Gröbner基的书译成中文,想让更多的人知道它并喜欢它.孔子说过“知之者不如好之者,好之者不如乐之者”,该例就印证了这个道理.因此我们在讲授一门数学课时培养学生兴趣,激发他们的探知热情非常重要.

2 注重启发式教学

启发式教学是以启发学生的思维为核心,调动学生学习的主动性和积极性的一种教学方式.传统的启发式教学在当下仍然很重要.因为在这一过程中它启发诱导学生自觉地学习,独立地思考.真正理解所学的知识并让思维始终处于一种积极探知的状态,它不但使学生发挥了主观能动性,而且还使学生对所探讨的结果记忆长远.启发式教学的关键在于问题情境的设置.如我们在《抽象代数》教学中引入群的概念后将问题情境设置在一般线性群GLn()和特殊线性群SLn()[1]上.通过给出这样的问题启发学生思考:令T表示GLn()中所有detA=2的n阶可逆复方阵全体组成的集合,(T,·)是否构成群?学生们按照自己对群概念的理解回答,无论回答正确与否都要给出理由来.然后教师讲解.这样一来不但使学生加深对群的概念的理解而且让他们再次感受到特殊线性群SLn()的“特殊”所在!不仅如此,我们还在一般线性群GLn()中将复数换成n.具体地,如考虑5上的2阶正则矩阵GL2(5)关于矩阵的乘法是否构成群.虽然群的概念简单,但要做到真正理解,掌握它还得通过问题检测.现在就来验证.

现在证明存在逆元.这也是该题的难点!为了寻找逆元.

（75）三齿鞭苔 Bazzania tricrenata（Whalenb.）Trevis. 刘胜祥等（1999）；马俊改（2006）

实验原料为普通304L不锈钢粉末和FeCrBSi预合金粉末．FeCrBSi预合金粉末采用高压水雾化法生产，其作为烧结助剂，硬度为44 HRC、熔融温度为1200 ℃，成分列于表1．

首先,证明GL2(5)关于矩阵的乘法封闭.即A,B∈GL2(5)⟹AB∈GL2(5).

设5), 则 令 α=ad-bc∈.所以易证关于乘法(即构成群,的逆元即从而考虑

下面验证它满足群的3个条件

/5是在集合上加上了“”的规则,所以同样地, 将这一规则加到多项式集合上考虑.如对于[x]/(x4),在这里将规则x4=0加到[x]上考虑,这样当n>4时,xn=0. [x]/(x4)仅表示a0+a1x1+a2x2+a3x3的3次及以下形式,[x]/(x4)对于消去律不成立(因为x2≠0, x2·x2=x4=0.即出现零因子了).

DEDS的仿真模型主要有面向事件、面向活动和面向进程3种，它们各有不同特点，我们可根据不同需要选择合适的仿真模型。仿真模型实现的有效方法之一是建立仿真函数库。它的优点在于建模者可以专注于模型的逻辑关系而不必担心模型实现的细节，因此，仿真函数库的建立需要足够灵活，以保证其适用于各类系统的建模。它的基本功能模块包括：随机数生成、实体建模、运行调度、队列建模、仿真结果收集和分析。仿真函数库首先应有调用子程序或函数的能力，并且是通过参数传递来实现。其次，要有实时生成动态数据对象的能力和能够支持应用预编译模块构成的库[4]。

(iii) 存在逆元.

(ii) 存在单位元5).

(i) ∀A,B,C∈GL2(5),显然结合律成立.即A(BC)=(AB)C.

关于矩阵的乘法“·”构成群.

2018年10月23日6时许，接群众举报，森林公安民警迅速出警，在砣矶镇砣子岛山顶，将正在网具上收鸟的李某某抓获，现场发现其猎捕的国家二级保护动物1只（活体，已放生），随后在其住所冰柜中发现死体鸟类20只，其中5只为国家二级保护动物，其余为三级保护动物。

设A,B∈GL2(5),由于故所以AB∈GL2(5).

（2）水土保持投资估算。项目区的水土保持投资包括工程措施费、建设单位管理费、水土流失补偿费、工程监理、水土保持管理费、设计费、基本预备费和其它费用等，水土保持费38.06万元。

注意:

故B∈GL2(5).

注意,同理可证故A的逆元B∈GL2(5)存在.从而GL2(5)关于矩阵的乘法构成群.即(GL2(5),·)是群.

从事食品安全监管工作，手中握有管理和执法大权，如果没有正确的人生观及权力观，就会利用其为自己谋利益，就会走上违法甚至犯罪的道路。无论是作为一名普通的监管人员还是领导干部，他从未利用手中的权力为自己谋过私利。他常常告诫自己，这权力是人民赋予的，是为人民谋利益的。只要是对的，只要是为了人民群众的利益，原则必须坚持。凡是违反原则的事，给多少好处也不干。

此题给我们两点启迪：(1) 之前我们知道对于一般的2阶矩阵其可逆的充要条件为ad-bc≠0并且其逆矩阵为因此它对求矩阵A的逆矩阵B的形式有所启发.这说明学过的知识要有印象,知识越多路越宽; (2) 多处用到了群

3 对比式

对比式又叫比较式,它有助于学生独立思考,通过相似的手法将类似的问题做以比较,然后找出本质上的差异.在《抽象代数》教学中关于零因子与消去律的讲解中我们就采用了此方法,获得较好的效果.

零因子现象实际在《线性代数》中就遇到过,而且正是由于它的出现导致一些结论与中学所学的在数域中的结论不同.例如,对于矩阵:

类似地,对于2个变元情形,如[x,y]/(x2+y3).将规则-x2=y3加到[x，y]上考虑,x的2次以上的项可用y表示,在这里,实际上消去律成立,因为考虑第3个变量ω,-(ω3)2=(-ω2)3,由对应: ω3, -ω2.

(i) AB=AC ⟹ B=C;

(ii) BA=O ⟹ B=O或 A=O.

即消去律不成立.此外,两个非零元相乘等于零元.这正是我们讲的零因子现象.

狗蛋小心翼翼地铲着、举起、扬起来，慢慢地便摸到了门道，站在上风头，和着风声，有节律地扬起了稻谷。夕阳的余晖染遍了山林，金黄灿烂，就像满山稻田。风一抚过山野，就如同风吹麦浪般烁烁熠熠地透着生机。木锨里的稻子扬起，那飞扬的稻子便和山野无边的稻田融为一体，与风舞蹈着、歌唱着、轻吟着…

注 对于环R中的元素a (≠0)∈R,如果存在b (≠0)∈R,使得ab=0,则称a是一个(左)零因子.

中学所讲的在数(实数、复数)域范围内是不存在零因子的.因此这样对比讲解,学生易于理解且记忆长久.特别地,在《抽象代数》课堂上讲剩余类环和多项式环时,可结合具体例子用对比的方式将零因子与消去律做进一步的探讨与说明.如考虑剩余类环/5和/6,由于

/5 /6

对于/6来说,而说明/6有零因子,因而关于消去律不成立.仔细考虑一下,能分解为: 而不能分解成两个小于的“数”的乘积).我们可证如下的结论,对于/m消去律成立⟺n是素数.

又如形如

从浙江经验走向全国，“最多跑一次”改革书写了深化放管服改革的新篇章，迈入“互联网+政务服务”发展的新阶段。

a0+a1x1+…+an-1xn-1+anxn (n≥0)

的多项式[2].其中a0,a1,…,an是复数,记[x]为所有这样的多项式的集合.[x]关于多项式的和“+”与积“·”构成了多项式环([x],+,·).值得注意的是在([x],+,·)中乘法的消去律成立(为什么?).

大带宽：前传/中传/回传。低时延：承载网端到端低时延。灵活连接： L3到边缘，灵活快速建链。网络分片：不同类型业务的差异化承载。智能管控：集中化管控，海量连接管理。高精度同步：同步精度要求提高10倍。

对于[x]/(x-2),将规则x-2=0加到[x]上考虑,因为

x=2, 1+x=3, 1+x+x2=1+2+4=7.

重要的是将多项式中的x用2代入,这是[x]/(x-2)的关键点,这意味着可将[x]/(x-2)与等同考虑,因此[x]/(x-2)不存在零因子,从而消去律成立.

从而有

前面所讲的矩阵都是实数(或复数)上的,现在考虑多项式环上的矩阵.如两矩阵相乘

即便多项式矩阵与数矩阵一样有无数个零因子,但是要想给出零因子的特征并非是件容易事.数矩阵的情形,是否零因子是根据其行列式是否为0来判断,即是否有逆矩阵.考虑多项式矩阵它不是零因子,它也没有逆矩阵,虽然

但中的成分1/y,1/x2已经不是多项式了.即不是多项式矩阵了.多项式矩阵的分类与各种各样有趣的问题相关.

4 研讨式

目前国外高校对高年级的有些数学课程都设置了研讨环节.研讨式教学是以解决问题为中心的教学方式,由教师创设问题情境,然后学生通过研究、讨论(或在教师的提示下)提出解决问题的办法,使学生掌握知识的同时增强科研能力.

(2) 德泽乡热水发育主要受断裂构造控制，断裂沟通了地壳深部热源，成为深部热源向上传输的主要通道，地下水通过断裂向上运移进行热扩散，使断裂带及两侧地层升温，从而使地下水循环运动得以加温，形成地下热水。

我校在数-2012级的《抽象代数》课程中做了尝试,增加了6学时的研讨课环节.主要对平时课堂上触及而又不能深入探讨的问题以及一些有思考空间的问题做了研讨.打破了学生被动听这一传统模式.它调动了学生积极思考问题的热情以及增强了他们参与意识.如在讲子群时做了这样的讨论:已知G是群,Hi≤G (i=1,2,…,n),则∩Hi (i=1,2,…,n)仍然是G的子群,但是,∪Hi (i=1,2,…,n)未必是G的子群[3].为什么呢? 对于这类问题除了给出理论上的证明外,还用简单易懂的例子说明.如:12关于“+”构成群,即群(12,+). 令则(H,+)及(K,+)构成(12,+)的子群.显然H⊆ K,且H⊇ K.

是群,故H∩K≤12；

由∉H∪K,故(H∪K,+)不构成群；

H∪K≤ 12.

又如讲到商群,做如下探讨,5上的2阶特殊线性群

阶为120,SL2(5)的中心.

是其正规子群,阶为2.

由SL2(5)关于C(SL2(5))的商群SL2(5)/C(SL2(5))的阶是60,那么该商群又是怎样的群呢?这样一些兴趣题带给大家探讨.实践告诉我们研讨课对如《抽象代数》这类课程是非常必要的.在这样的氛围下满足学生对问题的探知欲望,同时也为大学生科技创新建立了良好的平台.

5 探究式

探究式教学就是教师依据教学内容设置数学情境,引导学生以探究为基础的一种教育模式.这种教学模式的变革,是教育理念的转变,它将传递知识为基础转变为以探究为基础.将学生作为知识接受者转变为主动探究者.教师在讲教材内容时,可将某些问题引深,留有一些悬念.如本文开始提到的我们在讲多项式环时就顺带提了一下Gröbner基,引发学生的兴趣并为课后的兴趣小组及科技创新团队留有思考空间. Gröbner基既可处理高深问题又可解决简单问题.为了培养学生的兴趣,2012年我们带领数-2010级的几个学生进行了(省级)大学生科技创新训练项目.学生们在老师的指导下将前沿课题“Gröbner基的性质”与《抽象代数》课程中多项式环的内容结合,把联立方程式 x+y=0,x2-1=0,y2-2x=0无解这一事实用Gröbner基解释得非常完美，此外还将Gröbner基的一些性质推广到动态Gröbner基上.相关结果发表在《高等数学研究》及《山东大学学报》(理学版)上[4-5].这说明探究式教学带动了科技创新项目,从而实现创新人才的培养.

6 教会学生学习方法

古人说授人以鱼,只供一饭之需,教人以渔,则将终生受用无穷.当代大学生正处于社会发展、变革时期,有很多机遇,也有很多挑战,特别是当下科技的腾飞.因此大学阶段的学习非常重要.基于现在的学生受中学阶段“应试教育”的影响太深,只懂得做题,不善于思考问题的现状.我们教师在传授知识的同时一定要正确引导他们.如我们在讲授概念时教他们理解的记忆.在通过有易于理解的例子讲解并逐步加大“深度”、“宽度”,使学生跟着教师的思路思考,也可以通过研讨课形式让学生独立思考,自由“发挥”.这样比讲几道难题有意义!因为一味弄难题,特别在基础知识还没有打牢的情况下,势必又回到了中学应试教育的“碰题”中.碰上的会,没碰上的连思考都不想思考.因此教师在传授知识的同时也要传授学习方法.好的学习方法和习惯会让学生受益终身.另外就是要求学生要学会自己总结归纳,这一点很重要.而这方面在刚恢复高考的77、78、79级学生中表现得较为突出.因为第一,当时参考书/资料少;第二,当时的教师主要潜心教书/教学;第三,当时的学术大环境不浮躁.我们正是受益于我们的老师的教育而养成了静心看书善于思考的习惯.那么现在很多情况都变了,但是我们教师能做到的就是教育学生脚踏实地,潜心做学问的心不能变.提到总结归纳正如我在“《线性代数》课程教学带给的思考”[6]一文中对《线性代数》课程所描述的那样.讲课时沿着这个框架(见图1)进行讲解学生听过后他们对《线性代数》的理解不会只停留在会做几道题上,而是真正掌握其精髓.

画一画 如图5，请用割线逼近切线的方法分别画出你坐“过山车”经过A、B位置时视线所在的直线(即在A、B点处的切线)，领悟在上升和下降过程中视线的变化？

图1

教育是我们神圣的事业.教学法的研究是我们每位教师永无止境探讨的课题,愿我们任重道远为祖国科技的迅速发展,培养更多更高水准的创新人才.

[参 考 文 献]

[1] 唐忠明. 抽象代数基础 [M].2版. 北京:高等教育出版社,2012：5-14.

[2] 王羡(译). 从线性代数到同调代数[J]. 数学译林(中科院),2011,30(3):214-220.

[3] 王羡,孙永征,刘琼玲,等. “教学+项目”式创新型人才培养实践论析[J]. 煤炭高等教育,2016,34(5):114-117.

[4] 王羡,马文超,周建洋. Gröbner基的一个应用[J]. 高等数学研究,2014,17(1):50-53.

[5] 王羡,周建洋,马文超. 无限可数个变元多项式环上的动态Gröbner基[J]. 山东大学学报(理学版),2013, 48(6): 38-41.

[6] 王羡,冯滨鲁,张玉峰. 《线性代数》课程教学带给的思考[J]. 潍坊学院学报,2017(2):71-74.