1 引 言

众所周知，函数的分析性质，诸如连续性、可导性和可积性，都是通过极限来定义的，所以证明和计算函数在给定点的极限事实上贯穿了整个大学的微积分课程. 同时，当我们利用微积分以及实分析、复分析、泛函分析和广义函数等中的分析工具来研究来源于实际问题的微分方程或者微分方程组时，在很多情况下，我们并不能得到它们的初值问题的解的显式解析表达式，只能使用若干其它办法证明这些定解问题的存在唯一性. 接下来一个最为重要的问题是，需要知道，当解定义在无限区间或者区域时，解函数在无穷远处(|x|→∞)的性态. 也就是说，当解函数是定义在无限区间(区域)的函数f(x)，x=(x1，x2，…，xn)，并且满足一些合适的条件，需要讨论 这方面的研究受到了广泛的关注，尤其是无穷积分收敛时被积函数极限为零的探讨，已有研究成果见[1-3]等. 本文以定义在[a，+∞)上的一元函数f(x)为例，总结了的一些条件，其中部分结果在某些教科书的习题中也有出现，我们给出了简洁的证明. 当然，能同样地考察定义在(-∞，b]上的函数的情形和给出的相应的条件，以及的情形.

2 一些引理

引理1[4-5] 反常积分f(x)dx收敛的Cauchy收敛准则：对∀ε>0，∃M>0，当x>M时，成立.

（d）肝豆状核变性：采用血浆置换、白蛋白透析、血液滤过，以及各种血液净化方法组合的人工肝支持治疗，可以在较短时间内改善病情。

引理2[6] 如果函数f(x)在[a，+∞)上满足利普希兹(Lipschitz)条件：存在L>0，对任意的x1，x2∈[a，+∞)，有|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|，则f(x)在区间[a，+∞)上一致连续.

引理3[7] 若函数f(x)在区间[a，+∞)上有定义并且连续，而且存在，则f(x)在区间[a，+∞)上一致连续.

定理5 若f(x)在[a，+∞)上一致连续，且反常积分f(x)dx收敛，则

3 判定结论

定理1[4-5] 若反常积分f(x)dx收敛，且存在极限则A=0.

证 若A≠0，不妨设A>0，则由知，取存在M>0，当x>M时，有从而有 又因为发散，由比较判别法知，f(x)dx发散. 这与f(x)dx收敛矛盾，所以A=0. 证毕.

定理2[4-5] 若函数f(x)在[a，+∞)上可导，且反常积分f(x)dx与f′(x)dx都收敛，则

证 由于函数f(x)在[a，+∞)上可导，根据牛顿-莱布尼兹公式，有

f(x)=f(a)+f′(t)dt，

而f′(t)dt收敛，故

HRCT与常规CT均可见IPF病患的肺部病灶呈弥漫分布，两肺下叶及胸膜下尤甚，其主要征象表现为：（1）胸膜增厚；（2）支气管扩张，呈柱状、囊状性扩张；（3）胸膜下线，其胸膜下10毫米内和胸膜平行、垂直的不均性线形影，尤以背段、外基底段及肺下叶后多见；（4）小叶肺气肿，其表现为小囊腔大量聚集，与蜂窝状相似，多见于下叶；（5）胸膜增厚，小叶间隔性不规则增厚，胸膜下的小叶内出现细网状或细线状影。

11）抓好工程竣工验收的最后一关。工程竣工后，施工单位首先应进行竣工预验收。在预验收合格后，向监理方提出最终的竣工验收申请。监理方应在合同规定的期限内，召集相关各方进行竣工验收。建设单位对此应高度重视，让参加管理的所有人员到场验收，当发现工程质量不符合要求时，应按照要求提出整改意见及时整改。经有资质的检测单位检测鉴定，仍达不到设计要求时，应会同设计单位制定技术处理方案。不能让竣工验收走过场，流于形式，把好工程质量的最后一关。

即存在.又f(x)dx收敛，根据定理1可知， 证毕.

该坝处于寒冷的峡谷地段，属强震区高坝，根据工程地质条件、坝体设计及应力应变计算情况，参考国内外混凝土面板坝的观测布置，设置的监测项目有：坝体外部变形监测，坝面垂直位移和水平位移监测；坝体内部垂直位移监测；坝体内部水平位移监测；周边缝位移监测；岸坡位移监测；垂直缝位移监测；面板应变监测；面板变形监测；坝体与坝基渗流压力、坝肩绕渗监测；地震反应监测。

因此当x>2M时，有

证 不妨设f(x)在[a，+∞)单调递减，则f(x)≥0(否则，∃x1∈[a，+∞)，使得f(x1)<0. 则当x>x1时，f(x)≤f(x1)<0，又-f(x1)dx显然发散，所以f(x)dx发散，矛盾).

又因为f(x)dx收敛，由引理1(柯西收敛准则)可知，对∀ε>0，∃M>0，使得当x>M时，成立，即f(t)dt<ε.

(1) 工程区水流自深水向近岸，涨、落潮流相对强弱有较明显不同。深水区涨潮流相对较强，且潮流场为受潮汐影响的往复流；浅水区则相反，深水区落潮流相对较弱，潮流为涨潮状态下逐步漫滩，落潮状态下归槽，流向主要受坡度影响。

由表3可知，虾油控制着产品的主体风味及影响着产品的质量。根据实验结果表明虾油添加得少，特征风味不足，出于产品成本方面的考量，虾油的添加量最高为50%，但是添加至50%时产品已具有明显的虾油特征风味，香气强度较强。食盐、味精为菜肴应用中的基础味，咸鲜适宜才可以使菜肴适口，因此这2个因素是次于虾油的重要影响因素。酵母抽提物作为调味料使用可以增强鲜美味，丰富滋味，使口感更醇厚，并掩盖不良气味和味道，也是影响因素之一。变性淀粉是产品稳定性的重要原料，添加1%即可达到效果。干贝素的影响因子也较大，添加干贝素后使产品的海鲜味和厚味增强。白砂糖和焦糖色在这8个因素中处于影响较小的位置。

定理3[4-5] 若f(x)是[a，+∞)上的单调函数，且反常积分f(x)dx收敛，则且

故即从而 证毕.

定理4[7-8] 若f(x)在[a，+∞)上一致连续，且对任何x≥a有

是正整数.

则

证 反证.若结论不真，则∃ε0>0，∀n>0，∃xn>n，s.t.|f(xn)|>ε0.令yn=xn-[xn]，其中[xn]为xn的整数部分，则0≤yn<1. 由于(yn}有界，故存在收敛子列，不妨仍记为(yn}，成立 亦即

(1)

另外，由f(x)的一致连续性，对上述ε0>0，∃δ0>0，当x，y≥a，|x-y|<δ0时，有

我和阿花去了中汕厂，直闯总经理室。中汕厂的老板江锋挺友善，非常客气地接待了我们。本以为江老板也像林老板那么老气横秋老奸巨滑呢，没想到江老板才三十来岁，仪表堂堂，高大挺拔，谈吐不俗，侃侃道来，讲商场上的道理，讲做人与做事的道理，哲理性很强。江老板说得冠冕堂皇，中汕厂中止和你们合作，不是慑服于谁，而是出于对合作单位的尊重，我们可以跟你们合作，给你们订单，但前提是，你们必须修复和大发厂的关系，否则我们只能求大舍小。

|f(x)-f(y)|<ε0/2.

(2)

从而由(1)和(2)知，当n充分大时，有

|f([xn]+x0)-f([xn]+yn)|=|f([xn]+x0)-f(xn)|<ε0/2，

故

1.1 病例选择 选取辽宁省肿瘤医院2007年2月至2012年4月收治的晚期三阴乳腺癌患者133例。纳入标准：①年龄范围：18～75岁；②淋巴结或手术病理组织经病理形态学和免疫组织化学方法确诊为三阴乳腺癌；③分期为Ⅳ期；④均为接受一线治疗（GP、GT、TX、NP）；⑤前3个月未接受化疗；⑥无严重的心肺肝肾功能异常；⑦所有患者临床资料和随访记录完整。

|f([xn]+x0)|>|f(xn)|-ε0/2>ε0/2，

定理6 若f(x)在[a，+∞)上满足利普希兹条件，且反常积分f(x)dx收敛，则

引理4[8] 若函数f(x)在区间[a，+∞)上连续可微，且导函数f′(x)在区间[a，+∞)上有界，则f(x)在区间[a，+∞)上一致连续.

证 因为f(x)在[a，+∞)上一致连续，所以对∀ε>0，∃δ>0，当x1，x2∈[a，+∞)，且|x1-x2|<δ时，下式成立

|f(x1)-f(x2)|<ε.

(3)

即当x>M时，|f(x)|<2ε，故证毕.

(4)

当x≤t≤x+δ时，|x-t|≤δ，根据(3)有

f(t)-ε<f(x)<f(t)+ε，

从而

f(t)dt-δε≤f(x)dt≤f(t)dt+δε.

利用(4)得

-2εδ<f(x)dt<2εδ,

从而

又因f(x)dx收敛，所以对ε1=δε，∃M>a，当x>M时，有

与矛盾.证毕.

1.4 统计学方法 采用SPSS 22.0对数据进行统计分析。计量资料采用t检验，计数资料采用χ2检验。以P<0.05为差异有统计学意义。

证 根据引理2和定理5，容易得证. 证毕.

定理7 若函数f(x)在区间[a，+∞)上连续，存在，且f(x)dx收敛，则

基层思想政治工作是石油企业保持生命力的永恒话题，是科学化管理工作的重要组成部分。随着社会形势、企业发展日新月异，基层思想政治工作必须紧跟时代脉搏，不断适应形势变化要求，不断创新工作形式，探索思想政治工作的新方法、新思路，推动思想政治工作与科研生产工作融合发展、一体化运行。同时，思想政治工作要突破政工部门界限，“双向进入，交叉任职”，形成党委统一领导、党政工团齐抓共管，以专兼职政工干部队伍为骨干、以职工群众广泛参与为特色的大政工格局，为企业发展提供有力的思想保障。

证 根据引理3和定理5，立即得证. 证毕.

定理8 若函数f(x)在区间[a，+∞)上连续可微，它的导函数f′(x)在区间[a，+∞)上有界，且f(x)dx收敛，则

证 根据引理4和定理5，容易得证. 证毕.

定理9 若函数f(x)在区间[a，+∞)上连续可微，它的导函数f′(x)在区间[a，+∞)上有界，且f2(x)dx收敛，则

证 首先证明f(x)有界.反证，若f(x)无界，则∀G>0，∃x∈[a，+∞)，使得|f(x)|>G.记 由微分中值定理，任取z∈[x，x+1]，成立|f(z)-f(x)|≤M， 故

肺癌是最常见的肺部原发性恶性肿瘤，80%的原发性肺癌患者在明确诊断时已失去了手术机会［1］。近年来，随着介入放射学的发展，在临床上开展了多种有效的介入治疗方法，并越来越受到重视，成为肺癌尤其是中、晚期肺癌的有效治疗手段。现就肺癌介入治疗目前临床开展的介入治疗方式、机制、疗效和术后常见的并发症及护理现状与进展综述如下。

|f(z)|≥|f(x)|-M>G-M，

于是

f2(x)dx≥f2(x)dx≥(G-M)2.

由G的任意性知f2(x)dx发散，矛盾.

为此，本文以废旧手机锂电池为前驱体，将收集的其负极石墨粉为原料，采用改良的Hummers氧化还原法制备了石墨烯，并对其进行了表征和电化学性能研究，为废旧手机锂电池负极石墨粉回收再利用提供了一些有价值参考。

另外，|f2(x1)-f2(x2)|≤2f(ζ)f′(ζ)|x1-x2|，其中x1<ξ<x2，由条件可得f2(x)在区间[a，+∞)上一致连续. 由引理4和定理5，定理得证. 该定理亦可推广到f(x)为p(1<p<∞)次可积的情形.

[参 考 文 献]

[1] 韦宁，胡洪池.关于无穷积分收敛被积函数极限为零的条件探讨[J].廊坊师范学院学报(自然科学版)， 2001，1(4):27-30.

[2] 张蕾.极限的一个充分条件的探讨[J].高等数学研究，2010，13(1):59-60.

[3] 张立柱.收敛无穷限广义积分被积函数在无穷远处性质[J].纯粹数学与应用数学，2012，28(3):303-307.

[4] 陈纪修，於崇华，金路.数学分析 [M]. 2版. 北京:高等教育出版社，2004.

[5] 华东师范大学数学系.数学分析 [M]. 2版.北京:高等教育出版社，2001.

[6] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993.

[7] 汪林.数学分析中的问题与反例[M].北京：高等教育出版社，2015.

[8] 孙涛.数学分析经典习题解析[M].北京：高等教育出版社，2005.