1 预备知识

方向导数可以刻画函数沿不同方向变化的快慢程度.以二元函数z=f(x，y)为例，设已知点P0(x0，y0)和方向向量u=(cosα，cosβ)，则称极限

为函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处沿方向u=(cosα，cosβ)的方向导数[1-2]，记为若函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)可微，则在该点处沿任何方向的方向导数存在，且沿梯度方向的方向导数最大[3].

对动物依据气味追逐猎物的问题，同学们通常采用动物沿梯度方向前行来求解.事实上并不是所有的动物觅食问题都是梯度计算问题，也有一些动物觅食问题是带约束条件的优化问题.下面针对三类典型的动物觅食问题进行探讨.

2 狮子觅食问题

狮子觅食问题 假设狮子在平坦的草原上总是沿猎物气味浓度增长最快的方向追逐猎物.把猎物所在位置设为坐标原点，在草原平面上建立直角坐标系，设点(x，y)处的浓度(每百万份空气中所含猎物气味的份数)的近似值为f(x，y)=e-(x2+2y2)/104，求狮子从点(1，1)出发追逐猎物的路线.

解 狮子在位置P0处依据气味浓度追逐猎物的最佳方向是气味浓度函数f(x，y)增长最大方向，即该点的梯度方向

区块分为区块头和区块体2部分：区块头包含前一个区块的哈希值、难度值、Merkle根节点的哈希值、时间戳和随机数；区块体包含当前区块的所有交易。

(1)

其中u为点P0处在平面上的任一方向.

设狮子觅食路线为y=y(x)，则曲线y=y(x)在点P0处的切线方向为气味函数f(x，y)在点P0处的梯度方向.因此，狮子觅食的数学模型为

图1 狮子觅食路线图

Kinect仍被运用到了很多除了游戏系统之外的应用层面，各种各样的艺术家、机器人研究爱好者均开始利用Kinect展开各类项目，如控制机器人、虚拟试衣镜及运动捕捉等。

把f(x，y)=e-(x2+2y2)/104代入上述方程得所求问题的数学模型为

求解该微分方程可得到解析解，即狮子觅食路线y=x2，如图1所示.

PlotStyle -> Opacity[0.6]]， ListPointPlot3D[PP1]， ListPointPlot3D[PP2]， ListPointPlot3D[PP3]]

3 鲨鱼觅食问题

鲨鱼觅食问题 假设鲨鱼在大海中总是沿着猎物气味浓度增长最快的方向追寻猎物.在大海中，把猎物所在位置设为坐标原点，建立空间直角坐标系.设点(x，y，z)处的气味浓度函数为f(x，y，z)=e-(x2+2y2+3z2)/104，求鲨鱼从点P(100，100，100)出发追逐猎物的路线.

分析 类似地，鲨鱼在位置P0处依据气味浓度追逐猎物的最佳方向是气味浓度函数f(x，y，z)增长最大方向，即该点的梯度方向

(2)

Step 3 令P=Q，返回Step 1.迭代n次或者当点P与M之间的距离小于δ时，算法结束.从而获得老虎觅食路线.

设鲨鱼觅食路线的参数方程为x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，在点P0处鲨鱼觅食路线的切线方向为气味函数f(x，y，z)在点P0处的梯度方向.因此，鲨鱼觅食的数学模型为

即

由于上述数学模型很难获得解析解，因此下面我们给出该数学模型的一个数值算法.

鲨鱼觅食路线的数值算法 已知鲨鱼初始位置P(100，100，100)，猎物位置O(0，0，0)，气味浓度函数f(x，y，z)=e-(x2+2y2+3z2)/104，计算鲨鱼追逐猎物路线.假设鲨鱼移动步长为Δ.

（1）整个酒店行业的基层员工薪酬低；根据各省的统计局发各行业薪酬水平的报告来看，住宿与餐饮业的薪酬水平都是倒数的位置。有些省份还排在了最后。（2）不同休假时间，由于酒店行业的特殊性，使其从业员工在国家规定的法定假日不能按时进行休假，越是假期酒店越忙，酒店员工必须进行补休假，但在调休的过程中往往产生一系列的问题，影响员工的士气。（3）“挖墙脚”现象，新酒店在开业之际，通常喜欢招收有相关饭店经验的员工来应聘，有时会开出更好的条件和待遇来挖走其他酒店的熟练员工，招收熟练员工现象在酒店行业之间普遍存在。（4）饭店企业的培训机制不完善，缺乏系统的人才培养体系。

Step 1 假设鲨鱼在点P处，计算点P处的梯度gradf|P=(f′x，f′y，f′z)P，及其单位向量DP；计算鲨鱼下一步位置Q，满足

Step 2 令P=Q，返回Step 1.迭代n次或者当点P与O之间的距离小于δ时，算法结束.从而获得鲨鱼觅食路线.

回到家后，老婆闻到一股烟味儿，严厉地问他是怎么回事。他嬉皮笑脸，支支吾吾：“抽完这包烟再也不敢了。”数落几句后，老婆就去忙她的了，平时也没什么其他嗜好，再说抽烟也不是什么见不得人的事，心一软，老婆也就放过了，“唉！没招儿。”

ff[x_， y_， z_] ：= E^(-(x^2+2*y^2+3*(z)^2)/(10^4));

Pa = 100; Pb = 100; Pc = 100; gradf = {D[ff[x， y， z]， x]， D[ff[x， y， z]， y]， D[ff[x， y， z]， z]};

从表6可以看出， 沙荒地苹果树体大小差异明显，行间清耕的株高、树冠大小明显高于间作小麦，与自然生草的株高差异不明显。分枝数量是果树成花的基础，间作小麦单株分枝、长枝、短枝数量明显小于行间清耕、自然生草。

For[i = 1， i < 500， gradfP = gradf /. {x -> Pa， y -> Pb， z -> Pc}; grado = Normalize[gradfP];

steplength = 0.5; Qa = Pa+steplength*grado[[1]]; Qb = Pb+steplength*grado[[2]];

Qc = Pc+steplength*grado[[3]]; Pa = Qa; Pb = Qb; Pc = Qc; P = AppendTo[P， {Pa， Pb， Pc}];

严格控制盾构掘进、同步注浆、管片拼装、水平运输、垂直运输、轨道及管路连接延伸、渣土外运等各工序，做到无缝衔接，确保每一环盾构掘进循环时间在2h以内，盾构掘进匀速、连续。

i++;];

ListPointPlot3D[P]

在Mathematica8.0上运行该程序，即可获得鲨鱼的觅食路线，如图2所示.

图2 鲨鱼觅食路线图

4 老虎觅食问题

老虎觅食问题 假设老虎总是沿猎物气味浓度增长最快的方向追寻猎物.设猎物位置为M(0，0，3)，点(x，y，z)处的气味浓度函数为

f(x，y，z)=e-[x2+3y2+6(z-3)2]/104，

老虎在山坡上的位置为P(3，0，0)，求老虎从点P出发追逐猎物的路线.

若老虎在位置P0处依据气味浓度追击猎物的最佳方向是气味浓度函数f(x，y，z)增长最大方向，即该点的梯度方向

目前大部分国内项目都是委托咨询机构开发，咨询机构水平的高低直接决定了CDM项目开发的质量和速度，其开发运营管理能力建设也直接影响到我国后续项目注册的成功率。

(3)

图3 老虎觅食路线图

其中u为点P0处的任一方向.若采用鲨鱼觅食路线的数值算法，则得到老虎从点P出发到达猎物位置M处的路线，如图3所示.

由图3发现，老虎在追逐猎物的过程中，一会儿在山坡土里穿行，一会儿在山坡上空飞跃，而并不是在山坡表面奔跑.出现这种现象是因为没有考虑到老虎必须在坡面奔跑这个约束条件.因此，该问题其实是一个带约束的优化问题.老虎在坡面点P0处的觅食方向位于坡面的切平面上，而且气味浓度f(x，y，z)在P0处沿该方向的方向导数是切平面内所有方向的方向导数最大.其觅食方向的数学模型为

(4)

其中nP0=(F′x，F′y，F′z)P0为坡面在点P0的法向量，T=(x，y，z)为坡面上点P0的某个单位切向量，|T|=1，即x2+y2+z2=1，nP0·T=0为坡面上过点P0的切平面方程.

老虎觅食路线的数值算法 假设老虎在山坡上总是沿着气味浓度增长最快的方向追寻猎物.已知老虎初始位置P，猎物位置M，山坡坡面方程F(x，y，z)=0，猎物气味浓度函数f(x，y，z)，计算老虎追逐猎物路线.

Step 1 计算在老虎位置点P处气味浓度函数的梯度gradf|P，及气味浓度在点P处沿任意单位切向量T的方向导数求解带约束的优化问题(4)，获得最优单位切向量TP.

Step 2 假设老虎步长为Δ，计算老虎的下一步空间位置满足由于点可能不在坡面上，将向量沿法向量nQ投影到坡面Q点上，求出点Q.由于在数值计算中步长Δ选取得比较小，nQ近似平行于nP，因此在计算中用nP代替nQ，于是将点Q代入坡面方程F(x，y，z)=0，求得t，从而计算出老虎的下一步坡面位置Q.

其中u为点P0处在大海中的任一方向.

Return[Px];]; PP1 = Road[1， 3， Sqrt[23]/2]; PP2 = Road[1， -3， Sqrt[23]/2]; PP3 = Road[-2， 2， 2];

算例1 假设猎物的气味浓度函数

坡面函数给定老虎的起始点位置分别为

由于不同材料的热膨胀系数之间存在差异，在温度变化时两者的延伸率不同导致出现内应力，使界面处产生裂纹，在使用过程中从裂纹处开始氧化或腐蚀，进而导致涂层失去对基体的保护作用。随着残余应力，化学应力(或扩散引起的应力)的增大，残余应力和扩散引起的应力的耦合作用下的微裂纹的扩展行为也可能会导致涂层的失效。Nazir等[21]进行了在压应力作用下，加上扩散引起的应力的微裂纹涂层的分层研究，表明随着热膨胀失配导致涂层中的残余压应力逐渐增大，阻碍了界面扩散，进而减小了涂层中由于扩散引起的应力。

借助Mathematica数学软件对老虎沿山坡觅食猎物的路线进行编程，程序如下

在婚姻中，我们的目标不是让自己深爱的人胜过别的丈夫奉献出的深情，而是过好自己的日子，在平凡的生活中打造出值得珍视的婚姻轨迹。

ff[x_， y_， z_] ：= E^(-((x+1)^2+2*(y+1)^2+3*(z-Sqrt[31]/2)^2)/10^4);

借助Mathematica数学软件对鲨鱼觅食路线算法进行编程，程序如下

gradf = {D[ff[x， y， z]， x]， D[ff[x， y， z]， y]， D[ff[x， y， z]， z]};

Road[P1_， P2_， P3_] ：= Block[{Pa， Pb， Pc， Px = {}， n = {}， np = {}， T = {}， dderivfTP， Lx， Ly， Lz， M， fcts， largest， location， TP = {}， steplength， Qa， Qb， Qc， NN， abslest， loct}， Pa = P1; Pb = P2; Pc = P3;

For[i = 1， i < 100， gradfP = gradf /. {x -> Pa， y -> Pb， z -> Pc}; ss[x_， y_， z_] ：= z-3*Sqrt[1-x^2/9 - y^2/36];

n = {D[ss[x， y， z]， x]， D[ss[x， y， z]， y]， D[ss[x， y， z]， z]}; np = n /. {x -> Pa， y -> Pb， z -> Pc};

T = {x， y， z}; np.T == 0; dderivfTP = gradfP.T; L[x_， y_， z_， a_， b_] ：= dderivfTP+a*(np.T)+b*(x^2 + y^2+ z^2-1);

Lx = D[L[x， y， z， a， b]， x]; Ly = D[L[x， y， z， a， b]， y]; Lz = D[L[x， y， z， a， b]， z];

M = Solve[Lx == 0 && Ly == 0 && Lz == 0 && np.T == 0 && x^2+y^2+z^2 == 1， {x， y， z， a， b}];

珊德拉夫人说这些话的时候，并不看我，好像我只是她面前飞溅的瀑布雾水。在此之前，我从未接触过这种逻辑。你可以不被它慑服，但你不能不被它打动。

fcts = {}; largest = -10^8; location = 1;

For[iii = 1， iii <= Length[M]， fct = N[dderivfTP /. M[[iii]]]; fcts = AppendTo[fcts， fct];

If[largest < fct， largest = fct; location = iii]; iii++;];

TP = N[{x， y， z} /. M[[location]]]; steplength = 0.1; Qa = Pa+steplength*TP[[1]]+t*np[[1]];

Qb = Pb+steplength*TP[[2]]+t*np[[2]]; Qc = Pc+steplength*TP[[3]]+t*np[[3]];

NN = N[Solve[1-Qa^2/9-Qb^2/36 == Qc^2/9， {t}]]; abslest = 10; loct = 1;

实施临床护理路径以后，主要对两组患者的各项指标情况、患者护理满意度进行观察。各项指标情况主要由专业人员对两组患者的住院时间、健康知识掌握、以及并发症进行记录。患者护理满意度由专业人员结合两组患者护理的实际情况进行记录。

For[ii = 1， ii <= Length[NN]， If[Abs[t /. NN[[ii]]] < abslest， abslest = Abs[t /. NN[[ii]]]; loct = ii]; ii++;];

Pa = Qa /. NN[[loct]]; Pb = Qb /. NN[[loct]]; Pc = Qc /. NN[[loct]]; Px = AppendTo[Px， {Pa， Pb， Pc}]; i++;

];

所研制的低温等离子电源功率电路部分主要包括PWM整流电路、DC-DC调压电路、高频逆变电路、LC滤波电路以及高频变压器升压电路。其结构框图如图1所示。

Show[ParametricPlot3D[{3*Sin[u]*Cos[v]， 6*Sin[u]*Sin[v]， 3*Cos[u]}， {u， 0， [Pi]/2}， {v， 0， 2*[Pi]}， Mesh -> 8，

下面将草原上狮子觅食问题改成大海中鲨鱼觅食问题.

运行上面的程序，可获得从山坡上的三个初始位置出发老虎追逐猎物的路线，如图4所示.

由图4发现，从不同初始位置P1，P2，P3出发老虎沿山坡面前行最终均到达了猎物所在位置M处，老虎觅食路线分别为图4中的曲线说明老虎沿着气味追踪到了猎物.通过对比图3和图4发现，在利用最优化方法解决觅食问题时应注意是否带约束条件.

图4 老虎觅食路线图

5 猎物在运动状态下的老虎觅食问题

上述觅食问题针对的是猎物静止状态下，狮子、鲨鱼和老虎沿气味追逐猎物.接下来讨论猎物在运动状态下的老虎觅食问题.

假设猎物在山坡坡面F(x，y，z)=0上按照某路径或者某方向运动，猎物在位置M(a，b，c)处的气味浓度函数

f(x，y，z)=e-((x-a)2+2(y-b)2+3(z-c)2)/104，

老虎沿着猎物的气味追逐猎物，下面算法是计算老虎追逐猎物的路线.

猎物运动时老虎觅食路线数值算法 假设老虎初始位置P，猎物位置M，老虎的移动步长为ΔP，猎物的移动步长为ΔM.

Step 1 计算猎物在位置M处时，在老虎位置点P处的气味浓度函数梯度gradf|P，求解带约束的优化问题(4)，获得在点P处曲面的切平面内气味浓度增长最快的向量TP，同时计算老虎沿向量TP移动一个步长ΔP并且投影到坡面上的位置，即老虎的下一步位置Q(参见第4节中的老虎觅食路线的数值算法).

Step 2 给定猎物的移动步长ΔM，计算猎物在坡面上从点M处沿某路径或者某方向移动的位置，即猎物的下一步位置N.

Step 3 令M=N和P=Q，返回Step 1，迭代n次或者当点P与M之间的距离小于δ时，算法结束.

图5 老虎寻觅动态猎物的追逐路线图

算例2 山坡面函数假设猎物初始位置老虎初始位置猎物在山坡坡面上沿固定方向s=(-1，1，1)运动，求老虎从点P出发追逐动态猎物的路线.

借助Mathematica数学软件对动态猎物情况下的老虎沿山坡觅食路线进行编程和计算，获得猎物的运动路线为曲线和老虎的觅食路线为曲线如图5所示.

第一，优先发展RAROC较高、风险权重较低的轻资本产品。优先发展结售汇、托管、代理、承销、咨询、结算、清算等中间业务发展，提高轻资本非利息收入占比。零售贷款因其较低的风险权重，在政策允许的前提下，优先发展可改善业务结构，提高整体资本使用效率。

由图5发现，当猎物在山坡向某个方向移动时，猎物散发的气味函数在不断发生变化，老虎依然能够沿着当前猎物散发的气味追踪猎物，最后在点W处，老虎追击到了猎物.猎物在运动状态下的老虎觅食的数学模型与算法也可以在其它领域得到应用，例如：在山区丛林中，野外动物研究人员追踪带信号源野生动物的踪迹.

[参 考 文 献]

[1] 同济大学应用数学系. 高等数学：下册[M]. 5版. 北京：高等教育出版社，2002：45-51.

[2] 高伟. 不同教材中高等数学概念的辨析[J]. 大学数学，2014，30(5)：123-126.

[3] 丁宣浩. 论方向导数与梯度[J]. 大学数学，2004，20(2)：112-115.