1 引 言

周期分布是分析纠错码码字结构和性能的重要参数，特别是在密钥流密码中有着广泛的应用.1992年，杨义先[1-2]首先提出了纠错码周期分布的概念，将周期分布引入有限域Fq中，并给出了一种有限域上循环码的周期分布计算方法，然后给出了扩展的RS码的周期及周期分布.王建宇[3]给出了任意线性码的周期分布和一个普遍使用的上界和下界.符方伟[4]进一步分析了循环码的周期分布，并给出了一种新的计算方法.李超等[5-8]研究了不同距离的BCH码的周期分布.钟佳伟等[9]进一步研究了有限链环Fq+uFq+…+um-1Fq上循环码及其对偶码的周期分布计算公式.有限环上的常循环码一直是代数编码重要课题之一，宛金龙[10]研究了有限域Fq上λ-常循环码的周期分布.王岩[11]研究了环Fp+vFp上一类常循环码的周期分布.冯倩倩[12]研究了环Zpk+1上常循环码的结构.设λ是环Zpm中阶为l的单位元素，n与p互素.本文利用对环Zpm上长度为n的λ-常循环码的分解和生成多项式，确立了环Zpm上的λ-常循环码的周期分布.

2 预备知识

设p≥2且为素数，m为正整数且m≥2，n是任意正整数，且gcd(p,n)=1.Zpm表示整数模pm剩余类环.表示Zpm中的所有可逆元构成的乘法群.称中的一个子模C为环Zpm上长度为n的线性码.设上的一个λ-移位算子Sλ定义为

Sλ(c0,c1,…,cn-1)=(λcn-1,c0,…,cn-2)，

若上的码C满足Sλ(C)=C，称码C为环Zpm上λ-常循环码.特别地，当λ=1时，C为环Zpm上的循环码，当λ=-1时，C为环Zpm上的负循环码.对于环Zpm上任意长度为n的码字c=(c0,c1,…,cn-1)∈C，都有多项式

对于临时增设的各类施工设施而言，主要在于构建存储某些设备以及材料必需的堆积处、仓库以及其他房屋建筑。此外，关于水利施工还需临时增设必要的照明与水电供应、交通作业设施、出产混凝土的体系与其他基础性的通信设备。

c(x)=c0+c1x+…+cn-1xn-1∈Zpm[x]/(xn-λ)

与其相对应，称c(x)为码字c的多项式表示.在环Zpm[x]/(xn-λ)中，xc(x)对应c(x)的一个λ-循环移位.由此容易得到下面引理.

引理1 设C为环Zpm上长为n的线性码，那么C是Zpm上长为n的λ-常循环码当且仅当C(x)是Zpm[x]/(xn-λ)的理想.

我们首先对两版教材的旁白进行对比，发现：美GMH版在每节课的教材空白处都会呈现这节课的相关内容，如学习目标、重点内容的学习提示和建议

电气企业要想有效的控制电气自动化设备，提升设备的可靠性，相关企业就要做好设计阶段的相关设计工作。提高研究分析设计产品参数的力度，加强对设计阶段的管理，确保设计产品在质量方面符合国家的相关设计标准，从而满足电气自动化设备实际发展需要。此外，企业在设计产品时，相关设计人员要对市场进行预先调查，对市场相关数据进行分析，科学的预测未来市场的需求，加强对产品结构进行优化设计。并且在实际的生产过程当中，要遵守市场价值规律的影响，尽可能避免大批量的生产，避免由于供大于求而造成产品积压，致使产品生产与销售出现偏差的情况。并保证产品设计的质量，进而确保电气自动化控制设备的可靠性。

下面引理给出了当n与p互素时，Zpm上长为n的λ-常循环码的结构.

并且

定义1 设C是Zpm上长度为n的λ-常循环码，c∈C，如果有正整数r，使得那么r就称为码字c的一个周期.周期中最小者被称为最小周期，记为r0.

由于设λ在中的阶为l，记作|λ|=l，由码字周期的定义可得，ln是c的一个周期.

定义2 设C是Zpm上长度为n的λ-常循环码，其中gcd(p,n)=1.记

另外有些英语专业课程设置不够合理，重视英语知识和技能的训练，而忽视了人文素养的培养，导致英语专业学生知识面狭窄，思辨能力差。

Pi=|{c∈C: c的最小周期为i}|，

称集合(Pi,1≤i≤ln}为码C的最小周期分布.记

天葬师道：“唐门口中的离经叛道，想来放到天下人的眼中，便是不与贼伍、正气凛然。此人在你唐门的一路追杀下，已是伤痕累累，命在旦夕，老夫若是将她交予你，岂不是等同于丧了她的性命？”

Hi=|{c∈C: c的周期为i}|，

称集合(Hi,1≤i≤ln}为码C的周期分布.显然

设λ在中的阶为l，本文考虑当l与p互素时，Zpm上长度为n的λ-常循环码的周期分布.显然，λ可以取1，因此这类常循环码包含循环码.

3 常循环码的周期分布

本节，我们确定Zpm上长度为n的λ-常循环码的周期分布，首先给出一个引理.

根据住房城乡建设部、国家发展改革委、财政部《关于做好2013年农村危房改造工作的通知》(建村〔2013〕90号)，为提高农村危房改造的质量水平，规范工程建设与验收，我部制定了《农村危房改造最低建设要求(试行)》(以下简称最低建设要求)。现印发你们，请认真贯彻执行。

引理3 设C是Zpm上长度为n的λ-常循环码，其中λ在中的阶为l,对C中任一码字c，若r0为c的最小周期，则r0|ln.

证 设q=ln是c的一个周期，r0为c的最小周期.由定义，r0≤q，设q=kr0+t，这里k，t满足0≤t<r0,k>0.由q是c的一个周期以及周期的定义知有

而由于r0为c的最小周期，所以kr0为c的周期，即那么假设t≠0，由以上可知t也是c的周期，且由于0≤t<r0知t不可能是最小周期，与假设矛盾.故必然有t=0，因此q=kr0，即r0|ln.

又由于

C=C0⊕C1⊕…⊕Cm-1，

(1)

其中因此，对于任意c∈C，存在ci∈Ci，使得

c=c0+c1+…+cn-1.

设c有周期r，即有

根据直和分解的唯一性，c有周期r的充要条件是所以

限于篇幅，本研究仅涉及了数学教材中平行四边形内容的正文，其实习题等内容的难度[19-20]也和螺旋式内容的广度、深度变化有着重要关联．如苏教版四下的相应练习中，就暗含了“平行四边形的对角相等和不稳定性”内容．

所以满足条件的l(x)的个数为p(m-i)deg[gcd(Fi+1,xr-1)].由此得到码Ci(0≤i≤n-1)的周期分布为

其中

引理4 设c(x)是码Ci中的码字c对应的多项式，其中a(x)为码字c的信息多项式，则码字c的周期为r当且仅当a(x)pi(xr-1)≡0(modFi+1).

证 由题设可知，根据定义，码字c的周期为r当且仅当c(x)≡c(x)xr(mod(xn-λ)).由于则

a(x)pi(xr-1)≡0(modFi+1).

下面引理给出了码Ci的周期分布.

引理5 设是Zpm上长为n的λ-常循环码，其中F0,F1,…,Fm两两互素且xn-λ=F0F1…Fm，码C直和分解如(1)式，则码Ci(0≤i≤n-1)的周期分布为

证 设c是码Ci中任一码字，其信息多项式为a(x)，根据引理4可知，码字c具有周期r当且仅当a(x)pi(xr-1)≡0(modFi+1).因此

Fi+1|a(x)pi(xr-1).

(2)

分两种情况进行讨论

在想象中开始练琴之前，需要先读懂乐谱曲目中的所有谱面标记，以便选择具有针对性的练琴方式。其次，还要有意识地去分析作品的和声特点和曲式结构。最后，从曲目中最难的难点开始着手，如果是技巧型的难点，可以在想象中用不同的触键方式和不同的速度去弹奏。另外，在开始“想象练琴”之前，除了选择练琴的方式，还需要选择练习的步骤（如练习速度快慢等）。做完以上这些步骤，那么就可以正式开始“练琴”了。

(i) 若r整除nl，从nl与p互素可推出r与p互素.因此，xr-1在Zpm[x]中存在唯一基本不可约分解，从而gcd(Fi+1,xr-1)存在.由(2)式可得

由于与互素，因而

即存在l(x)使得

其中

由引理2得，若是Zpm上长为n的λ-常循环码，其中F0,F1,…,Fm两两互素且xn-λ=F0F1…Fm，则

于是

从而

degl(x)≤deg(gcd(Fi+1,xr-1))-1，

所以，码Ci中周期为r的码字的个数等于满足上述条件l(x)的个数.由于l(x)∈Zpm[x]/(xn-λ)，

(2)进入图21所示界面后，点击“搜索”按钮，再按图22所示顺序打开保存在本地电脑上的参数文件(后文将详细介绍升级软件和参数文件)。

由定义1、定义2知根据Mobius反演公式，可得

(ii) 若r不整除nl，令r1=gcd(r,nl)，显然，码字c具有周期r当且仅当码字c具有周期r1，此时xr1-1在Zpm[x]中存在唯一基本不可约分解，从而gcd(Fi+1,xr1-1)存在.类似于情况(i),可以得到码Ci(0≤i≤n-1)的周期分布为

在表达式中，考虑电流环的动态性能将增益Kp1设计为2500rad/s。对电流环进行控制，需确定电压环的控制策略，其为公式（5）提供参考电流。图5为用于决定参考电流的逆键合图模型。

综上，可以得到码Ci(0≤i≤n-1)的周期分布为

定理1 设是Zpm上长为n的λ-常循环码，其中F0,F1,…,Fm两两互素且xn-λ=F0F1…Fm，则C的周期分布和最小周期分布分别为

式中: Φ(·)是标准正态分布的累积分布函数,且 γk,i根据最大似然估计原理,可以从测量值{dk,i}中得到w0的估计值,即基于Probit模型的最大似然估计器的解为:

例1 在Z4[x]中，p=2，m=2，λ=1,则l=|λ|=1,在Z4[x]中

x7-1=(x-1)(x3+2x2+x-1)(x3-x2+2x-1).

设是Z4上长度为n=7的循环码，其中F1=x-1，F2=x3+2x2+x-1.

(i) 运用公式法,根据定理1，C的周期分布为

其中1≤r≤7.由此计算可得

同理C的最小周期分布为

引理2 设p为素数，gcd(p,n)=1，设C是Zpm上长为n的λ-常循环码，则存在彼此互素的首一多项式F0,F1,…,Fm，(可以为1)，使得xn-λ=F0F1…Fm，且

P1=H1=4, P2=H2-H1=0, P3=H3-H1=0,

P4=H4-H2=0, P5=H5-H1=0, P6=H6-H3-H2+H1=0,

P7=H7-H1=28.

(ii) 运用定义法, 令

得

C1=((0000000),(1111111),(2222222),(3333333)}，

C2= ((0000000),(2220200),(0222020),(0022202),(2002220),(0200222),

(2020022),(2202002)}.

C =C1+C2

=((0000000),(1111111),(2222222),(3333333),(2220200),(0222020),

(0022202),(2002220),(0200222),(2020022),(2202002),(3331311),(1333131),

(1133313),(3113331),(1311333),(3131133),(3313113),(0002022),(2000202),

死体可燃物含水率(Y)与降水(X1)、气温(X2)、相对湿度(X3)、连旱天数(X4)、风速(X5)、蒸发量(X6)之间的数学模型为：

(2200020),(0220002),(2022000),(0202200),(0020220),(1113133),(3111310),

(3311131),(1331113),(3133111),(1313311),(1131331)}.

所以C的周期分布和最小周期分布分别为

实例工程位于福建省泉州港秀涂港区。码头建设面积约56000m2，共设置6个散货泊位、2个件杂货泊位和2个待泊泊位。码头采用钢管板桩结构，码头当涂高度21m，钢管桩直径2m，壁厚0.02m，码头设计荷载为150kN/m2。码头典型断面图见图1。

可以发现，根据定义求得的结果与公式计算结果完全一样.

[参 考 文 献]

[1] 杨义先，胡正名. 纠错码的周期分布[J]. 通信学报，1992，13(3)：50-54.

[2] 杨义先. R-S码中无内周期码字的精确计数[J]. 科学通报，1991，36(8)：630-633.

[3] 王建宇. 线性码的周期分布与广义周期分布[J]. 通信学报，1994，15(1)：8-14.

[4] 符方伟，沈世镒. 循环码的周期分布新的计算公式[J]. 通信学报，1996，17(2)：1-6.

[5] 陈燕，辛小龙. 设计距离为5的9元BCH码的无内周期码字个数[J]. 空军工程报学报，2006，17(3)：89-91.

[6] 陈小松，王春鹏. 设计距离为7的BCH码的周期分布[J]. 湖南大学学报，2007，34(11)：84-87.

[7] 李囡囡. 设计距离为9的二元BCH码的周期分布[J]. 科学技术与工程，2006，18(6)：2868-2869.

[8] 李超. 本原BCH码的维数与周期分布[J]. 国防科技大学学报，1998，20(3)：113-116.

[9] Li P, Zhong J. Period distribution of cycliccodes over Fq+uFq+…+um-1Fq[J]. Journal of Electronics,2014,31(6):547-551.

[10] 宛金龙，朱士信. 有限域Fq上λ-循环码的周期分布[J]. 合肥工业大学学报，2008，31(10)：1699-1702.

[11] 王岩. 环Fp+vFp上一类常循环码的周期分布[J]. 大学数学，2017，33(1)：26-30.

[12] 冯倩倩，刘宏伟. 环Zpk+1上的常循环码[J]. 华中师范大学学报(自然科学版)，2008，42(2)：175-178.