1 引 言

众所周知，如果数项级数是收敛的，则其加括号后所得的级数也是收敛的，反之不然.在一定条件下，加括号后所得级数收敛能蕴涵原级数的收敛性.如，数学分析教材[1]中第十二章第一节习题10指出，若加括号后的级数收敛，且在同一括号中的原级数的每一项符号都相同，则原级数亦收敛；谢陈龙和刘志松在[2]中亦证明，如果原级数通项趋于零，且其加括号后的级数的通项中含有的原级数的项数是有界的，则加括号后的级数与原级数是同敛散的.本文通过引进数项级数加括号的顺序(逆序)最大绝对值序列的概念，得到在加括号后级数收敛条件下原级数收敛的充要条件，从而同时推广了以上的两个结果.

2 正 文

定义1 设是一数项级数，是一个首项为0的严格单调递增的各项为整数的数列，对k=1，2，…，令

但车镇凹陷大王北西次洼沙三下具有良好的生油条件、储盖层条件和形成有利圈闭的地质条件，蕴藏着巨大的勘探潜力。因此，强化该区地质研究，弄清油气成藏特征、成藏规律和成藏控制条件，具有重要的理论和现实意义。

Vk=Unk-1+1+Unk-1+2+…+Unk，

称为关于的加括号级数，称

pk=max(|Unk-1+1+Unk-1+2+…+Ui|∶i=nk-1+1，nk-1+2，…，nk}

为关于的第k项顺序最大绝对值，称

重庆市农村水电增效扩容改造项目476座，改造前总装机容量39.3万kW，改造后总装机容量56.5万kW，新增装机容量17.2万kW；改造前年平均发电量13.5亿kWh，改造后设计年发电量22.1亿kWh，新增年发电量8.6亿kWh，年增发电收入2.5亿元，以电量计算的增效潜力达64%。农村水电增效扩容改造后，不仅消除了电站的安全隐患，还美化了周边环境，与周边的新农村建设融为一体，改建一新的电站成为一道靓丽的风景线，社会生态效益显著。

qk=max(|Ui+…+Unk|∶i=nk-1+1，nk-1+2，…，nk}

例1 给定一个数项级数设的各项分别为

注 定义中规定数列的首项为0，使得级数的第一项V1是从级数的第一项U1开始取的.给定了一个数列实为给级数规定了一种加括号的方法.

下面给出例1以帮助理解等.

为关于的第k项逆序最大绝对值，称为关于的顺序(逆序)最大绝对值序列.

即当k(k+1)<n≤(k+1)2时，当(k+1)2<n≤(k+1)(k+2)时，其中k=0,1,2,3,….取数列为0，2，6，12，30,…，即k=0时，nk=n0=0，k=1，2，3，…时，nk=2(1+2+…+k)=k(k+1).(i)试依定义1写出试判别级数的敛散性.

…… ……

V1=U1+U2=1+(-1)=0，

对照组、乳腺良性肿瘤组、乳腺癌组血清IL-6、IL-8、IL-10及TNF-α水平均依次呈递增趋势，且乳腺癌组显著高于对照组、乳腺良性肿瘤组，差异有统计学意义(P<0.05)，对照组与乳腺良性肿瘤组相比差异无统计学意义(t=0.21、1.34、0.57、1.05，均P>0.05)。

收敛；

收敛，且收敛于0.

在隐喻模式的作用下，at从物理空间概念范畴投射到时间、状态、方式、方向、原因、顺序和频率方面等等，最终形成at的多义网络。如at 5 o’clock（时间），at war（状态），at high speed（方式），aim at（方向），at one’s invitation（原因），at first（顺序），at 2-minitue intervals（频率）等。

解 (i) 按定义1,此时由给出了一个给级数加括号得级数的方法，即有

p1=max{|1|,|1+(-1)|}=1，

…… ……

…… ……

与此同时，今年以来，关于网络文学现实主义题材创作的呼声尤其高。1月份，国家新闻出版广电总局和中国作家协会联合发布“2017年优秀网络文学原创作品推介名单”。据评委会主任、中国作协网络文学委员会主任陈崎嵘介绍，当年的申报作品中，“现实类题材明显增多，反映人民群众主体生活和当下人们精神心理的作品量多质升”。在今年各种总结网络文学20年代表作品的榜单中，评选结果也明显向着现实题材侧重。如果说对于其他文学门类而言，是“重拾”现实主义精神，那么对20岁的网络文学来说，这是一个新的开始。它必须从现实题材入手，逐渐去构建自己的现实主义表达。

q1=max(|1+(-1)|，|-1|}=1，

目前研究显示，GLP-2可抑制骨吸收，但对骨形成影响的仍不明确。与GLP-1不同，GLP-2并不能促进胰岛素分泌，但也有调节糖、脂代谢的功能。其抑制骨吸收的作用可能是通过增加营养物质的吸收、减弱循环炎症反应实现的。

治疗3、6、12个月恩替卡韦组HBeAg转阴率均明显高于阿德福韦酯组，差异有统计学意义（P＜0.05）。见表3。

…… ……

…… ……

以健康医疗、观光旅游、文化科教、现代产业相结合，以国际化经营、科技化运作为支撑，坚持科教示范、低耗产业、旅游观光、健康医疗和生活宜居协调发展，深入贯彻落实“传承友谊，深化合作，共同发展”的指导思想，坚持生态环保标准，遵循“自然创造、文化创意、科技创新”的理念，结合“四成一体”的主题，进行系统的景城区道路整体提升改造。

(ii) 由级数收敛的柯西准则易判别是收敛的.事实上，对∀ε>0，存在k∈*使得取N=(k+1)(k+2)，当m>N时及∀p>0，p∈*，考察

|Um+1+Um+2+…+Um+p|.

因为当k(k+1)<n≤(k+1)2时，当(k+1)2<n≤(k+1)(k+2)时，<0，且又m>N=(k+1)(k+2)，所以有

故由级数收敛的柯西准则知，是收敛的.

定理1 设是一数项级数，是一个首项为0的严格单调递增的各项为整数的数列，为关于的加括号级数，和分别为关于的顺序最大绝对值序列和逆序最大绝对值序列，则下列命题等价

孩子在微信群里，看到老师的修改与评点，认识会逐渐清晰起来，上下联句日渐合乎规范，对仗日益工整起来，热情不知不觉被点燃起来。

以上这四点都属于经营要素，如果做不到，企业还是经营不好。管理的核心就是把这些经营要素管住，使这些要素不断地积累放大，并且围绕着环境的变化而变化。例如，做业务要配置人，人是核心资源，通过管理把人的价值越大，业务就会得到更大的扩张。招聘来的人一开始可能是不达标的，他的能力如何在做业务的过程里得到提升和成长，并且变得更好，这离不开管理。再如，技术是关键资源，如何通过管理把技术积累得更强，更能满足业务的需要；还有业务过程，随着业务环境的变化，规模的增长，人员结构的调整，业务过程如何更新和积累更多的经验，如何调整适应环境的变化，是需要管理的。

收敛，且收敛于0；

姚晨雨（1994-），女，汉族，山西省长治市，硕士研究生在读，辽宁大学马克思主义学院，研究方向：思想政治教育。

…… ……

证 先证(i)⟹(ii)，(i)⟹(iii).设级数收敛，则根据关于无穷级数的Cauchy收敛准则知，也收敛，且对任一首项为0的严格单调递增的各项为整数的数列关于的顺序(逆序)最大绝对值序列收敛于0，从而(ii)，(iii)成立.

再证(ii)⟹(i)，(iii)⟹(i).记级数的部分和序列为即则加括号后的级数的部分和序列为设收敛于A，即则对∀ε>0， ∃k0∈*，使得当k>k0时，有|Snk-A|<ε.由收敛于0知∃k1∈*，当k>k1时，pk<ε.取N1=nk0+k1+1，则对∀n>N1，∃k≥k0+k1+1，使得nk≤n<nk+1，这样

Sn=Snk+Unk+1+Unk+2+…+Un.

从而

|Sn-A|≤|Snk-A|+|Unk+1+Unk+2+…+Un|≤|Snk-A|+pk<2ε，

故Sn也收敛于A.即有级数收敛.同理可证得(iii)⟹(i).综上，定理1得证.

由例1易知，给定下，使定理1中的命题(ii)，(iii)成立，从而有命题(i)成立，即也能得到与例1中(ii)相同的结论.

以下两个推论中的符号沿用定义1中的设定.

推论1[2] 设级数的通项趋于是一个首项为0的严格单调递增的各项为整数的数列，对k=1，2，…，令是关于的加括号级数，记mk为加括号级数第k个括号内的项数，即mk=nk-nk-1，如果(mk}是有界数列，则级数与原级数同敛散.

证 如果加括号后的级数是发散的，则原级数必然是发散的.下证如果加括号级数收敛，则级数也收敛.根据定理1，只需证明这里为关于的顺序最大绝对值序列.

旅游者在旅行、游览过程中依据自己的需求和爱好表现出一定的旅游行为特征.在相同旅游条件下，不同旅游个体表现出不同的旅游行为.

由于(mk}有界，不妨设mk≤M,M为一固定正整数.因为级数的通项趋于0，从而∀ε>0，∃N∈*，使得当n>N时，|Un|<ε.取k0∈*，使nk0>N，则当k>k0+1时，

|Unk-1+1|<ε，|Unk-1+2|<ε，…，|Unk|<ε.

又因为pk≤|Unk-1+1|+|Unk-1+2|+…+|Unk|<Mε，所以得证.

综上所述，如果(mk}是有界数列，则级数与原级数同敛散.

推论2[1] 设是一数项级数，是一个首项为0的严格单调递增的各项为整数的数列，对k=1，2，…，令

Vk=Unk-1+1+Unk-1+2+…+Unk，

称为关于的加括号级数，如果加括号后的级数收敛，且在同一括号中的Ui(i=nk-1+1，nk-1+2，…，nk)符号相同，则亦收敛.

证 根据定理1，要证明收敛，只需证明这里为关于的顺序最大绝对值序列.

如果加括号后的级数收敛，则∀ε>0，∃k0∈*，当k>k0时,|Vk|<ε.由于在同一括号中的Ui(i=nk-1+1，nk-1+2，…，nk)符号相同，所以当k>k0时，pk≤|Vk|<ε，从而得证.

例2 存在数项级数和一个首项为0的严格单调递增的各项为整数的数列使得的通项趋于关于的加括号级数收敛，但发散.

证 令是一个首项为0的严格单调递增的各项为整数的数列.

对∀n∈*，∃k∈(0，1，2，3,…}，使得

nk+1≤n≤nk+1，

令

则是一个通项趋于0的级数，且关于的加括号级数显然收敛(因为Vk=0，∀k∈*)，但关于的顺序最大绝对值序列不收敛于0(因为因此，由定理发散.

例2表明，即使原级数通项趋于0，加括号后的级数收敛，也不能保证原级数也为收敛级数.从而说明定理1中的“收敛于0”，推论1中的“(mk}是有界数列”，推论2中的“在同一括号中的Ui(i=nk-1+1，nk-1+2，…，nk)符号相同”条件均不可省略.需要指出的是，在寻求加括号后级数收敛条件下原级数收敛的条件时，[1]和[2]中给出的(即推论1和推论2中给出的)均是充分非必要条件(这样的例很容易构造)，而本文定理1中给出的条件为充要条件.

10多年后，那是蓝洁瑛和香港电影的时代。人们听说过蓝洁瑛的疯癫，感叹美人迟暮，当她孤身死在香港的公屋里，最为大众知晓的是《大话西游》中美艳的妖精。1995年，又一代人的青春。

致谢 王宝平老师对完成本文给予了大力帮助，特别是对文章修改提出了许多宝贵的建议，谨此致谢！

[参 考 文 献]

[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].4版.北京:高等教育出版社,2010.

[2] 谢陈龙，刘志松.数项级数加括号前后的敛散性探讨[J].高等数学研究，2015,18(3)：55-58.