1 引 言

本文中,R表示有单位元的结合环,用N(R)，E(R)，Z(R)，J(R)，U(R)分别表示R的全体幂零元集合、幂等元集合、中心、Jacobson根和可逆元集合.

设a∈R,记comm(a)=(x∈R|ax=xa},则comm(a)是环R的一个子环.记comm2(a)=(y∈R|xy=yx,x∈comm(a)},则comm2(a)也是R的子环.

设R为一个环,a∈R,若存在b∈R,使得a=aba,则称a为R的正则元,且称b是a的内逆元,正则元a的内逆元是不唯一的,用a-表示a的全体内逆元的集合.若还有bab=b；ab=ba,则称a是R的群可逆元,且称b为a的群逆元.由文献[1]知,若b存在,则它是唯一的,通常记为a#,且a#∈comm2(a).本文中用R#表示R的全体群可逆元的集合.根据文献[4]中的定理3.2知,a∈R#当且仅当存在唯一的幂等元e∈comm2(a),使得ea=0且a+e=u∈U(R),此时a#=u-1(1-e).称幂等元e为a的谱幂等元,记为aπ,容易证明aπ=1-aa#.设a∈R,记l(a)={x∈R|xa=0},则l(a)是R的左理想,称左理想l(a)为a的左零化子.记r(a)={y∈R|ay=0},则r(a)为R的右理想，称右理想r(a)为a的右零化子.

根据文献[5],R中的元素a称为广义群可逆元,若存在正整数n,使得an∈R#.显然,群可逆元为广义群可逆元.

Banach代数中的Drazin逆概念被引进环论中以后,环论工作者对强正则元及强π-正则元进行了许多视角上的新刻画,强正则元也称为群可逆元.人们从刻画强正则环转化为刻画强正则元并给出群逆元的表示.利用所得结果去表示复方阵为群可逆元的条件并给出其群逆元的表示形式,为计算数学提供计算技巧与表达形式.受此影响,本文主要研究群可逆元的一些性质与刻画.

2 主要结果

引理1[2-3] (i) a∈R#当且仅当存在p2=p∈R,使得aR=pR且Ra=Rp.

(ii) a∈R#当且仅当a∈a2R∩Ra2.

且(ca-a#)a2=ca-(a#a2)=ca-a=c.故方程组

(a+1-e)(a#eRe+1-e)=aa#eRe+a(1-e)+(1-e)a#eRe+1-e=aa#eRe+1-e；

引理2 设a,b∈R,若aR⊆bR,则l(b)⊆l(a)；若Ra⊆Rb,则r(b)⊆r(a).

命题1 a∈R#当且仅当a为正则元且存在p2=p∈R,使得l(a)=l(p)且r(a)=r(p).

证 必要性.因为a∈R#,所以a为正则元且由引理1知:存在p2=p∈R,使得aR=pR且Ra=Rp.再由引理2知l(a)=l(p)且r(a)=r(p).

充分性.由于a为正则元,故存在x∈R,使得a=axa,a(1-xa)=0,则1-xa∈r(a)=r(p),故p(1-xa)=0,p=pxa.而(1-ax)a=0,故1-ax∈l(a)=l(p),即(1-ax)p=0,则p=axp.因为1-p∈l(p)=l(a),故(1-p)a=0,则a=pa=pxa2∈Ra2.由于1-p∈r(p)=r(a),所以a(1-p)=0.则a=ap=a2xp∈a2R.从而得知a∈Ra2∩a2R.则由引理1知a∈R#.

综上所述，右美托咪定联合舒芬太尼PCIA用于食管癌患者术后镇痛的效果显著，可有效改善患者的免疫功能，且未增加不良反应的发生。但由于本研究纳入的样本量较小、研究中心单一，故此结论有待大样本、多中心研究进一步证实。

推论1 a∈R#当且仅当存在p2=p∈R,使得aR=pR且r(a)=r(p).

证 必要性.由引理1及命题1得证.

充分性.由于aR=pR,故存在b∈R,使得p=ab,则a=pa=aba,故a(1-ba)=0.因而

1-ba∈r(a)=r(p), p(1-ba)=0,

类似地可以证明下面的命题.

a(1-p)=0, a=ap=a2b∈a2R.

故a∈Ra2∩a2R.则由引理1知a∈R#.

命题2 设e∈E(R),a∈eRe,若a∈R#,则a∈(eRe)#.

证 因为a∈R#,所以由引理1(i)及注1知:存在p2=p∈comm2(a),使得aR=pR且Ra=Rp.由于a∈eRe,故a=ea=ae=eae,e∈comm(a).则

where λ is the wavelength of the pumping light and ν is the magnetic number.

pe=ep=epe, (epe)2=epeepe=epepe=epe，

即epe∈E(eRe).因为aeRe=eaRe=aRe=pRe.所以a(eRe)=eaeRe=epRe=(epe)(eRe).

（4）查询模块。该模块主要完成用户对的搜索内容的认别及对认别结果的反馈。分别制定以“内容”为主的查询规则（关键句查询）和以“主题”为主的查询规则（关键字、词查询），设定查询控制方式并与信息采集模块、索引模块的信息抓取和索引方式对应，通过对关键字、词、句进行精确解读，建立与索引文件的联系和信息比较，便于用户完成筛选和获取所需信息。

同理可证:(eRe)a=(eRe)(epe).因而由引理1(i)知a∈(eRe)#.

设R为一个环,记ZE(R)={a∈R|ae=ea,任意e∈E(R)},则ZE(R)是R的子环且R的中心Z(R)⊆ZE(R).

引理3 设a∈R#,则a#∈comm2(a).

证 任取y∈comm(a),则ay=ya.因为a∈R#,所以a#存在,且有a#ya=a#ay=aa#y,则

a#y =(a#aa#)y=a#(aa#y)=a#(a#ya)=(a#)2y(aa#a)=(a#)2(ya2)a#

=(a#)2a2ya#=a#aya#=a#yaa#=a#ya2(a#)2

=a#a2y(a#)2=ay(a#)2=ya(a#)2=ya#.

于是a#∈comm2(a).

所以R为直接有限环.

证 因为a∈R#,故由引理1(i)及注1知：存在p2=p∈comm2(a),使得aR=pR且Ra=Rp.因为a∈ZE(R),所以对任意e∈E(R),有ae=ea,则e∈comm(a),故pe=ep,即p∈ZE(R).显然可知aZE(R)⊆aR.又由于a∈ZE(R),且ZE(R)为R的子环,因而有

aZE(R)⊆aR∩ZE(R)=pR∩ZE(R).

任取y∈pR∩ZE(R),则y∈ZE(R)且y=pz,z∈R,则y=pz=p2z=py∈pZE(R).因此

pR∩ZE(R)⊆pZE(R).

因为pR=aR,所以p=ab,其中b∈R.又因为a∈R#,所以

a=a#a2, p=a#a2b=a#ap.

由引理3知a#∈comm2(a).由于e∈comm(a),所以a#e=ea#,从而a#∈ZE(R).因而可知

aZE(R)⊆aR∩ZE(R)=pR∩ZE(R)⊆pZE(R)=aa#pZE(R)⊆aa#ZE(R)⊆aZE(R).

所以aZE(R)=pZE(R).

同理可证:ZE(R)a =ZE(R)p.由引理1(i)知a∈(ZE(R))#.

设a∈R,若存在b∈R,使得ab=1(ba=1),则称a为R的右(左)可逆元.

若环R的每个右可逆元都是左可逆元,则称R为直接有限环.

命题4 R为直接有限环当且仅当R的每个右可逆元为广义群可逆元.

证 必要性.设R为直接有限环,a为R的任一个右可逆元,因而可知a为R的可逆元.又由于U(R)⊆R#,所以a∈R#.故a为群可逆元,当然为广义群可逆元.

充分性.设ab=1,则a为R的右可逆元.由题设知a为R的广义群可逆元,即存在正整数n≥1,使得an∈R#.故有c∈R,使得

an=ancan； c=canc； anc=can.

因为ab=1,故anbn=1.则anc=anc(anbn)=anbn=1=can.因而

c=c(anbn)=(can)bn=bn,

故bnan=can=1.则

b=bnanb=bnan-1, ba=bnan-1a=bnan=1.

命题3 设a∈ZE(R),若a∈R#,则a∈(ZE(R))#.

下面几个命题给出正则元是群可逆元的条件.

命题5 设a,x∈R,a=axa,ax-xa∈J(R),则a∈R#.

证 设ax-xa=t∈J(R),因为

a=axa=(xa+t)a=xa2+ta,

所以(1-t)a=xa2.又由于1-t∈U(R),所以a=(1-t)-1xa2∈Ra2.因为

a=axa=a(ax-t)=a2x-at,

所以a(1+t)=a2x.由于t∈J(R),所以有1+t∈U(R).因而a=a2x(1+t)-1∈a2R.由此可知a∈a2R∩Ra2.故由引理1(ii)知a∈R#.

即p=pba.故a=pa=pba2∈Ra2.而1-p∈r(p)=r(a),所以

当{xn}关于度量d收敛到1时,对任意的ε>0,存在N,使得d(xn,1)=1-xn<ε。此时, ρ0(xn,1)=1-(xn→1)∧(1→xn)=1-xn<ε。故{xn}关于度量ρ0收敛,且收敛到1。

命题6 设a,x∈R,a=axa,ax-xa∈N(R),则a∈R#.

命题7 设a为正则元,则a∈R#当且仅当对每个c∈R,当aa-c=c=ca-a时,方程组

有解.

证 必要性.设a∈R#且对每个c∈R满足aa-c=c=ca-a,从而可知

a2(a#a-c)=(a2a#)a-c=aa-c=c

注1 引理1(i)中的p∈comm2(a).

有解.

所以a∈a2R∩Ra2.故由引理1(ii)知a∈R#.

有解则a=a2x0=y0a2.由引理1(ii)知a∈R#.

为了保证问卷的内容效度，检验使用KMO和Bartlett Test衡量。通常KMO值大于0.8说明结构效度很好，KMO值大于0.6时说明结构效度可以被接受，KMO小于0.5说明结构效度较差。本文根据知识、技能、态度三个模块进行因子分析，分析结果如下：

命题8 设a,x∈R,u∈comm(a)∩U(R).若a=axa且ax=uxa,则a∈R#.

证 因为u∈comm(a)∩U(R),所以au=ua且u-1存在.又因为a=axa,且有ax=uxa,因而

a=axa=uxaa=uxa2∈Ra2.

由于au=ua,所以a=uau-1.又因为ua=uaxa=auxa=a2x,所以

魏晋南朝时期，随着士人阶层玄学的盛行，礼法的松动，女性亦表现出“林下之风”。谢道韫公然向谢安表示对夫婿王凝之的不满，这是对男权的挑战，而其在孙恩之乱中抽刃出门，手杀数人，则是对常规女性状态的超逸。又如刘宋时期的韩兰英，曾向孝武帝献赋，被封为博士，又因其年长并且博学多闻，所以常被称为“韩公”。“公”在古代当为对男性尊称的专用词，此处“韩公”之称，是对其学识的褒扬与对其地位的尊崇，这在另一方面又显现出通过模糊其女性性别来达到推重的目的。

a=uau-1=a2xu-1∈a2R.

充分性.因为a为正则元,所以aa-a=a=aa-a.取c=a,则aa-c=c=ca-a.由题设知方程组

命题9 设e∈E(eRe),a∈(eRe)#,则a+1-e∈R#且有

所有受试者分别于治疗前后晨起空腹抽取静脉血3 mL，置于乙二胺四乙酸（EDTA）抗凝管中。取一半静脉血以2 500 r/min离心10 min，收集上层血浆，采用ELISA法以全波长酶标分析仪于450 nm波长处测定吸光度并计算其中PTX-3的含量，严格按照试剂盒说明书操作。另一半血样用于测定PTX-3 mRNA的表达水平。

(a+1-e)#=a#eRe+1-e, (a+1-e)π=aπeRe-(1-e).

证 因为a∈(eRe)#,所以a=ae=ea且a#eRe存在.因而

3)对于变截面的液压缸，产生载荷的脉宽仅与液压介质的总体积及活塞与液压介质接触面的半径相关，而与液压缸的其他尺寸无关，“滤波板+滤波孔”的方式可以消除高频信号且不会对产生载荷的峰值、脉宽等特征带来明显影响。

aa#eRea=a； a#eReaa#eRe=a#eRe； aa#eRe=a#eRea.

由于

会上，为了表彰老一辈科学家对我国农药行业所作出的卓越贡献，中国化工学会农药专业委员会特设立“农药学科特殊贡献奖”。原化工部沈阳化工研究院副总工程师、副院长及院党委委员李宗成，浙江工业大学教授、博士生导师徐振元荣获第一届“农药学科特殊贡献奖”。

(a+1-e)(a#eRe+1-e)(a+1-e)=(aa#eRe+a(1-e)+(1-e)a#eRe+1-e)(a+1-e)

=(aa#eRe+1-e)(a+1-e)=aa#eRea+aa#eRe(1-e)+(1-e)a+1-e=a+1-e；

(a#eRe+1-e)(a+1-e)(a#eRe+1-e)=(a#eRea+a#eRe(1-e)+(1-e)a+1-e)(a#eRe+1-e)

=(a#eRea+1-e)(a#eRe+1-e)=a#eRe+1-e；

注2 引理1(i)中的p是唯一的.

(a#eRe+1-e)(a+1-e)=a#eRea+a#eRe(1-e)+(1-e)a+1-e=aa#eRe+1-e

=(a+1-e)(a#eRe+1-e).

于是a+1-e∈R#且(a+1-e)#=a#eRe+1-e.因而

由于对完成的问题缺乏处理，致使在学生对于做过的问题没有较深的印象。由于动点问题背景复杂性较强，学生对问题背景的差异过于重视，但对于完成的问题包含的解题技巧与类型应进行分类处理却极为轻视。因此需教师对规律与方法进行指导总结，以提升学生解题能力。

(a+1-e)π =1-(a+1-e)(a#eRe+1-e)=1-(aa#eRe+1-e)

=1-aa#eRe-(1-e)=aπeRe-(1-e).

设a∈R#,则aπ=1-aa#且由引理3和命题9的证明知aπ∈comm2(a),aaπ=0且a+aπ∈U(R).

方案二：系统采用TI 生产的LDC1314 电感数字转换器[8]，也是TI 推出的金属检测感应线圈。相对于LDC1000 来说，对于循迹来说非常适合，但是精度不高探测距离太短，且价格昂贵。

定理1 a∈R#当且仅当存在e2=e∈comm(a),使得ae∈E(R)且a+e∈U(R).

证 必要性.显然.

2.政出多门，管理不力。调研中还发现有些省份对中药产业的管理存在多头管理、政出多门等问题。一件事情由多个部门在管理，如工信、发改委、科技、农业、食药监、卫计委等，是真正的九龙治药情况。这样难免出现责任不清、相互扯皮推诿、工作效率不高等问题，体制不畅，政出多门，严重影响和制约产业的发展。

充分性.假设存在e2=e∈comm(a),使得ae∈E(R)且a+e∈U(R),则ea=ae=a2e且有

1-e=(a+e)-1(1-e)a=a(a+e)-1(1-e).

从而可知

新旧动能转换背景下，为了适应创新创业的发展，图书馆采取多种方式，创新服务模式，主要是创建服务品牌、搭建创新创业服务平台等。

a=ae+a(1-e)=a2e+a2(a+e)-1(1-e)∈a2R，

且a=ea+(1-e)a=ea2+(1-e)(a+e)-1a2∈Ra2.则由引理1(ii)知a∈R#.

由于幂等元总是群可逆元,因此定理1蕴含了下面的推论.

推论2 a∈R#当且仅当存在e2=e∈comm(a),使得ae∈R#且a+e∈U(R).

由于a∈R#当且仅当-a∈R#,因此有下面的推论.

推论3 设R为一个环,a∈R,则下列条件等价：

(i) a∈R#；

(ii) 存在e2=e∈comm(a),使得ae=0,a-e∈U(R)；

(iii) 存在e2=e∈comm2(a),使得ae=0,a-e∈U(R)；

(iv) 存在e2=e∈comm(a),使得ae∈E(R),a-e∈U(R)；

(v) 存在e2=e∈comm(a),使得ae∈R#,a-e∈U(R).

可以证明推论3条件(iii)中的幂等元e是唯一的.因此有下面的推论.

推论4 a∈R#当且仅当存在唯一的e2=e∈comm2(a),u∈U(R),使得a=e+u且ae=0.

在推论4中取g=1-e,则a=ug=gu,因此有下面的推论.

推论5 a∈R#当且仅当存在唯一的g2=g∈comm2(a),u∈U(R),使得a=ug.

引理4 设a∈R,t∈J(R),若a+t∈U(R),则a∈U(R).

证 记a+t=u∈U(R),则a=u-t=u(1-u-1t).由于u-1t∈J(R),因而有1-u-1t∈U(R),因此a∈U(R).

众所周知:对任意a,b∈R,若1-ab∈U(R),则1-ba∈U(R).因此有下面的命题.

命题10 设a,x∈R满足a-axa∈J(R),考虑下面条件：

(i) a∈R#;

(ii) a2x+ax-1∈U(R);

(iii) 1-xa2-xa∈U(R);

(iv) 1-ax-a∈U(R);

(v) a+xa-1∈U(R).

则(i)⟹(ii)且(ii)-(v)等价；当a-axa∈aJ(R)a∩comm(a)时,(ii)⟹(i).

证 设a-axa=t∈J(R).

(i)⟹(ii) 因为a∈R#,所以a#存在.则容易计算出

(a2x+ax-1)(aa#x+ax-1)=1-(ata#x+atx+ta#x+tx)，

且

(aa#x+ax-1)(a2x+ax-1)=1-(a#tax+a#tx+tax+tx).

又因为ata#x+atx+ta#x+tx,a#tax+a#tx+tax+tx∈J(R),于是

1-(ata#x+atx+ta#x+tx), 1-(a#tax+a#tx+tax+tx)∈U(R),

由此可知a2x+1-ax∈U(R).

(ii)⟹(v) 因为1-ax-a2x=1-a(x+ax)∈U(R),所以

1-(x+ax)a=1-xa-a+t∈U(R).

从而由引理4知a+xa-1∈U(R).

(v)⟹(iv) 因为1-xa-a=1-(x+1)a∈U(R),所以1-a(x+1)=1-ax-a∈U(R).

(iv)⟹(iii) 因为1-ax-a∈U(R),所以1-ax-axa-t=1-a(x+xa)-t∈U(R).由引理4知1-a(x+xa)∈U(R),所以1-(x+xa)a=1-xa-xa2∈U(R).

(iii)⟹(ii) 设1-xa2-xa∈U(R),则1-xa(a+1)∈U(R),从而有1-a(a+1)x∈U(R),即1-a2x-ax∈U(R),因此a2x+ax-1∈U(R).

(ii)⟹(i) 若t=a-axa∈aJ(R)a∩comm(a),则t=aya,y∈J(R).由于

a2x+ax-1=u∈U(R),

因而

ua=a2xa+axa-a=a(a-t)-t=a2-at-t=a2-ta-aya,

故(u+t+ay)a=a2.由于t+ay∈J(R),u∈U(R),因而可知

a=(u+t+ay)-1a2∈Ra2.

又因为a2x+ax-1=u∈U(R),所以由(iv)知a+xa-1=v∈U(R),则

av=a2+axa-a=a2-t=a2-aya,

因此a=a2(v+ya)-1∈a2R,由引理1(ii)知a∈R#.

设a∈R#,且对于每个正整数n≥2,有anx+1-ax∈U(R)且满足下列结果：

(anx+1-ax)-1=a(a#)n-1x+1-ax.

因此类似于命题10的证明可得如下推论.

推论6 设a,x∈R满足a=axa,n为正整数且n≥2,则下列条件等价:

(i) a∈R#;

(ii) anx+1-ax∈U(R);

(iii) xan+1-xa∈U(R);

(iv) an-1+1-ax∈U(R);

(v) an-1+1-xa∈U(R).

例1 设F为一个域,

则容易计算出

一个环R称为约化环,若N(R)={0}或等价地,当a2=0时,总有a=0.

命题11 R为约化环当且仅当N(R)中每个元都是群可逆元.

证 必要性.设R为约化环,则N(R)={0},而0总是群可逆元.

充分性.若R不为约化环,则有0≠a∈N(R),满足a2=0.由题设知a为群可逆元,故由推论5知a=ue,其中u为可逆元,e为幂等元且a=ae=ea.故0=a2=uea=ua.则a=0,矛盾.故R为约化环.

一个环R称为半本原环,若J(R)={0}.

命题12 R为半本原环当且仅当J(R)中每个元为群可逆元.

证 必要性.显然.

充分性.任取a∈J(R),由题设知a为群可逆元,由推论4知有e2=e∈comm(a),u∈U(R),使得a=u+e,ae=0.故a=a(1-e)=u(1-e).则1-e=u-1a∈J(R).因而1-e=0.则e=1.从而a=a(1-e)=a(1-1)=0.故J(R)={0},即R为半本原环.

设e,f∈E(R),若Re=Rf,则称e,f相容.

命题13 R为Abel环当且仅当R的任意两个相容幂等元的差为群可逆元.

证 必要性.假设R为Abel环且e,f为两个相容幂等元,则Re=Rf.因而有e=ef;f=fe.

由于R为Abel环,故e,f∈Z(R).因而有ef=fe,即e=f.故e-f=0为群可逆元.

充分性.设e∈E(R),下证:(1-e)Re=0.否则,存在a∈R,使得(1-e)ae≠0.

记g=e+(1-e)ae,则eg=e;ge=g;g2=g.从而Re=Rg.故e,g为R的两个相容幂等元.由题设知g-e为群可逆元,而g-e=(1-e)ae,所以(1-e)ae为群可逆元.又由于[(1-e)ae]2=0,则由命题11的证明知(1-e)ae=0,矛盾.故(1-e)Re=0.从而R为Abel环.

[参 考 文 献]

[1] Ben-Israel A, Greville T N E. Generalized Inverses: Theory and Applications[M].2nd ed..New York: Springer, 2003.

[2] Raki D S, Dini N , Djordjevi D S. Group, Moore-Penrose, core and dual core inverse in rings with involution[J].Linear Algebra Appl.,2014,463:115-133.

[3] Hartwig R E. Block generalized inverses[J]. Arch. Retional Mech. Anal.,1976,61(3):197-251.

[4] Dijana Mosi. Characterizations of k-potent elements in rings[J].Annali di Math.,2015,194(4):1157-1168.

[5] 赵旭东，王姗，魏俊潮.直接有限环的一些刻画[J].大学数学,2017,33(6):7-11.

[6] 邓恒道.关于广义逆的注记[J].大学数学,1993,10(1):26-27.