1 引 言

一般大学里数学系本科生学习高等代数时，所考虑的相似标准型是经典的Jordan标准型，即复方阵在复数域上的相似标准型.它结构简单，易于理解并能够说明矩阵的主要特征[1].然而在实际中，实方阵尽管可看作复方阵的特殊情形，但由于实方阵的特征值未必是实数，所以它的Jordan标准型未必为实矩阵，所以寻找实方阵的实相似标准型就成为必要了.关于这方面，许以超教授在其书中有专门的论述[2].在这篇文章中，我们给出一种类似于经典Jordan标准型的实相似标准型，结果也同样十分优美，并且在计算上可以类似于复方阵的Jordan标准型进行.

2 主要结果

定义 设K为一个数域，A与B为K上的n阶方阵，若存在K上可逆阵P，使P-1AP=B，则称A与B在K上相似.

设数域K包含数域F，A,B为数域F上两个n阶方阵.易见，若A与B在F上相似，则它们在K上也相似.事实上，还有

引理1 设数域K包含数域F，A,B为F上的n阶方阵，若A,B在K上相似，则A,B在F上也相似.

在现代汉语中，我们可以发现有“A了个B”这种框架构式的存在。现代汉语中词的定义是语言中最小的能够独立运用的语言单位。词一般不能扩展，词的两个或多个语素中不能插入其他成分，但有一些词如“洗澡”“理发”“过来”“睡觉”“留神”“帮忙”“出丑”“道歉”“吵嘴”“吃亏”等可以加入一些其他成分，成为：

证 因A,B在K上相似，故A与B在K上有相同的不变因子，但因A,B均为F上的方阵，而A,B的不变因子都可以由λE-A及λE-B的元素经过有限次加、减、乘以及F上的数乘而得到，故A和B的不变因子均为数域F上的多项式，这表明A,B在F上有相同的不变因子，从而A和B在F上相似.

对于实方阵A，A的不变因子可以分解为实数域上不可约多项式的乘积，因此A在实数域R上的初等因子有两种类型，一种是(λ-λ0)k，其中λ0为实数，k为正整数，另一种为(λ2+pλ+q)l，其中p,q为实数，p2-4q<0，l为正整数.若实方阵A的初等因子为(λ-λ0)k，则A在复数域C上相似于Jordan块

因J(λ0,k)为实方阵，故由引理1知A与J(λ0,k)在R上也相似.

证 由引理4，Jl,r,θ与A有相同的初等因子

证 因为非零实数，所以的1，2阶行列式因子为

除了见诸报端的，还有亲耳听来的身边的小来小去的丑闻。比如，有的城管向商贩借钱，若是不借，他很快就会找个“理由”找你麻烦，等等。少数有权力的人，这种以“借”为名讹卡服务对象的情况，性质相同。所不同的是，权力大的多“借”多讹些，权力小的少“借”少讹些。

故的两个不变因子为

d1(λ)=1, d2(λ)=λ2+pλ+q.

而A的不变因子也为1和λ2+pλ+q，从而A与在R上相似.

引理3 设p,q为满足p2-4q<0的实数，则存在实数θ∈(0,π)使

在大数据生命周期中如何将采集到的数据进行存储和管理，并在实际应用过程中对数据经行及时快速的调度，是实现大数据分析技术的第二大技术。由于网络信息具有数量多，多元性，重复性，复杂性等特征，将网络数据按照类型级别划分，实时分析，分类存储。在存储技术得到充分发展的情况下，所带来的情况是数据得以快速增长，甚至于存储成本降低的速度远远低于数据的增长速度。当前，在依照标准进行存储，以及大数据的保存方面，有着成本障碍。

证 显然

下面证明D2l-1(λ)也等于1.

令

则

因

故可设θ∈(0,π).

推论1 设2×2实方阵A的初等因子为λ2+pλ+q，p,q为满足p2-4q<0的实数，则存在实数r>0及θ∈(0,π)使A在R上相似于

记为J(r,θ).

证 令如同引理3中定义，则可由引理2及引理3推得.

在复数域C上的一阶行列式因子.而在C上，

引理4 2l阶方阵

的初等因子为(λ2+pλ+q)l=(λ2-2rcosθ+r2)l.

证 令Jλ(r,θ)=λE2-J(r,θ)，则有如下的一系列R上“初等变换”

记D1(λ),D2(λ),…,D2l-2(λ),D2l-1(λ),D2l(λ)为λE2l-Jl,r,θ的各阶行列式因子，不难看出D1(λ)=D2(λ)=…=D2l-2(λ)=1,且

综上所述，城市道路桥梁的施工过程中，要从多方面进行考虑，对管理工作当中的理念以及方法的应用，都要能满足实际的需求，保障施工的整体质量控制效果良好呈现。道路桥梁基础设施建设，有利于城市化的发展，未来的基础设施建设中，要求会愈来愈高，这就需要注重施工优化措施的实施，保障整体工程质量。

记则由归纳法易见

2)确定比较数列Xi：Xi=(xi(1)，xi(2)，…，xi(n))，式中：Xi为不同复合种植模式各项指标所组成的数列，i=1，2，…，m。

这里F,G为λ的实系数多项式.不难看出，要证明D2l-1(λ)=1，只要证明在R上(F,G)=1.而这又等价于

的R上一阶行列式因子用反证法来证明这个事实.若则更有这里为

按照先易后难的分析步骤，首先对易于排查的化验结果不准、絮凝剂失效等11条要素进行了分析、验证，排除影响因素11条；然后逐步对海水提升泵滤器、粗过滤器、细过滤器关键节点水质进行逐步排查。

记E2为2阶单位阵.

有两个不同的特征值r(cosθ±i sinθ)，所以存在可逆方阵P，使得

定理1 设n阶实方阵A在R上的初等因子为

由于相似必等价，而等价的λ矩阵与

医用耗材SPD信息化建设，通过一体化的平台搭建符合我院实际需求的建设服务，达到了经济效益与社会效益的有效结合。

有相同的行列式因子(在C上)，故矛盾，从而于是D2l-1(λ)=1.

于是得到

东洋人把杨细爹带走后，旺明叔跟姜大爹商量了几句，就高声说，既然东洋人是奔铁冶去的，那我们就打道回府！千好万好，不如家好。

d2l-1(λ)=…=d2(λ)=d1(λ)=1，

故Jl,r,θ的初等因子为(λ2+pλ+q)l=(λ2-2rcosθ+r2)l.

推论2 设2l×2l实方阵A的初等因子为

(λ2+pλ+q)l=(λ2-2rcosθ+r2)l，

这里p,q为满足p2-4q<0的实数，r>0,θ∈(0,π)，则A在R上相似于

引理2 设2×2实方阵A的初等因子为λ2+pλ+q， p,q为满足p2-4q<0的实数，则A在R上相似于

(λ2+pλ+q)l=(λ2-2rcosθ+r2)l，

故A相似于Jl,r,θ.

证 只要证明J与A有相同的初等因子即可.熟知λEkm-Jλj的初等因子为(λ-λj)km，故λEkm-Jλj的不变因子为1,1,…,1,(λ-λj)km，从而λEkm-Jλj等价于

故

(λ-λ1)k1,(λ-λ2)k1,…,(λ-λs)ks; (λ2+p1λ+q)l1,…,(λ2+ptλ+qt)lt,

这里λ1,λ2,…,λs为A的实特征，实数对(pj,qj)(j=1,2,…,t)满足且k1+k2+…+ks+2l1+2l2+…+2lt=n.则A相似于

J=diag(Jλ1,Jλ2,…,Jλs,Jl1,r1,θ1,Jl2,r2,θ2,…,Jlt,rt,θt}，

这里rj,θj如同引理3中一样由pj,qj所决定.更进一步，除块的顺序之外，J由矩阵A唯一决定.

所有患者每6个月进行1次电话随访，末次随访日期为2018-02-28。随访时间 5～50个月，中位随访时间32.1个月,期间有36例患者复发，13例患者死亡。复发转移要求有病理诊断或者典型的影像学及临床表现，复发和生存时间按月记录，以手术日至患者复发、死亡或最后一次就诊(随访)时间为复发或生存期限。失访，非肿瘤死亡及截止点生存病例按统计分析要求列为截尾数据处理。

diag(1,1,…,1,(λ-λj)km).

类似地，由引理4，λE2li-Jli,ri,θi的初等因子为(λ2+pjλ+qj)li，故它的不变因子为

1,1,…,1,(λ2+pjλ+qj)li，

从而λE2li-Jli,ri,θi等价于diag(1,1,…,1,(λ2+pjλ+qj)li).所以λE-J等价于

林业的发展直接关系到国家经济的整体发展，同时也起到了保护生态环境的作用。当前，我国加强了对森林资源的建设和保护的力度，尤其是加强了营造林工作。但是，在现阶段的林业工作建设中还是存在一定的问题和不足之处影响森林的质量。本文阐述的主要内容是营造林工作的重要性，同时对影响营造林质量和提升营造林质量的措施进行了简要的阐述。

在十字单元连接处增加纵向辅助肋和横向辅助支撑杆，如图5(b)所示，提取优化后田字单元模块(图6)。单元模块具有对称性，本文主要模块单元进行设计分析与仿真。

diag{1,…,1,(λ-λ1)k1,1,…,1，(λ-λs)ks,1,…,1,(λ2+p1λ+q1)l1,…,1,…,1,(λ2+ptλ+qt)lt}.

故J与A有同样的初等因子，从而A在R上相似于J.其余结论显然.定理证毕.

一般来说，在实际应用中，对于给定的方阵A，求出一个与A相似的一个较简单的矩阵，其目的主要有两个，一个是判断极限及级数的敛散性，另外一个就是在收敛的情况下确切地计算出它的值.如果在复数域上讨论，那么仅用熟知的Jordan标准型即可[3]，但一个实方阵的Jordan标准型未必一定是实方阵，这给实际应用带来了一定的麻烦.另一方面，如果用熟知的有理标准型，虽然可以避免不是实方阵的缺陷，但是对于有理标准型的一个块

其方幂Bm不具有明确的形式[4].而对于定理1中的对角块，其中的Jordan块Jλj(j=1,2,…,s)的方幂显然具有明确的形式，而对于定理1中的块Jlj,rj,θj，其方幂也具有十分明确的形式.不加证明地列示如下：

定理2 (i) 对于任意的正整数m及有

(ii) 对任意的正整数m及引理4中的Jl,r,θ，有

政府作为退役安置工作的主导者，克服安置难关，树立积极的安置态度；在实施政策过程中，结合当地资源，在大政方针下寻求合适的安置方式方法；关于职业转换培训工作,相关部门可以把重心放在研究制定针对性的职业培训大纲，确定培训教材，规范课程设置，完善培训体系。在培训前对运动员进行系统的职业规划和评估，明确培训目标。并做好监督管理的职能，以检验运动员的培训效果，从而提高运动员的就业能力，提高退役运动员的就业率[38，39]。

这里为熟知的组合数.

2015年5月，我就已提出离职。拖到9月，是因为领导希望我能待到下半年，替部门背一个考核“C”的指标。

根据这个定理，结合复数域上复方阵的Jordan标准型，可以把2×2矩阵J(r,θ)当做一个数一样去计算实矩阵方幂、多项式乃至矩阵幂级数，这是该标准型的主要优点.

[参 考 文 献]

[1] 北京大学数学系前代数小组.高等代数 [M].4版. 王萼芳，石生明，修订.北京：高等教育出版社，2016.

[2] 许以超.线性代数与矩阵论 [M]. 2版.北京：高等教育出版社，2008.

[3] 李继根，张新发.矩阵分析与计算[M].武汉：武汉大学出版社，2013.

[4] Lancaster P, Tismenetsky M.The Theory of Matrices.2nd.[M]. Orlando: Academic Press,1985.